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Full text of "Fisica Vol I Mecanica Alonso Finn"

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Tabla A-l Tabla periddica de los elementos 

Las masas at6micas, basadas en el numero exacto 12,00000 asignado como masa at6mica 
al principal isdtopo del carbono, "C, son los valores mas recientes (1961) adoptados por 
la Uni6n Internacional de Quimica Pura y Aplicada. La unidad de masa usada en esta 
tabla se denomina unidad de masa aidmica (uma): 1 uma = 1,6604 x 10-* 7 kg. En esta 

Grupo-> I II III IV 



Periodo 
1 


Serie 
1 


IH 

1,00797 






^ 


2 


2 


3 Li 

6,939 


4B 
9,0122 


5B 

10,811 


6C 
12,01115 


3 


3 


11 Na 

22,9898 


12 Mg 
24,312 


13 Al 
26,9815 


14 Si 
28,086 


4 


4 


19 K 

39,102 


20 Ca 

40,08 


21 Sc 
44,956 


22 Ti 
47,90 


5 


29 Cu 
63,54 


30 Zn 
65,37 


31 Ga 
69,72 


32 Ge 
72,59 


5 


6 


37 Rb 
85,47 


38 Sr 
87,62 


39 Y 
88,905 


40 Zr 
91,22 


7 


47 Ag 
107,870 


48 Cd 
112,40 


49 In 
114,82 


50 Sn 
118,69 


6 


8 


55 Cs 
132,905 


56 Ba 
137,34 


55-71 

Serie de los 
lant&nidos* 


72 Hf 
178,49 




9 


79 Au 
196,967 


80 Hg 
200,59 


81 Tl 
204,37 


82 Pb 
207,19 


7 


10 


87 Fr 
[223] 


88 Ra 
[226,05] 


89-Serie de los 
actinidos** 


-4- 



•Serie de los lantanidos: / 57 La 

I 138,91 
**Serie de los actinidos: / 89Ac 

t [227] 



58 Ce 


59 Pr 


60 Nd 


61 Pm 


62 Sm 


140,12 


140,907 


144,24 


[147] 


150,35 


90 Th 


91 Pa 


92 U 


93 Np 


94 Pu 


232,038 


[231] 


238,03 


[237] 


[242] 



Tabla A-2 Const antes fundamentales 

Constante Sfmbolo 



Valor 



Velocidad de la luz 


c 


2,9979 x 10 8 m S" 1 


Carga elemental 


e 


1,6021 x 10- W C 


Masa en reposo del electr6n 


m t 


9,1091 x 10- 31 kg 


Masa en reposo del prot6n 


m v 


1,6725 x 10- 27 kg 


Masa en reposo del neutrrtn 


m n 


1,6748 x 10- w kg 


Constante de Planck 


h 


6,6256 X 10- M J s 




h = h/2w 


1,0545 x 10- 34 J s 


Carga especifica del electr6n 


e/m t 


1,7588 x 10" kg- 1 C 


Relaci6n cuanto-carga 


hje 


4,1356 x 10- w J.sC- 1 


Radio de Bohr 


<*o 


5,2917 x 10- 11 m 


Longitud de onda Compton: 






del electr6n 


*C,e 


2,4262 x 10-" m 


del prot6n 


*C,P 


1,3214 x 10- 16 m . 


Constante de Rydberg 


R 


1,0974 x 10 7 m- 1 


Magnet6n de Bohr 


^B 


9,2732 X 10- M J T- 1 



escala, la masa attauca del carbono es 12,01115 porque es el promedio de la de los 
diferentes is6topos presentes en el carbono natural. (Para los elementos producidos 
artificialmente, se da entre corchetes la masa at6mica aproximada del is6topo m£s 
estable.) 

v vi vii vra o 











2 He 
4,0026 


7N 
14,0067 


80 

15,9994 


9F 
18,9984 




10 Ne 
20,183 


15 P 

30,9738 


16 S 
32,064 


17 CI 
35,453 




18 Ar 
39,948 


23 V 

,; 50,942 


24 Cr 
51,996 


25 Mn 
54,9380 


26 Fe 
55,847 


27 Co 
58,9332 


28 Ni 
58,71 




§ 33 As 
'' 74,9216 


34 Se 
78,96 


35 Br 
79,909 




36 Kr 
83,80 


. 41 Nb 
|92,906 


42 Mo 
95,94 


43 Tc 
[99] 


44 Ru 
101,07 


45 Rh 
102,905 


46 Pd 
106,4 




: | 51 Sb 
1 121,75 


52 Te 
127,60 


53 I 
126,9044 




54 Xe 

131,30 


l73Ta 

| 180,948 

i 
-f 


74 W 
183,85 


75 Re 
186,2 


76 0s 
190,2 


77 Ir 
192,2 


78 Pt 
195,09 




■■ 83 Bi 
208,980 


84 Po 
[210] 


85 At 
[210] 




86 Rn 
[222] 


j 











68 Eu 
151,96 

93 Am 
[243] 



64 Gd 
157,25 
96 Cm 
[245] 



65 Tb 
158,924 
97 Bk 
[249] 



66 Dy 
162,50 
98 Cf 
[249] 



67 Ho 
164,930 
99 Es 
[253] 



68 Er 
167,26 

100 Fm 
[255] 



69 Tm 
168,934 
101 Md 
[256] 



70 Yb 
173,04 

102 No 



71 Lu 
174,97 
103 



Constants 



Simbolo 



Valor 



Constante de Avogadro 
Constante de Boltzmann 
Constante de los gases 

Volumen normal del gas ideal (a tem- 

peratura y presi6n normales) 
Constante de Faraday 
Constante de Coulomb 
Permitividad del vacio 
Constante magnetica 
Permeabilidad del vacio 
Constante de gravitacitfn 

Aceleracidn de la gravedad a nivel 
del mar en el ecuador 



k 
R 

V 
F 

*e 

*o 

K m 

Ho 
Y 

9 



6,0225 x 10 23 mol- 1 
1,3805 x 10™ 23 J K- 1 
8,3143 J K-* mol- 1 



2,2414 
9,6487 
8,9874 
8,8544 
1,0000 
1,2566 
6,670 



x 10-* m* mol~ l 
x 10 4 C mol- 1 
x 10 9 N m 2 C- 2 
x 10- 12 N- 1 nr 2 C 2 
x 10- 7 m kg C" 1 
x 10- 6 m kg C- 2 



x 10- 11 N m 2 kg- 2 
9,7805 m s~ a 



onstantes num^rif as: 



n - 3,1416; e = 2,7183; ][2 » 1,4142; Y3 = 1,7320 



INTRODUCTION 



En la actualidad, cuando dia a dia los avances cientificos son de frecuente ocu- 
rrencia, es necesario prepararse con un mejor conocimiento fundamental de las 
manifestaciones del mundo fisico que nos rodea. 

Durante mucho tiempo, habia constituido un problema no poder contar con 
un texto de fisica adecuadamente destinado a los primeros semestres de las 
Escuelas de Ingenieria y Ciencias, que abordase en forma exhaustiva y clara los 
diferentes temas, que como materia Msica se requieren. 

La experiencia obtenida en nuestras Escuelas ha sido altamente positiva, 
ya que los resultados demuestran que el presente libro ha contribuido a elevar 
los niveles academicos y obtener mejor rendimiento por parte de los estudiantes. 

Ademds de lo mencionado, hemos encontrado ventajas especificas muy apre- 
ciables, como son : gran claridad en la exposici6n, utilization de un lenguaje 
matem£tico a nivel de universidades e institutos, abundancia de ejemplos ela- 
borados y problemas resueltos, enfasis en los aspectos conceptuales, y presenta- 
ci6n de una vasta gama de diferentes aplicaciones de cada uno de los temas 
desarrollados. 

Para las Escuelas de Ciencias Quimicas, en general, es especialmente valioso 
por su aplicacion a la fisico-quimica y a la termodindmica por su capitulo de fe- 
n6meno de transporte y su introduction a la mecanica cuantica. 

En lo que concierne a las Escuelas de Ingenieria, la orientation en los temas 
tratados en el libro capacita adecuadamente al estudiante para abordar las di- 
ferentes especialidades en ingenieria. 

En virtud de lo anterior, consideramos que esta edition eh espaiipl del libro 
de M. Alonso y E. J. Finn contribuiri notablemente a la formaci6n del 
estudiantado latinoamericano. * 

«■ 
Mexico, D,F., febrero de 1971 , t . " 

Fis. Arturo Nava Jaimes Ing. Quim, Julio Garcia Stahl 

Coord, de Fisica de la Coord, de Fisica 

Esc. Sup. de Ingenieria Facultad de Quimica 

Mecanica y Electrica Universidad Nacional Autonoma 

Instituio Politecnico Nacional, de Mexico 

Mexico 



FISICA 



VOLUMEN I: MECANICA 

Edicion revisada 



MARCELO ALONSO 

Departamento de Fisica, Universidad de Georgetown 

Washington, D. C. 

EDWARD J. FINN 

Departamento de Ftsica, Universidad de Georgetown 

Washington, D. C. 

Version en espafiol de : 

CARLOS HERNANDEZ 

VICTOR LATORRE 

Profesores de Ftsica General 

Facultad de Ciencias Ftsicas y Matemdticas 

Universidad Nacional de Ingenieria, Lima 

Con la colaboraci6n de : 

JUAN HERKRATH, Decano 

Facultad de Ciencias 
Universidad Nacional de Colombia, Bogota 



"j3 FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S. A. 

BogotA - Caracas - Mexico - Panama - San Juan - Santiago - Sao Paulo 



Version en espanol de la obra inglesa titulada 

Fundamental University Physics, Volume I, Mechanics, 

por Marcelo Alonso y Edward J. Finn, edition de 1967, 

publicada por Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 

Mass., EE. UU. Esta edition en espanol es la unica autorizada. 



© 1970 por FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, 8. A. 
Todos los derechos han sido reservados. Ni este libro ni parte de el pueden ser 
reproducidos en forma alguna sin el permiso escrito de su editor. Printed in Spain. 
Impreso en Espafla. Tarjeta del catalogo de la Biblioteca del Congreso de los 
EE. UU.: 74-123319. 



PROLOGO A LA EDICION EN ESPAftOL 



La ensenanza de la fisica ha ido cambiando como consecuencia de los desarrollos 
tecnol<3gicos de las ultimas decadas que exigen de parte de los profesionales, una 
mayor y mejor comprensi6n de los fendmenos naturales, para poner dicha tecno- 
logia nueva al servicio de todo el mundo. 

Podemos senalar varias caracteristicas importantes de dicho cambio. En primer 
lugar, el contenido de los cursos de fisica ha sido reajustado, como para incluir 
aquellos capitulos que han devenido en doctrina mas o menos firme. Teniendo en 
cuenta que el desarrollo de la relatividad y la mecanica cuantica ha sido vasto, 
puede comprenderse que tal reajuste es bastante grande. 

En segundo lugar, considerando que los avances mas importantes, como los ya 
mencionados, son aquellos que unifican la ciencia, debe esperarse que el reajuste 
refieje tambien dicho progreso, relacionando entre si los cursos de las disciplinas 
m&s o menos unificadas. 

Finalmente, la metodologia misma de la ensenanza esta evolucionando, tratando 
de alcanzar objetivos hace mucho tiempo planteados, pero que habian sido lamen- 
tablemente abandonados, como el de poner en manos de los estudiantes los medios 
para efectuar experimentos por si mismos y sacar sus propias conclusiones. 

En el presente libro se distingue las dos primeras caracteristicas. Pero ademds 
debemos anotar que la incorporation de material moderno a que nos referimos al 
hablar de aquel reajuste, ha sido efectuada de manera organica y muy cuidadosa, 
encontrando armonla con los tOpicos tradicionales que siguen siendo validos y 
tratando todo el material, nuevo y viejo, por los metodos del analisis matematico 
moderno. Para ejemplificar lo dicho, bastenos senalar la forma en que ha sido 
incorporada la relatividad especial a travSs de toda la obra. 

En cuanto a la segunda caracterfstica, debemos reconocer que hay en este libro 
un afan de traslucir los resultados uniflcadores de la investigation moderna. Seiia- 
lemos el capitulo que presenta los choques con una ejemplificaciOn que incluye 
las reacciones quimicas y el tratamiento detallado sobre el uso de las curvas de 
energla potential y sus aplicaciones a la estructura molecular. 

Debemos hacer ahora algunas indicaciones que pueden conducir a un mejor uso 
de este libro en America latina. 

La experiencia y madurez necesarias para el uso normal del texto deben ser 
adquiridas preferiblemente con cursos de la escuela secundaria que hayan sido 
afectados por el cambio en la ensenanza de la fisica. Nos referimos, por ejemplo, 
a cursos similares al del Comit6 de Estudio de las Ciencias Fisicas (PSSC). 

Las matematicas contenidas en un primer curso de analisis, que generalmente 
en nuestras universidades es companero del de fisica, deberian ser suficientes para 
una adecuada comprensidn. Probablemente haga falta que el profesor de fisica 
proporcione oportunamente mayores detalles sobre el cdlculo vectorial que los 
usualmente dados en un curso regular de analisis matematico. 



ui Prologo a la edition en espanol 

Anticipamos que una primera consideracWn del material del presente libro, 
conducira a su utilizaci6n intensiva en las Facultades de Ciencias. Creemos, no 
obstante, que las Escuelas de Ingenieria no tardaran en apreciar las ventajas de 
un texto que pretende ser nada mas, pero tambiSn nada menos, que un primer 
curso universitario de Fisica. No hay en realidad "ciencia aplicada" aparte. Hay 
aplicaci6n de una ciencia que, en determinado momento, es linica porque tiene 
como fundamento un cierto conjunto muy bien definido de principios universal- 
mente aceptados. 

La edicidn original en ingles de esta serie ha tenido tanta aceptaci6n en muchas 
universidades a trav6s de la America latina (como la Universidad Nacional Aut6- 
noma y el Instituto Politecnico Nacional, en Mexico; la Universidad Central y la 
Universidad de Oriente, en Venezuela; la Universidad de Santo Domingo, en la Re- 
publica Dominicana; la Universidad de los Andes, la Universidad Nacional y la 
Universidad de Antioquia, en Colombia, y muchas otras universidades) que no 
nos asiste duda alguna acerca de la entusiasta acogida que haran los profesores 
y estudiantes a nuestra edici6n en espanol de esta serie extraordinaria. 

Lima Carlos Hernandez 

mayo de 1970 VIctor Latorre 



PROLOGO 



La fisica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las 
otras ciencias. Por consiguiente, no s61o los estudiantes de fisica e ingenierfa, sino 
todo aquel que piense seguir una carrera cientifica (biologia, quimica y matematica) 
debe tener una completa comprensiOn de sus ideas fundamentales. 

El propdsito primario de un curso de fisica general (y quiza la unica raz6n para 
que aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visiOn unificada de 
la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sOIo, los 
principios basicos, sus implications y sus limitaciones. El estudiante aprendera 
aplicaciones especificas en cursos mas avanzados. Asi, este libro present a las ideas 
que creemos fundamentales y que constituyen el corazOn de la fisica de hoy. Hemos 
tenido en cuenta cuidadosamente las recomendaciones de la Comission on College 
Physics (Comisi6n de Fisica para Universitarios) para escoger los temas y el m6todo 
de presentation. 

Hasta no hace mucho tiempo, la fisica se venia ensenando como si fuera un 
conglomerado de varias ciencias mas o menos relacionadas, pero sin un punto de 
vista realmente unitario. La divisi6n traditional (en "ciencias"): mecanica, calor, 
sonido, 6ptica, electromagnetismt) y fisica moderna no se justifica al presente. 
Nos hemos apartado de este enfoque traditional. En su lugar seguimos una presen- 
tation lOgica unificada, haciendo Snfasis en las leyes de conservation, en los con- 
ceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atOmico de la materia. La teoria 
de la relatividad especial se usa sistematicamente en el texto como uno de los 
principios guia que debe satisfacer cualquier teoria fisica. 

El curso se ha dividido en cinco partes: (1) Mecanica, (2) Interacciones y Campos, 
(3) Ondas, (4) Fisica cuantica y (5) Fisica estadistica. Comenzamos por la mecanica 
con el fin de establecer los principios fundamentales necesarios para descubrir los 
movimientos que observamos a nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenO- 
menos naturales son el resultado de interacciones y 6stas se analizan en funciOn 
de campos, en la parte (2) consideramos las clases de interacciones que compren- 
demos mejor: la gravitational y la electromagn6tica, responsables de muchos de 
los fenOmenos macroscOpicos que observamos. Estudiamos detalladamente el elec- 
tromagnetismo, concluyendo con la formulaciOn de las ecuaciones de Maxwell. 
En la parte (3) discutimos los fenOmenos ondulatorios como cohsecuencia del con- 
cepto de campo. Es aqui donde incluimos gran parte del material que generalmente 
aparece bajo los titulos de Optica y de acustica. Sin embargo, se ha puesto Entasis 
en las ondas electromagn6ticas como extension lOgica de las ecuaciones de Maxwell. 
En la parte (4) analizamos la estructura de la materia — atomos, molGculas, micleos 
y particulas fundamentales — , analisis que esta precedido de las bases necesarias 
de la mecanica cuantica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades de 
la materia en conjunto. Comenzamos presentando los principios de la mecanica 
estadistica y los aplicamos a algunos casos simples pero fundamentales. Estudiamos 



uiii Prologo 

la termodinamica desde el punto de vista de la mecanica estadistica y concluimos 

con un capitulo sobre las propiedades termicas de la materia, demostrando c6mo 
se aplican los principios de la mecanica estadistica y de la termodinamica. 

Este libro es novedoso no s61o en su enfoque sino tambien en su contenido, ya 
que hemos incluido algunos t6picos fundamentals que no se encuentran en la 
mayorla de los textos de fisica general y hemos dejado de lado otros que son tra- 
dicionales. La matematica usada se puede encontrar en cualquier libro de analisis 
matemdtico. Suponemos que los estudiantes poseen conocimientos mlnimos de ana- 
lisis matematico y estan, a la vez, tomando un curso sobre este tema. Muchas 
aplicaciones de los principios fundamentales, asi como tambien algunos t6picos un 
poco mas avanzados, aparecen en forma de ejemplos resueltos. Segun la conve- 
niencia del profesor, estos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selection, 
lo cual permite una mayor flexibilidad en la organization del curso. 

Los planes de estudios de todas las 1 ciencias estan sometidos a presiones para 
que incorporen nuevos tOpicos que estan cobrando mayor importancia. Esperamos 
que este libro alivie estas presiones, elevando en el estudiante el nivel de compren- 
siOn de los conceptos fisicos y la habilidad para manipular las correspondientes 
relaciones matematicas. Esto permitira elevar el nivel de muchos de los cursos 
intermedios que se ofrecen en los planes de estudio de pregrado. Los cursos tradi- 
cionales de pregrado: mecanica, electromagnetismo y fisica moderna, son los que 
mas se benefician con esta alza de nivel. Asi, el estudiante terminara su carrera 
con conocimientos superiores a los de antes, beneficio muy importante para aquellos 
que finalicen sus estudios a esta altura. Ademas, habra ahora mas oportunidad para 
hacer cursos nuevos y mas interesantes en el postgrado. Esta misma tendencia se 
encuentra en los textos basicos mas recientes de otras ciencias para los primeros 
y segundos afios universitarios. 

El texto esta concebido para un curso de tres semestres. Tambien se puede usar 
en aquellas escuelasen las que se ensena un curso de fisica general de dos semestres 
segutdo de un semestre de fisica moderna, ofreciendo asi una presentaci6n mas 
unificada a lo largo de los tres semestres. Por conveniencia, el texto se ha dividido 
en tres voliimenes correspondiendo cada uno, grosso modo, a un semestre. El volu- 
men I trata de la mecanica y la interaction gravitacional. El volumen II estudia 
las interacciones electromagneticas y las ondas, cubriendo esencialmente los cursos 
de electromagnetismo y 6ptica. La fisica cuantica y la fisica estadistica, incluyendo 
la termodinamica, se estudian en el volumen III. A pesar de que los tres voliimenes 
estan estrechamente relacionados y forman un texto unico, cada uno puede ser 
considerado en si mismo como un texto introductory. En particular los voliime- 
nes I y II equivalen a un curso de fisica general de dos semestres que cubre la fisica 
no cuantica. 

Esperamos que este texto ayude a los educadores progresistas, quienes constan- 
temente se preocupan por mejorar los cursos que dictan; esperamos, tambien, que 
estimule a los estudiantes, quienes merecen una presentation de la fisica mas ma- 
dura que la de los cursos tradicionales. 

Queremos expresar nuestra gratitud a todos aquellos que por su estimulo y ayuda 
hicieron posible la culminaci6n de este trabajo. Nuestro reconocimiento a los dis- 
tinguidos colegas, en particular, a los Profesores D. Lazarus y H. S. Robertson, 
quienes leyeron el manuscrito original: sus comentarios y criticas permitieron 
corregir y mejorar muchos aspectos del texto. Agradecemos, ademas, la aptitud 
y dedicaci6n del personal de la editorial Addison-Wesley. Por ultimo, .pero no con 
menos calor, damos sinceramente las gracias a nuestras esposas, quienes nos han 
apoyado pacientemente. 

M. A. 

Washington, D.C. E. J. F. 



ADVERTENCIA AL PROFESOR 



Para ayudar al profesor en la programacitfn de su curso, presentamos un corto 
esquema de este volumen y algunas sugerencias relativas a los conceptos mas 
importantes dentro de cada capitulo. Gomo se indica en el prefacio, este curso 
de fisica ha sido desarrollado en forma integrada, de manera que el estudiante 
reconozca rapidamente las pocas ideas basicas en las que se asienta la fisica (por 
ejemplo, las leyes de conservation y el hecho de que los fen6menos fisicos pueden 
ser reducidos a interacciones entre particulas fundament ales). El estudiante debe 
reconocer que para convertirse en fisico o ingeniero tiene que alcanzar un claro 
entendimiento de tales ideas y desarrollar la habilidad de manipularlas. 

El material basico forma el cuerpo del texto. Muchos ejemplos han sido incluidos 
en cada capitulo; algunos son simples aplicaciones numericas de la teoria en dis- 
cusi<3n, mientras que otros son realmente extensiones de la teoria o derivaciones 
matematicas. Se recomienda aconsejar al estudiante la omisi6n de todos los ejem- 
plos en su primera lectura de un capitulo. DespuSs, al leerlo por segunda vez, 
deberia considerar los ejemplos escogidos por el profesor. En esta forma el estu- 
diante captara las ideas basicas separadamente de sus aplicaciones o extensiones. 

Hay una secci6n de problemas al final de cada capitulo. Algunos son mas dificiles 
que los problemas corrientes de fisica general, mientras que otros son extremada- 
mente simples. Estan dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al 
de las secciones del capitulo, con cierta concentraci6n de problemas mas dificiles 
al final. La gran variedad de problemas le permite al profesor escoger con mayor 
libertad aquellos problemas que esten de acuerdo con la habilidad de sus propios 
estudiantes. 

Sugerimos que el profesor mantenga una colecci6n del material de referenda 
dado al final de cada capitulo, y que anime al estudiante a usarla de modo que 
pueda desarrollar el habito de recurrir a fuentes de informaci6n, obteniendo mas 
de una interpretaci6n para cada t6pico y adquiriendo al mismo tiempo, informaci6n 
hist6rica sobre la fisica. 

El presente volumen ha sido escrito para cubrir el primer semestre. (Sin embargo, 
el capitulo 13 puede ser pospuesto hasta el segundo semestre). Sugerimos como 
guia, en base a nuestra propia experiencia, el numero de horas de clase necesarias 
para cubrir c6modamente el material. El tiempo total anotado (43 horas de clase) 
no incluye periodos de repaso ni de examenes. A continuaci6n ofrecemos un corto 
comentario sobre cada capitulo. 

Capitulo 1. Introduccidn (1 hora) 

Este capitulo debe dar al estudiante una visi6n preliminar de la ciencia que esta 
empezando a estudiar: por tanto, debe leerse cuidadosamente. El profesor podria 
organizar periodos cortos de discusi6n. 



x Advertencia al profesor 

Capitulo 2. Mediciones y unidades (1 hora) 

Siguiendo las recomendaciones de la comisi6n de Simbolos, Unidades y Nomen- 
datura de la IUPAP, hemos adoptado el sistema de unidades MKSC.'Siempre 
que introducimos una nueva unidad MKSC en los capitulos posteriores, damos 
su equivalente en los sistemas cgs y britanico. Mediante los problemas en este 
capitulo el estudiante debe captar las ideas de lo "grande" y de lo "pequeno". 

Capitulo 8. Vectores (3 horas) 

Las ideas b&sicas del algebra vectorial son introducidas e ilustradas por problemas 
cinematicos. Las secciones 3-8, 3.9 y 3.10 pueden ser diferidas hasta que tales 
conceptos se necesiten en el texto. A causa de su limitada motivation fisica, el 
capitulo puede ser dificil para el estudiante. El profesor deberia, sin embargo, 
convencerlo de la necesidad de la notaci6n vectorial y tratar de dar vida a las 
clases presentando ejemplos flsicos. 

Capftulo 4. Fuerzas (2£ horas) 

Nos adelantamos con este capitulo en el libro por varias razones. Primero, porque 
proporciona una aplicaci6n familiar de los vectores. Segundo, porque da tiempo 
al estudiante para aprender algunos fundamentos del calculo antes de comenzar 
el estudio de la cinematica. Tercero, porque permite un desarrollo ininterrumpido 
de la mecanica en los capitulos 5 al 12. En cursos en los que este material no es 
necesario, el capitulo puede ser omitido, con excepci6n de las secciones 4.3 (tor- 
ques) y 4.8 (centro de masa). Si se desea, el capitulo puede ser desarrollado despu6s 
de la secci6n 7.6, pero no lo recomendamos asi. 

PARTE 1. MECANICA 

De los capitulos 5 al 12, el texto desarrolla los conceptos principales de la mecanica 
clasica y relativistica. Discutimos primero, simplificando, la mecanica de una 
particula, pero luego tratamos de los sistemas de muchas particulas con gran de- 
talle. Hacemos £nfasis en la distincidn entre el sistema ideal de una particula soli- 
taria y el sistema real de muchas particulas. 

Capitulo 5. Cinemdtica (3£ horas) 

Este capitulo debe ser cubierto en profundidad y detalle. El estudiante puede 
entender la naturaleza vectorial de la velocidad, la aceleraci6n y sus relaciones 
con la trayectoria. El profesor podria remarcar que, al computar la raz6n de cambio 
de un vector, se debe considerar tanto los cambios en magnitud como en direction. 
El calculo necesario para este capitulo es relativamente simple. Si el profesor lo 
desea, podria posponer la discusidn de la seccidn 5.11 para antes de la section 7.14. 

Capftulo 6. Movimiento relativo (4 horas) 

Consideramos el movimiento relativo desde un punto de vista cinematico. Este 
capitulo precede al de dinamica, de modo que el estudiante capte la importancia 
de los sistemas de referenda. Las secciones 6.4 y 6.5 (sistemas en rotaci6n) pueden 
ser omitidas y las secciones 6.6 y 6.7 (sistemas relativisticos) pospuestos (si se desea) 
hasta el capitulo 11. 

Capitulo 7. Dindmica de una particula (4 horas) 

Este es uno de los capitulos mas importantes, y el estudiante deberia asimilarlo 
completamente. Al principio de la conservaci6n del momentum se le da mayor 
signiflcado que a la relaci6n F = ma. Las limitaciones de las leyes del movimiento 
y los conceptos de interacciones y fuerzas deben ser analizados muy cuidadosamente. 



Advertencia at profesor zi 

Capftulo 8. Trabajo y energia (3 horas) 

Este capftulo es, en cierto modo, una extensidn del capitulo 7, y lo mismo que 
aqu£l deberia ser comprendido completamente. La seccidn 8.10 (fuerzas centrales) 
puede ser omitida o pospuesta hasta el capitulo 13. Las ideas mas importantes 
son los conceptos de energia y de conservaci6n de energia para una particula soli- 
taria. Introducimos aqui el teorema del virial para una particula, debido a su uso 
mas y m&s frecuente tanto en fisica como en quimica. 

Capitulo 9. Dindmica de un sistema de particulas (5 horas) 

Por simplicidad, la mayoria de los resultados se derivan para dos particulas y 
entonces, por analogia, se extienden a un numero arbitrario de particulas. Intro- 
ducimos los conceptos de temperatura, calor y presi6n como conceptos estadisticos 
convenientes para describir el comportamiento de sistemas compuestos por un gran 
numero de particulas* Esto nos permite el uso de dichos conceptos a lo largo de 
todo el restcf del libro. Se deriva la ecuacidn de estado de un gas del teorema del 
virial pues ello revela mas claramente el papel de las fuerzas internas; pe'ro tambten 
se presenta un tratamiento mas tradicional en el ejemplo 9.17. El capitulo lo termina 
con una seccton sobre el movimiento de fluidos que puede ser omitida si se desea. 

Capftulo 10. Dindmica de un cuerpo rigido (3± horas) 

Podria ponerse gran entasis en la precesi6n del momentum angular bajo un torque 
aplicado. La seccidn sobre el movimiento girosc6pico es tambien importante, ya 
que las ideas que se desarrollan son usadas muchas veces. 

Capftulo 11. Dindmica de atta energia (3i horas) 

Este es un capitulo esencialmente de dinamica relativistica, reforzando los con- 
ceptos de velocidad del sistema (sistema-G) y de la transformacidn de Lorentz de 
la energia y el momentum. Es naturalmente un capitulo importante en la fisica 
de hoy dia. 

Capftulo 12* Movimiento oscilatorio (5 horas) 

Se presenta el movimiento arm<5nico simple, primero cinematica y luego dindmi- 
camente. Este capitulo puede ser discutido ya sea en su integridad en esta 6poca 
(fin del primer semestre) o limitado a las primeras seccidnes solamente, pospo- 
niendo las restantes hasta que sean requeridas por los capitulos posteriores. Reco- 
mendamos Ta primera alternativa. El primer semestre podria concluir con este 
capftulo. 

PARTE 2. INTERACCIONES Y CAMPOS 

Esta parte esta dedicada al estudio de las interacciones gravitacionales y electro- 
magn£ticas, las que son discutidas en los capitulos 13 a 17. Hacemos Gnfasis sobre 
el concepto de campo como util herramienta para la fisica. Como comprendemos 
que muchos profesores desearian discutir gravitaci6n durante el primer semestre, 
inmediatamente despues de completar la mecanica, hemos incluido el capitulo 13 
en este volumen, reservando el estudio de la interaccidn electromagnet! ca (capi- 
tulos 14 a 17) para el segundo semestre junto con el volumen II. 

Capftulo 13. Interaccidn gravitational (4 horas) 

Este es un corto resumen de gravitaci6n, que ilustra la aplicacidn de la mecanica 
a una interaccidn en particular, Tambien sirve para introducir al estudiante al 
concepto de campo. El capftulo esta escrito de modo de empalmar naturalmente 
con la discusi6n de la interacci6n electromagnetica en el volumen II. Las seccio- 
nes 13.5 y 13.7 pueden ser omitidas sin p6rdida de continuidad. La secci6n 13.8 
proporciona una corta presentacidn de las ideas de la teoriade la relatividad general. 



ADVERTENCIA AL ESTUDIANTE 



Es este un libro sobre los fundamentos de la fisica para estudiantes que siguen 
carreras cientlflcas o ingenierfa. Los conceptos e ideas que aprenda en 61 entraran, 
muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar. 
Cuanto mejor los comprenda tanto mis ficil le resultari el resto de su educacidn 
superior. 

En este curso debe estar preparado para abordar numerosos problemas arduos. 
El aprender las leyes y t^cnicas de la fisica puede ser; a veces, un proceso lento 
y doloroso. Antes de que entre en esas regiones de la fisica que excitan suimagi- 
naci6n, usted debe dominar otras menos Uamativas pero muy fundamentales, sin 
las cuales no puede utilizar o comprender la fisica en forma apropiada. 

Ud. deberi mantener dos objetivos principales al tomar este curso. Primero: 
familiarizarse completamente con el puxiado de leyes y principios b&sicos que cons- 
tituyen la columna vertebral de la fisica, Segundo: desarrollar la habilidad de 
manejar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otras palabras, la habi- 
lidad de pensar y actuar como fisico. El primer objetivo lo puede alcanzar prin- 
cipalmente leyendo y releyendo aquellas secciones impresas en cuerpo grande. 
Para ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo hay a lo largo del texto, en letra 
peqirena, muchos ejemplos resueltos y estan los problemas para resolver en casa 
al final de cada capitulo. Recomendamos encarecidamente que lea primero el texto 
principal y una vez familiarizado con 61, prosiga con los ejemplos y problemas 
asignados por el profesor. En algunos casos los ejemplos ilustran una aplicaci6n 
de la teoria a una situaci6n concreta, en otros amplian la teoria considerando nuevos 
aspectos del problema en discusi6n; a veces suministran una justiflcacidn de la teoria. 

Los problemas que est&n al final de cada capitulo tienen un grado variable de 
diflcultad. Oscilan entre lo mis simple y lo complejo. En general, es bueno tratar 
de resolver un problema primero en forma simb61ica o algebraica, introduciendo 
al final los valores num&icos. Si el problema que le han asignado no puede resol- 
verlo en un tiempo prudential, p6ngalo a un lado e intfritelo mis tarde. Para el 
caso de aquellos pocos problemas que se resisten a ser resueltos, deberi procurar 
ayuda. El libro How to Solve It (segunda edici6n), de G. Polya (Doubleday, Garden 
City, N. Y., 1957) es una fuente de autoayuda que le ensefiari el mitodo de reso- 
luci6n de problemas. 

La fisica es una ciencia cuantitativa que necesita de la matemitica para la 
expresi6n de sus ideas. Toda la matemitica empleada en este libro se puede en- 
contrar en cualquier texto corriente de anilisis matem&tico y deberd consultarlo 
toda vez que no comprenda una deduction tnatemitica. No deberi, de manera 
alguna, sentirse desalentado ante una diflcultad matemitica; en caso de dificul* 
tades matemiticas, consulte a su profesor o a un estudiante mis avanzado. Para 
el cientfflco y el ingeniero la matemitica es una herramienta y tiene importancia 
secundaria en la comprensi6n de los conceptos fisicos. Para su comodidad, se 



Advertencia al estudiante xiii 

enumera en un apendice al final del libro algunas de las relaciones matem&ticas 
mas utiles. 

Todos los calculos de la fisica se deben llevar a cabo utilizando un sistema com- 
patible de unidades. En este libro se emplea el sistema MKSC. Como diflere un 
poco del sistema practico, podrd encontrarlo extrano al principio. No obstante, se 
requiere un minimo esfuerzo para familiarizarse con 61. Ademas, es el sistema 
oficialmente aprobado para el trabajo cientiflco y en los Estados Unidos lo usa 
aiin el National Bureau of Standards en sus publicaciones. Sea extremadamente 
cuidadoso en verificar la compatibilidad de las unidades en todos sus c&lculos. 
Es adem£s una buena idea utilizar la regla de calculo desde el comienzo; la pre- 
cisi6n a tres cifras significativas de la mas simple de las reglas de calculo le aho- 
rrara muchas horas de trabajo num&ico. Sin embargo, en algunos casos, puede 
que la regla de cdlculo no le d£ la precisi6n necesaria. 

Al final de cada capftulo se da una lista bibliografica seleccionada. Gonsultela 
tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudaran a entender la idea 
de la fisica como una ciencia en evolucidn, mientras que otros ampliaran el material 
del texto. En particular encontrard que el libro de Holton y Roller, Foundations 
of Modern Physics (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1958) es particularmente litil 
por la informaci6n que trae sobre la evoluci6n de ideas en la fisica. 



INDICE 



Contraeublerta anterior 

Tabla periddica de los elementos; constantes fundamentales 

Contraeublerta posterior 

Unidades y simbolos; factores de conversldn 



Capitulo 1 Introdueeidn 



iQud es la fisica? 2. Las partes cldsicas de la flsica 2. Nuestra 
visidn del universo 3- La relaci6n de la flsica con las otras ciencias 
10. El mdtoilo experimental 11* 



Capitulo 2 Medielones y unidades 



Introdueeidn 15. Mediciones 15. Cantidades fundamentales y uni- 
dades 16. Densidad 20. Angulos en un piano 21. Angulos sdlidos 
22. Precisi6n y exactitud 23. Mediciones en el laboratorio 25. 



Capitulo 8 Tectores 



Introducci6n 32, Concepto de direction 32. Escalares y vectores 
33. Adicidn de vectores 34. Componentes de un vector 37. Adi- 
cidn de varios vectores 41. Aplicacidn a problemas de cinemdtica 
42. Producto escaJar 45. Producto vectorial 47. Representacidn 
vectorial de una superficie 51. 



Capitulo 4 Fuenas 



Introduccidn 59. Composicidn de fuerzas concurrentes 59. Torque 
60. Torque de varias fuerzas concurrentes 62. Composicidn de fuer- 
zas aplicadas a un cuerpo rlgido 64. Composicidn de fuerzas copla- 
nares 65. Composicidn de fuerzas paralelas 66. Centro de masa 
68. Estdtica. Equilibrio de una partlcula 71. Estdtica. Equilibrio 
de un cuerpo rlgido 72. 



Indice xv 



PARTE I 



MECANICA 



Capitulo 5 Cinemitlea 



Introduction 86, Movimiento rectilfneo: velocidad 87. Movimiento 
rectilineo: aceleracMn 89. Representation vectorial de la velocidad 
y de la aceleraclOn en el movimiento rectilineo 92. Movimiento 
curvilineo; velocidad 96. Movimiento curvilineo : aceleraci6n 98. Mo- 
vimiento bajo aceleraciOn constante 100. Componentes tangencial 
y normal de la aceleraci6n 104* Movimiento circular: velocidad an- 
gular 106. Movimiento circular: aceleracidn angular 109. MS8&- 
mienlfl rnrvtlineo g*n«rnl ^i^jilam 112. 



Capitulo 6 Movlmleato relativo 



Introducci6n 121. Velocidad relativa 121. Movimiento relativo 
de traslaci6n unitorme 123. Movimiento relativo rotacional uniforme 
126. Movimiento relativo con respecto -a la tierra 129. La transfor- 
maci6n de Lorentz 136. Transformation de velocidades 140. Conse- 
cuencias de la transformacidn de Lorentz 143. 



Capitulo 7 Dinimlea de una partfeula 



Introduction 156. La ley de inercia 156. Momentum lineal 158. 
Prindpio de la conservation del momentum i59. Redefinition de la 
masa 163. Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 
163. Critica del concepto de fuerza 166. Unidades de fuerza 167. 
Fuerzas de fricciOn 170. Fuerzas de fricciOn en los fluidos 173. Sis- 
temas con masa variable 176. Movimiento curvilineo 178. Momen- 
tum angular 183. Fueyzas rftpfrrfllyfi 185. Equilibrio y reposo 190. 



Capitulo 8 Trabajo y energia 



Introduction 202. Trabajo 203. Potencia206. Unidades de trabajo 
y potencia 207. Energia cin6tica 209. Trabajo de una fuerza de 
magnitud y direction constantes 212. Energia potencial 213. Conser- 
vation de la energia de una particula 219. Movimiento rectilineo 
bajo fuerzas conservativas 220. J^ovLmieutQ Jb^a.fupr7:as centrales 
conservativas 222. DiscusiOn de curvas de energia potencial 224. 
Fuerzas no conservativas 228. El teorema del virial para una sola 
particula 231. Critica del concepto de la energia 232. 



Capitulo 9 Dlnftmiea de un slstema de partfeulas 



Introducci6n 241. Movimiento del centro de masa de un sistema de 
partfeulas 241. Masa reducida 247. Momentum angular de un sistema 
de partfeulas 251. Energia cingtica de un sistema de partfeulas 255. 
Conservation de la energia de un sistema de partfeulas 257. Colisio- 
nes 262. Sistemas de muchas partfeulas: temperatura 269. Sistemas 



xvi Indice 



de muchas particulas: trabajo 270, Sistemas de muchas parti culas: 
calor 272. Reformulaci6n del principio de conservaci6n de la energfa 
para sistemas de muchas particulas 274. El teorema del virial para 
muchas particulas 275. Ecuacidn de estado de un gas 276. Movi- 
miento de un fluido 280, 

Capftnlo 10 Dinimlea de un euerpo rigid© 

Introduccidn 296. Momentum angular de un euerpo rlgido 297, 
C&lculo del momento de inercia 300, Ecuacidn del movimiento de 
la rotaci6n de un euerpo rigido 305. Energia cin&ica de rotacidn 311. 
Movimiento girosedpico 314. 



Capftnlo 11 Din6mlea de alta energfa 



Introducci6n 328. Principio cl&sico de relatividad 328. Principio es- 
pecial de relatividad 330. Momentum 332. Fuerza 334. Energia 336. 
Transformaci6n de energia y momentum 341. Transformation de 
fuerza 344. Sistemas de particulas 345. Colisiones de alta energia 348. 



Capftnlo 12 Movimiento osdlatorlo 



Introducci6n 359. Cineifl&tica del movimiento armdnico simple 359. 
Fuerza y energia en el movimiento armdnico simple 363. Din&mica 
del movimiento arm6nico simple 364, El p6ndu!o simple 366. El 
pgndulo compuesto 369. Superposicidn de dos MAS: igual direccidn, 
igual frecuencia 371. Superposici6n de dos MAS: igual direccidn, 
diferente frecuencia 374. Superposition de dos MAS: direcciones 
perpendiculares 376. Osciladores acoplados 380. Oscilaciones anar- 
nrinicas 385, Oscilaciones amortiguadas 387. Oscilaciones forza- 
das 389. Impedancia de un oscilador 393. An&lisis de Fourier del 
movimiento periddico 395. 



PARTE 2 INTERACCIONES T CAMPOS 



Capftnlo 1$ Interaction gravitaeional 



Introduccidn 411. La ley de gravitation 413. Masa inercia] y gra- 
vitational 416. Energia potential gravitational 418. Movimiento ge- 
neral bajo la interaction gravitational 423. Campo gravitational 428. 
Campo gravitational debido a un euerpo esflrico 434. Principio de 
equivalencia 440. La gravitaci6n y las fuerzas intermoleculares 442. 



Apindiee: Relaeiones matemitleas; Tablas A-l 
Reapuesta a log problemas Impares A-ll 
Indiee A-20 



1 

INTRODUCTION 



LI iQue es la fisica? 

1.2 Las partes cldsicas de la fisica 

1.3 Nuestra vision del universo 

1.4 La relation de la fisica con otras ciencias 

1.5 El metodo experimental 



2 Introduction (1.2 

Estudiar fisica es una aventura interesante y estimulante. Ser un fisico pro- 
fesional es aiin mas interesante. Es quizas una de las actividades mas placenteras 
del saber humano desde que, en opinion del autor, nada atrae mas a la mente 
que aprender sobre el mundo en que vivimos y descubrir los secretos de la natu- 
raleza. 

Puede parecer superfluo en este momento decirle al estudiante de que trata 
la fisica, por que es tan apasionante e interesante o cuales son sus metodos, 
puesto que el tiene ya alguna familiaridad con esta ciencia. Sin embargo, pre- 
cisamente debido a su familiaridad con la fisica, es deseable analizar y revisar 
los objetivos y los metodos de esta ciencia antes de embarcarnos en su estudio 
a un nivel mas elevado. Eso es lo que concisamente haremos en este capitulo. 



1.1 iQue es la fisica? 

La palabra fisica viene del termino griego que significa naturaleza, y por ello la 
fisica debia ser una ciencia dedicada al estudio de todos los fenomenos naturales. 
En verdad, hasta principios del siglo diecinueve se entendia la fisica en este 
amplio sentido, y se denomino "filosofia natural". Sin embargo, durante el siglo 
diecinueve y hasta muy recientemente, la fisica estuvo restringida al estudio de 
un grupo mas limitado de fenomenos, designados por el nombre de fenomenos 
ftsicos y definidos sin precision como procesos en los cuales la naturaleza de las 
sustancias participantes no cambia. Esta defmicion poco precisa de la fisica ha 
sido gradualmente descartada, retornandose al concepto mas amplio y mas fun- 
damental de antes. Por ello, podemos decir que la fisica es una ciencia cuyo obje- 
tiuo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En fun- 
cion de estas interacciones el cientifico explica las propiedades de la materia en 
conjunto, asi como los otros fenomenos que observamos en la naturaleza. 

A medida que el estudiante progrese en el curso, el sera testigo de la manera 
en que este programa se desarrolla a partir de principios basicos y generates y 
se aplica a la comprension de una gran variedad de fenomenos fisicos, aparente- 
mente sin relacion entre si pero que obedecen las mismas leyes fundamentales. 
Una vez que estos grandes principios sean claramente comprendidos el estudiante 
ser& capaz de acometer nuevos problemas con gran economia de reflexion y 
esfuerzo. 



1.2 Las partes cldsicas de la fisica 

El hombre, poseedor de una mente investigadora, ha tenido siempre una gran 
curiosidad acerca de como funciona la naturaleza. Al principio sus unicas fuentes 
de informacion fueron sus sentidos y por ello clasifico los fenomenos observados 
de acuerdo a la manera en que los percibia. La luz fue relacionada con la vision 
y la optica se desarrollo como una ciencia mas o menos independiente asociada 
a ella. El sonido fue relacionado con la audicion y la acusiica se desarrol!6 como 



l.S) Nuestra vision del uniuerso 

una ciencia correlativa. El calor fue relacionado a otra clase de sensaci6n fisiclu 
y por muchos anos el estudio del calor (denominado termodindmica) fue otra 
parte autonoma de la fisica. El movimiento, evidentemente, es el mas comun de 
todos los fenomenos observados directarnente, y la ciencia del movimiento, la 
mecanica, se desarrollo m£s temprano que cualquier otra rama de la fisica. El 
movimiento de los planetas causado por sus interacciones gravitatorias, asi como 
la caida libre de los cuerpos, fue satisfactoriamente explicado por las leyes de la 
mecanica; por ello la gravitation se considero tradicionalmente como un ca- 
pitulo de la mecanica. El electromagnetismo> no estando relacionado directarnente 
con ninguna experiencia sensorial — a pesar de ser responsable de la mayoria 
de ellas — no aparecio como una rama organizada de la fisica sino hasta el siglo 
diecinueve. 

De esta manera en el siglo diecinueve la fisica aparecia dividida en unas pocas 
ciencias o ramas (Uamadas cldsicas): mecanica, calor, sonido, optica, y electro- 
magnetismo, con muy poca o ninguna conexion entre ellas, aunque la mecanica 
fue, con toda propiedad, el principio guia para todas ellas. Y asi la fisica se enseno 
de este modo a los estudiantes hasta hace poco. Ultimamente una nuevarama, 
denominada fisica moderna, que cubre los desarrollos de la fisica del siglo veinte, 
se ha agregado a estas ramas "clasicas". 

Las ramas "clasicas*' de la fisica son, y lo seguiran siendo, campos muy importan- 
tes de especializacion y actividad profesional, sin embargo, no tieneya sentido estu- 
diar los fundamentos de la fisica de tal modo. El mismo conjunto de fenomenos 
incluidos bajo el electromagnetismo y la fisica moderna han producido una nueva 
tendencia en el pensamiento que mira a los fenomenos fisicos desde un punto de 
vista unificado y mas logico, y esta es una de las grandes proezas del siglo veinte. 
Esta presentation uniflcada de la fisica requiere una reevaluacion de la fisica 
clasica desde un punto de vista moderno y no una division de la fisica en cldsica 
y moderna. Es claro que habra sienpre una fisica moderna en el sentido que habra 
una fisica contemporanea en proceso de desarrollo. Esta fisica moderna reque- 
rira a cada momento de una revisi6n y reevaluacion de ideas y principios previos. 
Las fisicas cldsica y moderna deberan integrarse en cada etapa en un solo cuerpo 
de conocimiento. La fisica sera siempre un todo que debe considerarse de una ma- 
nera logica y consecuente. 



1.3 Nuestra visidn del universo 

En el presente nosotros consideramos que la materia esta compuesta de un manojo 
de particulas fundamentales (o elementales) y que todos los cuerpos vivientes e 
inertes estan hechos de' diferentes grupos de ordenamientos de tales particulas. 
Tres de estas particulas fundamentales son especialmente importantes por su 
presencia en muchos fenomenos comunes: eledrones, protones, y neuitones. 

Hay otras pocas particulas fundamentales (algunos fisicos piensan que hay 
demasiadas) pero que tienen una vida transitoria, creandose y destruyendose 
continuamente (por ello se denominan inestables) y aparentemente no participan 



4 Introduction 



(1.3 





(b) 



Fig. 1-1. (a) Trazos de particulas fundamentals en una camara de burbujas de 
hidrdgeno liquido, de 203,2 cm, colocada en un campo magnetico intenso que obliga 
a las particulas cargadas a seguir trayectorias curvas. Del analisis de estos trazos 
se derivan las propiedades de las diferentes particulas. Esta fotografla, tomada 
en 1964, es hist6rica, pues aport6 la primera evidencia de la existencia de la par- 
tlcula omega menos (Q~)> que habla sido supuesta previamente sobre una base 
tedrica. (b) El diagrama de llneas muestra los eventos m&s importantes registrados 
en la fotografla. La trayectoria Q- es la linea corta cerca del fondo de la l&mina. 
Las particulas que corresponden a los otros trazos estan identiflcados tambten. 
(Fotografla cortesia del Laboratorio Nacional de Brookhaven.) 



rtf 





He 0.9A 



Ne UA 



A 1,5 A 



'"4 if&* 



%, 



yt& ■•'"■. 



Kr 



1,7 A 



Fig. 1-2. Distribuci6n de electrones alrededor del nucleo en algunos atomos sim- 
ples (helio, He; ne6n, Ne; arg<Sn, Ar; cript6n, Kr). Puesto que los electrones no siguen 
trayectorias bien definidas, las regiones oscuras son las que tienen mas proba- 
bilidad de ser ocupadas por los electrones (1 A = angstrom = 10 -10 m). 



1.3) 



Nuestra vision del universo 5 




(d) CH 



Fig. 1-3. Algunas moleculas relativamente simples. Los electrones interiores per- 
manecen ligados a los atomos correspondientes, pero los exteriores, o bien se mueven 
en el espacio entre dos atomos, o mas o menos libremente sobre la molecula (1 A = 
= angstrom = 10" 10 m). 



directamente en la mayor parte de los fenomenos que observamos a nuestro 
alrededor (Fig. 1-1). Su existencia se manifiesta solamente por medio de tecnicas 
de observation elaboradas, y su papel en el esquema general aun no se comprende 
completamente. Algunas de estas, tales como el pion, son vitales debido al papel 
que desempefian en las interacciones entre protones y neutrones. La investiga- 
tion de las particulas fundamentals es de gran importancia hoy en dia para 
obtener algunos indicios sobre la estructura del universo. 

Usando un lenguaje muy simplificado, podemos decir que las tres particulas, 
el electron, el proton y el neutron, est&n presentes en grupos bien definidos 11a- 
mados atomos, con los protones y neutrones situados en una region central muy 
pequena denominada nticleo (Fig. 1-2). Se han reconocido cerca de 104 "especies" 
diferentes de atomos (ver tabla A-l) pero hay alrededor de 1300 "variedades" di- 
ferentes de atomos, denominados isotopos. Los atomos a su vez forman otros 
agregados llamados moleculas, de las cuales se sabe que existen varios millones. 
El numero de moleculas diferentes parece ser extremadamente grande, ya que 
dia a dia mis y mas moleculas se sintetizan en los laboratorios de quimica* Al- 
gunas moleculas contienen pocos atomos, tales como el acido clorhidrico (cuyas 
moleculas estan constituidas por un atomo de hidrogeno y otro de cloro (Fig, 1-3), 
mientras que otras pueden tener tantos como varios centenares de atomos, tales 



6 Introduction 



(1.3 





Aziicar 





(b) 



Fosfato 



(<■) 




Timina 



Adenina 



Fi^ura 1-4 



1.3) 



Nuestra vision del universo 




Fig. 1-5. Estructura de un cristal de cloruro de sodio. Los atomos estan distribui- 
dos en una forma geometrica regular que se extiende sobre un volumen relativamente 
grande. Esta estructura se refleja en la apariencia externa de los cristales macros- 
c6picos. 



como las proteinas, las encimas y los acidos nucleicos [ADN y ARN (Fig. 1-4)] 
o algunos polimeros organicos tales como el polietileno o el cloruro de polivinilo 
(CPN), Finalmente, las moleculas se agrupan formando cuerpos (o materia en 
conjunto) apareciendo como solidos, liquidos o gases* (Fig. 1-5), aunque esta 
clarification o division no es del todo rigida. 



Fig. 1-4. Modelo de acido desoxiribonucleico (ADN) de Crick-Watson. Uno de 
los dos acidos nucleicos que toman parte en la composition de un cromosoma, el 
ADN, lleva informaci6n genetica y es una de las moleculas gigantes mejor estudiadas. 
La difraccion por rayos X ha mostrado que consiste de dos helices antiparalelas 
compuestas de grupos de azucar (S) y fosfato (P) alternados. El aziicar, llamada 
desoxiribosa, contiene cinco atomos de carbono. Las dos helices estan entrelazadas 
por pares de bases unidades por enlaces de hidrogeno. Un par esta formado por dos 
bases llamadas adenina y timina (A-T) y el otro por citosina y guanina (C-G). El 
c6digo genetico de la molecula ADN depende de la ilaci6n u ordenamiento de cada 
par de bases. Estos pares de bases son como travesafios de una escalera de espiral, 
cada uno de los cuales es de un largo de 11 angstroms. El paso de cada helice es de 
unos 34 angstroms y su diametro total es de unos 18 angstroms (1 angstrom = 
= 10- 10 m). 

* Otro estado de la materia es el plasma, que consiste de una mezcla gaseosa de iones positivos 
y negativos (o particulas cargadas). La mayor parte de la naturaleza en el universo se halla 
en la forma de plasma. 



8 Introduction (1*3 

Una clase particularmente importante de cuerpo es el cuerpo viviente o ma- 
teria viviente, tambien designado protoplasma, en el cual las moleculas aparecen 
altamente organizadas y exhiben propiedades y funciones que son aparentemente 
distintas de aquellas de la materia inerte. El cuerpo humano, el cual es el m&s 
desarrollado de los entes vivientes, est& compuesto de cerca de 10 28 itomos; la 
mayor parte de los cuales son- Atomos de carb6n, hidrdgeno, oxlgeno y nitrdgeno* 

El sistema solar es un agregado de varios cuerpos enormes Uamados planetas, 
los que giran alrededor de una estrella, denominada el sol. Uno de los planetas 
es nuestra tierra, la cual contiene cerca de 10 51 itomos. El sol est& compuesto 
de cerca de 10 67 dtomos. El sistema solar a su vez es una pequena parte de un 
gran agregado de estrellas que forman una galaxia llamada la Via L&ctea, com- 
puesta de cerca de IQ* 1 estrellas o 10 70 6tomos y con una forma de disco, con un 
di&metro de 10 21 m o alrededor de 100.000 anos luz, y un espesor maximo de 
alrededor de 10 20 m. Se han observado muchas galaxias similares a la nuestra 
(Fig. 1-6), estando la m£s cercana a dos millones de anos luz o 2 x 10 22 m de 
nosotros. El universo puede contener 10 20 estrellas agrupadas en cerca de 10 10 
galaxias y conteniendo un total de alrededor de 10 80 Atomos en una regi6n cuyo 
radio es del orden de 10 26 m o 10 10 anos luz. 

Algunas preguntas vienen naturalmente a nuestra mente, £Por que y c6mo 
se unen los electrones, protones y neutrones para formar £tomos? ^Por qu6 y 
c6mo se unen los Atomos para formar moleculas? ^Por que y c6mo las moleculas 
se unen para formar cuerpos? ^C6mo es que la materia se agrega para formar 
desde particulas de polvo hasta planetas gigantes, desde bacterias hasta esa 
criatura maravillosa que es el hombre? Nosotros podemos responder en principio 
estas preguntas fundamentales, introduciendo la noci6n de interaction, Decimos 
que las particulas de un Atomo interactiian entre si de modo de producir una con- 
figuration estable. Los iitomos a su vez interactiian para formar moleculas, y 
las moleculas interactiian para formar cuerpos. La materia en conjunto tambien 
exhibe ciertas interacciones obvias, tales como la gravitaci6n* 

Este concepto no es nuevo. No estamos promulgando una doctrina nueva y 
radical o desechando conceptos largamente establecidos. Nosotros hemos sim- 
plemente cambiado y adaptado las palabras usadas al describir la creaci6n del 
universo, como un resultado de muchos anos de investigaci6n desde el afio 300 AX., 
cuando Arist6teles, en su De Caelo, dijo, "Ellos (los dtomos) se mueven en el 
vacio y enlaz&ndose unos con otros se empujan, y algunos rebotan en cualquier 
direccidn al azar y otros se unen entre si en grados diferentes, de acuerdo a la 
simetria de sus formas, tamaiios, posiciones y orden, y ellos permanecen juntos; 
y asi se Ilega a las cosas compuestas". Podemos comparar lo dicho por Arist6teles 
con aquello expresado por el laureado Nobel T. D, Lee, quien, en 1965, dijo:* 
"El prop6sito de la ciencia es buscar aquel conjunto de principios fundamentales 
a traves de los cuales todos los hechos conocidos son comprendidos y por medio 
de los cuales se predicen nuevos resultados. Puesto que la materia estfi compuesta 
de las mismas unidades b&sicas, el ultimo fundamento de todas las ciencias na- 



* Nature of Matter — Purposes of High Energy Physics, Luke C. L. Yuan, editor. New York : 
Brookhaven National Laboratory, 1965. 



Nueslra vision del universo 




V\g. 1-6. La gran Nebulosa de Andr6meda, tambien llamada M-31, la mas cer- 
cana de las galaxias regulares, esta a unos 2.500.000 afios-luz 6 10 21 m, y contiene 
mas de 10 11 estrellas. (Foto cortesia de los observatorios Monte Wilson y Palomar.) 



turales debe basarse en las leyes que gobiernan el comportamiento de estas par- 
ticulas elementales". 

El objetivo primario del fisico es descubrir las diferentes interacciones de la 
materia; estas son principalmente interacciones gravitacionales, electromagne- 
ticas y nucleares. El fisico trata luego de expresarlas en una manera cuantitativa, 
para lo cual requiere de la matem&tica. Finalmente intenta formular reglas gene- 
rales acerca del comportamiento de la materia en conjunto — comportamiento 
que resulta de estas interacciones fundamentals. Una description del compor- 



10 Introduction (1A 

tamiento de la materia en conjunto es, por necesidad, de naturaleza estadistica, 
ya que involucra un nfimero tremendamente grande de moleculas, cuyos movi- 
mientos individuales son imposibles de seguir en detalle. Por ejemplo, en una 
gota de lluvia puede haber tanto como 10 20 moleculas de agua. 

La fisica cubre rangos tremendos de magnitudes, yendo desde longitudes del 
orden de 10" 16 m y masas del orden de 10 -31 kg (correspondiente a una sola par- 
ticula tal como el electr6n), hasta — y aun mis alia de — longitudes del qrden 
de 10 9 m y masas del orden de 10 30 kg (correspondientes a cuerpos de nuestro 
sistema solar). Aunque las leyes basicas son las mismas, la manera en que se 
expresan y los tipos de aproximaci6n que se hacen dependen del rango particular 
de magnitudes en los cuales se esta trabajando. 



1.4 La reladdn de la fisica con otras ciencias 

Indicamos en la secci6n 1.1, y podemos repetirlo ahora que el objetivo de la 
fisica es capacitarnos para comprender los componentes bisicos de la materia 
y sus interacciones mutuas, y explicar asi los fen6menos naturales, incluyendo 
las propiedades de la materia en conjunto. Por esto, podemos ver que la fisica 
es la mds fundamental de todas las ciencias naturales. La quimica trata b&sica- 
mente de un aspecto particular de este ambicioso programa: la aplicaci6n de las 
leyes de la fisica a la formaci6n de moleculas y los variados metodos pr&cticos 
de transformacidn de ciertas moleculas en otras. La biologia se basa fundamen- 
talmente en la fisica y en la quimica para explicar los procesos que ocurren en 
los cuerpos vivientes. La aplicaci6n de los principios de la fisica y la quimica 
a los problemas pr&cticos, en la investigacidn y el desarrollo asi como en la pr6c- 
tica profesional, ha dado lugar a las diferentes ramas de ingenieria. La pr&ctica 
moderna de la ingenieria al igual que la investigaci6n serian imposibles sin una 
comprensi6n completa de las ideas fundamentales de las ciencias naturales. 
Pero la fisica es importante no solamente porque proporciona la base conceptual 
y la estructura te6rica sobre la cual se fundan las otras ciencias naturales. Desde 
el punto de vista pr&ctico es importante porque proporciona tecnicas que pueden 
utilizarse casi en cualquier &rea de la investigaci6n pura o aplicada. El astr6nomo 
requiere de tecnicas dpticas, de radio y espectrosc6picas. El ge61ogo utiliza en 
sus investigaciones metodos gravimetricos, aciisticos, nucleares, y mecinicos. 
Lo mismo puede decirse del ocean6grafo, el meteor61ogo, el sism61ogo, etc. Un 
hospital moderno esti equipado con laboratories en los cuales se usan las tecnicas 
mis reflnadas de la fisica. En resumen, casi todas las actividades de investigaci6n, 
incluyendo tales campos como la arqueologia, paleontologia, historia y arte 
pueden dificilmente avanzar sin el uso de las tecnicas modernas de la fisica. 
Esto le da al fisico el grato sentimiento que no s61o est£ haciendo avanzar el co- 
nocimiento que existe sobre la naturaleza sino que est4 contribuyendo al progreso 
social de la humanidad. 



1.5) 



El metodo experimental 11 




Fig. 1-7. El reactor nuclear de investigation del Laboratorio National de Oak 
Ridge, usado en una extensa variedad de investigaciones fundamentales. (Foto 
cortesia de ORNL.) 



1.5 El m€todo experimental 



A fin de cumplir con sus objetivos la fisica, como todas las ciencias naturales 
puras o aplicadas, depende de la observation y de la experimentation. La obser- 
vation consiste en un examen critico y cuidadoso de los fenomenos, notando y 
analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. 
Desafortunadamente, las condiciones bajo las cuales ocurren los fenomenos na- 
turales raramente ofrecen suficiente variation y flexibilidad. En algunos casos 
ocurren solo de vez en cuando de modo que su analisis es un proceso dificil y 
lento. Por dicha razon es necesaria la experimentation. La experimentation 
consiste en la observation del fenomeno bajo condiciones preparadas de ante- 
mano y cuidadosamente controladas. De esta manera el cientifico puede variar 
las condiciones a voluntad, haciendo mis facil de descubrir como ellas afectan 



12 Introduction 



(2.5 




Fig. 1-8. Vista general del CERN (Centro Europeo de Investigaciones Nucleares), 
fundado en 1954. Aunque es una empresa de cooperacidn entre gobiernos europeos 
(Austria, Btigica, Dinamarca, la Republica Federal de Alemania, Francia, Grecia, 
Italia, los Paises Bajos, Noruega, Espaiia, Suiza y la Gran Bretana), Estados 
Unidos tambten participa activamente. Situada en Mayrin Suiza, en la frontera 
franco-suiza, el CERN posee las mejores facilidades para investigaciones nucleares 
de la Europa Occidental, tales como un sincro-ciclotr6n de 600-Mev, un prot6n- 
sincrotdn de 28-Gen (cuyo iman queda bajo tierra a lo largo de la estructura circu- 
lar) y una camara de burbujas de hidr6geno liquido de 2-m. El personal del CERN 
(alrededor de 2000) procede de todos los paises-miembros y su presupuesto anual 
es de cerca de $20,000,000, (Foto cortesia de la CERN.) 



el proceso. Sin la experimentaci6n la ciencia moderna nunca habria alcan- 
zado los avances que han ocurrido. Tal es la razon por la cual los laboratorios 
son tan esenciales al cientifico. 

Para dar enfasis a este punto la Fig. 1-7 muestra un reactor de investigaci6n 
del Laboratorio Nacional de Oak Ridge, Debe notarse que el espacio que rodea 
al reactor este cubierto con equipos experimentales. Algunos de estos equipos 
se utilizan por fisicos para conocer m&s sobre las propiedades nucleares o realizar 
un an&lisis estructural de los materiales. Otros aparatos se utilizan para preparar 
materiales radiactivos para aplicaciones en quimica, medicina, biologia, agri- 
cultura o ingenieria. Un grupo de biofisicos utilizando parte del eq-uipo men- 
cionado pueden experimentar sobre los efectos de la radiaci6n en especimenes 
biol6gicos, mientras que otro grupo de cientificos puede usar el mismo equipo 
para estudiar el efecto de la radiation sobre diferentes clases de material. Se 
sugiere que el alumno visite un laboratorio moderno de investigaci6n de modo 
que pueda tener una mayor apreciaci6n personal de la importancia de la expe- 
rimentation en la ciencia- 



Bibliografia 13 

Evidentemente, la experimentation no es la unica herramienta que tiene un 
fisico. A partir de hechos conocidos un cientifico puede deducir nuevos conoci- 
mientos en una forma teorica. Por teorica se entiende que el fisico proponga un 
modelo de la situation fisica que esta estudiando. Utilizando relaciones previa- 
mente establecidas, el fisico aplica razonamientos logicos y deductivos al modelo. 
Ordinariamente expresa su razonamiento mediante tecnicas matem&ticas. El 
resultado final puede ser la prediction de algunos fenomenos no observados 
todavia o la verification de las relaciones entre varios procesos. El conocimiento 
que un fisico adquiere por medios teoricos a su vez puede ser utilizado por otros 
cientificos para realizar nuevos experimentos para comprobar el modelo mismo, 
o para determinar sus limitaciones y fallas. El fisico teorico entonces revisa y 
modifica su modelo de modo que este de acuerdo con la nueva information. Es 
esta interrelation entre la experimentation y la teoria lo que permite a la ciencia 
progresar continuamente sobre una base solida. 

Aunque hasta hace algunos anos un cientifico podia trabajar en una forma 
mas o menos aislada (y tal fue el caso de Galileo, Newton, Huygens y otros), 
la ciencia moderna, debido a su complejidad, es principalmente el resultado de 
trabajo en equipo, en el cual los teoricos y los experimentales trabajan y piensan 
juntos, Y por "juntos", no implicamos necesariamente coincidencia fisica en el 
mismo lugar. Los medios modernos de comunicacion facilitan el rapido inter- 
cambio de las ideas. Fisicos a cientos de kilometros de distancia, y de nacionali- 
dades diferentes, pueden trabajar unidos, colaborando en un proyecto de inves- 
tigation comiin (Fig. 1-8). Este hecho se aplica no solamente a la fisica, sino a 
casi toda la ciencia, y de esta manera se demuestra el valor universal de la ciencia, 
la cual sobrepasa toda clase de barreras humanas. Puede esperarse que la cien- 
cia, a traves de este tipo de cooperation, ayudara a aumentar la comprension 
entre los hombres. 



Bibliografia 

1. "Truth in Physics", P. Schmidt, Am. J. Phys. 28, 24 (1960) 

2. "Nature of Physics and Its Relation to Other Sciences", G. P. Thompson, 
Am. J. Phys. 28, 187 (1960) 

3. "Empty Space", H. van de Hulst, Scientific American, noviembre de 1955, pag. 72 

4. "Some Reflections on Science and the Humanities", J. Ashmore, Physics Today, 
noviembre de 1963, pag. 46 

5. "American Physics Comes of Age", J. Van Vleek, Physics Today, junio de 1964, 
pag. 21 

6. "Science and Public Policy", E. Daddario, Physics Today, enero de 1965, pag. 23 

7. "Physics and Biology", W. A. Rosenblith, Physics Today, enero de 1966, pag. 23 

8. Atoms and the Universe (segunda edici6n), por G. Jones, J. Rotblat y G. Witrow, 
New York: Scribner's, 1963 

9. The Excitement of Science, por J. R. Piatt. Boston: Houghton Mifflin, 1962 

10. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M. 
Sands. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963, caps. 1, 2 y 3 

11. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller. 
Reading, Mass.: Addison- Wesley, 1958, caps. 8, 12, 14 y 15 



2 
MEDICIONES Y UNIDADES 



2.1 Introduction 

2.2 Mediciones 

2.3 Cantidades fundamentals y unidades 

2A Densidad 

2,5 Angulos en un piano 

2.6 Angulos solidos 

2.7 Precision y exactitud 

2.8 Mediciones en el laboratorio 



2,2) Mediciones 15 

2.1 Introduccidn 

La observaci6n de un fenomeno es en general incompleta a menos que de lugar 
a una informaci6n cuaniitativa. Para obtener dicha informaci6n se requiere la 
medicion de una propiedad fisica, y asi la medicion constituye una buena parte 
de la rutina diaria del fisico experimental. Lord Kelvin senalo que nuestro cono- 
cimiento es satisfactorio solamente cuando lo podemos expresar mediante nii- 
meros. Aunque esta afirmacion es quizas exagerada, expresa una filosofia que 
un fisico debe tener en mente todo el tiempo en sus investigations, Pero como 
indicamos en el capitulo 1, la expresion de una propiedad fisica en terminos de 
numeros requiere no solamente que utilicemos las matefnaticas para mostrar las 
relaciones entre las diferentes cantidades, sino tambien tener el conocimiento 
para operar con estas relaciones. Esta es la razon por la cual la matematica es 
el lenguaje de la fisica y sin matem&ticas es imposible comprender el fenomeno 
fisico, tanto desde un punto de vista experimental como teorico. La matematica 
es la herramienta del fisico; debe ser manipulada con destreza y cabalidad de 
modo que su uso ayude a comprender en lugar de oscurecer su trabajo. 

En este capitulo no solamente definiremos las unidades necesarias para expre- 
sar los resultados de una medicion, sino tambien discutiremos algunos 
topicos (todos los cuales son importantes) que apareceran continuamente en el 
texto. Estos son: densidad, angulo en un piano, angulo solido, cifras significativas 
y el proceso del analisis de los datos experimentales. 



2.2 Mediciones 

La medicion es una tecnica por medio de la cual asignamos un numero a una 
propiedad fisica, como resultado de una comparacion de dicha propiedad con 
otra similar tomada como patron, la cual se ha adoptado como unidad. La mayor 
parte de las mediciones realizadas en el laboratorio se reducen esencialmente a 
la medicion de una longitud. Utilizando esta medicion (y ciertas convenciones 
expresadas por formulas), obtenemos la cantidad deseada. Cuando el fisico mide 
algo debe tener gran cuidado de modo de producir una perturbacion minima 
del sistema que esta bajo observation. Por ejemplo, cuando medimos la tempe- 
ratura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termometro. Pero cuando 
los ponemos juntos, algo de energia o "calor" se intercambia entre el cuerpo y 
el termometro, dando por resultado un pequeiio cambio en la temperatura del 
cuerpo, afectando asi la misma cantidad que deseabamos medir. Ademas todas 
las medidas son afectadas en algun grado por el error experimental debido a las 
imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones im- 
puestas por nuestros sentidos (vision y audicion) que deben registrar la informa- 
cion. Por lo tanto, cuando un fisico disena su tecnica de medicion procura que 
la perturbacion de la cantidad a medirse sea mas pequefia que su error experi- 
mental. En general esto es siempre posible cuando medimos cantidades en el 
campo macroscopico (es decir, en cuerpos compuestos de un gran numero de 



16 Mediciones y unidades /<> 3 

moleculas), ya que entonces lo que tenemos que hacer es usar un instrumento 
de medicion que produzca una perturbacion mas pequena, en varios ordenes de 
magnitud, que la cantidad a medirse. Asi cualquiera que sea la perturbacion 
producida, esta es despreciable comparada con el error experimental. En otros 
casos la perturbacion puede ser calculada y el valor medido corregido. 

La situation, sin embargo, es muy diferente cuando estamos midiendo propie- 
dades atomicas individuales, tales como el movimiento de un electron. Ahora 
no tenemos la option de usar un instrumento de medida que produzca una per- 
turbacion mas pequena que la cantidad a medirse ya que no poseemos un dis- 
positivo tan pequefio. La perturbacion introducida es del mismo orden de mag- 
nitud que la cantidad a medirse y puede aun no ser posible estimarse su valor 
o darse cuenta de el. Por lo tanto debe hacerse una distincion entre las medi- 
ciones de cantidades macroscopicas y de cantidades microscopicas. Es necesario 
formular una estructura teorica especial cuando tratamos con cantidades atomi- 
cas. Dicha tecnica no se discutira en este momento; se denomina mecdnica 
cudntica. 

Otro requisito importante es que las definiciones de las cantidades fisicas deben 
ser operacionales, en el sentido que deben indicar explicitamente implicitamente 
como medir la cantidad deflnida. Por ejemplo, deck que la velocidad es una 
expresion de la rapidez de un cuerpo en movimiento no es una definicion opera- 
cional de velocidad, pero decir que velocidad es la distancia desplazada dividida 
entre el tiempo es una definicion operacional de velocidad. 



2.3 Cantidades fundamentales y unidades 

Antes de efectuar una medicion, debemos seleccionar una unidad para cada 
cantidad a medirse. Para propositos de medicion, hay cantidades fundamentales 
y derivadas, y unidades. El fisico reconoce cuatro cantidades fundamentales inde- 
pendientes: longitud, masa, tiempo y carga* 

La longitud es un concepto primario y es una notion que todos adquirimos 
naturalmente; es inutil intentar dar una definicion de ella. De igual manera lo 
es el tiempo. La masa y la carga sin embargo, no son de un caracter tan intuitive 
El concepto de masa se analizara en detalle en los capitulos 7 y 13. Diremos 
ahora solamente que la masa es un coeficiente, caracteristico de cada particula 
que determina su comportamiento cuando interactiia con otras particulas asi 
como la intensidad de sus interacciones gravitacionales. 

Similarmente, la carga, concepto que se discutira en detalle en el capitulo 14, 
es otro coeficiente, caracteristico de cada particula, que determina la intensidad 
de su interaction electromagnetica con otras particulas. Pueden existir otros 
coeflcientes que caractericen otras interacciones entre particulas, pero hasta el 

* Con esto no queremos decir que no hay otras cantidades "fundamentales" en fisica ; sin em- 
bargo, las otras cantidades son tales que puede expresarse como una combinaci6n de estas 
cuatro, o no requieren una unidad especial para su expresion. 



2.3) 



Cantidades fundamenlales y imidades 17 




C C" 

Fig. 2-1. Balanza de brazos iguales para eomparar las masas de dos cuerpos. 



momento no han sido identificados, y en el presente no parece requerirse de can- 
tidades fundamentales adicionales. 

La masa puede definirse operacionalmente utilizando el principio de la balanza 
de brazos iguales (Fig. 2-1); esto es, una balanza simetrica soportada en su cen- 
tro 0. Se dice que dos cuerpos CyC tienen masas iguales cuando, colocado un 
cuerpo en cada platillo, la balanza permanece en equilibrio. Experimentalmente 
se verifica que si la balanza se halla en equilibrio en un lugar de la tierra, per- 
manece en equilibrio cuando se le coloca en cualquier otro lugar. Entonces la 
igualdad de las masas es una propiedad de los cuerpos independiente del lugar 
donde se comparen. Si C esta constituido por varias unidades patron, la masa 
de C puede obtenerse como un multiplo de la masa patron. La masa asi obtenida 
es realmente la masa gravitatoria (capitulo 13). Pero en el capitulo 7 veremos 
un metodo para eomparar dinamicamente las masas. La masa obtenida dinami- 
camente se denomina masa inercial. Como se discutira en el capitulo 13 no se ha 
encontrado ninguna diferencia entre los dos metodos de medicion de masa. 

Con unas pocas excepciones, todas las cantidades usadas hasta ahora en fisica 
pueden relacionarse a estas cuatro cantidades por ,sus definiciones, expresadas 
como relaciones matematicas involucrando longitud, masa, tiempo y carga. Las 
unidades de todas estas cantidades derivadas son a su vez expresadas en funci6n 
de las unidades de las cuatro cantidades fundamentales mediante estas rela- 
ciones de definition. Luego es necesario solamente estar de acuerdo en las uni- 
dades para las cuatro cantidades fundamentales a fin de tener un sistema con- 
sistente de unidades. Los fisicos se han puesto de acuerdo (en la Onceava 
Conferencia General sobre Pesos y Medidas realizada en Paris en 1960) para 
usar el sistema de unidades MKSC, y este sera el utilizado en este libro. Las ini- 
ciales representan el metro, el kilogramo, el segundo y el coulomb. Sus definiciones son: 

El metro, abreviado m, es la unidad de longitud. Es igual a 1.650.763,73 lon- 
gitudes de onda de la radiacion electromagnetica emitida por el isotopo 86 Kr en 
su transicion entre los estados 2p 10 y 5d 5 . Estos dos simbolos se refieren a estados 
fisicos particulares del atomo de kripton. La radiacion emitida puede identificarse 
facilmente porque aparece como una linea roja en un espectrograma. 

El kilogramo, abreviado kg, es la unidad de masa. Se define como la masa del 
kilogramo international, un bloque de platino conservado en la Oficina Inter- 
nacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de Paris. Para todos los propositos 



16 Meaiciones y unidades 



(2.3 



practicos es igual a la masa de 10 -3 m 3 de agua destilada a 4°C. La raasa de 1 m 3 
de agua es asi 10 3 kg. Un volumen de 10 -3 m 3 se denomina un litro. Por analogia 
con el metro, podemos asociar el kilogramo con una propiedad atomica diciendo 
que es igual a la masa de 5,0188 x 10 25 atomos del is6topo ^C. En realidad, este 
es el criterio adoptado al definir la escala internacional de masas atomicas. 

El segundo, abreviado s, es la unidad de tiempo. Se define de acuerdo con la 
Union Astronomica Internacional, como 1/31.556.925,975 de la duration del ano 
tropical 1900. El ano tropical se define como el intervalo de tiempo entre dos 
pasajes sucesivos de la tierra a traves del equinoccio vernal, el que tiene lugar 
aproximadamente el 21 de marzo de cada ano (Fig. 2-2). Puede tambien definirse 
como 1/86.400 del dia solar medio, el cual es el intervalo de tiempo entre dos 
pasajes sucesivos de un punto situado sobre la tierra frente al sol, promediados 
en un ano. Pero esta definition tiene la inconveniencia que, debido a la action 
de las mareas el periodo de la rotation de la tierra esta decreciendo gradualmente, 
y por ende esta unidad cambiaria gradualmente. Por esta razon se escogio arbi- 
trariamente un ano particular, el de 1900. 



Equinoccio 
de otono 




Piano del ecuador terrestre 



Posicion^ 
aparente 
del sol 



Ecliptica 



Equinoccio 
de primavera 




Fig. 



<*_** 



Defmici6n del ano tropical 



Fig. 2-3. Oscilacion del atomo de ni- 
trdgeno entre dos posiciones simetricas 
en la molecula de amoniaco. 



La unidad de tiempo podria tambien relacionarse a una propiedad atomica, 
como se ha hecho con la unidad de longitud, resultando los llamados relojes 
atomicos.Por ejemplo, la molecula de amoniaco (NH 3 ) tiene una estructura pira- 
midal, con los tres atomos H en la base y el atomo N en el vertice (Fig. 2-3). 
Obviamente hay una posicion simetrica, N', para el atomo de nitrogeno a la 
misma distancia del piano H-H-H pero en el lado opuesto. El atomo N puede 
oscilar entre estas dos posiciones de equilibrio con un periodo fijo. El segundo 
puede definirse entonces como el tiempo necesario para que el atomo N realice 
2,387 xlO 10 de tales oscilaciones. El primer reloj atomico basado en este prin- 
cipio fue construido en el National Bureau of Standards en 1948. Desde entonces 
otras sustancias han sido utilizadas como relojes atomicos. Sin embargo, aiin 
no se ha llegado a un convenio internacional para tener un patron at6mico de 



2.3) Cantidades fundamentals y unidades 19 

tiempo, aunque parece que hay un consenso general hacia la adoption de tal 
definition de la unidad de tiempo.* 

El coulomb, abreviado C, es la unidad de carga electrica. Su definition precisa 
y oficial se dara en el capitulo 14, pero en este momento podemos decir que es 
igual en valor absoluto a la carga negativa contenida en 6,2418 X 10 18 electrones, 
o a la carga positiva de igual niimero de protones. 

Nota: Estrictamente hablando, en adicion al metro, al kilogramo y al segundo, la cuarta unidad 
adoptada en la Onceava Conferencia fue el ampere (en lugar del coulomb) como unidad de 
corriente electrica. El coulomb esta definido como la cantidad de carga electrica que pasa a 
traves de una seccion de un conductor durante un segundo cuando la corriente es de un ampere. 
La razon para escoger el ampere es que una corriente es mas facil de establecer como un patr6n. 
Nuestra decision de utilizar el coulomb esta basada en nuestro deseo de expresar el caracter 
mas fundamental de la carga electrica, sin separarnos esencialmente de las recomendaciones 
de la Onceava Conferencia. El Sistema Internacional de unidades es el MKSA, designados por 
el simbolo SI. 

El metro y el kilogramo son unidades originalmente introducidas durante la 
revolution francesa, cuando el gobierno frances decidio establecer un sistema 
racional de unidades, conocido desde entonces como el sistema metrico, para 
suplantar las unidades caoticas y variadas utilizadas en aquel tiempo. El metro 
se definio primeramente como la "diez millonesima (10~ 7 ) parte de un cuadrante 
de un meridiano terrestre. Con dicho proposito se midio cuidadosamente un arco de 
un meridiano, operation que llevo varios anos y se fabrico una barra patron 
de platino que media un metro la cual se conservo bajo condiciones controladas 
a 0°C en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres. Medidas posterio- 
res indicaron que la barra patron era mas corta en 1,8 x 10" 4 m que la diez mi- 
llonesima parte del cuadrante de un meridiano y se decidio adoptar la longitud 
de la barra como el metro patron sin mas referencia al meridiano terrestre. En 
muchos paises existen duplicados del metro patron. Sin embargo, se reconoci6 
la conveniencia de tener un patron de caracter mas permanente y de facil acce- 
sibilidad en cualquier laboratorio. Por esta razon se escogio la linea roja del ^Kr. 

Para la masa, la unidad escogida por los franceses fue el gramo, abreviado g, 
definida como la masa de un centimetro ciibico (1 cm = 10~ 2 m = 0,3937 pulg, 
y 1 cm 3 = 10" 6 m 3 ) de agua destilada a 4°C. Se escogio esta temperatura porque 
es la temperatura a la cual la densidad del agua es un maximo. El kilogramo 
es entonces igual a 10 3 gramos. Se construyo un bloque de platino, con una masa 
de un kilogramo. Posteriormente se decidio adoptar este bloque como el kilo- 
gramo patron sin hacer mas referencia al agua. 

Antes que se adoptara el sistema MKSC, era muy popular otro sistema en 
trabajos cientificos: el sistema cgs t en el cual la unidad de longitud es el centi- 
metro, la unidad de masa el gramo, y la unidad de tiempo el segundo. No se 
habia asignado a este sistema ninguna unidad definida de carga, aunque se utili- 
zaban dos: el estatcoulomb y el abcoulomb, iguales respectivamente a J x 10~ 9 C 
y 10 C. El sistema cgs esta siendo reemplazado gradualmente en trabajos cienti- 
ficos y practicos por el sistema MKSC. 

* En octubre de 1964, el Comite" Internacional de Pesos y Medidas baso temporalmente el in- 
tervalo internacional del tiempo en una transici6n particular del atomo de 133 Cs. El segundo 
queda asi definido temporalmente como el tiempo necesario para que el oscilador que fuerza a los 
atomos de cesio a realizar la transicidn establecida oscile 9.192.631.770 veces. 



20 Mediciones g unidades 



(2.4 



En muchos paises de habla inglesa se utiliza otro sistema de unidades el cual 
es usado ampliamente en aplicaciones practicas y de ingenieria. La unidad de 
longitud es el pie, abreviado ft, la unidad de masa es la libra, abreviada lb y la 
unidad de tiempo es nuevamente el segundo. Las unidades metricas equivalen- 
tes son: 



1 pie = 0,3048 -m 
1 libra = 0,4536 kg 



1 m = 3,281 pie 
1 kg = 2,205 lb 



TABLA 2-1 Prefijos para potencias de diez 



Magnitud 


Prefijo 


Simbolo 


10-w 


ato- 




a 


10- 16 


femto- 




f 


10- 12 


pico- 




P 


io- 9 


nano- 




n 


10- 6 


micro- 




P 


10 -» 


mili- 




m 


io- 2 


centi- 




c 


io- 1 


deci- 




d 


10° = 1 


Unidad 


fundamental 




10 


deca- 




D 


IO 2 


hecto- 




H 


IO 3 


kilo- 




k (o K) 


IO 8 


mega- 




M 


■10» 


giga- 




G 


IO 12 


tera- 




T 



Se espera que eventualmente se use solamente el sistema MKSC en todo el mundo 
para mediciones cientificas, de ingenieria y caseras. 

Por razones practicas se han introducido multiplos y submultiplos como po- 
tencia de diez de las unidades fundamentales y derivadas. Los mismos se designan 
con un prefijo, de acuerdo al esquema dado en la tabla 2-1. 



2A Densidad 

La densidad de un cuerpo se define como su masa por unidad de volumen. Asi 
un cuerpo de masa m y volumen V tiene una densidad de 



m 

H V 

La densidad se expresa en kg m^ 3 . Obviamente la densidad del agua es : 
p = IO 3 kg m- 3 (6 1 g cm- 3 y 62,4 lb pie" 3 ). 



(2.1) 



2.5) 



Angulos en un piano £1 



La densidad en la forma definida en la ecuacion (2.1), es aplicable solamente a 
cuerpos homogeneos; es decir, a cuerpos que tienen la misma composition o 
estructura a traves de todo su volumen. De otra manera, resulta la densidad 
promedio del cuerpo. Para un cuerpo heterogeneo la densidad varia de un lugar 
a otro. Para obtener la densidad en un lugar particular, se mide la masa dm, 
contenida en un volumen pequeno (o infinitesimal) dV localizado alrededor de 
un punto. Entonces se aplica la ec. (2.1), en la forma 



dm 
~dV 



(2.2) 



TABLA 2-2 Densidades (relativas al agua) 



S61idos 



Hierro 

Hielo 

Magnesio 

Aluminio 

Uranio 



7,86 
0,917 
1,74 
2,70 
18,7 



Liquidos 



Agua (4°C) 1,000 

Mercurio 13,59 

Alcohol etilico 0,791 

Gasolina 0,67 

Aire (— 147°C) 0,92 



Gases 



Aire 

Hidr6geno 

Oxigeno 

Nitr6geno 

Helio 



1,2922 

8,988 

1,42904 

1,25055 

1,7847 



10 - 3 
10- B 

io- 3 
io- 3 
io- 4 



Puesto que la densidad es un concepto estadistico, para que el volumen dV, 
tenga un significado fisico, debe tener un tamano tal que contenga un gran nii- 
mero de moleculas. 

Otro concepto util es el de densidad relativa. Si p x y /> 2 son las densidades de 
dos sustancias diferentes, su densidad relativa es: 



P21 



Pi 



(2.3) 



No se expresa en unidades por ser una cantidad relativa; es decir, el cociente 
de dos cantidades de la misma clase. Es costumbre expresar las densidades rela- 
tivas con respecto al agua como referencia. En la tabla 2-2 damos las densidades 
de varias sustancias relativas al agua. Los valores numericos se dan a tempe- 
ratura y presion normales (STP : 0°C y 1 atm) a menos que se indique de otro modo. 



2.5 Angulos en un piano 



Hay dos sistemas para medir angulos en un piano: grados y radianes. El segundo 
sistema es el m£s importante en fisica. La circunferencia de un circulo estd arbi- 
trariamente dividida en 360 grados (°). Un angulo recto, por ejemplo, corresponde 
a 90°. Cada grado est6 dividido en 60 minutos (') y cada minuto en 60 segun- 
dos (*). La medida de un Angulo cualquiera se expresa en grados, minutos y 
segundos, tal como 23°42'34\ 



22 Mediciones y unidades 



(2.6 



Para expresar un angulo en radianes, se traza con radio arbitrario R (Fig. 2-4) 
el arco AB con centro en el vertice del angulo. Luego la medida de en radianes 
(abreviada rad) es: 




R 



(2.4) 



I =RQ. 



donde I es la longitud del arco AB. Este metodo se 
basa en el hecho de que dado un angulo, la relacion 
l/R es constante e independiente del radio, y es 
por lo tanto la medida del angulo expresada en ra- 
dianes. Notese que I y R deben expresarse en las mis- 
mas unidades de longitud. De la ec. (2.4) tenemos 

(2.5) 



Considerando que la circunferencia de un circulo es 2nR t vemos que un angulo 
completo alrededor de un punto, medido en radianes es 2tzRJR — 2n rad. Asi 
2n rad equivale a 360°, y 



180 



rad =0,017453 rad, 



1 rad = 



180° 



57°17'44,9". 



TZ 



2.6 Aug ill os solidos 

Un angulo solido es el espacio comprendido dentro de una superficie conica (o 
piramidal), como en la Fig. 2-5. Su valor, expresado en esteradianes (abreviado 
esterad), se obtiene trazando con radio arbitrario R y centro en el vertice O, 
una superficie esferica y aplicando la relacion 



Q = 



fi 2 ' 



(2.6) 



donde S es el area del casquete esferico interceptado por el angulo solido. Como 
el Area de una esfera es 4nR 2 , el angulo solido completo alrededor de un punto 

z 





S = \irR* 



Fig. 2-5, Angulo solido. 



Figura 2-6 



2.7) 



Precision y exactitud 23 



es 4* esteradianes. El angulo solido formado por los tres ejes coordenados, mu- 
tuamente perpendiculares OX, OY y OZ (Fig. 2-6) es £ (4-rc) o -rc/2 esteradianes. 
Cuando el angulo solido es pequefio (Fig. 2-7) el area S se vuelve dS y no es 
necesariamente un casquete esferico, sino que puede ser una pequena superficie 
plana perpendicular a OP de modo que 



dCl 



dS_ 

J? 2 



(2.7) 



En algunos casos la superficie dS no es perpendicular a OP, y su normal N hace 
un angulo con OP (Fig. 2-8). Entonces es necesario proyectar dS en un piano 
perpendicular a OP, el cual nos da el area dS' = dS cos 6. Asi 



dS cos 6 
do. = , 

R 2 

es una expresion que sera muy util en discusiones futuras. 



(2.8) 



2.7 Precision y exactitud 

La palabra precision usualmente tiene un signiflcado de exactitud. En el mundo 
de las medidas, sin embargo, precision tiene el signiflcado de inexactitud. Esto 
significa que cuando una propiedad fisica se describe por una cantidad numerica 
y su correspondiente unidad, la cantidad numerica depende de un numero de 




Figura 2-7 



Figura 2-8 



factores distintos, incluyendo el tipo particular de aparato utilizado para realizar 
la medicion, el tipo y el numero de mediciones realizadas, y el metodo empleado 
por el experimentador para obtener el valor numerico. A menos que dicho nu- 
mero este acompanado por otro que describa la precision de la medicion, el numero 
dado es tan bueno como inutil. Un numero puede ser extremadamente exacto 
(esto es ser exactamente correcto) pero puede no ser preciso debido a que la 
persona que proporciona el numero no ha dicho por lo menos algo sobre el me- 
todo de medicion empleado. 



24 Medicioties y unidades {2.7 

Consideremos algimos ejemplos a fin de clarificar estas ideas. Si uno ve un 
cesto que contiene siete manzanas, la proposition w Yo cuento siete manzanas en 
el cesto "es una determination directa de una cantidad numerica. Es precisa y exacta 
porque el numero de unidades a contarse es pequena y entera. Si hay dos per- 
sonas una colocando lentamente manzanas en el cesto y otra sacandolas lenta- 
mente, entonces uno puede establecer con exactitud y precision el numero de 
manzanas en cualquier instante. 

Cornpliquemos ahora la situaci6n. Consideremos el numero de personas en una 
pequena villa. Aqui el numero es m&s grande, pero aiin razonablemente y defi- 
nitivamente entero. Un observador que pasa por el centro de una calle de la 
villa, mediante la observation cental de las personas que vienen y van, puede 
establecer con exactitud el numero de personas en la villa. Pero su cantidad 
numerica no sera precisa, porque le sera dificil descubrir el momento exacto del 
nacimiento o muerte de los pobladores. Si la villa es una ciudad o un pueblo 
el trabajo se torna aun mas dificil. 

Preguntemos ahora. ^Por que necesitamos una cantidad exacta del numero de 
habitantes de un pueblo? A fin de proporcionar diferentes servicios para todos 
los habitantes no es realmente necesario conocer, en cada instante, el numero 
exacto de ellos. En su lugar necesitamos una cantidad exacta cuya precisi6n 
dependa del servicio particular en cuesti6n. Por ejemplo, para determinar el 
numero de nuevos colegios que deben construirse en un &rea debemos tener una 
clase diferente de precision numerica para la poblaci6n que la que seria nece- 
saria si tuvieramos que determinar el numero de departamentos de incendios. 
Si nosotros establecemos la poblacion del pueblo con una precision del 1 %, 
querernos decir que el numero dado puede ser mayor en 1 % o menor en 1 % que 
la poblacion real, pero no sabemos en que direction, ni interesa en muchos casos. 
En una villa de 200 personas, una precision del 1 % significa que conocemos la 
poblaci6n con un error de m&s o menos 2 personas. En un pueblo de 100.000 ha- 
bitantes, la precision est6 dentro de 1000 personas. Si conocemos la poblacion 
de los Estados Unidos con una precision del 1 %, nuestra cifra puede variar 
dentro de un margen de un mill6n y medio, pero no la conocemos exactamente. 
Obviamente, bajo algunas condiciones, una precision mayor del 1 % es nece- 
saria; en otras circunstancias una precision menor puede ser suficiente. 

Hasta este momento hemos estado interesados en la operaci6n de contaje 
en si* La suposicion es que dadas la informaci6n suficiente y una habilidad para 
procesar la information rSpidamente, podemos encontrar la poblaci6n exacta. 
Si es necesario conocer esto con precisi6n o no ya ha sido discutido. Ahora debe- 
mos comprender que hay operaciones que no nos dan un numero exacto de uni- 
dades. Por ejemplo, es cierto que en un punto particular de una habitaci6n hay 
un valor exacto de la temperatura. Su valor, sin embargo, depende de una defi- 
nici6n, puesto que la temperatura es un concepto humano. A pesar de ello, 
no medimos temperatura en si por un metodo de contaje, sino m&s bien midiendo 
la longitud de una columna de mercurio, cuya longitud representa la temperatura. 
Por varias razones la longitud medida de la columna no se registrar^ id^ntica- 
mentet cada vez que se lea, aun si la temperatura permaneciera constante. Una 
de las mayores razones de las variaciones en las lecturas es el espacio finito entre 



2.8) Mediciones en el laboratorio 25 

divisiones y escalas. Un metro ordinario tiene una distancia de 1 mm entre sus di- 
visiones. Luego si se lee un metro teniendo en cuenta la divisi6n mis pequena, 
la lectura en cada extremo puede tener errores como de i mm. Hay otros 
tipos de errores de lectura que se tratan en libros especializados sobre este t6pico 
(ver la bibliografia al final del capitulo sobre unos libros selectos y articulos acerca 
de mediciones). 

La precisi6n o incertidumbre de un numero nos permite definir el numero de 
cifras significativas asociadas con la cantidad. Por ejemplo, si una medicion se 
da como 642,54389 ± 1 %> significa que la incertidumbre es alrededor de 6,4. 
Entonces tenemos justificaci6n en retener solamente aquellas cifras en el nu- 
mero que son realmente significativas. En este caso el numero debia expresar- 
se como 642 ± 1 % 6 642 ± 6. Cuando el estudiante vea una propiedad fisica (tal 
como la velocidad de la luz o el numero de Avogadro) expresada en este libro, 
el numero seri dado hasta con cinco cifras significativas aun cuando el numero 
pueda ser conocido con mayor exactitud, no se especificari la precisidn. Si el 
estudiante desea usar estos numeros en el cilculo de una incertidumbre, puede 
considerar la ultima cifra significativa expresada con una precision de ± 1. 

Cuando uno realiza una serie de operaciones matematicas utilizando numeros 
que tienen una precisi6n establecida, el procedimiento mis simple es realizar las 
operaciones, una a la vez, sin tener en cuenta el problema de las cifras signifi- 
cativas hasta la conclusi6n de la operacidn. Luego, el numero resultante debe 
reducirse a un numero que tenga el mismo numero de cifras significativas (es 
decir, la misma precisi6n) que el menos exacto de los numeros. 



2.8 Mediciones en el laboratorio 

Con un ejemplo relativamente simple, el periodo de un pendulo, describiremos 
los metodos utilizados para obtener la cantidad numerica asociada con una pro- 
piedad fisica. El periodo de un pendulo es el tiempo entre dos pasajes sucesivos 
del extremo del pendulo a traves del mismo punto, moviendose en la misma 
direcci6n. Se hizo oscilar un pendulo particular y se midid el tiempo de una sola 
oscilaci6n cincuenta veces. La tabla 2-3 contiene las cincuenta mediciones, en 
segundos. 

De la tabla se puede ver que no hay un periodo particular para el pendulo. 
Lo que debemos hacer es tomar estas cincuenta mediciones del periodo, determinar 
su valor promedio, y luego determinar la precisidn de este valor promedio. Su- 
mando todos los periodos y luego dividiendo la suma entre el numero total de 
mediciones, encontramos que el valor medio (o promedio) para el periodo del 
pendulo es 3,248 segundos. (Notar que por el momento hemos conservado todo 
el numero; tendremos que modificarlo a su debido tiempo). Tomando la diferencia 
entre este valor medio y cada medicidn, obtenemos la desviacion de cada medi- 
cidn del valor medio. La suma de los valores absolutos de las desviaciones divi- 
dida entre el numero de mediciones se denomina desviacion media, la cual da una 
indicaci6n de la precisidn de la medicidn. Para nuestro ejemplo, la desviacidn 
media del periodo es 0,12 segundos. Entonces debemos escribir el periodo del 



26 Mediciones y unidades 



(2.8 



pendulo, medido en el laboratorio, como 3,25 ± 0,12 seg 6 3,25 ± 4 % segundos 
(aproximadament e) . 

Otra manera de expresar la precision de la medicion es mediante el uso de 
la desviacion rmc (raiz media cuadratica), definida como la raiz cuadrada de la 
cantidad obtenida sumando los cuadrados de las desviaciones divididas entre el 
numero de mediciones. En nuestras mediciones, la rmc es de 0,15 segundos* El 
calculo adicional realizado al obtener la desviacion rmc bien vale el esfuerzo, 
ya que tiene un significado relativamente simple. Suponiendo que las variaciones 
que aparecen en el conjunto de mediciones no se debe a ninguna causa, sino que 
son justamente fluctuaciones normales, la desviacion rmc nos dice que aproxima- 
damente dos tercios de todas las mediciones caen dentro de esta desviacion del 
valor medio. 0, en otras palabras, tenemos la confianaa que, la proxima vez que 
tomemos las mediciones del periodo de nuestro pendulo con el mismo aparato 
hay una probabilidad de un 67 % de que midamos un periodo no mayor de 3,4 se- 
gundos o no menor que 3,10 segundos. 



Distribucion Gausiana 
J 




0,15 



0,15- 



3,25 segundos 

Fig. 2-9. Histograma que muestra el numero de mediciones del periodo de un 
pendulo mostradas en la tabla 2-3, en intervalos de tiempo de 0,04 s. La distribuci6n 
gausiana correspondiente esta indicada por la linea s61ida. 



TABLA 2-3 








3,12 3,18 


3,25 


3,32 


3,32 


3,62 3,33 


3,30 


3,42 


3,27 


3,33 3,28 


3,15 


3,12 


3,20 


3,17 3,18 


3,20 


3,18 


2,98 


3,17 3,52 


3,35 


3,33 


3,38 


3,58 3,02 


3,00 


3,32 


3,08 


3,27 3,35 


3,63 


3,15 


3,38 


3,00 3,15 


3,27 


2,90 


3,27 


2,97 3,18 


3,28 


3,28 


3,37 


3,18 3,45 


3,18 


3,27 


3,20 



Para mostrar esta situation en una manera ligeramente diferente se usa la Fig. 2-9, 
que es un histograma, en el cual se representa la distribucion de frecuencias de 



Bibliografia 27 

las lecturas. Hay una irregularidad aparente en la manera en la cual ocurre el 
numero de lecturas diferentes. A medida que se tomen mas y mas lecturas, sin 
embargo, tiende a aparecer una forma definida, mostrando que la frecuencia de 
aparicion de una medida da da es proporcionalmente menor cuanto mayor es su 
desviacion del valor medio. El resultado es la familiar curva de campana. El 
analisis muestra que la curva bajo la cual los picos del histograma quedan m6s 
y mas cercanos a medida que el numero de medidas aumenta tiene una forma 
analitica denominada distribution normal o gausiana. 



Bibliografia 

1. "Symbols, Units, and Nomenclature in Physics'*, Physics Today, junio de 1962, 
pag. 20 

2. "Mathematics in the Modern World", R. Gourant, Scientific American, septiem- 
bre de 1964, pag. 40 

3. "Mathematics in the Physical Sciences", P. Dyson, Scientific American, sep- 
tiembre de 1964, pag. 128 

4. "Probability", M. Kac, Scientific American, septiembre de 1964, pag. 92 

5. "The Limits of Measurement", R. Furth, Scientific American, julio de 1950, 
pag. 48 

6. A Brief History of Weights and Measures Standards of the United States. Washing- 
ton, D.G.: Government Printing Office, 1963 

7. Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design, 
por D, Baird, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962 

8. Experimentation and Measurement, por W. Youden. New York: Scholastic Book 
Services, Scholastic Magazines, Inc., 1962 

9. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M. 
Sands. Reading, Mass.: Addison- Wesley, 1963, caps. 5 y 6 



28 Mediciones y unidades 



Problemas 



2.1 Las masas atdmicas dadas en la 
tabla A-l estan expresadas en unidades 
de masa atdmica, abreviadas uma. Una 
uma es igual a 1,6604 x 10 -27 kg. Ex- 
presar, en kilogramos y gramos, las ma- 
sas de un atomo de (a) hidr6geno y (b) 
oxigeno. 

2.2 ^Cuantas mol6culas de agua, cada 
una constituida por un atomo de oxigeno 
y dos de hidr6geno, hay en un gramo? 
^En 18 gramos? <,En un centimetro cii- 
bico? 

2.3 Se dijo en la secci6n 2.3 que el kilo- 
gramo podia ser definido como la masa 
de 5,0188 X 10 a * atomos del is6topo 12 C, 
cuya masa esta definida exactamente 
como 12,0000 uma. Verificar que esta 
definici6n es compatible con el valor de 
la uma dada en el problema 2.1. 

2.4 Considerar moleculas de hidr6- 
geno, de oxigeno, y de nitr6geno, cada 
una compuesta de dos atomos identicos. 
Calcular el numero de moleculas de cada 
uno de estos gases (a TPN) en un m 3 . 
Usar los valores de densidades relativas 
dadas en la tabla 2-2. Extender sus calcu- 
los a otros gases. iQue conclusi6n gene- 
ral puede Ud. sacar de este resultado? 

2.5 Suponiendo que el aire esta com- 
puesto de 20 % de oxigeno y 80 % de 
nitr6geno y las moleculas de estos gases 
estan constituidas por dos atomos, ob- 
tener la masa molecular "efectiva" del 
aire. Estimar el niimero de moleculas en 
centimetro cubico de aire a TPN. ^Cuan- 
tas moleculas son de oxigeno, y cuantas 
son de nitr6geno? 

2.6 La densidad del gas interestelar en 
nuestra galaxia se estima que sea de 
10~ 21 kg m~ 3 , Suponiendo que el gas 
sea principalmente de hidrtfgeno, esti- 
mar el numero de atomos de hidrtfgeno 
por centimetro cubico. Gomparar el re- 
sultado con aire a TPN (Problema 2.5a). 

2.7 Un vaso de vidrio que contiene 
agua tiene un radio de 2 cm. En dos 
horas el nivel de agua baja 1 mm. Es- 
timar, en gramos por hora, la velocidad 
de evaporaci6n a la cual se esta eva- 
porando el agua. ^Cuantas moleculas de 
agua se estan evaporando por segundo 
de cada centimetro cuadrado de la su- 



perficie del agua? Sugerimos que el es- 
tudiante realice este experimento y ob- 
tenga sus propios datos. ^Por que se 
obtiene diferentes resultados en dias di- 
ferentes? 

2.8 Un mol de una sustancia esta defi- 
nido como una cantidad, en gramos, 
numericamente igual a su masa molecu- 
lar expresado en uma. (Cuando nos re- 
ferimos a un elemento quimico y no 
a un compuesto, utilizamos la masa 
at6mica.) Verificar que el numero de 
moleculas (8 atomos) en un mol de 
cualquier sustancia es la misma, y es 
igual a 6,0225 x 10 23 . Este numero, de- 
nominado la constante de Aoogadro es una 
constante fisica muy importante. 

2.9 Utilizando los datos de las tablas 2.2 
y A-l, estimar la separaci6n promedio 
entre las moleculas en el hidr6geno a 
TPN (gas), en el agua (liquido) y, en 
el hierro (s61ido). 

2.10 La masa de un atomo se encuentra 
practicamente en su nucleo. El radio 
del niicleo deuranioes de 8,68 x 10 _15 m. 
Utilizando la masa atomica del uranio 
dada en la tabla A-l, obtener la densi- 
dad de la "materia nuclear". Este nu- 
cleo contiene 238 particulas o "nucleo- 
nes". Estimar la separaci6n promedio 
entre nucleones. A partir de este resul- 
tado, ^podria Ud. llegar a la conclusi6n 
que es razonable tratar la materia nu- 
clear de la misma manera como la ma- 
teria en general, es decir, como agrega- 
dos de atomos y de moleculas? 

2.11 Utilizando los datos de la tabla 
13-1, obtener la densidad promedio de 
la tierra y del sol. Cuando Ud. compara 
estos valores con los datos de la tabla 2-2, 
^que conclusiones puede obtener acerca 
de la estructura de estos cuerpos? 

2.12 Estimar la densidad promedio del 
universo, usando la informaci6n dada 
en la secci6n 1.3. Suponiendo que todos 
los atomos estan distribuidos uniforme- 
mente sobre todo el universo, ^cuantos 
atomos habria en un centimetro ciibico? 
Suponer que todos los atomos son de 
hidr6geno. 

2.13 La velocidad de la luz en el vacio 
es 2,9979 x 10 s m s -1 . Expresarla en 



Problemas 



29 



millas por hora. &Cuantas vueltas alre- 
dedor de la tierra podria dar un rayo de 
luz, en un segundo? (Usar la tabla 13-1 
para datos acerca de la tierra.) &Que 
distancia viajaria en un ano? Esta dis- 
tancia se denomina aho luz. 

2.14 El radio de la 6rbita terrestre es 
1,49 x 10 u m. Esta longitud se deno- 
mina una unidad astrondmica. Expresar 
un ano luz en unidades astrondmicas, 
(Ver problema 2.13.) 



P\ Estrella 




eA -* O i -t>E, 




Figura 2-10 



2.15 El paralaje es la diferencia en la 
direccidn aparente de un objeto, debida 
a un cambio en la posici6n del observa- 
dor (sostenga un lapiz frente a Ud. y 
cierre primero el ojo derecho y luego 
el ojo izquierdo. Note que en cada caso 
el lapiz aparece con un fondo diferente). 
El paralaje estelar es el cambio en la 
posici6n aparente de una estrella como 
resultado del movimiento orbital terres- 
tre alrededor del Sol. Se expresa cuan- 
titativamente por la mitad del angulo 
sustentado por el diametro terrestre 
E X E 2 perpendicular a la linea que une 
la estrella y el sol (ver Fig. 2-10). Esta 
dado por = 1/2 (180° — a — p), donde 
los angulos a y (3 se miden en las posicio- 
nes E t y E 2 separadas por 6 meses. La 
distancia r de la estrella al sol puede 
obtenerse de a= r0, donde a es el 
radio de la drbita terrestre y se expresa 
en radianes. La estrella con el mayor 
paralaje de 0,76" (es decir, la mas cer- 
cana) es a-Centauro. Encontrar su dis- 
tancia media desde el sol expresandola 



en metros, en anos luz, y en unidades 
astrondmicas. 

2.16 Un parsec es igual a la distancia 
medida desde el sol hasta una estrella 
cuyo paralaje es de 1*. Expresar el par- 
sec en metros, anos luz y unidades as- 
trondmicas. Expresar la distancia en 
parsec en funci6n del paralaje en segun- 
dos de arco. 

2.17 La distancia entre San Francisco 
y New York, medida a lo largo de los 
circulos maximos que pasan a traves de 
estas dos ciudades, es de 2571 millas. 
Galcular el angulo entre las verticales 
de las dos ciudades. 

2.18 Utilizando los datos que se dan 
en la Fig. 1-6, determinar el angulo sus- 
tentado por el diametro de la Gran Ne- 
bulosa M-31 cuando se observa desde la 
tierra. Expresarlo en radianes y en gra- 
dos de arco. Encontrar tambien el angulo 
s61ido sustentado por la nebulosa. 

2.19 Examinando las tablas de funcio- 
nes trigonometricas del apSndice, en- 
contrar el angulo para el cual sen 6 y 
tg difieren en a) 10 % b) 1 % c) 0,1 %. 
Repetir lo mismo para sen y 0, y para 
tg y 0, cuando se expresa en radianes. 
&Que conclusiones puede Ud. sacar de 
sus resultados? 

2.20 Dados los tres mimeros: 49238,42; 
6,382 x 10 4 ; 86,545. (a) Sumar los mi- 
meros. (b) Multiplicarlos. (c) Sumar los 
dos primeros y el resultado multiplicarlo 
por el tercero. (d) Multiplicar los dos ul- 
timos y dividir el resultado entre el 
primero. Dar todas las respuestas con el 
numero correcto de cifras significativas. 

2.21 Utilizar los datos de la tabla 2-3 
para comprobar los valores dados para 
el valor medio, la desviacidn media, y la 
desviaci6n rmc. ^Cuantas cifras signi- 
ficativas deben usarse en el resultado? 

2.22 La tabla que sigue tiene un con- 
junto de diez medidas de cierta pro pie- 
dad fisica (v.g., el espesor de un pedazo 
de papel, o el peso de una piedra, etc.). 



116 125 
113 124 



108 111 113 
111 136 111 



(a) Determinar el valor medio de estos 
mimeros. Determinar la desviaci6n me- 
dia y la desviacion rmc (o normal). 

(b) Hacer un analisis sobre la convenien- 



30 Mediciones y unidades 



cia de retener o descartar la lectura 
de 136 (si se descarta, el valor medio de 
los nueve datos restantes es 114,7 y la 
desviaci6n normal es 5,6). 

2.23 Tome una bolita o un lapiz y dejelo 
rodar sobre la tapa de un libro grande. 
Mida el tiempo que demora la bolita 
o el lapiz en ir del reposo, en la parte 
superior, hasta el extremo inferior en el 
cual choca con la mesa. Repetir el expe- 
rimento diez (o mas) veces. Determinar 
el valor medio del tiempo de rodadura 
y su precisi6n, expresada en desviaci6n 



rmc. Si Ud. no tiene un reloj con secun- 
dario, use su pulso para medir el tiempo. 

2.24 Haga un censo de los miembros 
de su clase. Determine la altura y el 
peso de cada uno de ellos. Discrimine 
de modo que solamente tenga datos de 
un solo sexo y una diferencia de edades 
no mayor de tres anos. Calcule la altura 
media, el peso medio y la desviacion 
rmc. Note que Ud. no puede hablar de 
la precision de su experimento en el mis- 
mo sentido que en el problema anterior. 
iPor que? 



3 
VECTORES 



3./ Introduction 
32 Concepto de direction 

3.3 Escalares y vectores 

3.4 Adicion de vectores 
3.5 Componentes de un vector 

3.6 Adicion de varios vectores 
31 Aplicacion a problemas de cinemdtica 

3.8 Producto escalar 

3.9 Producto vectorial 

3.10 Representation vectorial de una super ficie 



32 



Vectores 



(3.2 



3.1 Introduction 

Este capitulo servir6 como una introduction, o re- 
paso, de las ideas esenciales asociadas con una rama 
de las matematicas muy importante para el fisico. 
El algebra vectorial es importante porque permite 
escribir en una forma conveniente y abreviada algu- 
nas expresiones muy complicadas. Por ejemplo, en 
algebra elemental la ecuacion 

3x + 2y = 6 

es una notation abreviada para todos los posibles 
pares de valores x- e y- que satisfagan esta ecua- 
cion. Es tambien posible describir esta misma re- 
lation de otra manera: mostrando un grafico de esta ecuacion como el de la 
figura 3-1. Ambos ejemplos son facilmente comprensibles para cualquier estudiante 
que haya estudiado algebra y geometria analitica, porque puede comprender la 
notation abreviada. En la misma forma, el Algebra vectorial es facilmente com- 
prensible, una vez que la notation abreviada ha sido entendida. 

Al finalizar el capitulo se descubrira que la notation vectorial no es diferente 
de la notation del algebra y de la geometria analitica. La mayor diferencia estd 
en la interpretation de esta notation. Una lectura meditada del capitulo acom- 
panada por una solution cuidadosa de todos los ejercicios ahorrara al estudiante 
muchos momentos dificiles en los capitulos siguientes. 




Figura 3-1 



3.2 Concepto de direccidn 

Cuando tenemos una linea recta, podemos movernos a lo largo de ella en dos 
sentidos opuestos, dichos sentidos se distinguen asignando a cada uno de ellos 
un signo, positivo o negativo. Una vez que el sentido positivo ha sido determinado, 
decimos que la linea esta orientada y la llamamos un eje. Los ejes coordenados 
X e Y son lineas orientadas en las cuales los sentidos positivos se han indicado 








Fig. 3-2. Ejes coordenados orientados. 



Fig. 3.3 Direcciones paralelas y antipa- 
ralelas. 



3.3) 



Escalares y vedores 33 



en la Fig. 3-2. El sentido positivo se indica usualmente por una flecha. Una 
linea orientada define una direction. Las lineas paralelas orientadas en el mismo 
sentido definen la misma direccion (Fig. 3-3a), pero si tienen diferentes orienta- 
ciones definen direcciones opuestas (Fig. 3-3b). 

Las direcciones en un piano se determinan por un &ngulo, que es el angulo 
entre una direccion de referenda y la direccidn que deseamos indicar, medido 
en direccion contraria al movimiento de las agujas del reloj (Fig. 3-4). Las direc- 
ciones opuestas corresponden a los ingulos y * + (6 180° + 8). 

En el espacio es necesario usar dos dngulos para determinar una direcci6n. 

La selection m&s frecuente es la usada en la Fig. 3-5. La direccion OA se deter- 

mina por: 

Z 
(i) el 6ngulo (menor que 180°) que OA 

hace con el eje OZ, 

(ii) el Angulo <f> entre el piano AOZ y el 
piano XOZ, medido en direccion contra- 
ria a la direcci6n de las agujas del reloj. 





Fi&. 8-4. En un piano, direcciones opues- Fig. 3-5. Se requieren dos angulos 
tas estan deflnidas por los angulos 6 y n + 8. para definir una direcci6n en el espacio. 

Dejamos al estudiante como tarea verificar que la direcci6n opuesta est£ de- 
terminada por los dngulos k — 8 y n + <f>. 



3.3 Escalares y vectores 

Muchas cantidades fisicas quedan completamente determinadas por su magnitud, 
expresada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman escalares. 
Por ejemplo, para especificar el volumen de un cuerpo es necesario solamente 
indicar cuantos metros o pies cubicos ocupa. Para conocer una temperatura es 
suficiente leer un termometro convenientemente colocado. El tiempo, la masa, 
la carga y la energia son tambien cantidades escalares. 

Otras magnitudes fisicas requieren para su completa determinaci6n, que se 
a nada una direccion a su magnitud. Dichas cantidades las llamamos vectores. 
El caso mas sencillo es el desplazamiento. El desplazamiento de un cuerpo se 
determina por la distancia efectiva que se ha movido y la direction en la cual 



34 Vectores (3 J 

se ha movido. Por ejemplo, si una particula se desplaza de a A (Fig. 3-6), el 
desplazamiento queda determinado por la distancia d = 5 y el angulo ^ 37°. 
La velocidad es tambien una cantidad vectorial, desde que el movimiento se 
determina por la rapidez del desplazamiento y la direccion del desplazamiento. 
Analogamente la fuerza y la aceleracion son cantidades vectoriales. Otras mag- 
nitudes fisicas que son vectores iran apareciendo en capitulos sucesivos. 

Los vectores se representan graficamente por segmentos de una linea recta 
que tienen la misma direccion que el vector (indicada por una flecha) y una lon- 
gitud proporcional a la magnitud. En la escritura, un simbolo en tipo grueso 

como la F o en tipo delgado con una flecha encima como V, indica un vector 
(esto es magnitud mas direccion), mientras que V se refiere a la magnitud sola- 
mente (algunas veces, sin embargo, la magnitud se indicara por |F|). Un vector 
unitario es un vector cuya magnitud es uno. Un vector F paralelo al vector uni- 
tario u se puede expresar en la forma 

F-mV. (3.1) 

El negativo de un vector es otro vector que tiene la misma magnitud pero direc- 
cion opuesta. 

Si dos vectores F y V son paralelos entre si, se pueden escribir como V — uV 
y V = uV, donde el vector unitario es el mismo. De esta manera si x — V/V 
podemos escribir 

F - xF'. 

Reciprocamente, siempre que una ecuacion como la precedente valga para dos 
vectores F y F', dichos vectores son paralelos. 



3A Adicion de vectores 

Para comprender la regla de adicion de vectores consideraremos primero el caso 
de los desplazamientos. Si una particula se desplaza primero de A a B (Fig. 3-7), 
lo que se representa por el vector d v y entonces de B a C, o d 2 , el resultado es 
equivalente a un desplazamiento unico de A a C, o d, el que escribimos simbo- 
licamente como d = d x + d 2 . Esta expresion no debe confundirse con d = d x + d 2 , 
que se refiere solamente a las magnitudes y no valen para este caso. El procedi- 
miento se puede generalizar para cualquier clase de vectores. Por consiguiente 
decimos que F es la suma de F 2 y F 2 si es que se obtiene como se indica en la 
Fig. 3-8. Podemos tambien ver en la figura que la suma vectorial es conmuta- 
tiva, siendo el resultado el mismo cualquiera que sea el orden en que los vectores 
se sumen; esto es una consecuencia directa de la geometria del metodo. La rela- 
cion geometrica de la Fig. 3-8 se expresa algebraicamente por 

V=V X + F 2 . (3.2) 

Para calcular la magnitud de Fnotamos de la figura 3-9 que (AC) 2 = (AD) 2 -\-(DCf. 



3J) 



Adicion de vedores 35 



] 

-2- 
-1- 


. 




— 




























— 


























































d 


= a 


















S 




















"\te37 G 



















1 i 2 

i i i 


3 

i 




b 





Fig. 3-6. El desplazamiento es una 
cantidad vectorial. 






Fig, 3-7. Suma vectorial de dos 
desplazamientos. 



r, 

(a) (I)) 

Fig. 3-8. La suma de vectores es conmutativa. 




V] B V t cos 6 



Figura 3-9 



Pero AD = AB + BD = V 2 + V 2 cos y DC = V 2 sen 0. Por consiguiente V 2 = 
= (V x + V 2 cos de 6)2 + (V 2 sen 0) 2 = Vf + VJ + 2V X V 2 cos 6, 6 



V = ]/ V? + Vj + 2^ cos 6, 



(3.3) 



Para determinar la direction de V, necesitamos solamente hallar el angulo a. 
En la figura vemos que el triangulo ACD, CD = AC sen «, y que en el trian- 
gulo BDC, CD = BC sen 6. Por consiguiente V sen a = V 2 sen 8 6 



sen sen a 

Analogamente, BE = V 1 sen a = V 2 sen p 6 

V 2 . Vi 
sen a sen p " 

Combinando ambos resultados, obtenemos la relation simetrica 



sen 6 



sen 3 



sen a 



(3.4) 



3.5) 



Componentes de un vector 37 





Figura 3-12 



Figura 3-18 



Para encontrar el angulo entre C y A 9 aplicamos la ec. (3.4), que en este caso es 
C B 



sen y 
de tal modo que 



sen $ 



sen $ = B * en 144 ° = 0,996 y 8 ^ 85°. 

Por consiguiente C es = 4,128 unidades y tiene una direccidn que hace un angulo 
de 36° + 85° = + 121° con el eje positivo X. 

(b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamente 
como en la aritm&ica ordinaria, qu6 cantidad debe ser substratda de otra. Esto es, 
si el vector D esta deflnido como A ~ B (Fig. 3-14), entonces B — A es igual a — D. 

En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de 
la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A — B en la forma 



D = V 36 + 49 — 2(6) (7) cos 144° = 12,31 unidades. 

Para encontrar la direccitfn de D, usamos la ec, (3.4) : 

D \—B\ 

sen 36° sen a 

o, desde que | — B | = B, 

B sen 36° 



sen a — 



D 



= 0,334 



a = 19,5' 




^X 



y asi resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 3-14 
hace un Angulo de 36° — 19,5° = 16,5° con el eje 
positivo X. 

Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B — A tiene 
12,31 unidades de largo y hace un angulo de + 196,5° con el eje positivo X, 



3.5 Componentes de un vector 

Cualquier vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o mas) 
vectores, siendo el niimero de posibilidades infinito. A cualquier con junto de vec- 
tores que a! sumarse den V se les llama las componentes de V. 



3.5) 



Componentes de un vector 31 




*^x 



Figura 3-12 




—-X 



Figura 8*18 



Para encontrar el £ngulo entre C y A, aplicamos la ec. (3.4), que en este caso es 
C B 



sen y 



sen 8 



de tal modo que 



sen 8 = B se " 144 ° = 0,996 y 8 ^ 85°. 

Por consiguiente C es = 4,128 unidades y tiene una direccirtn que hace un angulo 
de 36° + 85° = + 121° con el eje positivo X. 

(b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamente 
como en la aritm^tica ordinaria, qu6 cantidad debe ser substraida de otra. Esto es, 
si el vector D esta deflnido como A — B (Fig. 3-14), entonces B — A es igual a — D. 

En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de 
la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A — B en la forma 



D = f 36 + 49 — 2(6) (7) cos 144° = 12,31 unidades. 
Para encontrar la direcci6n de D, usamos la ec. (3.4) : 

D _ \~B\ 
sen 36° sen a 

o, desde que | — B | = B, 

B sen 36° 



sen a = 



a = 19,5* 



D 



= 0,334 




y asi resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 3-14 
hace un dngulo de 36° — 19,5° = 16,5° con el eje 
positivo X. 

Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B — A tiene 
12,31 unidades de largo y hace un angulo de + 196,5° con el eje positivo X. 



3.5 Component es de un vector 

Cualquier vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o mas) 
vectores, siendo el niimero de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vec- 
tores que al sumarse den V se les llama las componentes de V. 



38 



Vectores 



(3.5 



Las componentes mas comunmente usadas son las redangulares ; esto es, el 
vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares 
(Fig, 3-15). Entonces, como vemos en la figura, V = V x + V yf con 



V, = V cos a 



V y = V sen a. 



(3,7) 



Deflniendo los vectores u x y u y en las direcciones de los ejes X e Y respec- 
tivamente notamos que 



V x = OA= u x V 



Xi 



V y = OB = u y V y , 




Fig. 3*15. Componentes rectangulares 
de un vector en un piano. 




Vw = V cos a 



Fig, 3-16. Componentes de un vector 
en una direcci6n determinada. 



Por consiguiente tenemos 



V = u x V x + u v V 



V r V* 



(3.8) 



Esta ecuaci6n expresa un vector en funci6n de sus componentes rectangulares 
en dos dimensiones. Usando la ecuacion (3.7), podemos tambien escribir en vez 
de la ecuacidn (3.8) V = u x V cos a + u g V sen a = V(u x cos a + u y sen a). Al 
comparar este resultado con la ecuacion (34), o simplemente al hacer V = 1, 
Uegamos a la conclusi6n que un vector unitario puede escribirse como 



u = u x cos a + u g sen a, 



(3.9) 



Notemos que las componentes de un vector en una direcci6n particular son igua- 
les a la proyecci6n del vector en aquella direcci6n (Fig, 3-16). Por la figura, vemos 
que Vy = V cos a. Tambien de la Fig. 3-16, vemos que BC es la componente 
de V perpendicular a la direccion AN, y podemos comprobar tambien que 
V L = BC = V sen a. Asi 

Hay tres componentes rectangulares en el espacio: V x , V y , V z (Fig. 3-17). El 
estudiante puede verificar en la figura que se calculan de acuerdo a 



3.5) 



Componentes de un vector 39 




Fig. 3-17, Componentes rectangulares 
de un vector en tres dimensiones. 



Lr\P{x,y t *) 




Fig. 8-18, El vector posici6n. 



V x = V sen 6 cos <f>, 
V y = V sen 6 sen <f> f 
V z = V cos 0, 

por tanto, por c&lculo directo, tenemos que 

Y* = v| + vi + VI 



(3.10) 



(3.11) 



Definiendo tres vectores unitarios u Xi u y , u z paralelos a los ejes X-, Y- f Z, res- 
pectivamente, tenemos 



V = u x V x + u u V u + u z V z 



(3,12) 



Notese que si designamos con a y p los &ngulos que el vector V hace con los ejes 
X- e Y, respectivamente, tambien tenemos, por similitud con la tercera de las 
ecuaciones (3.10), 

V x = V cos a, V y = V cos p. 

Reemplazando estas dos relaciones y V z = V cos 6 en la ecuaci6n (3.11), obte- 
nemos la relaci6n 

COS 2 a + COS 2 P + COS 2 = 1. 

Las cantidades cos a, cos p, y cos se llaman los cosenos directores de un vector. 

Un ejemplo importante de un vector tridimensional es el vector position r=OP 
de un punto P con coordenadas (x, y, z). En la Fig. 3-18 vemos que 



r = OP = UxX + u a y + u z z. 



(3.13) 



40 Vectores 



(3.5 



EI vector position relativo de dos puntos P x y P 2 es r n = ^Va (Fig* 3-19). En 
la figura notamos que OP 2 = OP 1 + JVV de modo que 



r n =P l P t = QP % — OP 1 =r t — r l 

= u x (x 2 — x t ) + uM} z — i/i) + u z (z 2 — z x ). 



(3.14) 



Notamos que P%P X ~P Y P r Deberia observarse que, al aplicar la ecuaci6n (3.11) 
a la ecuacion (3.14), obtenemos la expresion de la geometria analitica para la 
distancia entre dos puntos: 



'21 = V(*2-3i) 2 + G/2-yi) 2 + (^-^i) 2 ' 



EJEMPLO 3.2. Encontrar la distancia entre los puntos (6, 8, 10) y (— 4, 4, 10). 

Solucidn: Tracemos un sistema de ejes rectangulares e identifiquemos los dos puntos 
(Fig. 3-20). Vemos que ambos puntos estan en un piano paralelo al piano XY, puesto 
que ambos estan a una distancia (altura) de 10 unidades medidas segun la direcci6n Z. 
Por la ec. (3.14), encontramos que el vector r 21 es 

r 21 = ttl (— 4 — 6) + My (4 — 8) + u^lO — 10) 

- «*(— 10) + u u (— 4) + «,(0) = — u,(10) — u^4). 



P 2 (-4,4, in) 




T-Y 




Figura 3-19 



Figura 3-20 



Usando la ec. (3.11), encontramos que la magnitud es 

r* 21 = 100 + 16 = 116 6 r 21 = 10,77 unidades. 

EJEMPLO 3.3. Hallar las componentes del vector de 13 unidades de largo que 
forma un &ngulo de 22,6° con el eje Z, y cuya proyecci6n en el piano XY forma un 
angulo <f> de 37° con el eje + X (cf. Fig. 3-17). Encontrar tambten los angulos con los 
ejes X e Y. 



3.6) 



Adicion de varios vectores 41 



$oluci6n: Usando la Fig. 3-17 para este problema, decimos que 

V = 13 unidades, 6 = 22,6°, cos 9 = 0,923, 

sen 6 = 0,384, j> - 37°, cos * = 0,800, sen 4> = 0,600. 

Una simple aplicaci6n de la ecuaci6n (3.10) da 

V x = 13(0,384) (0,800) = 4,0 unidades, 
V y = 13(0,384) (0,600) = 3,0 unidades, 
Vt = 13(0,923) = 12,0 unidades. 

En terminos de la ec. (3.12) podemos escribir: 

F = ti*(4) + V3) + «<(12) 

Para los ingulos ay p que F forma con los ejes X e Y, tenemos 
cos a = -^ = 0,308 6 a = 72,1° 

cos p = -^ = 0,231 6 p = 77°. 

EJEMPLO 3,4. Expresar la ecuaci6n de una linea recta paralela al vector F = 
= u x A -f u y B + uiC y que pasa por el punto P . 

Z 
Solucidn: Designando por r el vector po- 
sition de P (Fig, 3.21) y por r el vector 
position de cualquier punto P en la recta, 

tenemos a partir de la ec. (3.14) que P P — 

— r — r . Pero el vector P Q P debe ser pa r 
ralelo a F, y por consiguiente debemos es- 
cribir P Q P — XF, donde X es un parametro 
aun indeterminado. Entonces 



r — r n = XF 




Figura 3-21 



es la ecuaci6n de la linea recta, al variar X, obtenemos los diferentes vectores de 
position r. Separando la ecuaci6n en sus componentes rectangulares, tenemos 

x - x = XA, y — y = XB, z — z = XC, 
6 

x — s _ y — t/o = z — z 
A B C ' 

que es una de las formas usadas en la geometria analitica para expresar una linea recta. 



3.6 Adicidn de varios vectores 

Para sumar varios vectores V v V 2 , F 3 , . . ., extendemosel procedimiento indicado 
en la Fig, 3-8 para el caso de dos vectores. El metodo para tres vectores se mues- 



42 Vedores 



(3.7 



tra en la Fig. 3-22. Esto es, dibujamos un vector despues de otro, indicando la 
suma del vector por la linea que va del origen del primero al extremo del ultimo. 
Entonces 

B V =V 1 + V 2 +V 3 +.... (3.15) 

No existe una formula sencilla para expresar V en ter- 
minos de V v F 2 , F 3 , . . ., y es mejor utilizar el metodo 
de componentes. Consideremos, por simplicidad, el caso 
en que todos los vectores estan en un piano, de tal modo 
que solamente tenemos que usar dos componentes. 
Entonces 

V = (u x V lx + u y V ly ) + (u x V %x + u y V 2y ) 

+ (WxVgx + U y V 3y ) + - - - 

= Wx(V lx + V 2X + V 3X + ...) 




Fig. 3-22. Suma de 
varios vectores. 



Por consiguiente 

v x = V 1X + V 2X + V 3X + 

v a = v 1D + v 2u + v 3u + 



10 



21/ 



ZfV fx = SfV^cos a i9 
ZiViy = S^Vi sen a,, 



(3.16) 



donde a z * es el &ngulo que V x hace con el semieje positivo X y V* cos a* y V,- sen a t 
son los componentes de V\ a lo largo de los ejes X e Y. Una vez que conocemos 
V x y V y , calculamos F, usando la ec. (3.5). Ilustramos ahora el procedimiento 
con un ejemplo numerico. 



EJEMPLO 3.5. Hallar el resultado de la suma de los siguientes vectores: 

V 1 = ux(4) + uy{ — 3) unidades, F 2 = u z ( — 3) + "v(2) unidades, 
F 3 = ua<2) + uy(— 6) unidades, F 4 = uJJJ) + uy(— 8) unidades, 

y 

F fi = ui(9) + uy(l) unidades. 

Solucidn: Aplicando la ecuaci6n (3.16), tenemos 

Vx = 4 — 3 + 2 + 7 + 9 = 19 unidades, 
Vj/ = — 3 + 2 — 6 — 8 + 1 = — 14 unidades, 
6 

V = ux(19) — uy(14) unidades. 



La magnitud de V es V = V(19) 2 + (— 14) 2 = 23,55 unidades. Su direccidn se halla 
a partir de tg a = V y IV x — — 0,738 6 a = — 36,4°, que es el angulo que V hace 
con el eje X. 



3.7 Aplicacidn a problemas de cinem&tica 

Como una ilustracion de como trabajar con los vectores en situaciones fisicas 
sencillas, consideremos ahora algunos problemas de cinematica. La unica supo- 



3.7) 



ApLicacion a probiemas de cinematica 4d 



sici6n fisica que necesitamos es el reconocimiento de que la velocidad es una 
cantidad vectorial. 

Supongamos, por ejemplo, que tenemos un bote moviendose con una veloci- 
dad Vb relativa al agua. Si el agua esta quieta Vb es tambien la velocidad del 
bote medida con relation a un observador en la orilla. Pero si el agua fluye a 
una cierta velocidad, ello introduce un factor de arrastre que afecta a la velo- 
cidad del bote. Asi la velocidad resultante del bote, medida por un observador 
en la orilla, es la suma vectorial de la velocidad del bote Vb relativa al agua y la 
velocidad de arrastre Vc debida a la corriente del agua. Esto es, V = Vb + V& 
Un razonamiento similar se aplica a los objetos que se mueven en el aire, tales 
como los aeroplanos. 

EJEMPLO 3.6. Un bote a motor se dirige hacia el norte 
a 15 millas por hora en un lugar donde la corriente es de 
5 millas por hora en la direction S 70° E. Encontrar la 
velocidad resultante del bote. 

Solucidn: Este problema se ha representado graficamente 
en la Fig. 3-23, donde v B es la velocidad del bote, Vc la 
velocidad de la corriente o arrastre, y V es la velocidad 
resultante obtenida de 

V = V B + Vc, 

Esta relaci6n se basa en el hecho fisico de que la velo- 
cidad resultante es la suma vectorial de la velocidad del 
bote relativa al agua mas la velocidad de arrastre V c de- 
bida a la corriente. Figura 3-23 
Analiticamente, como = 110°, tenemos 




V = ]/l5 2 + 5 a + 2(15) (5) cos 110° = 14,1 mi hr-\ 

lo que da la magnitud de la velocidad resultante. Para obtener la direcci6n, aplica- 
mos la ec. (3.4), 



Vc 



sen 6 sen p 



6 sen B = 



Vc sen 6 



0,332 



obteniendo p — 19,4°. De este modo se ve que el movimiento resultante es en la 
direcci6n N 19,4° E. 



ejemplo 3.7. Un bote a motor se dirige en la direction N 30° E a 25 millas por 
hora en un lugar donde la corriente es tal que el movimiento resultante es de 30 mi- 
llas por hora en la direcci6n N 50° E, Encontrar la velocidad de la corriente. 

Solacion: Designando otra vez la velocidad del bote por V B , la velocidad de la co- 
rriente por Vc, y la velocidad resultante por F, tenemos V = V B + Fc, de modo que 
F 5 = V — V B . Los vectores V y V B han sido dibujados en la Fig. 3-24, asi como la 
diferencia de ellos, lo que da Vc. Para calcular Vc, notamos que el angulo entre 
V Y~ F B esdel60°. Asi 



V c = y30 a + 25 2 + 2(30) (25) cos 160° = 10,8 mi hr- 1 . 



44 



Vectores 



(3.7 





Flgura 3-24 



Figura 8-26 



Para obtener la direcci6n de V c> obtenemos primero el ingulo a entre V y — V B > 
usando la ecuacidn (3.4), 



Vc 



sen a sen 160° 



, B V sen 160° AAE « 

6 sen a = 0,951 

Vc 



obteniendo a = 72°. Por consiguiente el Angulo con el eje SN es 72° — 30° = 42°, 
y la direcci6n de Vc es S 42° E. 



EJEMPLO 3.8. La velocidad de un aeroplano en aire tranquilo es de 200 millas por 
hora. Se desea ir de O a O', siendo la direcci6n de OO' N 20° W. El viento tiene una 
velocidad de 30 millas por hora en la direcctfn N 40° E. Encontrar la direccidn 
del movimiento del avi6n y su velocidad resultante. 

Soluddn: Designemos la velocidad del aeroplano por v a y la del viento por F*. La 
velocidad resultante es, como antes, 

V = V a + V w , 

En este caso sabemos que V debe de tener la direcci6n OO'. Por lo tanto el vector 
V a debe dibujarse de tal modo que cuando se sume a V Wt la resultante est6 a lo largo 
de OO'. Esto se ha hecho en la Fig. 3-25 dibujando un circulo de radio Y«, con el 
centro en el extremo de V w , y hallando la intersecci6n de este circulo con la Hnea 00\ 
Para proceder analiticamente, notamos que el angulo entre V y V w es 20° + 40° = 
= 60°. Por tanto, usando la ec. (3.4), obtenemos 



Va 



V* 



sen 60' 



sen a 



6 sen a = = 0,130 



lo que da a = 7,8°. Por consiguiente, la direcclAn de F« debe ser N 27,8° W, El £n- 
gulo entre V a y V w es 6 = 27,8° + 40° = 67,8°, y la magnitud de la velocidad re- 
sultante, usando la ec. (3.3), es 

V - V200» + 30* + 2 x 200 x 30 cos 67,8° = 204 mi hr~ l . 

iEs posible que este problema tenga dos soluciones, o ninguna? Dejamos la respuesta 
al estudiante. 



3.8) 



Produdo escalar 45 



EJEMPLO 3.9. Hallar la aceleracidn de un cuerpo que se desliza a lo largo de un 
piano inclinado en un angulo de 6. 

Solucidn: Sea P (Fig. 3-26) el cuerpo que 
se desliza a lo largo del piano AB sin fric- 
ci6n. El piano AB est£ inclinado en un 
angulo 0. Si el piano no estuviera presente 
el cuerpo caeria libremente a lo largo de 
la vertical con la aceleraci6n debida a la 
gravedad g — 9,8 m s-* (ver ejemplo 5.2). 
Las componentes de g paralela y perpen- 
dicular al piano (llamadas, respectivamen- 

te, a y a*) estan dados por a = g sen 6 ( z -zzz^b 

y a f — g cos 8. 

La componente a da la aceleracitin del Fig. 3-26. Aceleracidn a lo largo de 
cuerpo a lo largo del piano. un piano inclinado. 





" s *>Cf 




f^z. 


J 1 






d ^^^. 



3.8 Produdo escalar 

Es posible definir otras operaciones con vectores adem&s de la suma. Una de estas 
operaciones es el producto escalar; otra es el producto vectorial. 

El producto escalar de dos vectores Ay B, representado por el simbolo A*B 
(leer "A multiplicado escalarmente por B")» se define como la cantidad escalar 
obtenida hallando el producto de las magnitudes de A y B con el coseno del An- 
gulo entre los dos vectores, 



A-B=AB cos 9. 



(3.17) 



A+B=S, 



Obviamente A* A = A 2 , ya que el Angulo en este caso es cero. Si los dos vectores 
son perpendiculares (6 = tt/2), el producto escalar es cero. La condici6n de per- 
pendicularidad se expresa por A • B = 
= 0, El producto escalar esconmutativo; 
esto es, A*B =B*A> ya que el coseno 
de es el mismo en ambos casos. El pro- 
ducto escalar es distributivo con respecto 
a la suma; esto es 

C-(A+B) = C<A+C*B. (3.18) 

Para probar la propiedad distributiva, 
notamos en la Fig. 3-27 que 




C*(4 + B)=|C||il + B|cosY = C(0&), 



Fig. 3-27. El producto escalar es dis 
tributivo. 



ya que | if + B\ cos y = Ob. Andlogamente, C 
Q*B = CB cos p = C(ab). Sumando, obtenemos 



A = CA cos a = C(Oa) y 



C-A + C-B = C(Oa + ab) = C(Ob). 



46 Vectores {3.8 

Por consiguiente hemos probado la ecuacion (3,18). Los productos escalares entre 
los vectores unitarios u x , u y , y u z son 

y " (3.19) 

Ux'Uy = tl tf B W* = W z *Wo: = 0. 

Escribiendo 4 y B en funcion de sus componentes rectangulares de acuerdo con 
la ecuacion (3*12), y aplicando la ley distributiva (3.18), tenemos 

AB = (u x A x + u y A y + u z A z )-(u x B x + w tf B ff + u z B z ) 
= (u x -u x )A x B x + (u x -u g )AxB y + (u x *u z )A x B z 
+ (u^-ttxJApB, + (u y -u y )A y B y + (u^u^ApB* 
+ (u z -w x )A z B x + (u^w^A^By + (w^M £ )A z B 2 , 

Aplicando las relaciones (3.19), obtenemos finalmente 

A ■ B - A X B X + A y B y + A,B Z , (3.20) 

resultado que tiene muchas aplicaciones. Notemos que 

A*=A-A=Al + Al + Al 

lo que esti de acuerdo con la ecuacion (3.11). 

Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para derivar de manera 
sen cilia la formula (3.3) para la'suma de dos vectores. De V = F 2 -f V 2 > tenemos 

V 2 = (V, + V.HV, + V 2 ) = V\ + VI + 2V l -V t 
= V\ + V\ + 2VJ 2 cos 0. 

Este resultado se puede extender sin dificultar a cualquier numero de vectores. 
Supongamos que V =V l -\-V i -\- •■■ = E(Vi. Entonces 

V2 = (F 1 + F 2 + F 3 +---) 2 

= V\ + V 2 + V 2 + ••• + 2V.-V, + 2V l -V a 
+ ... + 2V % >V 3 + ..-, 

o, en una notaci6n compacta, 

V 2 - 2 V] + 22 VrV h 

todos los todos los 

vectores pares 

EJEMPLO 3.10, Encontrar el angulo entre los vectores A = 2«* + 3u y — u z y 
B = Us + u v + 2w* 

SoEuctfn; Calculamos primero su producto escalar, usando la ecuaci6n (3.20): 

AB = 2(- 1) + 3(1) + (- 1)2 = - 1. 



3.9) 



Producto vectorial 47 



Tambien 



A = 1/4 + 9 + 1 = Vl4 = 3,74 unidades 



B = ]/l +1+4=^6= 2,45 unidades. 
por consiguiente de la ec. (3.17), tenemos 

A-B 1 



cos 9 = A n 

AB 9,17 

lo que corresponde a 6 — 96,3°. 



— 0,109, 



EJEMPLO 3,11. Expresar la ecuacitfn de un piano perpendicular al vector V 
= uxA 4- u y B + u z C y que pasa por el punto P , 

Solucidn; Designando el vector position de 
P por r (Fig. 3-28), y el vector position 
de cualquier punto P del piano por r, ve- 
mos que el vector 

^P = r _r 

debe ser perpendicular a V, Asi 

F*(r — r ) =0 

es la ecuaci6n que debe ser satisfecha por 
los vectores posici6n r de todos los puntos 
del piano. Usando la ecuacidn (3.20), po- 
demos escribir 

A(x — x ) + B{y — // ) + C(z — z ) - 0, 

que es la forma en la cual se expresa usual- 

mente la ecuaci6n del piano en geometrla Fig. 3-28. Ecuaci6n vectorial de un 

analitica. piano. 




3*9 Producto vectorial 

El producto vectorial de dos vectores A y B, representado por el simbolo 4xB 
(leer "A multiplicado vectorialmente por B"), se define como el vector perpen- 
dicular al piano determinado por A y B en la direcci6n de avance de un tornillo 
de rosea derecha que ha sido rotado de A hacia B (Fig. 3-29). Un tornillo de rosea 
derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano derecha como se muestra en 
la (Fig. 3-29), con los dedos senalando en la direcci6n de la rotaci6n, el tornillo 
avanza en la direccion del pulgar. La mayoria de los tornillos ordinarios son de 
rosea derecha. 



La magnitud del producto vectorial A x B esta dada por 
AxBl = ABsen 0. 



(3.21) 

Otra regla sencilla util para establecer la direccion de A x B es la siguiente: 
Colocar el pulgar, indice y el dedo mayor de la mano derecha en la position mos- 



48 Veclores 



(3.9 




Fig. 3-29. Relaciones vecloria- Fig. 3-30. Regla de la mano dere- 
les en el producto vectorial. cha para el producto vectorial. 



trada en la Fig. 3-30. Si el indice y el dedo mayor apuntan en las direcciones 
de A y B, respectivamente, el pulgar apunta en la direction de A x B. En rea- 
lidad la regla es mas general, y los vectores A, B t y A x B pueden ser asignados 
sucesivamente a los dedos empezando por cualquiera de ellos, siempre que se 
mantenga el siguiente orden ciclico. 

Pulgar 



Indice 



Dedo 
mayor 



De la definici6n del producto vectorial, llegamos a la conclusion que 



Ax B 



Bx A, 



(3.22) 



ya que el sentido de rotation del tornillo se invierte cuando el orden de los vec- 
tores se cambia, de modo que el producto vectorial es anticonmutativo. Si dos 
vectores son paralelos, 9 = 0°, sen 9 = 0, y el producto vectorial es cero, Por 
consiguiente la condici6n del paralelismo puede expresarse por A*B=Q. Ob- 
viamente A x A — 0. 

N6tese que la magnitud del producto vectorial es igual al area del paralelo- 
gramo formado por los vectores, o es igual al doble del &rea del triangulo formado 
con su resultante. Esto puede verse como sigue (Fig. 3-31). La magnitud de 
ixfies AB sen 6. Pero B sen 6 = A, donde h es la altura del paralelogramo 
formado con A y B como lados. Asi 



A x B\ — Ah — £rea del paralelogramo* 

El producto vectorial es distributivo con relacion a la suma; esto es, 

Cx(4 + B) = Cxi + CxB, (3.23) 



3.9) 



Producto vectorial 49 



AxB 





Fig. 8-81. El producto vectorial Fig* 3-32. El producto vectorial 
es equivalente al area del parale- es distributive 
logramo deflnido por los dos vec- 
tores* 



La demostraci6n cuando los tres vectores son coplanares es muy simple. En este 
caso (Fig. 3-32) los tres productos vectoriales que aparecen en la ec. (3.23) son 
perpendiculares a la p&gina de este libro, y s61o es necesario verificar la ec. (3.23) 
para estas magnitudes. Sin embargo 

| C x (A + B)\ - j C\\A + B\ sen T = C(Ob). 
Similarmente, 

| C x A\ = CA sen a = C(Oa); \ C x jff| =* CB sen p = C(ab). 
Al sumar, obtenemos 

C*A\+\CxB]= C(Oa + ab) = C(Ob). 



Por consiguiente la ec. (3.23) ha sido probada tanto para la magnitud como para 
la direction. La prueba en el caso general de tres vectores en el espacio, es and- 
loga, pero algo compleja.* 
Los productos vectoriales entre los vectores unitarios, u x > u r u z son 



U x 


X 


u y 


= 


-w H 


X 


U x 


__. 


U z , 


U y 


X 


u t 


= 


— u z 


X 


U & 


= 


U X9 


u x 


X 


U x 


= 


— Ux 


X 


u t 


= 


My, 


U x 


X 


Ux 


= 


UyX 


u u 




U z 


X U z 



(3.24) 



= 0, 



* Para una prueba general, ver G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analitica, terce- 
ra edici6n; Madrid: Aguilar, 1964, Secci6n 13-4, 



50 



Vectores 



(3.9 



Escribiendo iyBen funcion de sus componentes rectangulares, de acuerdo a la 
ec. (3.12), y aplicando la ley distributiva (3.23), tenemos 

A x B = (u x A x + UyAy + u z A z ) x ( Ux B x + (u y B y + u z B z ) 
= (Mi x u x )A x B x + (u x x u y )A x B y -f (w a . x M Z )A X B Z 
+ (u g x u x )A g B x -\- (u g x u g )A y By + (m„ x u z )AyB z 
+ («, x u x )A z B x + (u 2 x m„)A z B(, + (u, x m z )A,B 2 . 

Aplicando las relaciones (3.24), tenemos finalmente 

Ax B = u*{AyB z — A Z B V ) + u v (A z B x — A X B Z ) 

+ u z (A x B y - A y B x ). (3.25) 

La ec. (3.25) tambien se puede escribir en la forma mas compacta de determinante, 



(3.26) 





Ux 


Ug 


u z 


4xfi = 


A x 


A v 


A z 




B x 


*. 


B z 



Nota sobre los determinant en, Un determinante es una notaci6n conveniente para 
designar cantidades que han sido combinadas en cierta forma simetrica. Un deter- 
minante de segundo orden es un arreglo de 2 x 2 mimeros evaluados de acuerdo 
a la regla: 



«1 «2 

h b 2 



a x b % — ajb^ 



N<5tese que lo que hacemos es multiplicar a lo largo de las diagonales y sustraer. 
Un determinante de tercer orden es un arreglo de 3 x 3 numeros evaluados de acuer- 
do a la regla: 



<h 


a a 


«3 




h 


*3 




b, 


»i 




*i 


h 


&i 


h 


h 


= «1 






+ a 2 






+ a 3 






Cl 


c* 


c, 




c 2 


c 8 




c 3 


Cl 




Ci 


c t 



N<Jtese el orden en que las columnas aparecen en cada termino. El estudiante puede 
verificar que al aplicar esta regla a la ec. (3.26), obtendra la ecuaci6n (3.25). Para 
mayor informaci6n en determinantes, el estudiante debe consultar G. B. Thomas, 
Cdlculo infinitesimal y geometria analitiea, tercera edicitin; Madrid: Aguilar, seccio- 
nes 8-1 y 8-2. 



EJEMPLO 3.12. Hallar el area del paralelogramo determinado por los vectores 

A = 2Ux + 3Uy Ut y B = U X -f u y + 2u z . 

Soluddn: Calculemos primero el producto vectorial de A y B, usando la ecuacidn 
(3.26): 

Ux Uy U Z 

A * B ^ 2 3 —1 

— 1 1 2 



= 1U X 3Uy -f 5U £ . 



3.W 



Representation vectorial de an Area 51 



Luego el irea del paralelogramo es justamente la magnitud de A x jj, o 



Area = | -A x B\ = V49 + 9 + 25 = 9,110 unidades. 

EJEMPLO 3*13. Hallar la distancia del punto P (4, — 1, 5) a la linea recta que pasa 
por los puntos P x (— 1, 2, 0) y P t (1, 1, 4). 

Solucidn: La geometrla del problema ha sido ilus- 
trada en la Fig. 3-33. Se ve que d = P t P sen 6. In- 
troducimos los vectores 

A = P^P y B = P t P tt 

de modo que, usando la ec. (3,14), obtenemos 

A = P X P = 5«* — 3% + 5u«, 
B = PJ> t = 2tt* — Ujr + 4m* 

Vemos entonces que 

AB sen 6 [4 x b\ 



d = A sen e = 



B 



B 




Flgura 8-88 



De modo que, usando la ec. (3.26) para calcular el producto vectorial de A x B, 
obtenemos 



A x B = 



u* Wy 


Ml 


5 —3 


5 


2 —1 


4 



= — 7ttjf — lOtt, + ltta 



Ent onces [ it x b | =_^_49 + 100 + 1 = ]/ 150 = 12,25, y ya que B = 
= V 4 + 1 + 16 = V21 = 4,582, obtenemos 



d = J±A£L = 2.674. 



3*10 Representaei&n vectorial de una superficie 

En la discusi6n relacionada con la Fig. 3.31, indicamos que el producto vectorial 
A x B es igual en magnitud al Area del paralelogramo cuyos lados estAn definidos 
por los vectores Ay B. Ello sugiere la posibilidad de asociar un vector con una 
superficie. 

Consideremos la superficie plana S (Fig. 3-34) cuya periferia L esU orientada 
como lo indica la flecha. Adoptaremos la convenci6n de representarla por un 
vector S, cuya magnitud es igual al Area de la superficie y cuya direcci6n es per- 
pendicular a la superficie. El sentido del vector es aquel en el cual avanza 
un tornillo de rosea derecha cuando su cabeza se gira en el sentido de orientaci6n 
de la periferia. 

Las componentes de S tienen un significado geom&rico simple. Supongamos 
que el piano de la superficie S hace un Angulo 6 con el piano XY (Fig. 3-35). La 



52 



Vectores 



(3.10 



proyecci6n de 5 en el piano XY es S cos 9. Pero la normal al piano de la super- 
ficie tambien forma un angulo 6 con el eje Z. Por consiguiente, la componente Z 
del vector S es S z — S cos 6. Luego concluimos que las componentes de S a lo 

largo de los ejes coordenados son iguales a las proyeccio- 
nes de la superficie en los tres pianos coordenados* 

Si la superficie. no es plana siempre puede ser posible 
dividirla en un mimero muy grande de pequeiias areas 
(figura 3-36) cada una de las cuales es pricticamente 
plana, y representarla por un vector S(. De ese modo 
el vector que representa la superficie curva es 

8 = &i + S 2 + S z + • • • = Ei S^ 

En este caso la magnitud de S no es igual al drea de la 
superficie curva, la que es HiSc, sin embargo, las magni- 
tudes de sus tres componentes son iguales a las Areas de 
las proyecciones de la superficie en los tres pianos coor- 
denados. 

Por ejemplo, consideremos un terreno, que sea en parte 

horizontal y en parte este en una ladera de una colina, 

como se indica en la Fig, 3-37. Si S x y S 2 son las Areas de 

cada parte, el area total del terreno usable para la agricul- 

tura es S x + S 2 . Sin embargo, si el terreno debe ser usado 

para un edificio, lo que realmente es util es la proyeccion del terreno en un 

piano horizontal, esto es S x + S 2 cos 0. El vector S = S t -\- S 2 que representa 

el terreno, tiene una magnitud 




Fig. 3-84. Represen- 
taci6n vectorial de 
una superficie. 



S = y S\ + Si + 2S X S 2 cos 6, 



que esmis pequena que S x + S 2 . Pero su componente a lo largo del eje vertical 
Z es S z = S x + S 2 cos 0, de acuerdo con la proyeccion del terreno en el piano 
horizontal XY. 








Fig. 3-35. Proyecci6n de una superficie Fig. 3-86. 
en un piano. cies. 



Suma vectorial de superfi- 



Bibliografia 53 



r-^. 



Figura 3-37 



=Si+&2cos e 





Fig. 3-38. Una superficie cerrada esta 
representada por un vector nulo. 



Finalmente, consideremos una superficie cerrada, como se muestra en 
la Fig. 3-38. Dividamos esta superficie en pequeiias superficies planas, cada una 
de ellas representada por un vector Si en la direcci6n exterior. Podemos siempre 
tomar las pequeiias dreas en pares tales que su proyecci6n sea cero. Por ejemplo, 
en la Fig. 3-38, las dos &reas S x y S 2 tienen la misma proyeccion en el piano XY, 
pero con signos opuestos. Por consiguiente, S 1Z = ay S 2Z = — a. Sumando dichos 
pares obtenemos S £ = £iS( z = 0. Con el mismo argumento vemos que este re- 
sultado tambien es vdlido para las componentes de S ~ ZtSt a lo largo de los 
otros dos ejes. Por consiguiente, S = 0, o lo que es lo mismo, el vector que repre- 
senta una superficie cerrada e$ cero. 



Bibliografia 

1. Vectors, A Programmed Test Jor Introductory Physics. New York : Appleton- 
Century-Crofts, 1962 

2. Elementary Vectors, por E. Wolstenholme. New York : Pergamon Press, 1964 

3. Mechanics (segunda edicitin), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 
1964, sees. 3-1 y 3-3 

4. Physical Mechanics (tercera edicidn), por R. Lindsay, Princeton, N.J. : Van Nos- 
trand, 1963, sec. 1-3 

5. Vector Mechanics, por D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964 

6. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison-Wesley, 1961, caps. 2 y 7 

7. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M. Sands. 
Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, cap. 11 



54 Vedores 
Probletnas 



3.1 Dos vectores de 6 y 9 unidades de 
longitud, forman un angulo entre ellos 
de (a) 0°, (b) 60°, (c) 90°, (d) 150° y 
(e) 180°. Encontrar la magnitud de su 
resultante y su direcci6n con respecto al 
vector mas pequeno. 

3.2 Encontrar el angulo entre dos 
vectores de 10 y 15 unidades de longitud, 
cuando su resultante tiene (a) 20 unida- 
des de longitud y (b) 12 unidades de 
longitud. Dibujar la figura apropiada. 

3.3 Dos vectores forman un angulo de 
110°. Uno de ellos tiene 20 unidades de 
longitud y hace un angulo de 40° con 
el vector suma de ambos. Encontrar la 
magnitud del segundo vector y la del 
vector suma, 

3.4 El vector resultante de dos vec- 
tores tiene 10 unidades de longitud y hace 
un angulo de 35° con uno de los vectores 
componentes, el cual tiene 12 unidades 
de longitud* Encontrar la magnitud del 
otro vector y el angulo entre ellos. 

3.5 Encontrar el angulo entre dos vec- 
tores de 8 y 10 unidades de longitud, 
cuando su resultante forma un angulo 
de 50° con el vector mayor. Calcular tam- 
bi6n la magnitud del vector resultan- 
te. 

3.6 El vector resultante de dos vecto- 
res tiene 30 unidades de longitud y hace 
angulos de 25° y 50° con ellos. Hallar la 
magnitud de los dos vectores. 

3.7 Dos vectores de 10 y 8 unidades 
de longitud, forman entre si un angulo 
de (a) 60°, (b) 90° y (c) 120°. Encontrar 
la magnitud de la diferencia y el angulo 
con respecto al vector mayor. 

3.8 Encontrar los componentes rectan- 
gulares de un vector de 15 unidades de 
longitud cuando 6ste forma un angulo, 
con respecto al eje positivo de las X, 
de (a) 50°, (b) 130°, (c) 230° y (d) 310°. 

3.9 Tres vectores situados en un piano, 
tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. 
El primero y el segundo forman un 
angulo de 50°, mientras que el segundo 
y el tercero forman un angulo de 75°. 
Encontrar la magnitud del vector resul- 
tante y su direcci6n con respecto al 
vector mayor. 



3.10 Dados cuatro vectores coplana- 
res de 8, 12, 10 y 6 unidades de longitud 
respectivamente; los tres liltimos hacen 
con el primer vector angulos de 70°, 150° 
y 200°, respectivamente. Encontrar la 
magnitud y la direccidn del vector re- 
sultante. 

3.11 Un aeroplano viaja de A siguiendo 
la direcci6n del norte hacia B, y luego 
retorna a A. La distancia entre A y B 
es L. La velocidad del avidn en el aire 
es* v y la velocidad del viento es v\ 
(a) Demostrar que el tiempo necesario 
para un viaje de ida y vuelta en aire 
quieto, v' = 0, es t a = 2L/u. (b) Demos- 
trar que el tiempo necesario para un 
viaje de ida y vuelta cuando el viento 
corre hacia el este (u oeste) es 



t* = UlVl — {V*/ifi). 

(c) Demostrar que el tiempo necesario 
para un viaje de ida y vuelta cuando el 
viento corre hacia el norte (o sur) es 
U = Ull — (v*IP). (d) iQu6 posibilidad 
existe de que se realicen los viajes (b) 6 
(c) cuando v' = vl Para un v' dado, 
£cual tiempo es mayor h 6 id 




Figura 3-39 

3.12 La bandera situada en el mastil 
de un bote a vela flamea haciendo un 
angulo de 45°, como se muestra en la 
Fig. 3-39, pero la bandera situada en una 
casa a la orilla se extiende 30° al suroeste. 

(a) Si la velocidad del bote es de 10 km 
hr _1 calcular la velocidad del viento. 

(b) Encontrar la velocidad aparente del 
viento para un observador situado sobre 
el bote. 



Problemas 55 



3.13 Demostrar que si las magnitudes 
de la suma y la diferencia de dos vec- 

tores son iguales, entonces los vectores 
son perpendiculares. 

3.14 Demostrar que si la suma y la 
diferencia de dos vectores son perpen- 
diculares, los vectores tienen magnitudes 
iguales. 

3.15 Veriflcar que las magnitudes de la 
suma y la diferencia de dos vectores A y 
B, expresadas en coordenadas rectangu- 
lares, estan dadas por: 

S = [(A* + B x y + (Ay + By)* + 

+ (A, + W 1 



D = [(A* — B*)» + (Ay — By)* + 

+ (A,- W 
respectivamente. 

3.16 Dados los vectores 

A = uz(3).+ wy(4) + uK— 5) 

y 

B = «*(— 1) + Uy(l) + tt^2). 

Encontrar: (a) la magnitud y direction 
de su resultante, (b) la diferencia, de su 
vector A — B, y (c) el angulo entre 
Ay B. 

3.17 Encontrar el resultado dela suma 
de los siguientes vectores: 

(a) V^utf) +Uy(—2)+Ui, 

(b) F, = u x (—3)+ uy(l) + tt^- 7), 

(c) F s = Wx(4) + Uy(l) + «.(6). 

Obtener la magnitud de la resultante 
y los £ngulos que hace con los ejes X- f 
Y-, y Z-. 

3.18 Dados los vectores: 

(a) V, = Ux (—1) + uy(3) +w^4), 

(b) F, = ux(3) + u^— 2) + ut—8), 

(c) F 3 = ttl (4) + uy(4) + w^4) 

(a) Determinar por c&Iculo directo si hay 
alguna diferencia entre los productos 

5 * (^ * ^a) y (f, * v t ) * v v (b) 

Encontrar V t -(V t x f,) y (V t *V^V % 
y determinar si hay alguna diferencia. 
Calcular (F 8 x FJ • V s y comparar este 
resultado con los dos anteriores. 

3.19 Expresar V 1 (V t x f^) en forma de 



determinants A partir de ella derivar 
sus propiedades de simetria; esto es, 

F.-F, xF 3 = F 3 .F 1 xF l 

Demostrar que el valor del producto 
triple escalar es igual al volumen del 
paraleleplpedo formado por los tres vec- 
tores. 

3.20 Demostrar que: 

V x x (F, x F 8 ) = (V^VjVt-^-VjVs. 

Sugerencia ; Colocar el eje X a lo largo 
de F s y el eje Y de modo que V t se 
encuentre en el piano X Y, y veriflcar la 
relaci6n por expansi6n directa. 

3.21 Encontrar la distancia entre los 
puntos P x (4, 5, — 7) y P t (— 3, 6, 12). 
Escribir tambten la ecuaci6n de la Hnea 
recta que pasa por los puntos. 

3.22 Encontrar la distancia del punto 
P(4, 5, — 7) a la recta que pasa por el 
punto Q(— 3, 6, 12) y es paralela al 
vector F = u»(4) — «*(1) + w*(3). En- 
contrar tambi6n la distancia del punto P 
al piano que pasa por Q y es perpendicu- 
lar a F. 

3.23 Demostrar que la distancia entre 
la recta que pasa por P x y es paralela 
a Fj y la recta que pasa por P, y es 
paralela a F t es 

Pj.-F.x F,/lF 1 xF t |. 

Nota : La distancia entre dos Kneas que 
no se cortan se define como la longitud 
de la perpendicular mis corta a ambas 
lineas. Desarrollar el resultado anterior, 
utilizando las coordenadas de Pi y P, 
y las componentes de V x y F 8 . Aplicar 
al caso cuando Pj(4, 5, — 7), P t ( — 3, 
6, 12), V x = «x + uy + u, y Fj = u* 
(—2) + «* + t*(3). 

3.24 Dados una recta que pasa poi 
P(4, 5, — 7) paralela slV x = u*(— 1) + 
+ uy(2) + «*(— 4) y un piano a trav& 
de Q(— 3, 6, 12) y perpendicular a 
V t = u x + uy(— 1) + tt^2). (a) Escri- 
bir las ecuaciones respectivas en coorde- 
nadas rectangulares. (b) Encontrar el 
punto de interseccidn de la recta y el 
piano, (c) Hallar el Angulo entre la 
linea y el piano. 



66 Vectores 



3.25 Encontrar la ecuaci6n de la recta 
que pasa por P(4, 5, — 7) y es paralela 
a la intersection de los pianos 3x — 2y + 
-f 5z = 10 y x + y — 2 = 4. Encon- 
trar tambten la ecuaci6n de la intersec- 
tion. 



3.26 Demostrar que si (V lr v t y F 3 su- 
man cero, entonces V x x v z = V 3 x 
x v t = v % x v v De estas relaciones, ob- 
tener: Vj/sen V 2 V 8 = V,/sen V 8 Vi = 
= V 3 /sen< V l V 2 , donde< ViV) signiflca 
el angulo entre los vectores F< y Vj. 

3.27 Demostrar que si dos vectores 
tienen la misma magnitud V y hacen 
un angulo 6, su suma tiene una magnitud 
S = 2 V cos 1/26 y su diferencia D = 
= 2V sen 1/26. 

3.28 Utilizando las componentes de 1^ 
y V, expresadas en coordenadas es!6ri- 
cas (ec» 3.10) demostrar que el angulo 
entre los vectores puede encontrarse a 
partir de cos 8 U = sen 8! sen S cos (^ — 
— 4>t) + cos 8 X cos 8 a , donde 8 U es 
el angulo entre los vectores. Este resul- 
tado es de gran uso en calculos astronO- 
micos. Adoptar este resultado para obte- 
ner el angulo entre las verticales en San 
Francisco (latitud: 37° 45' N; longitud: 
122° 27' W) y New York (latitud: 40° 
40' N; longitud: 73° 50' W). Verificar su 
respuesta con aqu£lla del problema 2.17. 

3.29 Dado el con junto de 3 vectores 
nocoplanares oj, «4, a 3 , los vectores 



,i _ 



a 3 = 



a 3 = 



«2 X 


«3 


<h-«2 


x a s 


a 3 x 


<h 


«i'«i 


x a 3 


<h x 


«s 



«l'«j x o 3 



se denominan vectores reciprocos. Demos- 
trar que a*»a« = 1 y que a^aj = 
donde i y / toman los valores 1, 2 t 3. 
Discutir la disposition geomStrica de los 
vectores reciprocos a 1 , a* f a 3 en relaci6n 
con <*!, Oj, a 3 . 

3.30 Demostrar que cualquier vector V 
puede escribirse en cuaiquiera de estas 
dos formas 

V = (V'a^ + (V-a*)^ + {^-a 3 )a3 



V = (V'aja 1 + (F*Oj)o« + (V*a z )a* 
= Zi(V<ot)aK 

3.31 Denominando F*«k = V< y V* = 
= V*a { las componentes covariantes y con- 
travariantes de v f y 

gti = araj, g li = o*-^, 

demostrar que 

y 

V* = ^ViV* - ZvViVig* 

Estas relaciones son muy importantes 
en calculos vectoriales con coordenadas 
oblicuas, y son especialmente utiles en 
ffsica del estado sOlido en el tratamiento 
de la estructura cristalina de los sOlidos. 

3.32 Demostrar que 

a l *a % x «» — l/Oj-flj x o 3 . 

3.33 Demostrar que r = as* + bs + c 
(donde o, bye son vectores constantes 
y s una variable escalar) representa una 
parabola situada en el piano formado 
por los vectores ay by que pasa por un 
punto cuyo vector posici6n es c 

3.34 Demostrar que un vector unitario 
en tres dimensiones puede expresarse 
como 

u = u x cos a + u y cos p + u t cos 8, 

donde los angulos a, p y 8 estan deflnidos 
en la Fig. 3-17. 

3.35 Utilizando el hecho de que el vec- 
tor que representa una superflcie cerrada 
es cero, demostrar que dos superficies 
que tienen la misma linea cerrada como 
contorno estan representadas por el 
mismo vector. 

3.36 Una superflcie abierta esta limi- 
tada por un triangulo con vertices en 
(0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0, 2, 0). Esta cons- 
tituida por tres superficies triangulares 
teniendo cada una de ellas un lado coin- 
cidente con los lados del triangulo y un 
v&tice comiin en el punto (a, b, c). De- 
mostrar que el vector que representa 
la superflcie completa es independiente 



Problemas 57 



de (a» b 9 c). jSe esperaba este resultado 
en vista del problema 3.35? 

3.37 Un tetraedro es un s61ido limitado 
por cuatro superficies triangulares. Con- 
siderar el tetraedro con vertices en los 
puntos (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) y 
(1,1,2). Encontrar: (a) el vector que 
representa cada cara; (b) el vector que 
representa todo el tetraedro; (c) la mag- 
nitud de la superflcie del tetraedro. 
^Esperaba Ud. obtener el resultado ob- 
tenidoen(b)? 



3.38 Utilizando metodos vectoriales, 
encontrar: (a) la longitud de las diago- 
nals de un cubo; (b) sus angulos con 
los lados adyacentes; (c) sus angulos 
con las caras adyacentes; (d) el angulo 
entre las diagonales. 

3.39 Las caras de un tetraedro regular 
son triangulos equilateros de lado a. 
Encontrar, utilizando metodos vecto- 
riales, el angulo que hace cada lado con 
la cara opuesta y la distancia de un ver- 
tice a la cara opuesta. 



4 

FUERZAS 



4.1 Introduction 

4.2 Composition de fuerzas concurrentes 

4.3 Torque de una fuerza 

4.4 Torque de varias fuerzas concurrentes 

4.5 Composition de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rigido 

4,6 Composition de las fuerzas coplanares 
4.7 Composition de las fuerzas paralelas 

4.8 Centro de masa 

4.9 Estdtica. Equilibrio de una particula 

4.10 Estdtica. Equilibrio de un cuerpo rigido 



4 m g) Composition de fuerzas concurrentes 59 

4.1 Introduccidn 

Un uso importante del Algebra vectorial es su aplicaci6n en la composici6n de 
fuerzas. La defmici6n precisa de fuerza se analizar& en el capitulo 7, donde dis- 
cutiremos la dinimica del movimiento. Sin embargo, para ganar mayor habilidad 
en la manipulaci6n de los vectores, estudiaremos ahora la composici6n de fuerzas, 
y en particular el equilibrio de ellas, un problema de gran aplicacion en ingenieria, 

Supondremos por el momento una noci6n intuitiva de fuerza, derivada de 
nuestra experiencia diaria, tal como la fuerza necesaria para empujar o halar un 
peso dado, la fuerza ejercida por ciertas herramientas, etc. Esta noci6n intuitiva 
sugiere que la fuerza es una cantidad vectorial con magnitud (o intensidad) y 
direccidn. La experiencia confirma que las fuerzas se combinan de acuerdo a 
las reglas del algebra vectorial. En este capitulo consideraremos fuerzas aplicadas 
solamente a masas puntuales o particulas y cuerpos rigidos. 

En el sistema MKSC, la unidad de fuerza es el newton (abreviado N), el cual 
se definirA en la secci6n 7.8* En este capitulo, sin embargo, expresaremos la fuerza 
tambien en otras unidades, tales como el kihgramo-fuerza (kgf), la librarfuerza 
(lbf), el poundal (pdl), y la tonelada (T), Estas unidades, de uso frecuente en 
ingenieria, tienen las siguientes equivalencias con el newton: 

1 kgf = 9,8 N, 1 lbf = 0,46 kgf at 4,45 N, 

1 pdl = 0,031 lbf « 0,138 N, 1 T = 2000 lbf » 8900 N. 

Es costumbre en ingenieria, cuando se hace referencia a libras-fuerza y a kilo- 
gramos-fuerza, decir simplemente "libras" y "kilogramos", aunque estos ter- 
minos realmente corresponded a unidades de masa. 



4Ji Composici&n de fuerzas concurrentes 

Si las fuerzas son concurrentes (es decir, si est&n aplicadas en el mismo punto), 
su resultante es el vector suma, obtenido de acuerdo al m6todo explicado en 
la seccidn 3.6. Por lo tanto, la resultante R de varias fuerzas concurrentes 
F v F* &v • ■ • es 

R = F x + F % + Fi+...= ZFi. (4.1) 

Si las fuerzas son coplanares, por ejemplo en el piano XY, tenemos, en vista 
de la ec. (3.16), que R = u x R x + u^R^ donde 

R % = £F ix = ZF t cos * u R ff = ZFig = SFt sen Of. (4.2) 

La magnitud de R es R — ]f R* + it*, y su direccidn estA dada por el Angulo a. 
niediante la relaci6n tg a = R y jR x . Debemos suponer que la resultante R es 
frsicamente equivalente a las componentes F v F 2 , F& .... 



60 



Fuerzas 



(4.3 



EJEMPLO 4.1. Encontrar la resultante de las siguientes fuerzas que actuan en 
un cuerpo en el punto O (Fig. 4.1). La fuerza F t es de 1200 lbf, la fuerza F t de 900 lbf, 
la fuerza F s de 300 lbf, y la fuerza F 4 de 800 lbf. Las directories se indican en la 
flgura. 

Sofucidn; En primer lugar expresaremos cada fuerza en funcidn de sus componentes 
a lo largo de los ejes X e Y, utilizando en cada caso el angulo entre el eje positive* 
de las X y la fuerza. Por consiguiente 

F x = u*(1200) lbf, 

F % = u x {F t cos 40°) + u v (Fi sen 40°) = «* (689,4) + a, (578,5) lbf, 
F 3 = Ux (F s cos 120°) + «„(/?» sen 120°) = u*(— 150) + «* (259,8) lbf, 
F, = w*(F,cos230°) +.u*(F 4 sen230 o )=M— 514,2) + m^(— 612,8) lbf. 
Luego, ya que R = F 1 + F t + F 3 + F 4t tenemos 

R x = 1200 + 689,4 — 150 — 514,2 = 1225,2 lbf, 
R y = + 578,5 + 259,8 — 612,8 = 225,5 lbf, 

o R = u x (1225,2) + u x (225,5) lbf, por lo tanto la magnitud y la direcci6n de la fuer- 
za son R = 1245,4 lbf y a = 10,4°* 





Figura 4-1 



Fig. 4-2. Torque de una fuerza. 



4.3 Torque de una fuerza 

Consideremos una fuerza F que actiia en un cuerpo C que puede rotar alrededor 
del punto O (Fig. 4-2). Si la fuerza no pasa por 0, el efecto total ser& la rotaci6n 
del cuerpo alrededor de O* Nuestra experiencia diaria sugiere que la efectividad 
en la rotation de F aumenta con la distancia perpendicular (denominado brazo de 
palanca) b — OB desde O a la linea de accidn de la fuerza. Por ejemplo, cuando 
abrirnos una puerta, siempre empujamos o halamos lo m&s lejos de las bisagras 
e intentamos conservar la direction de nuestro empuje o acci6n perpendicular 
a la puerta. Esta experiencia nos sugiere la conveniencia de definir una cantidad 
fisica t que Uamaremos torque o momenlo de una fuerza, de acuerdo a la relaci6n 



t = Fb, 



(4.3) 



4.3) 



Torque de una fuerza 61 



o torque = fuerza x brazo de palanca. Por este motivo, el torque 
de una fuerza debe expresarse como el producto de una unidad de fuerza por 
una unidad de distancia* Asi, en el sistema MKSC el torque de una fuerza se 
expresa en newton-metro o Nm. Sin embargo* tambien se usan otras unidades 
tales como kgf m o Ibf pie. 

Notando de la figura que b = r sen 
podemos escribir tambien 



Fr sen 8. 



(4.4) 



Comparando esta ecuaci6n con la 
ec. (3*21), Uegamos a la conclusion que el 
torque de una fuerza puede considerarse 
como una cantidad vectorial dada por el 
producto vectorial 




t = r x F t 



(4.5) 



Fig. 4-8. Relation vectorial entre el 
torque, la fuerza y el vector position. 



en el cual r es el vector posici6n, con res- 

pecto al punto 0, del punto A en el cual 

actua la fuerza. De acuerdo a las propiedades del producto vectorial, el torque 

de una fuerza est6 representado por un vector perpendicular tanto a r como a F; 

esto es, perpendicular al piano que forman r y F t y dirigido en el sentido de avance 

de un tornillo de rosea derecha rotado en el mismo sentido que la rotation pro- 

ducida por F alrededor de 0. Esto se indica en la Fig. 4-3. 

Recordando que r = UxX + u y y + u t z y que F = u^F x + u g F y + u z F x obte- 
nemos, aplicando la ec. (3.26), 



T = 



u* 


u v 


u t 


X 


y 


z 


F x 


F, 


F z 



= Ux (yF t — zF„) + u B (zF x — xF t ) + 



+ u x (xF u — yF x ); 



(4.6) 



6 t x = yF x — zFy, x v = zF x — xF t y t,= xF v — yF^. En particular, si tanto 
r como F se encuentran en el piano XY, z = y F t = 0, entonces 



t = v^ (xF u — yF x ), 



(4.7) 



y este torque de la fuerza es paralelo al eje Z, como se ilustra en la Fig. 4-4. En 
magnitud, tenemos 



x=xF g — yFx. 



(4-8) 



N6tese que una fuerza puede desplazarse a lo largo de su linea de action sin 
cambiar el valor de su torque ya que la distancia b permanece invariable. De 
^te modo cuando x e g son arbitrarios, la ec. (4.8) expresa la ecuaci6n de la 
linea de acci6n de la fuerza cuyo torque es t. 



62 



Fuerzas 



(4.4 



EJEMPLO 4.2. Determinar el torque de una fuerza aplicado al cuerpo de la Fig* 4-5, 
cuando F es 6 N y hace un angulo de 30° con el eje X y r mide 45 cm haciendo un 
angulo de 50° con el eje positivo de las X. Hallar tambien la ecuaci6n de la llnea de 
accidn de la fuerza. 

Soluci6n: Podemos proceder de dos maneras diferentes. Co mo primer metodo, ob~ 
servando la figura vemos que el brazo de palanca de F (ya que r = 45 cm = 0,45 m) 
es b = r sen 20° = (0,45 m) (0,342) =■ 0,154 m. Luego el torque alrededor de O es: 

x = Fb = (6 N) (0,154 m) = 0,924 Nm. 

Estrictamente hablando, debemos escribir — 0,924 N m, ya que la rotaci6n alrede- 
dor de O es en el sentido de las agujas del reloj, lo que corresponde a un avance del 
torniHo en el sentido negativo de las Z t o entrando perpendicularmente a la hoja 
de este libro. 

Como segundo metodo, podemos usar la ec, (4.8) ya que el problema corresponde 
a uno de dos dimensiones, Ahora 

x = r cos 50° = 0,289 m, y = r sen 50° = 0,345 m, 
Fx = F cos 30° = 5,196 N, F y = F sen 30° = 3,0 N. 

T = xFr—yF* = 0,867 — 1,792 = — 0,925 N m, 



Por lo tanto 



en concordancia con nuestro resultado anterior. Este metodo tiene la ventaja adi- 
cional de darnos tambien el signo. 





Figura 4-4 



Ftgura 4-5 



Para obtener la ecuaci6n de la llnea de acci6n F, simplemente dejamos x e y como 
variables en la ec. (4.8), obteniendose 

— 0,925 = 3x — 5,196y. 



4.4 Torque de varias fuerzas concurrentes 

Consideremos ahora el caso de varias fuerzas concurrentes F v F 2 , F 3 , . . . que 
tienen como punto de aplicaci6n el punto A (Fig, 4-6). El torque de cada fuerza 
F[ con respecto a O es t,- = r x F it n6tese que escribimos r y no r,- ya que todas 
las fuerzas se aplican al mismo punto. El momento de la resultante R es 



4.4) 



Torque de varias fuerzas concurrentes 63 



x = r * R, donde R = F r + F 2 + F z + . . , y r es nuevamente el vector po- 
sicion comiin. Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, tenemos 



r *R=r*(F l + F 2 + F z + 



Entonces 



■) 



f = * i + T 2 + T 3 + 



27t;* 



(4.9) 



En palabras, el torque de la resultante es 
igual a la suma vectorial de los torques de 
las fuerzas componentes si estas son concu- 
rrentes. 

Si todas las fuerzas son coplanares, y se 
encuentra en el mismo piano, todos los tor- 
ques que aparecen en la ec* (4*9) tienen la 
misma direction perpendicular al piano y 
la relation (4.9) puede escribirse coxno 



t= En* 



(4.10) 




Fig. 4-6- Cuando las fuerzas son 
concurrentes, el torque de la resul- 
tante es igual a la suma vectorial 
del torque de las componentes. 



La ec. (4.9) demuestra que un sislema de fuerzas concurrentes puede reemplazarse 
por una sola fuerza, su resultante, la que es completamente equivalente al sis- 
tema en lo que respecta a efectos de traslaci6n y rotaci6n. 




EJEMPLO 4.3. Considerar tres fuerzas aplica- 
das al punto A de la Fig. 4-7, con r = 1,5 pies y 

F x = Ux(&) + My(0) + «,(0) lbf, 

F 2 = us (6) — «,(7) + M14)lbf, 
J? 3 = Ux (5) + My (0) — u z (3) lbf, 

Usando como punto de referenda, encontrar 
el torque resultante debido a estas fuerzas. 

Solucidn; En primer lugar, usando el concepto 
r = r x r > donde R = ZFi, tenemos 

R = tfo(6 + 6 + 5) + u v (0 — 1 + 0) + MO + Figura 4-7 
+ 14 — 3) lbf = «*<17) — u y {l) + u,(ll) lbf. 

Utilizando este valor y el de r = «x(l,06) + Uf,(l,06) pie, podemos escribir el torque 
resultante, aplicando la ecuaci6n (4,6), como 

T = r x r = 11,(11,66) — My (11 ,66) — u. (25,44) pie-lbt 

El torque resultante puede tambi£n encontrarse utilizando la ec. (4.9) t = t, + T a + 
+ t 3 . Para ello, aplicando la ec. (4.6) a cada fuerza componente, tenemos: 

t! = r x F, = u* (0) + u y (0) — uz (6,36) pie-lbf, 

Ta = r x f 2 ^ u* (14,84) — «y (14,84) — u z (13,78) pie-lbf, 

t 3 = r x F 3 = — ti*(3,18) + u v (3,18) — u z (5,30) pie-lbf. 



64 



Fuerzas 



(4.1 



Sumando estos tres momentos obtenemos el resultado anterior de t De esta manera 
hemos verificado la ec. (4.9). El estudiante debe verificar que x'R — 0, lo cual indies 
que x y R son perpendiculares entre si en el caso de fuerzas concurrentes. 



4.5 Composiddn de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rigido 

Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actiian en un cuerpo 
rigido, es necesario distinguir dos efectos: traslacion y rotacion. La traslacion del 
cuerpo esta determinada por el vector suma de las fuerzas; esto es por, 



R = F x + F 2 + F z + F 4 + . . . = £F t . 



(4.11) 



En este caso el punto de aplicacion de R queda aun por determinarse. EI efecto 
de rotacion sobre el cuerpo esta determinado por el vector suma de los torques 

de las fuerzas, todos evaluados con respecto al mismo punto 




Fig* 4-8* Gupla o par de fuerzas. 



T = Tj + t 2 + T 3 + ... = Zti. 

(4.12) 

A primera vista parece logico suponer* enton- 
ces, que el punto de aplicacion de la fuerza R 
debe ser tal que el torque debido a it sea 
igual a t, una situaci6n que, como sabemos, 
siempre se cumple en el caso de fuerzas con- 
currentes* Si es posible, la fuerza R asi apli- 
cada es equivalente al sistema, tanto en tras- 
lacion como en rotacion. 

Generalmente, sin embargo, esto no es po- 
sible, ya que el torque de R es un vector 
perpendicular a R y en muchos casos By t, obtenidos por las ecs. (4.11) y 
(4.12) no son perpendiculares. Por consiguiente, en general, un sistema de 
fuerzas que actiian sobre un cuerpo rigido no puede reducirse a una sola fuerza 
o resultante igual a la suma vectorial de las fuerzas. 

Como un ejemplo sencillo consideremos una cupla o par, la cual se define como 
un sistema de dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas que 
actiian a lo largo de lineas paralelas (Fig. 4-8). La resultante o vector suma de las 
dos fuerzas es obviamente cero, R = F x + F % = indicando que la cupla no 
produce efecto de traslacion. Por otro lado, la suma vectorial de los torques, 
teniendo en cuenta que F 2 — — F lf es 

t = r x + t 2 = r x x F 1 + r % x F 2 = r t x F x — r 2 x F x 

= (r 1 — r 2 )xF 1 =bx F v (4.13) 

donde b = r ± — r 2 se denomina brazo de palanca de la cupla. Por consiguiente, 
x ^ 0, y la cupla produce un efecto de rotaci6n. Notese que 6 es independiente 
de la position de 0, por lo que el totque del sistema es independiente del origen 



4.6) 



Composition de las fuerzas coplanares 



65 



con respecto al cual se le calcul6. Obviamente es imposible que una sola fuerza 
satisfaga todas estas conditioner 

Regresando al caso general, observamos que un sistema de fuerzas puede 
siempre reducirse a una fuerza y a una cupla. La fuerza se escoge igual a R para 
la equivalencia de traslaci6n y se aplica en el punto 
con respecto al cual se evaluan los torques de modo 
que su torque sea cero. La cupla con torque igual 
a t se escoge entonces para la equivalencia rotacio- 
nal. 

EJEMPLO 4.4. Encontrar la fuerza result ante y el 
torque resultante del sistema ilustrado en la Fig. 4-9, 
donde 

*i = «*(3) + M4) +«*(4)N 

y 

F, = «,(— 2) + t*(5) + «,(1) N, 

y los puntos de aplicactfn son A (0,4 m, 0,5 m, 0) y 
B {0,4 m, — 0,1 m, 0,8 m), 

Solud&tu En primer lugar encontramos la resultante, * Ur * 

R^F 1 + F t = «,(1) + *,(9) + u,(5) N. 

En seguida encontramos el torque de cada fuerza con respecto a O: 

Ti =- r, x Fj = u,(2) + «y(— 1,6) + *«(0,1) N m, 
T, = r, x F t = ««(— 4,1) + u*(— 2,0) + u,(l,8) N m. 
Luego 

* = t x + t t = «*(— 2,1) + *,(— 3,6) + •*(!,») N m. 

Para ver ahora si R puede situarse de modo que su torque sea igual a t debemos 
veriflcar primero si t y R son perpendiculares. Aplicando la ec, (3.20), obtenemos 

T-B = (— 2,1) (1) + (— 3,6) (9) + (1,9) (5) = — 25,0 N m. 

De modo que tJR es diferente de cero* Por ende el sistema de la Fig. 4-9, no puede 
reducirse a una sola fuerza. 




4.6 Composiddn de las fuerzas coplanares 

Cuando las fuerzas son coplanares, siempre es posible reducir el sistema a una 
sola resultante R, dada por la ec. (4.1) (a menos que se reduzca a una cupla si 
* ^ °. y t = 0), ya que en este caso t es siempre perpendicular a R. Colocando 
el origen de las coordenadas O en el centro de torques en el piano de las fuer- 
zas, notamos que t v x v ♦ . , y tambien t == Ejtt son todas perpendiculares al 
piano, como se ve de la aplicaci6n de las ecs. (4.6) o (4.7), y de la Fig. 4-4. Por 
lo tanto, Ry x son perpendiculares y es posible colocar R a una distancia r de O t 
de modo tal que su torque sea igual a t, esto es, rxfl=r En este caso la re- 
feci6n vectorial t = E(ti puede reemplazarse por la ecuacidn escalar t = E&u 



66 



Fuerzas 



(4.7 



donde cada n se calcula de acuerdo a la ec. (4.8), por tener todos los vectores la 
misma direction. Luego, si R x y R y son las componentes rectangulares de R t debe 
colocarse R en un punto (x t y) tal que 

xR y ~ yR x = r. (4.14) 

Esta es la ecuaci6n de una recta la cual corresponde a la linea de action de la 
fuerza resultante; esto es no hay un solo punto de aplicacion sino m£s bien 
una linea de aplicacion. 

Razonamientos mis elaborados demuestran que este resultado se cumple aun 
cuando el centro de los torques se encuentre fuera del piano de las fuerzas. 



EJEMPLO 4.5* Determinar la resultante del sistema de fuerzas ilustrado en la 
Fig. 4-10, que actuan en un piano. La magnitud de las fuerzas son F x = 10 kgf, 
F 2 = 8 kgf, F t = 7 kgf. El lado de cada cuadrado tiene un valor de 0,1 m. 

Solucitin: Escribimos en primer lugar cada fuerza en forma vectorial. 

F 1 = ux(10) kgf, 

F, = u x (F 2 cos 135°) + «v(F 2 sen 135°) = u*(— 5,66) + w*(5,66) kgf, 

F* = — *ij<7) kgf. 

La fuerza resultante R = F t + F % + F 3 , es asi 

R = u*<4,34) + t^— 1,34) kgf 

o sea R = 4,54 kgf, haciendo un angulo a de — 17,1° con el eje de las X. 

Las coordenadas de los puntos de aplicaci6nde las fuerzas son A (0,2 m, 0),B (0,5 m, 
0,3 m), y C (0, 0,5 m). Utilizando la ec. (4.8), calculamos 

t, = — (0,3 m) (10 kgf) - — 3,00 kgf m, 
t 2 = —(0,5 in) (—5,66 kgf) = + 2,83 kgf m, 

— 1,40 kgf m. 



f\ 1 




Y 














45°' 


h 


f 


































S- 














*"] 











R 


*«, 


b' 


v; 












A 










d 




1 


i i 

1 ! 

i 1 1 1 




A 



— 1,57 kgf m, y es 



Figura 4-10 



t 3 = (0,2 m) (— 7 kgf) 

AS! T = T t + T 2 + T S = 

un vector a lo largo del eje Z, Para encontrar 
la linea de acci6n de la resultante utilizamos 
la ec. (4.14), dejando x e y como arbitrarios. 

Luego 

x(— 1,34) — y(4,34) - — 1,57 
6 

l,34x + 4,44y = 1,57, 

que corresponde a la recta SU. 



4.7 Composiddn de las fuerzas paralelas 

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u. Luego 
F( = uFf 9 donde Fi es positivo o negative dependiendo de si la direcci6n de Ft 
es la misma de u u opuesta a la de w. La suma vectorial es 

R = E t Fi = ZiuF t - uiEtFi), (4.15) 



4.7) 



Composition de las fuerzas paralelas 67 



y por tanto tambien paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces 

R=£iFi. (4.16) 

La suma vectorial de los torques es 

T = ZfTt x F(= EiTt X uF t = (EiTiFi) x u> 

la cual es perpendicular a«y por lo tanto tambien perpendicular a R. Por este 
motivo, colocando R en la position apropiada r c , es posible igualar su torque 
a t; esto es, r c x R — x. Introduciendo las expresiones de R y t lineas dadas 
arriba, podemos escribir 



o 



r c x u(SiFi) = (ZiTiFd x u 

[r^iFi)] xu=(Z i rtFi) x u . 
Esta ecuacion se satisface si r c (EtFi) = EtViFu o sea 
_ EtTiFt _ r 1 F 1 + r 2 F 2 + ... 



St F t 



F t + F % +... 



(4.17) 



El punto definido por r c se denomina el centro de las fuerzas paralelas. Llegamos a 
la conclusion que un sistema de fuerzas paralelas puede reducirse a una sola 
fuerza, paralela a todas las fuerzas, dada por la ec. (4.15), y actuando en el punto 
dado por la ec. (4 .1 7). 
La ecuacion vectorial (4.17) puede separarse en sus tres componentes. 



x, = 



2* i X{r { 



y c 



ZiUiFi 



Zr = 



E t ztFi 



(4.18) 



ZtFt ' *"■ X t F t ' ~ c ~ EiF f ' 

donde hemos designado por z c , y C9 y z c las coordenadas del punto definido por r c * 



F^OOlbf 



A 



A " 3 

I 

I 

I 
] 



F* = 300 lbf 



[8 pul. *12 pul.~| I 

i \D I 



F 



■20 pul. 
F 2 =100 1bf 



B — *.Y 



Figura 4-11 



EJEMPLO 4.6. Hallar la resultante de las fuerzas que actiian en la barra de la 
Fig. 4-11. 



68 Fuerzas (4.8 

SalMeMn: Considerando la direccidn hacia arriba como positiva y utilizando la ecua- 
cidn (4*16) encontramos que la resultante es 

R =* EiFt = F, — F % + F t = 400 lbf. 

Para determinar su punto de aplicaci6n utilizamos la ec. (4.18). Se requiere solamente 
de la primera, ya que todas las fuerzas son paralelas al eje Y* Tomando A como el 
origen, obtenemos 

£iFai 

Xe = 



EiFi 

(200 lbf) (8 pulg)+(— 100 lbf) (20 pu!g)+(300 lbf) (40 pulg) 

400 lbf ~~ 

*= 29 pulg. 

El punto considerado como origen puede ser cualquiera. Para mostrar esto tomemos 
el punto D como origen. Entonces 

_ (200 lbf) (— 12 pulg) +(— 100 lbf)(0 pulg) +(300 lbf)(20pulg) 
Xc 400 lbf = 

= 9 pulg. 

Este punto es exactamente el mismo, ya que AD — 20 pulgadas. 



4J8 Centro de tnasa 

Cada particula sobre la cual actua el campo gravitational estd sometida a la acci6n 
de una fuerza W, Uamada peso. La direcci6n de esta fuerza, si se prolonga, pasa 
por el centro de la tierra. En la secci6n 7.6, veremos que cuando m es la masa 
de la particula y g la aceleraci6n de la gravedad, existe la siguiente relacidn: 

W = mg. (4.19) 

Aunque los pesos se intersectan en el centro de la tierra, pueden considerarse 
paralelos cuando corresponden a particulas que constituyen un cuerpo de dimen- 
siones relativamente pequenas. Por lo tanto el peso resultante de un cuerpo est£ 
dado por W =i7{/n^ t extendi£ndose la suma a todas las particulas que cons- 
tituyen el cuerpo, y esti aplicado en un punto dado por 

EiTiTiXig ZintiTi . 

r c = — = — = , (4.20) 

en concordancia con la ec. (4*17). Utilizando la ec. (4.18), podemos escribir las 
componentes de la ec. (4.10) como 

«c = r - » Vc = r . z e = , (4.21) 

ZrflTlf +*t m i **i m t 



4.8) 



Centro de masa 



69 



TABLA 4-1 Centros de masa 



Figura 















Posici6n del cm, 



Placa triangular 

Punto de interseccidn de las 
tres medianas. 



Poligono regular y placa circular 

En el centro geomStrico de la 
figura. 



Cilindro y esfera 

En el centro geomGtrico de la 

figura. 



Pirdmide y cono 

En la linea que une el vertice 
con el centro de la base y a 
V« de la base. 



Figura con simeiria axial 

En algHn punto sobre el eje 
de simetria. 



Figura con centro de simetrta 
En el centro de simetria. 



70 



Fuerzas 



(4.8 



Un punto definido por las ecs. (4,10) o (4,21) se denomina centra de masa del sis- 
tema de particulas, abreviado CM,* El concepto de centro de masa es importante 
no solamente en relation a la composition de las fuerzas paralelas. Tambien 
juega un papel esencial en el analisis del movimiento de un sistema de particu- 
las y, en particular, de un cuerpo rigido, como veremos en los capitulos 9 y 10, 
Consideremos un cuerpo compuesto de un gran mimero de particulas, muy 
compacto, podemos suponer que tiene una estructura continua. Si p es su den- 
sidad en cada punto, podemos dividir el volumen en elementos de volumen dV, 
y la masa en cada uno de estos sera dm = pdV. Luego, cuando reemplazamos 
las sumas en la ec. (4.21) por integrales, el centro de masa esta dado por 



x, 



/ pxdV 
ipdV 



Ut 



fpdV 



Zr = 



f pzdV 
JpdV 



(4.22) 



Si el cuerpo es homogeneo, p es constante y puede simplificarse de las ecs. (4,22), 
dando por resultado 



Xi 



fxdV _ fxdV 
jdV ~~ V^ 



(4.23) 



con ecuaciones an£logas para y c y z c . En este caso el centro de masa esta deter- 

minado exclusivamente por la geometria del cuerpo.** 
Cuando el cuerpo homogeneo tiene alguna simetria, el calculo se simplifica ya 

que el centro de masa debe coincidir con el centro de simetria. Si un cuerpo tiene 

un centro de simetria, tal como una esfera, un para- 
lelepipedo, etc., el centro de masa coincide con el- 
Si el cuerpo tiene un eje de simetria tal como un 
cono, el centro de masa se halla sobre el eje. (Ver 
tabla 4-1), 









' 
























trio 

























ltti 










X 










— , 


CM 






»':), 








»'l 






































Figura 4-12 



EJEMPLO 4.7. Encontrar el centro de masa de las 
particulas situadas como se indica en la Fig. 4-12. 
Los valores de las masas son /n a = 5 kg, m 2 = 30 kg, 
m 3 = 20 kg, m 4 = 15 kg. El lado de cada cuadrado 
es de 5 cm. 

Solucidn; Debemos en primer lugar encontrar la masa 
total m: 



m = Si mi = 5 kg + 30 kg + 20 kg + 15 kg = 70 kg. 



* Realmente el peso se aplica en un punto ligeramente diferente llamado centro de gravedad. 
Para propdsitos practicos no hay djferencia entre dichos centres a menos que el cuerpo sea 
muy grande. 

** Para la t£cnica del calculo de centro de masa, ver cualquier texto de calculo; por ejemplo, 
G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analitica, tercera edicion. Madrid: Aguilar, 1964, 
secciones 5-19 t 15-3 y 15-6. 



4.9) 



Estdtica. Equilibria de una parttcula 71 



En seguida aplicamos la primera y segunda ecs. (4.21). Omitimos las unidades por 
brevedad. El resultado es: 

T _ (5) (0) + (30) (15) +(20)(30) + (15) (- 15) m 

Xc — — = 11,5 cm, 

„ = (5) (0) + (30) (20) + (20) (0) + (15) (10) _ 
El centro de masa est£ situado en el punto indicado por CM en la Fig. 4-12, 



4.9 Est&tica* Equilibria de una parttcula 

La estatica es la rama de la mecSnica que estudia el equilibrio de los cuerpos, 
Una particula se encuentra en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que 
actiian sobre ella es cero; esto es, 



Z t Fi = 0. 

La ecuaci6n anterior es equivalente a 

Z t F ix = 0; Z t F iy = 0; Z t F iz = 0. 



(4.24) 



(4.25) 



Ilustraremos ahora c6mo resolver algunos problemas sencillos que involucran el 
equilibrio de una particula. 

EJEMPLO 4.8. Discutir el equilibrio de tres fuerzas que actiian sobre una particula. 

Solud6n: Consideraremos las tres fuerzas ilustradas en la Fig. 4-13. Si las fuerzas 
estan en equilibrio, esto signiflca que 

F l +F t +F t = 0, 

de modo que si dibujamos un pollgono con las tres fuerzas debemos obtener un tri- 
angulo, como se muestra en la Fig. 4-14. Esto indica que las tres fuerzas concurrentes 




F '&ura 4-18 




*X 



Figura 4*14 



Fig. 4-15. Equilibrio en un piano in- 
clinado. 



72 Fuerzas (4.1C 

en equilibrio deben estar situadas en un piano. Igualmente, aplicando la ley de loa 
senos (M.15) a este tri&ngulo, obtenemos 

^i i 7 * ^3 

— = V = — » (4.26) 

sen a sen p sen y 

la cual es una f6rmula muy util que relaciona las magnitudes de las fuerzas y los 
4nguIos que hacen entre si. 

EJEMPLO 4,9. Discutir el equilibrio de una partfcula situada sobre un piano in- 
clinado. 

Sotucitin: La particula que reposa sobre el piano inclinado AB (Fig. 4-15) est£ 
sometida a las siguientes fuerzas: su peso W 9 la atracci6n F, y la reaction N normal 
al piano. Deseamos expresar Fy JVen runctfn de *F, a y 6. Podemos proceder de 
dos maneras diferentes. LTtilizando la ley de los senos, ec. (4.26), y considerando la 
geometrfa de la Fig. 4-15, tenemos: 

F N W 



sen (180° — a) sen (90° + a + 0) sen (90° — 6) 

6 

F = N = W 

sen a cos (a + 6) cos 6 * 

dando para F y N 

- = Wsena _ W cos (« + 6) 

cos 6 * cos G 

Como en el proceso alterno, podemos introducir los ejes X e Y como se mues- 
tra en la flgura y aplicar las primeras dos ecuaciones (4.25), El resultado es 

Zi Fix = F cos 8 — W sen a = 0, 

Zi Fi V = F sen G — W cos a + N = 0. 

De la primera obtenemos 

W sen a 



F cos e = W sen a 6 F = 



cos 



de acuerdo con nuestro resultado anterior. De la segunda, utilizando la expresidn 
ya encontrada para F, obtenemos. 

JV = ir cos a — F sen = W cos a < 

cos e 

_ w cos a cos — sen a sen 6 _ cos (a + 0) 

cos 6 cos ' 

que es nuevamente el resultado previamente obtenido. El estudiante debe decidir, 
en cada problema particular, qu6 m6todo es mas directo o conveniente. 



4.10 EstMica. Equilibrio de un cuerpo rlgido 

Cuando las fuerzas estdn actuando sobre un cuerpo rigido, es necesario consi- 
derar el equilibrio en relaciun tanto a la traslacion como a la rotaci6n. Por lo 
tanto se requieren las condiciones siguientes: 



4.10} tistatica. Equilibria de un cuerpo rigido 73 

L La suma de todas las fuerzas debe ser cero (equilibrio de traslacidn): 

E t F t = 0, (4.27) 

II. La suma de todos los torques con respecto a cualquier punto debe ser cero 
(equilibrio rotational): 



£|Ti=0. 



(4.28) 



Si las fuerzas se encuentran todas en un piano, estas condiciones se reducen a 
las tres ecuaciones algebraicas siguientes: 



E ( F te = 0, E t F iv - 0, Et x t = 0. 



(4.29) 



Como estas son tres ecuaciones simetricas, los problemas de estdtica plana estAn 
determinados solamente si hay tres cantidades desconocidas. Ahora ilustramos 
la tecnica de resolver algunos problemas tipicos de la estdtica plana* 



lm 



2m 



A 

A 



F : =200 kgf 



lm 



JF = 40kgf 



MM 



IP/ 
■ *■ 
1,5 m 
frill ■■■ ■M l 



* B 



F 2 = 500kgf 



F 3 = 100kgf 

F 4 = 300kgf 

Figura 4-lft 



EJEMPLO 4.10, La barra de la Fig. 4-16, reposa en equilibrio sobre los puntos A 
y B, bajo la accidn de las fuerzas que se indican. Encontrar las fuerzas ejercidas 
sobre la barra en los puntos A y B. La barra pesa 40 kgf y su longitud es de 8 m. 

Sotucidn: Aplicando primero la condici6n (4.27) de equilibrio de traslacidn, tenemos 

EFi = F + F' — 200 — 500 — 40 — 100 — 300 = 



o sea 



F = F' = 1140 kgf. 



(4.30) 



En segundo lugar, aplicamos la condicidn (4,28) de equilibrio rotational. Es mis 
conveniente calcular los torques con respecto a A, ya que de este modo el momento 
de la fuerza F es cero. Asi 

Et tt = (— 200) (— 1) + F(0) + (— 500) (2) + (— 40) (3) 
+ (— 100) (4,5) + F'(5,5) + (— 300) (7) = 



74 



Fuerzas 



(4J0 



o sea F' = 630,9 kgf. Combinando este resultado con la ec. (4.30), obtenemos F = 
= 509,1 kgf, lo cual resuelve el problema. 



EJEMPLO 4.11* Una escalera AB de peso 40 Ibf descansa sobre una pared vertical, 
haciendo un angulo de 60° con el suelo, Encontrar las fuerzas sobre la escalera en 
A y B. La escalera tiene rodillos en A, de modo que la fricci6n es despreciable. 

Solucidn: Las fuerzas que actuan sobre la escalera se ilustranenla Fig. 4-17. El peso 
W esta aplicado en el centro C de la escalera. La fuerza F x es necesaria para que la 
escalera no resbale y se debe a la friccitfn con el piso. Las fuerzas F % y F 3 son las 
reacciones normales en el piso y la pared. Utilizando las tres condiciones de equi- 
librio, de acuerdo a la ec. (4.29), tenemos:- 




EFix = — F, + F a = 0, 



(4.31) 



Denominando L la Iongitud de la escalera y tomando 
torques alrededor de B de modo que los torques de 
las fuerzas desconocidas i^ y F t sean cero, obtenemos 
de acuerdo a la tercera ecuaci6n de equilibrio, 

,27t, = W(tL cos 60°) — F 3 (L sen 60°) = 



o sea 



F* = 



W cos 60° 



2 sen 60° 
Luego, las ecs, (4.31) nos dan 

F 2 = F a = 11,52 lbf 

F 9 = W = 40 lbf. 



11,52 lbf. 



Figura 4-17 



N<Hese que si la escalera no tiene rodillo en A, hay 
que considerar ademas en A una fuerza de fricci6n pa- 
ralela a la pared vertical. De esta manera tendremos 

cuatro fuerzas desconocidas, y se requerira una suposici6n adicional para resolver 

el problema. 



Bibliografia 

1. Mechanics (segunda edicidn), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 
1964, sec. 3-2 

2, Physical Mechanics (tercera edicidn), por R. Lindsay. Princeton, N. J. : Van Nos- 
trand, 1963, sec. 1-7 

3* Vector Mechanics, por D, Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps. 3, 
4, 10 y 11 

4. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison-Wesley, 1961, caps. 3, 5, 6 y 8 

5. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y 
M. Sands. Reading, Mass.: Addison Wesley, 1963, cap. 12 

6. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller. Reading* 
Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap. 4 



Froblemas 



75 



Problemas 



4.1 Un poste de tel&ono se mantiene 
en la posicidn vertical mediante un 
cable fljo en el poste a una altura de 
10 m e igualmente fljo al suelo a 7 m 
de la base del poste. Si la tensidn en el 
cable es de 500 lbf , &cuales son los valores 
de las fuerzas horizontal y vertical ejer- 
cidas sobre el poste por el cable? 

4.2 Un bloque cuyo peso es de 6 kgf 
reposa en una superflcie horizontal lisa« 
Se le empuja con una varilla (que forma 
un angulo de 30° con la horizontal) con 
una fuerza de 6 kgf. (a) &Cu&l es la 
fuerza perpendicular total ejercida sobre 
la superflcie? (b) (Cu&l es la fuerza 
paralela a la superflcie? 

4.3 Un piano inclinado tiene 2 m de 
alto y 5 m de largo. Hay una piedra (de 
de 10 kgf) en el piano, inmdvil por un 
obstaculo. Encontrar la fuerza ejercida 
por la piedra (a) sobre el piano y (b) 
sobre el obstaculo. 




6 lbf 



30° 



8 lbf 



a) 



20 lbf 



Hgura 4-18 




^jeL 



10 lbf 



-Y 



(0 



4-4 Encontrar la magnitud y la direc- 
ci6n de la resultante del sistema de fuer- 
zas representadas en la Fig. 4-18. 

4.5 Cuatro fuerzas coplanares (30 N, 
40 N t 20 N y 50 N) est4n todas actuando 
concurrentemente sobre un cuerpo. Los 



&ngulos entre las fuerzas son, consecu- 
tivamente, 50°, 30° y 60°. Calcular la 
magnitud de la fuerza resultante y el 
Angulo que hace con la fuerza de 30 N. 

4.6 Dadas las tres fuerzas siguientes: 
F x = u^500) lbf; F t = «*(0) + u£— 200) 
+ u«(100) lbf; F t = u*{— 100) + wy(50) 
+ »■( — 400) lbL (a) Determinar la mag- 
nitud y direction de la fuerza resultante. 
(b) Determinar el torque resultante de 
las fuerzas arriba indicadas, con respecto 
al origen 0, si se aplican al punto (4, 
— 3, 15). Utilizar la fuerza resultante 
para determinar el torque resultante. 

4.7 Calcular el torque, con respecto al 
origen O, de cada una de las fuerzas da- 
das en el problema 4.6, cuando cada 
una es aplicada en el punto (4, — 3, 15), 
Demostrar que el torque resultante es 
perpendicular a la fuerza resultante. 

4.8 (a) Encontrar el torque resultante 
con respecto al punto O de las fuerzas 
enumeradas en el problema 4.6 cuando 
se aplican en diferentes puntos: F x en 
(3, 8, 10); F % en (—2, 0, 4); F % en 
(4, — 25, 10). (b) Encontrar R-te indi- 
car la reducci6n minima del sistema. 




10 m 



■4-* — A' 



4.9 Calcular el torque de la. fuerza en 
la Fig. 4-19 con respecto al origen. De- 
terminar la ecuacidn de la linea de ac- 
ci6n de la fuerza. 

4.10 Determinar (Fig. 4-20) la fuerza 
y el torque resultantes con respecto a O 
de tres fuerzas, 50 N, 80 N y 100 N, 
mutualmente perpendiculares entre si (a) 
si son concurrentes (b) si la linea de ac- 



76" 



fuerzas 




Figure 4-20 



(-2,2) 







(2, 2) 

^iFi^lOlbf 
l l 


/30°] 






i 

1 
1 

1 


/t\=\?y lbf 











f< 


S 


-2) 


Figure 4-22 




45° 


sF 3 =10lbf 



Flgtira 4-21 
























\ 
















10 


Ibf\ 






^ 


5 lbf 










\ 
\ 


8 lbi 








/T2 1bf 






\ 

\ 
\ 

N 






V 







Figure 4-23 



ci6n de la fuerza dc 100 N se encuentra 
a 1,2 m del punto de concurrencia de las 
otras dos* 

4.11 Sobre un rectangulo rtgldo ABCD 
de las siguientes dimensiones AB — 
= CD = 0,4myBC = DA= 0,6 m, 
acttian cinco fuerzas: en A, una fuerza 
de 6N en la direccl6n AB, una fuerza 
de 4N a lo largo de AC, y una fuerza de 
3N a lo largo de AD; en C, una fuerza 
de 5N actuando a lo largo de la direcci6n 
CD y una fuerza de 4N actuando a lo 
largo de la direcci6n CB. Determinar la 
fuerza resultante, e igualmente el torque 
con respecto a los puntos A f B f y el 
centro geom6trico. 

4.12 Dos fuerzas paralelas, y del mismo 
sentido, estan separadas por una dis- 
tancia de 0,2 m. Si una de las fuerzas 
es de 13Ny la linea de acciin de la resul- 
tante esta a 0,08 m de la otra. encontrar 
(a) la magnitud de la resultante y (b) la 
magnitud de la otra fuerza. 



4.13 Dos fuerzas paralelas, del mismo 
sentido, tienen magnitudes de 20N y 
30N. La distancia de la linea de acci6n 
de la resultante a la fuerza mayor ea 
de 0,8 m. Encontrar la distancia entre 
las fuerzas. 

4.14 Resolver los dos problemas ante- 
riores suponiendo que las fuerzas tienen 
sentidos opuestos. 

4.15 Un cubo de densidad uniformed el 
cual pesa 10 lbf y tiene 2 pies de lado, 
descansa en uno de sus vertices (Fig. 4-21). 
&D6nde debe situarse un baldn Ueno de 
gas (que tiene una fuerza de suspensi6n 
de 8 lbf) de modo, que el cubo "flote" 
en la posicidn horizontal mostrada en la 
flgura? &Cu&l es la fuerza en O? 

4.16 Encontrar la magnitud y la posi- 
cidn de la resultante del sistema de 
fuerzas representadas en la Fig. 4-22. 
Las coordenadas de los puntos A, B y C 
se dan en pies. 



Problemas 



77 



30 N 



20 N 



. ION 



ION 







Figura 4-24 




F 1 = 10kgf 



F 3 = 25kgf 



F 2 = 5kgf 
Figura 4-26 








25kgf 



lOkgf 



50kgf 



lokgf 



+~X 



Figura 4-25 




Figura 4-27 



4.17 Encontrar la magnitud y la posi- 
ci6n de la resultante de las fuerzas repre- 
sentadas en la Fig. 4-23. Cada cuadrado 
tiene 1 pie de lado. 

4.18 Reducir el sistema de fuerzas de 
la Fig. 4-24. 

4.19 Reducir el sistema de fuerzas de 
la Fig. 4-25. Los cuadrados tienen un 
area de 1 cm 3 , 

4.20 Demostrar que si R = EiFi es la 
resultante de un sistema de fuerzas con- 
eurrentes y t es su torque con respec- 
to al punto 0, el torque con respecto a 

A es 

Xa = T + r Ao x K. 

4.21 Una varilla tiene 2 m de largo 
y pesa 5 gmf (4900 dinas). Sobre ella 
actiian fuerzas de 3000, 2000, 1500 dinas 
que actiian haeia abajo a 0, 50 y 200 cm 
de un extremo, y fuerzas de 5000 y 
13.000 dinas que actiian hacia arriba 
a 20 y 100 cm del mismo extremo. 



Determinar la magnitud y la lfnea de 
accidn de la resultante. 

4.22 Encontrar la magnitud y posicidn 
de la resultante del sistema de fuerzas 
representado en la Fig. 4-26. Cada seg- 
mento de la viga AB mide 1 dm. En- 
contrar tambiGn las fuerzas necesarias 
enAyfi para balancear las otras fuerzas. 

4.23 La viga AB es uniforme y tiene 
una masa de 100 kg. Descansa en sus 
extremos A y B y soporta las masas 
como se indica en la Fig. 4-27. Calcular 
la reaccidn en los soportes. 

4.24 Determinar las tensiones sobre 
las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28) si M 
pesa 40 lbf. 

4.25 El cuerpo representado en la fi- 
gura 4-29 pesa 40 kgf. Se mantiene en 
equilibrio por medio de una cuerda AB 
y bajo la accitfn de la fuerza horizon- 
tal F. Suponiendo que AB = 150 cm 
y que la distancia entre la pared y el 



78 Fuerzas 



mmmmM%*,te&. 




FIgur* 4-28 



cuerpo es de 90 cm, calcular el valor 
de la fuerza F y la tensi6n en la cuerda. 

4.26 Para la Fig. 4-30, calcular el an- 
gulo 6 y la tensi6n en la cuerda AB si 
M L = 300 lbf y M t = 400 lbf. 

4.27 Un muchacho que pesa 120 lbf 
sostiene una barra de levantamiento de 
pesas. &Qu6 fuerza ejerce cada uno 
de sus brazos sobre la barra cuando (a) 
sus brazos estan en position paralela 
y (b) cuando cada brazo hace un angulo 
de 30° con la vertical? Representar la 
fuerza en funcidn del dngulo. &Qu6 con- 
clusi6n obtiene Ud. de la grafica ? 

4.28 Una cuerda ABCD cuelga de los 
puntos fijos A y D. En B hay un peso 
de 12 kgf y en C un peso desconocido. 
Si el angulo que hace AB con la hori- 
zontal es de 60°, BC es horizontal y CD 
hace un dngulo de 30° con la horizontal, 
calcular el valor que P debe tener a fin 



de que el sistema se encuentre en equi- 
librio. 

4.29 Tres cuerdas, situadas en un piano 
vertical, est&n fljas a puntos diferentes 
sobre el techo. Los otros extremos est&n 
unidos en el nudo A y del cual cuelga 
un peso P. Los Angulos formados por 
las cuerdas con la horizontal son, 35°, 
100° y 160°, respectivamente. Las ten- 
siones en las primeras dos cuerdas son 
de 100 kgf y 75 kgf. Calcular la tensidn 
en la tercera cuerda y el peso P. 

4.30 Demostrar que si tres fuerzas se 
encuentran en equilibrio, ellas deben 
ser concurrentes; esto es, sus lineas de 
acci6n, deben encontrarse en un punto. 

4.31 Una esfera cuyo peso es de 50 kgf 
descansa sobre dos pianos lisos, inclina- 
dos respectivamente con respecto a la 
horizontal, Angulos de 30° y 45°. Calcu- 
lar las reacciones de los dos pianos sobre 
la esfera. 






B 




F 












W 








Figura 4-29 



Figura 4-80 



Figura 4-81 



Figura 4-82 



Problemas 79 




(a) 
Figura 4-33 





4.32 Una esfera (Fig. 4.31) que pesa 
50 3bf descansa sobre una pared lisa, 
manteniendose en esa position mediante 
un piano liso que hace un angulo de 60° 
con la horizontal. Calcular la reacci6n 
de la pared y el piano sobre la esfera. 

4.33 Una esfera de peso W se sostiene 
mediante una cuerda A.B(Fig. 4-32) ypre- 
siona una pared vertical lisa AC. Si a 
es el angulo entre la cuerda y la pared, 
determinar la tensi6n en la cuerda y la 
reacci6n de la pared sobre la esfera. 

4.34 Calcular las fuerzas (Fig. 4-33) que 
la viga AB y el cable AC ejercen en A, 
suponiendo que M pesa 40 kgf y que 
el peso del cable y la viga son despre- 
ciables. 




Figura 4-34 



4.35 Determinar las reacciones hori- 
zontal y vertical (Fig. 4-33) en el punto 
B y la tensi6n en el cable AC, suponiendo 
que la viga tiene una masa de 20 kg. 



4.36 Encontrar las fuerzas F, F', 2V 
y H en la Fig. 4-34. CE y DC son cables. 
Despreciar el peso de la barra AC. 

4.37 Discutir el resultado del problema 
anterior a medida que la distancia b — 
= AG tiende a cero. 



2,5 m- 



Wb 



£L 



B 



SH 



Figura 4-35 



4.38 La viga uniforme AB de la Fig. 4-35 
tiene 4 m de largo y pesa 100 kgf. La 
viga puede rotar alrededor del punto 
fljo C. La viga reposa en el punto A. 
Un hombre que pesa 75 kgf camina 
a lo largo de la viga, partiendo de A. 
Calcular la maxima distancia que el 
hombre puede caminar a partir de A 
manteniendo el equilibrio. Representar 
la reaccidn en A como una funci6n de 
la distancia x. 

4.39 Sobre la viga AB actuan las fuer- 
zas que se indican en la Fig. 4-36. Deter- 
minar la magnitud y la posicidn de la 
result ante. 

4.40 La viga AB de la Fig. 4-37 tiene 
1,2 m de largo y peso despreciable. Las 
esferas C y D (de 40 kg y 20 kg respec- 
tivamente), unidas por la barra CD, 
descansan sobre la viga. La distancia 
entre los centros de las esferas es de 



80 Fuerzas 



100 N 




40 cm 40 cm 60 cm 20 cm 80 cm 



Figura 4-36 





(a) 



(b) 



0,3 m. Calcular la distancia x de modo 
que la reaction en B sea la mitad de la 
reaction eh A. 



C 




D 




Figura 4-87 




Figura 4-S8 



(c) 



4.41 Un puente de 100 m de largo y 
10.000 kgf de peso se mantiene en posi- 
ci6n horizontal mediante dos columnas 
situadas en sus extremos. &Cu&les son 
las reacciones sobre las columnas cuando 
hay tres carros sobre el puente a 30 m, 
60 m y 80 m de uno de sus extremos, 
cuyos pesos son, respectivamente, 
1500 kgf, 1000 kgf y 1200 kgf? 

4.42 Considerar los tres carros del pro- 
blema 4.41, desplaz&ndose todos a la 
misma velocidad de 10 m s- 1 , y en la 
misma direcci6n. Representar las reac- 
ciones de las columnas en functfn del 
tiempo, tomando t = para la posicidn 
dada en el problema 4.41. Extender la 
gr&flca hasta que los carros salgan del 
puente. 

4.43 Una plancha de 8 m de largo 
y 20 kg, reposa sobre las orillas de un 
riachuelo. Un hombre de 100 kg camina 
sobre la plancha. Representar la reacci6n 
en cada extremo de la plancha en fun- 
ci6n de la distancia del hombre a partir 
del extremo. 



4.44 Hallar la fuerza F necesaria para 
mantener el equilibrio, en funci6n de Q, 
para cada uno de los casos que se mues- 
tran en la Fig. 4-38. Las poleas marcadas 
con C son m<5viles. 

4.45 Calcular el peso P necesario para 
mantener el equilibrio en el sistema mos- 
trado en la Fig. 4-39, en la cual A pesa 
100 kgf y Q 10 kgf. El piano y las poleas 
son lisas. La cuerda AC es horizontal 
y la cuerda AB es paralela al piano. 
Calcular tambten la reaction del piano 
sobre el peso A. 

4.46 Una varilla de masa m y longitud / 




= 10 k«f 
Figura 4-89 



ProMemas 81 



mm?. 



Figura 4-40 





(b) 



Figura 4-41 

(Fig. 4-40) se coloca sobre un hemisferio 
de radio r perfectamente liso. Encontrar 
la posicidn de equilibrio de la varilla. 
Calcular las reacciones del hemisferio 
sobre la varilla. Discutir la solution 
para / > 2r y para I < 2r. 

4.47 Una varilla de masa de 6 kg y 
longitud 0,8 m est& colocada sobre un 
angulo recto liso como se muestra en 
la Fig. 4-41. Determinar la posici6n de 
equilibrio y las fuerzas de reaccidn como 
una funci6n del Angulo a. 

4.48 Dos esferas id6nticas se colocan 
en el sistema mostrado en la Fig. 4-42. 
Calcular las reacciones de las superficies 
sobre las esferas. Demostrar que cada 
esfera se encuentra independientemente 
en equilibrio. 

4.49 Repetir el ejemplo 4.11 del texto 
con una fuerza de fricci6n (vertical) que 
sea exactamente igual a 0,3 F 9 . Todo lo 
demas del ejemplo permanece invariable. 

4.50 Demostrar que la resultante de 





Figura 4-43 



(e) 



las fuerzas F t y F t de la Fig. 4-17 pasa 
a trav£s del punto de intersecci6n de F, 
y P, y es igual y opuesta a su resultante. 
tSe esperaba este resultado? 

4.51 Encontrar el centro de masa de 
los tres cuerpos homog6neos mostrados 
en la Fig. 4-43. 

4.52 Encontrar el centro de masa (a) 
del sistema tierra-luna y (b) del sistema 
tierra-sol. Utilizar los datos de la ta- 
bla 13-1. 

4.53 Encontrar las coordenadas del 
centro de masa del cuerpo homog£neo 



F *gura 4-42 



Figura 4-44 





Y 












— 3— 






A 




B 




, i 






t 
2 

\ 








D 

— — >. 

1.5 


C 


. 


, 


L0 




m A 


( 


t 






m 4 •" 

E 


F , 








i 








2 

i 


O 


5,5 ► 


G 



X 



82 



Fuerzas 



representado en la Fig. 4-44, AB = 3 cm, 
BC = 2 cm, CD = 1,5 cm, DE = 6 cm, 
EF = 4 cm, FG = 2 cm. 

4.54 Determinar la posicidn del centro 
de masa de las siguientes moleculas : 
(a) GO, siendo la distancia entre los 
atomos de C y de 1,13 x 10" 10 m (b) 
C0 2 ; esta es una molecula lineal con el 
atomo C en el centro, equidistante de los 
atomos de O. (c) H a O; esta molecula 
forma una linea quebrada con un an- 



gulo de 105°, teniendo el atomo de O 
en el vertice> y, siendo la distancia 
O— H de 0,91 x 10~ 10 m. (d) NH 3 , esta 
es una molecula piramidal con el atomo 
N en el vertice, siendo la distancia 
N— H de 1,01 X 10- 10 m, y el angulo 
entre los enlaces N— H de 108°. 

4.55 Guatro masas iguales se encuen- 
tran en los vertices de un tetraedro regu- 
lar de lado a. Encontrar la posicion de 
su centro de masa. 



PARTE 1 
MECANICA 



5 Cinemdtica 

6 Movimiento relativo 

7 Movimiento de una particula 

8 Trahajo y energia 

9 Dindmica de un sistema de particulas 

10 Dindmica de un cuerpo rigido 

11 Dindmica de alta energia 

12 Movimiento oscilatorio 



84 Cinemdtica 

El fenomeno mas obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el 
de movimiento. El viento, las olas, los p£jaros que vuelan, las animates que corren, 
las hojas que caen — todos estos son fenomenos de movimiento. Pr&cticamente 
todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos 
objetos. La tierra y los planetas se mueven alrededor del sol; los electrones se 
mueven en el interior del atomo, dando lugar a la absorcion y a la emisi6n de 
luz, o se mueven en el interior de un metal, produciendo una corriente electrica; 
las moleculas de gas se mueven, dando lugar a la presion. Nuestra experiencia 
diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos 
que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos. Lo que el fisico y el inge- 
niero hacen, esencialmente, es ordenar las cosas de tal manera que, bajo la inter- 
acci6n mutua de las particulas, se produzca una cierta clase de movimiento. 
En un tubo de television, el haz de electrones debe moverse de una cierta manera 
para producir una imagen en la pantalla. En una m&quina termica, las moleculas 
del combustible quemado deben moverse de tal manera que un piston o una 
turbina se muevan a su vez en una direction deseada* Una reacci6n quimica es 
la consecuencia de ciertos movimientos atomicos que dan por resultado un nuevo 
ordenamiento, formando nuevas clases de moleculas. El papel del fisico es de&- 
cubrir las razones de todos estos movimientos y el papel del ingeniero es ordenar 
las cosas de modo que se produzcan movimientos utiles, movimientos que hagan 
la vida m£s fAcil. Hay varias reglas generates o principios que se a p lie an a todas 
las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones. 
Este conjunto de principios, y la teoria que los sustenta, se denomina mecanica. 

Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las 
diferentes clases de interacciones, se ban inventado algunos conceptosimportantes, 
tales como los de momentum, fuerza y energia. Si el momentum, la fuerza, y/o la 
energia se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer 
reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. El 
momentum, la fuerza y la energia son tan importantes que raramente podemos 
analizar un proceso sin expresarlo en funcion de ellos. 

La mecanica, que es la ciencia del movimiento, es tambien la ciencia del mo- 
mentum, la fuerza y la energia, Es una de las areas fundamentals de la fisica,- 
y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideration de in- 
teracciones particulares* En tiempo de Galileo ya se reconocia este papel bdsico 
de la mecanica, estando condensada la idea en la proposition, "ignorato motu, 
ignoratur natura". La mecanica se estudiara en los capitulos 5 a 12. 

La ciencia de la mecanica como la comprendemos hoy dia es el resultado prin- 
cipalmente del genio de Sir Isaac Newton, que produjo la gran sintesis denomi- 
nada principios de Newton. Sin embargo, muchas personas mas han contribuido 
a su avance. Algunos de los nombres m&s ilustres son Arquimedes, Galileo, Kepler, 
Descartes, Huygens, Lagrange, Hamilton, Mach y Einstein. 



5 

CINEMATICA 



5.1 Introduction 

5.2 Movimiento rectilineo: velocidad 

5.3 Movimiento rectilineo: acceleration 

5A Representation vectorial de la velocidad y la aceleracion 

en el movimiento rectilineo 

5.5 Movimiento curvilineo: velocidad 

5.6 Movimiento curvilineo: aceleracion 

5.7 Movimiento hajo aceleracion constante 

5.8 Componentes tangential y normal de la aceleracion 

5.9 Movimiento circular: velocidad angular 

5 JO Movimiento circular: aceleracion angular 

5.11 Movimiento curvilineo general en un piano 



W Linemdtica 



(5.1 



5 .1 Introducci6n 



Decimos que un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otrc 
cuando su posici6n, medida relativa al segundo cuerpo, est& cambiando con el 
tiempo. Por otra parte, si esta position relativa no cambia con el tiempo, el objetc 
se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son con- 
ceptos relativos; esto es, dependen de la condition del objeto con relation al cuerpo 

que se usa como referencia. Un arbol y 
una casa se encuentran en reposo relativo 
con respecto a la tierra, pero en movi- 
miento con respecto al sol. Cuando un tren 
pasa por una estacion decimos que el tren 
estA en movimiento relativo con respec- 
to a la estaci6n. Pero un pasajero del 
tren bien puede decir que la estacion 
se encuentra en movimiento en la direc- 
tion opuesta. Por ello, para describir un 
movimiento, entonces, el observador debe 
definir un sistema de referenda con re- 
lation al cual se describe el sistema en 
movimiento. En la Fig. 5-1 hemos indi- 
cado dos observadores y O r y una par- 
ticula P. Estos observadores utilizan los 
sistemas de referencia XYZ y X'Y'Z\ 
respectivamente. Si y 0' se encuentran 
en reposo entre si, observaran el mismo 
movimiento de' P. Pero si y O' se encuentran en movimiento relativo, sus ob- 
servations del movimiento de P ser&n diferentes. 




Fig. 5-1, Dos observadores diferentes 
estudian el movimiento de P. 



A 



\sC) 



Trayectoria-A 
de la luna con 
respecto al sol 





Trayectoria de la luna(. ~-=^ 

con respecto a la — ^ I O f 



tierra 
X 




QtTy 



\,J 



Fig. 5-2. Orbita de la luna con respecto a la tierra y al sol. 
La distancia tierra-luna es solamente 4 x 10 -3 la distancia 
tierra-sol. Las ondulaciones en la 6rbita lunar se han exa- 
gerado considerablemente. 



Trayectoria 

de la tierra con 

respecto al sol 



S.2) Movimiento rectilineo: velocidad 87 

Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno sobre el sol y el otro sobre 
la tierra (Fig. 5-2) estudiando ambos el movimiento de la luna. Para un observador 
terrestre que usa el sistema de referencia X'Y'Z\ la luna parece describir una 
6rbita casi circular alrededor de la tierra. Sin embargo, para el observador situado 
en el sol, que usa el sistema XYZ, la 6rbita de la luna aparece como una linea 
ondulante. Sin embargo, si los observadores conocen su movimiento relativo, 
pueden facilmente reconciliar sus observaciones respectivas. En el capitulo 6 
discutiremos en m&s detalle este tema importante de comparar datos obtenidos 
por observadores que se encuentran en movimiento relativo. Por el momento 
supondremos que tenemos un sistema de referencia bien definido. 



5.2 Movimiento rectilineo: velocidad 

El movimiento de un cuerpo es rectilineo cuando su trayectoria es una recta. 
Consideremos que el eje OX de la fig. 5.3 coincide con la trayectoria. La position 
del objeto esta definida por su desplazamiento medido desde un punto arbitra- 
rio 0, u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo 
mediante una relation funcional x = /*(/). Obviamente, x puede ser positiva o 
negativa. Supongamos que en el tiem- 
po / el objeto se encuentra en la posi- 
cion A, siendo OA = x. Mas tarde en el |* — &x — -| 

tiempo t\ se encuentra en B t siendo _^ A\ |£ ^ x 

OB = x\ La velocidad promedio entre ° x % f 

A y B esta definida por v v , 

» = X ' ~ X = AX (5 1) F1 ^ra 5-8 

t' — t At' V 

donde Ax = x r — x es el desplazamiento de la particula y At = V — t es el tiempo 
transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo 
de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para deter- 
minar la velocidad instantdnea en un punto, tal como A, debemos hacer el inter- 
valo de tiempo At tan pequeno como sea posible, de modo que esencialmente 
no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeno intervalo. 
En el lenguaje matematico esto es equivalente a calcular el valor limite de la 
fraccion que aparece en la ec. (5.1) cuando el denominador At tiende a cero. Esto 
se escribe en la forma 

v = lim v = lim . 

Af-*0 Af-»0 A' 



Pero esta es la definicion de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es 

v = , (5.2) 

dt v J 

de modo que obtenemos la velocidad instantdnea calculando la derivada del despla- 
zamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantanea se 



88 Cinematica 



(5.2 



encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanas 
separadas por una pequena distancia dx y midiendo el intervalo de tiempo di 
necesario para que vaya de una position a la otra. En el futuro el termino "velo- 
cidad" se referird siempre a la velocidad instant&nea. 

Si conocemos v = /"</), podemos obtener la posicidn x integrando la ec. (5.2). 
De la ec. (5.2) tenemos dx = vdt; luego, integrando, obtenemos 

| Z dx = f v dU 

J XO J tO 

donde x es el valor de x en el tiempo * . Y, puesto que J^ dx = x — x 

x = x + I vdt. (5.3) 

J (o 

Para entender el significado fisico de la ec. (5.3), el estudiante debe tener en 
cuenta que v di representa el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo 
di. Luego, dividiendo el intervalo de tiempo t — 1 en intervalos pequenos suce- 
sivos dt v d/ 2 , df 3 , . . ., encontramos que los desplazamientos correspondientes son 
v x dt v v 2 d/ a , i> 3 cft 3 , . . . , y el desplazamiento total entre t y / es la suma de todos 
estos. Debe notarse que v 19 y 2 , v z , ... son los valores de la velocidad en cada 
intervalo de tiempo. Entonces, de acuerdo al significado de una integral definida, 

Desplazamiento = x — x = v x dt x + v % dt 2 + v$ dt z + ... = 

^yvidU^j* vdt. 

Debemos observar que el desplazamiento Ax (o dx) puede ser positivo o nega- 
tivo dependiendo de si el movimiento de la particula es hacia la derecha o hacia 
la izquierda, dando por resultado un signo positivo o negativo para la velocidad. 
Asi el signo de la velocidad en movimiento rectilineo indica la direcci6n del mo- 
vimiento. La direcci6n es la de + OX si la velocidad es positiva, y la de — OX 
si es negativa. 

Algunas veces se utilizael concepto de velocidad, definida como distancia /tiempo. 
Siempre es positiva, y es numericamente igual a la magnitud de la velocidad; 
es decir, velocidad = \u\* Sin embargo, en general, la velocidad promedio usando 
esta definition no tiene el mismo valor que la velocidad promedio de la expre- 
si6n 5.1. Tambien es importante no confundir el "desplazamiento" x — x en el 
tiempo t — 1 con la "distancia" cubierta en el mismo tiempo. El desplazamiento 
se calcula con la ec. (5.3), pero la distancia se obtiene mediante la integral J[ \v\ dt 
Por ejemplo, al ir de la ciudad A a la ciudad J5, que se encuentra a 100 millas 
al este de A, un conductor puede ir primero a la ciudad C, que se encuentra 
a 50 millas al oeste de A 9 y luego regresar e ir a B. La distancia cubierta ha sido 
de 200 millas, pero el desplazamiento de 100 millas. Si el movimiento tiene lugar 
en 4 horas la velocidad absoluta promedio es de 200 mi/ 4 hr = 50 mi hi- 1 , y la 
velocidad vectorial promedio es de 100 mi/4 hr = 25 mi hr- 1 . 



5.5) Movimiento rectiltneo: aceleracion 89 

En el sistema de unidades MKSC, la velocidad se expresa en metros por se- 
gundo, o ms" 1 , siendo esta la velocidad de un cuerpo que se desplaza un metro 
en un segundo con velocidad constante. Evidentemente, la velocidad puede 
expresarse con una combination cualquiera de unidades de espacio y tiempo; 
tales como millas por hora, pies por minuto, etc. 

EJEMPLO 5*1. Una particula se mueve a lo largo del eje X de manera que su posi- 
ci6n en cualquier instante t esta dado por x = 5t 2 + 1, donde x se expresa en metros 
y / en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre 
(a) 2 s y 3 s, (b) 2 s y 2,1 s, (c) 2 s y 2,001 s, (d) 2 s y 2,00001 s. Calcular tambien (e) 
la velocidad instantanea a los 2 s. 

Solucion: Haremos t = 2 s, el cual es comiin para todo el problema. Usando x — 5t z + 
+ 1, tenemos x = 5(2) a + 1 = 21 m. Entonces, para cada caso, Ax = x — x , 
x — 21 y At = t — t Q - t — 2. 

(a) Para f = 3s, tenemos A/ = ls,x = 5(3) 2 + 1 = 46 m, y Ax = 46 m — 21 m = 
= 25 m. Por lo tanto: 

Ax 25 m n _ 

At 1 s 

(b) Para t = 2,1 s, tenemos At = 0,1 s, x = 5(2,1) 2 + 1 = 23,05 m, y Ax = 
= 2,05 m. Por lo tanto: 

Ax 2,05 m n . _ 1 

u = = — = 20,5 m s- 1 . 

At 0,1 s 

(c) Para t = 2,001 s, tenemos At = 0,001 s, x = 5(2,001) 2 + 1 = 21,020005 m, 
y Ax = 0,020005 m. Por consiguiente: 

Ax 0,020005 m OAAAC . 

v = = — = 20,005 m s- 1 

At 0,001 s 

(d) El estudiante puede verificar que para t = 2,00001 s, v = 20,00005 m s _1 . 

(e) Notamos que a medida que At se torna mas pequeno, la velocidad se aproxima 
a 20 m s" 1 . Luego podemos esperar que este sea el valor de la velocidad instantanea 
cuando / = 2 s. Ciertamente: 

dx d (5*2 + 1) = 10/. 



.dt dt 

Cuando t = 2, obtenemos v = 20 m s _1 que es la respuesta a la pregunta (e). 

5.3 Movimiento rectilineo: aceleraeidn 

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcion del tiempo. Si la velocidad 
permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. Refiriendonos 
nuevamente a la Fig. 5-3, supongamos que en el tiempo J el objeto se encuentra 
en A con una velocidad v y en el tiempo V en B con una velocidad v'. La acele- 
racion promedio entre A y B esta definida por 

v' — v Av ,_ A . 

a = = — , (5.4) 

V — t At 



90 Cinemdtica f 5, 3 

donde Av = v* — v es el cambio en la velocidad y, como antes, At = i' — t es 
el tiempo transcurrido. Luego la aceleracion promedio durante un cierto interva- 
lo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo 
de tiempo. 

La aceleracion instantdnea es el valor limite de la aceleracion promedio cuando 
el intervalo At es muy pequeno. Esto es, 

a — km a = lim , 



dv 
• = -W- (5-5) 

de modo que obtenemos la aceleraci6n instantanea calculando la derivada de 
la velocidad con respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la acelera- 
cion instantanea observando el pequeno cambio de la velocidad dv que tiene 
lugar en el intervalo muy pequeno de tiempo, dt. En el futuro, cuando digamos 
"aceleracion", nos estaremos refiriendo a la aceleracion instantanea. 

En general, la aceleracion varia durante el movimiento. Si el movimiento 
rectilineo tiene una aceleracion constante, se dice que el movimiento es unifor- 
memente acelerado. 

Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el mo- 
vimiento es "acelerado"; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto con 
el tiempo, el movimiento se denomina "retardado". 

Si conocemos la aceleracion, podemos calcular la velocidad integrando la ec. (5.5). 
De la ec. (5.5) tenemos dv = a dt 9 e, integrando, obtenemos 



adt 9 
'0 



J VQ J t( 

donde v es la velocidad en el tiempo / Q . Luego, como J^ dv = v — v Q9 

v = v + adt (5.6) 

J to 

Como en el caso del desplazamiento, el signiflcado fisico de la ec. (5.6) es facil- 
mente comprensible. Sabemos que a di nos da el cambio en la velocidad durante 
un intervalo de tiempo dt Luego, dividiendo el intervalo t — / Q en pequeiios 
intervalos sucesivos de tiempo dt lt dt 2 , dt s , . . ., encontramos que los cambios co- 
rrespondientes en la velocidad son a x dt v a 2 d/ 2 , a 3 d/ 3 , . . . , donde a v a 2 , a 3 , . . . 
son los valores de la aceleracion en cada intervalo de tiempo, y el cambio total 
v — v de la velocidad entre t y t es la suma de estos, Esto es., 

Cambio en la velocidad =v — v = a 1 dt 1 -{- a 2 dt 2 + a z dt z + ... 

= V off dtf = adt. 



5.3) Movimiento rectilineo; aceleracion 91 

La aceleracion se relaciona tambien con la posici6n combinando las ecs. (5.2) 
y (5.5). Esto es, 



dv 

a = 



dt 



d 2 x 



d ( dx\ 



Otra relacion importante entre la position y la velocidad puede obtenerse de 
la siguiente manera. A partir de la ec. (5.5) escribimos dv = a dt Cuando multi- 
plicamos el lado izquierdo de esta ecuacion por el lado izquierdo de la ec. (5.2) 
y hacemos lo mismo con los lados derechos, obtenemos 



v dv = a dt ( ) = adx. 

\ dt ) 



v y a positivos v y a negativos 



V 

11 1 ^- IJ 

— * 1 - X h-^ 



O Pa a P 

(a) Movimiento acelerado (va > 0) 





v positivo y a negativo v negativo y a positivo 


— 1 — 


*V m a 1 V w Y 1 U * - r ■ «~ 


n 


^ 1 w A 1 •" ■* 1 ♦- 

P Op 




(b) Movimiento retardado (vo < 0) 



X 



Fig. 5-4. Relacion vectorial entre la velocidad y la aceleracion en el movimiento 
rectilineo. 



Integrando, obtenemos 

v dv — I adx 

J vq J xn 



i*> 2 — H = f a dx. (5.8) 

Esta ecuacion es particularmente util para calcular la velocidad cuando la rela- 
tion entre x y a es conocida, de modo que la integral puede evaluarse. 

En el sistema MKSC, la aceleracion se expresa en metros por segundo, o 
(ni/s)/s = m s™ 2 , siendo esta la aceleracion de un cuerpo cuya velocidad aumenta 
un metro por segundo en cada segundo, con aceleracion constante. Sin embargo, 
*a aceleracion puede tambien expresarse en otras unidades, tal como (mi/hr)/s. 



92 



Cinemdtica 



{5A 



5.4 Representaeion vectorial de la velocidad y la aceleraeidn 
en el movimiento rectilineo 

La velocidad en el movimiento rectilineo se representa por un vector cuya Ion- 
gitud esta dada por la ec. (5.2) y cuya direction coincide con la del movimiento 
(Fig. 5-4). La aceleracion esta tambien representada por un vector de magnitud 
dada por la ec. (5.5) y en la direcci6n OX o en la direction opuesta, dependiendo 
ello de si es positiva o negativa. Si u es un vector unitario en la direction positiva 
del eje de las X, podemos escribir en forma vectorial 



v = uv = u 



dx 
~dt 



a =x 



~dt 



Los vectores vy a est£n dirigidos en la direcci6n de u o en la direction opuesta, 
dependiendo de los signos de dxjdt y dvjdU respectivamente. El movimiento es 
acelerado o retardado segiin que v y a tengan la misma direcci6n o direcciones 
opuestas (Fig. 5-4). Una regla simple es la siguiente: si v y a tienen el mismo signo, 
el movimiento es acelerado; si los signos son opuestos, el movimiento es retardado. 



1 














. 
















1 




1 






























x = 


*o+v( 


t-tpl 












V= ( 


•onst 






■*"o 1 

1 
























1 










1 
1 
1 















1 

1 

1 

1 













h 













(a) Grafico de la velocidad 



(b) Grafico dei desplazamiento 



Fig. 5-5. Graficos de la velocidad y el desplazamiento en el movimiento uniforme. 

EJEMPLO 5.2. Movimiento rectilineo uniforme. 

Solud6n: En este caso v es constante. Entonces a = dvjdt = 0; esto es, no hay 
aceleraci6n. De la ec. (5*3), cuando v es constante, tenemos: 

x = x + v dt = x + v \ dt = x + v(t — t Q ), 

J to J <0 

En la Fig. 5-5 (a), representamos v en funci6n de /, En la Fig. 5-5-b, representamos x 
en funci6n de I, 



EJEMPLO 5.3. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado. 
Solucidn: En este caso a es constante. Por lo tanto, de la ec. (5.6) tenemos 

v = v + adt = v 9 + a\ dt = u + a(t — 1 ) 9 



(5.10) 



5J) 



Representation vectorial de la velocidad g la aceleracion 93 



y de la ec. (5.3), tenemos 

x = x Q + \ [v + a(t — t )]dt = x + v f dt+a\* (t^t^dt, 



x = x + v Q (t — t ) + ia(t — 1 ) a . ] 
Es tambiSn util obtener una relaci6n a partir de la ec. (5.8), 



(5.11) 



Luego 



io 8 — \v% = a J dx = a{x 



0* = *>o + 2a(x — x ). 



*o). 



(5.12) 



El caso mas importante de movimiento uniformemente acelerado es el de caida 
libre bajo la acci6n de la gravedad. En este caso, tomando la direccidn vertical hacla 
arrtba como positiva, deflnimos a = — g t tomando el signo menos debido al hecho 
de que la aceleraci6n de la gravedad es hacia abajo. El valor de g varla de un lugar 





(a) Graflco de la velocidad 



(b)- Grafico del desplazamiento 



Fig. 5-6. Graficos de la velocidad y el desplazamiento en el movimiento uniforme- 
mente acelerado. 



a otro de la superficie terrestre, pero es siempre muy cercano a g = 9,8 m s~ a = 
32,2 ft s~ a . Este valor es el mi sin o para todos los cuerpos, y puede considerarse 
independiente de la altura, mientras no nos alejemos de la superficie terrestre, ya 
que la aceleraci6n de la gravedad disminuye a medida que la distancia sobre la 
superficie terrestre o bajo ella aumenta (capitulo 13). 

Podemos representar pyien funci6n del tiempo. Cuando por simplicidad esta- 
blecemos t = y x = 0, la ec. (5.10) se simplifica a v = v + at y la ec. (5,11) es 
x = Vot -\- |a/ 2 . Ambas ecuaciones han sido representadas en la Fig. 5.6. Graficos 
de esta clase son muy utiles para analizar todos los tipos de movimiento. 

BJEMPhO 5.4. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje X de acuerdo a la ley 
x = 2f» + Sf 2 + 5, 



94 Cinemdtica /g^ 

donde z se expresa en pies y t en segundos. Encontrar (a) la velocidad y la acelera- 
ci6n en cualquier momento, (b) la position, velocidad y aceleraci6n cuando / = 2s 
y 3 s, y (c) la velocidad promedio y la aceleracidn promedio entre t = 2 s y t = 3 s. 

Soluei6n: (a) Usando las ecs. (5.2) y (5.5), podemos escribir 

dx d 

V ^ ~dt = ~df ^ + 5 ** + 5) = 6 ' 2 + 10 ' pies s_1 

dv d 
« = — = — (6P + 100 = 12f + 10 pies s- a . 

(b) Para t = 2 s y usando las expresiones respectivas, obtenemos 

x = 41 pies, v = 44 pies s-\ a = 34 pies s- 2 , 
Similarmente, para / = 3 s, el estudiante puede veriftcar que 

x = 104 pies, v = 84 pies s- 1 , a = 46 pies -*. 

(c) Para encontrar la velocidad promedio entre * = 2 s y / = 3 s, tenemos At = 
1 s, y de (b) Ax = 63 pies, Ad = 40 pies s~\ Luego 

Ax 63 pies __ . 

v = —rr = = 63 pies S" 1 , 

At Is r . * 

Ay 40 pies s- 1 ._ . 

" = -rr = ^ = 40 pies s a . 

At Is 

EJEMPLOS.5. La aceleracuSn de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje X 
es a = (4x — 2) m s^% donde x se expresa en metros. Suponiendo que v Q = 10 m s- 1 
cuando x =* m, encontrar la velocidad en cualquier otra posici6n. 

Soluci6n: Como en este ejemplo la aceleracidn esta expresada en funcidn de la posi- 
ci6n y no en funci6n del tiempo, no podemos usar la deflnici6n a = dvjdt para obte- 
ner la velocidad por integraci6n. En su lugar debemos utilizar la ec. (5.8), con v n = 
10 m s- 1 y x = 0. Asl I 



iv* — ±(10) a = J"' (4x — 2)dx 



d 8 = 100 + 2(2x a — 2x)S = 4i* — 4x + 100 
y por consiguiente 



v = ]l 4x i — 4x + 100. ■ 

^Deberfamos colocar los signos ± delante del radical? Si asi lo hici£ramos, ^cudl | 
seria su signiftcado? Sugerimos que el estudiante haga un graflco de la velocidad v 
en funci6n de la posicidn x, -j 

Dejamos como ejercicio para que el estudiante encuentre x en funci6n del tiempo t \ 
usando la definicidn v = dx/dt 9 y de aquel resultado obtenga uyaen funcidn del ! 
tiempo. Para obtener x(*), puede ser necesario usar una tabla de integrales. \ 

EJEMPLO 5.6. Se lanza un cuerpo hacia arriba en direcci6n vertical con una : 
velocidad de 98 m s- 1 desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Encontrar I 
(a) la maxima altura que alcanza sobre el suelo, (b) el tiempo necesario para alcanzar- 
la, (c) la velocidad al llegar al suelo, y (d) el tiempo total transcurrido hasta que el \ 
cuerpo llega al suelo. 



5.4) 



Representation vectorial de la velocidad y la aceleracion 95 



Soluctdn: Reflrtendonos a la Fig. 5.7 y usando las ecs. (5.10) y (5.11), con / = 0, 
Po = 98 m s _ S x = xa = 100 m (el origen de coordenadas C se ha situado en el 
piso) y a = — g = — 9,8 m s _1 , tenemos para cualquier tiempo t 9 

v = 98 — 9,8/, 

x = 100 + 98/ — 4,9/». v 



En el punto de maxima altura v = 0. Luego 
98 — 9,8/ = 0, 6 J = 10 s. Reemplazando este 
valor en la expresidn de x, obtenemos 

XB = 100 + 98(10) — 4,9(10)* 
= 590 m. 

Para obtener el tiempo necesario para que el 
cuerpo llegue al suelo (esto es, al punto Q, po- 
nemos xc — 0, siendo C nuestro origen de coor- 
denadas. Luego 

= 100 + 98/ — 4,9/". 

Esta es una ecuaci6n de segundo grado en /, cu- 
yas ratces son: 



v = 



r = 98 ms-* 
4 

1 
1 



■i 




Fi&ura 5-7 



/ = 



0,96 s y / = 20,96 s. 



La respuesta negativa corresponde a un tiempo previo al del disparo (/ = 0) y debe 
descartarse, ya que no tiene signiflcado flsico en este problema (puede tenerlo en 
otros). Para obtener la velocidad en C, introducimos el valor / = 20,96 s en la ex- 
presidn de vc, obtentendose 

oc = 98 — 9,8(20,96) = — 107,41 m s- 1 . 

El signo negativo significa que el cuerpo se desplaza hacia abajo. Se sugiere que el 
estudiante veriflque los resultados para Xa y v c utilizando la ec, (5.12), la cual para 
este problema es 

p> = 9604 — 19,6(x — 100). 

Tambi£n el estudiante deberfa resolver el problema colocando el origen en A, En 
dicho caso 

x =: xa = y xc = — 100 m. 



BJEMPLO 5.7. Una partlcula se desplaza a lo largo del eje X de acuerdo a la ley 
* = f 1 — 3P — 9f ■+ 5, ^Durante qu6 intervalos de tiempo la partlcula se esta 
moviendo en la direccidn positiva del eje X y durante qu6 intervalos se esta moviendo 
*n la direccidn negativa del eje X? ^Durante qu6 intervalos de tiempo es el movi- 
miento acelerado y durante cu£les otros es retardado? Hacer un gr£fico de x, v y a 
en funcidn del tiempo. 

Sotueton: Aplicando la ec. (5.2), podemos encontrar que la velocidad de la partlcula 
en cualquier instante / es v = dxfdt = 3 /* — 6/ — 9. La velocidad puede escribirse 
tambten v = 3(/ + l)(f — 3). Usando la ec. (5.5), podemos encontrar que la ace- 
*eraci6n es a = 6/ — 6 = 6(/ — 1). Los grfiflcos de x, v y a en funcidn del tiempo 
se muestran en la Fig. 5-8. Notemos que, para * < — 1, la velocidad es positiva y el 
niovimiento es en la direccidn positiva del eje X. Para / = — 1, x = 10, la velocidad 
s cero. Para — 1 < / < 3, la velocidad es negativa y el movimiento se invierte, 
ae&plazandose la partlcula en la direccidn negativa del eje X. Cuando f = 3, x = 



96 



Cinemdtica 



(5.5 



■ — 22 la velocidad es otra vez cero. Para f > 3, la velocidad vueive a ser positiva 
y el movimiento se invierte, movi£ndose la particula en la direccitfn positiva del 
eje X, Las posiciones de la particula se muestranen la Fig. 5-8(a); los puntos de carn- 
bio, donde la velocidad es cero se marcan con A y B. 

Observando los graficos de la velocidad y de la aceleracitin, vemos que para t < — 1 
el movimiento es retardado (la magnitud de v disminuye ;vya tienen signos opuestos). 
Para — 1 < t < 1, el movimiento es acelerado; para 1 < * < 3, el movimiento es 
nuevamente retardado; flnalmente para t > 3, es acelerado. 

Este ejemplo ilustra cuan utiles son los graficos de x, v y a en funci6n del tiempo 
para conocer las caracteristicas del movimiento* 



5*5 Movimiento curvilineo: velocidad 



{t = *)IiC 



)-!(*=-!) 



30 

(a) 



H — I 1 — Y 



^ 1 1 — ^X 



Consideremos ahora una particula que describe una trayectoria curvilinea P, 

como la ilustrada en la Fig. 5-9. En el 
tiempo / la particula se encuentra en el 
punto A, estando su posici6n dada por 

el vector r = OA = u^x + u y y + u z z. 
Posteriormente en t\ la particula se encon- 

trara en B 9 con r' — OB — u^x' + u s y'+ 
u z z\ Aunque la particula se ha desplaza- 
do a lo largo del arco AB = As, el des- 

plazamiento, que es un vector, es AB — 
Ar. Notar en la figura que r' = r + Ar s 
y por consiguiente 



20 



10 



10 



20 



x(m) 



KMs) 




AB = Ar = r' — r = u^x r — x) + 
+ WjrG/' — y) + u&' — z) 
= uJi Ax) + u y ( Ay) + u z ( Az)> (5.13) 

donde Ax = x' — x, Ay = y r — y 9 y 
Az — z' — z. La velocidad promedio, 
tambien es un vector, definido por 



v = 



t (s) 



Ar 

~aT 



(5.14) 



o, usando la ec. (5.13), 



v = m. 



Ax Ay 

+ «,— ~ 



At 



At 



+ u, 



Az 



At 



(5.15) 



La velocidad promedio esta representada 
por un vector paralelo al desplazamien- 

to AB = Ar. Para calcular la velocidad 



5.5) 



Movimiento curvillneo: velocidad 



97 



instant&nea debemos, como en casos previos, hacer At muy pequeiio. Esto es, 

Ar 



v = lim v — iim 



Af-*0 



At^O 



At 



(5.16) 



Ahora cuando At se aproxima a cero, el punto B se aproxima al punto A, como 
lo indican los puntos B\ B", . . . en la Fig. 5-10. Durante este proceso el vector 

AB = At cambia continuamente de magnitud y direcci6n, y de igual manera 
la velocidad promedio. En el iimite cuando B est£ muy cerca de A, el vector 

AB = Ar coincide con la direcci6n de la tangente AT. Por tanto, en el movi- 
miento curvillneo, la velocidad instant&nea es un vector tangente a la trayec- 
toria, y est£ dado por 



v = 



dr 
~di 



(5.17) 




Fig. 5-9. Desplazamiento y velocidad 
promedio en el movimiento curvilineo. 




Fig. 5-10. La velocidad es tangente a la 
trayectoria en el movimiento curvillneo. 



O, si tenemos en cuenta la ec. (5.15), la velocidad es 



dx du dz 



dt 



dt 



dt 



(5.18) 



indicando que las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes X-, Y-, 
y Z- son 



v* = 



~dt 



y dt 



v, = 



dz 
~dT' 



(5.19) 



y la magnitud de la velocidad es 

v = V£ + % + & 



(5.20) 



Al pasar de la ec. (5.16) a la ec. (5.17), podemos proceder de una manera algo 
diferente. Sea (Fig. 5-9) un punto de referenda arbitrario en la trayectoria. 
Luego s = OqA da la position de la particula medida por el desplazamiento a 



98 Cinematica (5,0 

lo largo de la trayectoria. Como en el caso rectilineo, s puede ser positiva o nega- 
tiva, dependiendo en que lado de esta la particula. Cuando la particula se 
mueve de A a B, el desplazamiento As a lo largo de la curva esta dado por la 
longitud del arco AB. Multiplicando y dividiendo la ec. (5.16) por As = arco AB, 
obtenemos 

r Ar As I .. Ar \ I ,. As \ 

v = lim _ = Inn ( hm — L 

A ,_ As At \ As _+ As J \ At ^ At J 

expresion en la cual indicamos en el primer factor que As ->0 (ver Fig. 5-10), 
Ahora, de la Fig. 5.9 podemos ver que la magnitud de Ar es casi igual a la de As, 
y a medida que B se acerca a A, mas se aproxima la magnitud de Ar a la de As. 
Por lo tanto el limite As _+ Ar/ As representa un vector de magnitud unitaria y 
direccion tangente a la trayectoria. Esto es 

= M^ (5.21) 





dr 
~di 


= lim 

As-*0 


Ar 
As 


otra 


parte, 








lim 


As 


ds 



(5.22) 



AI _»o A/ dt 

Por lo tanto podemos escribir v en la forma 

ds 
v = u T — = u T v, (5.23) 

donde dsjdt = v nos da el valor de la velocidad, y el vector unitario u T la direc- 
cion* El hecho de que v = dsjdt es el valor de la velocidad esta de acuerdo con 
nuestra definition previa de velocidad en la ec. (5.2), ya que ahora ds es el desplaza- 
miento a lo largo de la trayectoria curvilinea en el tiempo dt. De esta manera ds 
juega el mismo papel en el movimiento curvilineo que dx en el movimiento rec- 
tilineo. La unica diferencia entre las ecs. (5.23) y (5,2) es la inclusion del elemento 
direccional, dado por el vector unitario tangente Ut, introducido previamente 
en la section 5.4. 



5.6 Movimiento curvilineo: aceleracion 

En el movimiento curvilineo la velocidad, en general, cambia tanto en magnitud 
como en direccion. La magnitud de la velocidad cambia debido a que su valor 
aumenta o disminuye. La direccion de la velocidad cambia debido a que la velo- 
cidad es tangente a la trayectoria y esta se curva continuamente. La Fig, 5-11 
indica la velocidad en los tiempos I y t\ cuando la particula pasa por A y B res- 
pectivamente. El cambio vectorial en la velocidad al pasar deAa'B esta indicado 



5M) 



Movimiento curvilineo: aceleracion 99 

por Av en el triangulo vectorial; esto es, v + At? = v\ por consiguiente 
Ai7 = t?' — #■ Luego la aceleracion promedio, en el intervalo At, esta defmida por 

(5.24) 



Av 



a = 



y es paralela a Av* Como v = uj) x + u y v y + u z v z , tenemos Av = u x Av x + 
+ u g Av y + U z Av z y 

_ Av x Av„ Av z 

(5.25) 

La aceleracion instantanea, que en el fu- 
turo denominaremos simplemente por ace- 
leracion, esta defmida por: 

_ Ai? 

a = lim a — lim - — 

Af-*0 Ai-»0 ^ 




O — 



dv 



Fig. 5-11. Aceleracion en el mo- 
(5.26) vimiento curvilineo. 



La aceleracion es un vector que tiene la misma direction que el cambio instanta- 
neo en la velocidad. Como la velocidad cambia en la direction en la cual la tra- 
yectoria se curva, la aceleracion esta siempre apuntando hacia la concavidad 




Fi£. 5-12. Relation vectorial entre la velocidad 
y la aceleracitfn en el movimiento curvilineo. 



de la curva, y en general no es tangente ni perpendicular a la trayectoria, como 
se indica en la Fig* 5-12. Recordando la ec. (5.17), podemos escribir la ec> (5.26) 
e n la forma 



a = 



d*r 

~dP 



(5.27) 



De la ec. (5.25) observamos que 



dv 



dv, 



a =u x — — + m„ -— i. + u z 



dV: 



X dt ' "" dt ' ~ Z dt ' 



(5.28) 



100 Cinemdtica {5.7 

de modo que las componentes de la aceleraci6n a lo largo de los ejes X-, Y-, Z son 

du x dv„ du x 

a ff = —f, <*z=-£-> (5.29) 



Gx dt ' y dt ' "* dt 



o, en virtud de la ec. (5.19) o la ec. (5.27), 

<Px <Pg (Pz 

a * = W a ' = W' a > = lnf (5 - 30 > 

La magnitud de la aceleracion es 



a = yal + a* + a% (5.31) 

En el movimiento curvilineo usualmente conocemos la ecuacion de la trayectoria; 
esto es, conocemos las coordenadas de las particulas en movimiento en funcion 
del tiempo. Estas coordenadas estan dadas por las ecuaciones 

x = x(f), y = y(0, z = z{f). 

Aplicando las ecs. (5.19) y (5.29), podemos calcular la velocidad y la aceleraci6n. 
En otros casos el problema es todo lo contrario: conocemos las componentes de 
la aceleracion en funcion del tiempo; esto es, 

a* = a*(0> S = a„(0> &z = a z ((). 

Entonces, usando la ec. (5.29) e integrando, obtenemos las componentes de la 
velocidad, e integrando la ec. (5.19) obtenemos las coordenadas en funci6n del 
tiempo. 



5,7 Movimiento bajo aeelerad&n constante 

El caso en el cual la aceleracion es constante, tanto en magnitud como en direc- 
ci6n, es de especial importancia. Si a = constante, tenemos integrando la ec. (5.26) 

r dt?- f adt = a f cf/=o(f — f ), (5.32) 

J oq J to J to 

donde v es la velocidad para 1=1$. Luego, teniendo en cuenta que J"{J dv = v — Tq, 

v=v + a(t~ t ) (5.33) 

nos da la velocidad en funci6n del tiempo. Sustituyendo este resultado en la 
ec. (5.17), e integrando, obtenemos 

f P dr= ( [v<> + a(t-t )]dt=v f dt + a f (t-t )dt r 

J ro J to J to J to 



5.7) 



Movimiento bajo aceleracion constante 101 



donde r da la posici6n en el tiempo f . Por lo tanto 
r=r + v (t-t ) + i«(( — g 2 , 



(5.34) 



nos da la posici6n de la particula en cualquier instante. Estos resultados deben 
compararse con las ecs. (5.10) y (5.11) obtenidas para el movimiento rectilineo con 
aceleracion constante. En el movimiento rectilineo, la velocidad y la aceleracion 
tienen o la misma direccion o la opuesta. Sin embargo, en el caso m&s general 
que estamos discutiendo ahora, v Q y a pueden tener direcciones diferentes. Por 
lo tanto, la velocidad v dada por la ec. (5,33) no es paralela a a, pero se encuentra 
siempre en el piano definido por v y a* Igualmente, de la ec. (5.34), vemos que 
el extremo del vector r se encuentra siempre en el piano paralelo a v y a, y que 
pasa por el punto definido por r . Llegamos 
a la conclusion, entonces, que el movimiento 
con aceleraci6n constante se produce siem- 
pre en un piano. Tambien la ec. (5.34) in- 
dica que la trayectoria del movimiento es 
una parabola (ver problema 3.33). 

Uno de los usos mis interesantes de estas 
ecuaciones es su aplicaci6n al movimiento 
de un proyectil. En este caso a = g = 
aceleracion de la gravedad. Escogeremos 
el piano XY coincidente con el piano defi- 
nido por t? y a = g; el eje Y hacia arriba 
de modo que g — — u y g, y el origen 
coincidente con r (Fig. 5-1 3) + Entonces 




~x 



Vq — W^qx 1 Wpl>o0, 



Fig. 5-1S. Cuando la aceleracion es 
constante la trayectoria es una para- 
bola. 



donde 

v^ = v cos a, v 0y = v Q sen a. (5.35) 

La ec. (5.33) puede separarse en sus componentes (si / Q = 0) escribiendo 



v = Ujp x + u^y = (u^ + u y v 0y ) — u y gt 



Vx = Vqzj V U = Vqy — gtf 



(5.36) 



que indica que la componente de v en la direccion X permanece constante, como 
debia, ya que no hay aceleracion en dicha direccion* Similarmente, la ec. (5.34) 
con r = y t — 0, cuando se separa en sus componentes, se transforma 

r = u^x x u y y = (u^ + u^ y )t — u y $gt 2 



que dan las coordenadas de la particula en funcion del tiempo. El tiempo requerido 



102 



Cinematica 



{5.1 



para que el proyectil alcance la maxima altura A se encuentra haciendo v g = C 
en la ec. (5,36) ya que, en aquel punto, la velocidad del proyectil es horizontal. 
Luego 



9 



v sen a 



(5.38) 



La maxima altura h se obtiene sustituyendo este valor de / en la segunda ecua- 
ci6n de (5.37), dando como resultado 



h = 



vl sen 2 a 
2ff 



(5.39) 



El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo eri B, deno- 
minado tiempo de vuelo, puede obtenerse haciendo y — en la ec. (5.37). El tiempo 
de vuelo es obviamente el doble del valor dado por las ecs« (5.38), o 2v Q sen txjg. 
El alcance R = OB es la distancia horizontal cubierta, y se obtiene sustituyendo 
el valor del tiempo de vuelo en la primera ecuacion de (5*37), resultando 



2v sen a 

ft = v 0x 



2v% sen a COS a 



R = 



Vq sen 2a 



(5,40) 



Notar que el alcance es maximo para a = 45°. La ecuaci6n de la trayectoria se 
obtiene eliminando el tiempo t entre las dos ecs. (5.37), obteniendose 



y = — 



2v% COS 2 a 



X 2 + # tg a s 



(5.41) 




Fig. 5-14* La trayectoria de un pro- 
yectil de largo alcance no es una para- 
bola, sino un arco de una elipse. 



^v Trayectoria 

\^ parabolica 




Fig. 5-15, Efecto de la resistencia del 
aire en el movimiento de un proyectil. 



5.7) 



Movimienio bajo aceleracion constante 103 



la cual es la ecuacion de una parabola, ya que tanto tg a como el coeficiente 
de x 2 son constantes. 

Los resultados que hemos obtenido son v£lidos cuando: (1) El alcance es sufl- 
cientemente pequeno como para despreciar la curvatura de la tierra. (2) La altura 
es suficientemente pequena como para despreciar la variation de la gravedad 
con la altura, (3) La velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequena 
para despreciar la resistencia del aire. Para un proyectil de largo alcance, tal 
como un ICBM, la situation se muestra en la Fig, 5-14 donde todos los vectores g 
senalan hacia el centro de la tierra y varian con la altura. La trayectoria es, en 
este caso, un arco de elipse, como se estudiara en el capitulo 13- Si tenemos en 
cuenta la resistencia del aire, la trayectoria deja de ser parabolica, como se mues- 
tra en la Fig* 5-15 y el alcance disminuye, 

EJEMPLO 5.8, Un can6n dispara una bala con una velocidad de 200 m s _1 ha- 
ciendo un angulo de 40° con el terreno. Encontrar la velocidad y la posicidn de la 
bala despues de 20 s. Encontrar tambi6n el alcance y el tiempo necesario para que la 
bala retorne a tierra. 

Soluci6n: De la Fig. 5-16, notando que v = 
200 m s~ l y a = 40°, tenemos que v QX ~ 
v Q cos a = 153,2 m s -1 y v w = v sen a — 
128,6 m s- 1 . De este modo las componen- 
tes de la velocidad en cualquier instante 
estan dadas por v$ =* 153,2 m s- 1 y v v = 
128,6 — 9,8* m s- 1 , y las coordenadas de 
la bala son 



153,2* m, 



y =* 128,6* — 4,9f 2 m. 



Para t = 20 s, tenemos simplemente v x = 
153,2 m s- 1 y v y = — 67,4 m s- 1 . El he- 
cho de que v y sea negativo significa que 
la bala esta descendiendo. La velocidad 

167,4 m s- 1 . Similar- 




Fig, 5.16. Velocidad en el movimien- 
to de un proyectil. 



es v = V vl + vl 

mente la position de P esta dada por x = 

3064 m e y = 612 m. EI estudiante debe 

verificar que la altura de A es 843,7 m, que el alcance R — OB es de 4021 m, y que 

el tiempo necesario para ir de O a B es de 26,24 s. 




'V 



*■£• 5-17. Aceleraciones tangencial y 
n ormal en el movimiento curvillneo. 




FIgura 5-18 



104 Cinematica (5.5 

5.8 Componentes tangencial y normal de la aeeleraci&n 

Consideremos una particula que describe una trayectoria curva (Fig. 5-17). Por 
simplicidad supondremos que la curva es plana pero los resultados que obten- 
gamos seran validos para el movimiento a lo largo de cualquier curva. En el 
tiempo t la particula se encuentra en A con la velocidad v y aceleraci6n a. 
Considerando que la aceleracion a esta dirigida hacia el lado concavo de la tra- 
yectoria, podemos descomponerla en una componente tangencial ar — paralela 
a la tangente AT y llamada aceleracion tangencial — y una componente normal 
Qn — paralela a la normal AN y denominada aceleracion normal. Cada una de 
estas componentes tiene un significado fisico bien definido. Cuando la particula 
se mueve, la magnitud de la velocidad puede cambiar, y este cambio est& rela- 
cionado con la aceleracion tangencial. Tambien la direcci6n de la velocidad cambia 
y este cambio esta relacionado con la aceleraci6n normal. Esto es: 

Cambio en magnitud de la velocidad: aceleracion tangencial. 
Cambio en la direccion de la velocidad: aceleracion normal. 

Tracemos en A (Fig. 5-18) un vector unitario Ut tangente a la curva. La velo- 
cidad, de acuerdo a la ec. (5.23), esta expresada como v = UtV. Asi la acelera- 
ci6n ser£ 

dv d . dv du T 

dt d/ v J T dt dt 

Si la trayectoria fuera una recta, el vector Uj seria constante en magnitud y 
direccion y dujjdt = 0, Pero cuando la trayectoria es curva, la direccion de Uj 
varia a lo largo de la curva, dando un valor diferente de cero para dtijldt Para 
proseguir debemos calcular durfdt Introduzcamos el vector unitario u Nt normal 
a la curva y dirigido hacia el lado c6ncavo. Sea <f> el angulo que hace la tengente a 
la curva en A con el eje X, podemos escribir, usando la ec. (3.9), 



Asi 



Wt = ** z cos <f> -{- u ff sen ^, 
u N =u x cos l<f> + -^-1 +u tf sen (<f> + -M 
= — u x sen <j> + u g cos <f>. 



du T , d<f> , , d6 

= — it* sen (f> —~ + u y cos <f> —^- = u N 



dt ' dt * T dt ' dt 

Esto indica que durjdt es normal a la curva. Ahora 
d<f> _ d<f> ds _ d<f> 



dt ds dt ds 

donde ds — A A' es el pequeno arco a lo largo del cual se mueve la particula en 
el tiempo dt Las normales a la curva en A y A' se intersectan en el punto C. 



r g\ Componentes tangential y normal de la aceleracion 105 

llamado el centra de curvatura. Denominando p = CA al radio de curvatura y 
usando la ec. (2.4), podemos escribir ds = pd<f> o dtyds = 1/p. Asi d<f>jdt = vjp y 

dHT =u N ^. (5.42) 



dt p 

Introduciendo este resultado en la expresion de dv\dt, obtenemos finalmente 

a = u T —-+u N — . (5.43) 

dt p 

El primer termino [uj(doldt)] es un vector tangente a la curva, y es propor- 
tional al cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad; corres- 
ponde a la aceleraci6n tangencial ar. El segundo termino [u N (^jp)\ es un vector 
normal a la curva, y corresponde a la aceleracion normal a N . Est£ asociado con 
el cambio en la direcci6n ya que corresponde a du^fdU Con respecto a las mag- 
nitudes, podemos escribir 

a T = -?-, «n = — . (5-44) 

dt p 

La magnitud de la aceleraci6n del punto A es entonces 



a=]/a* T + a% = y (dvjdtf + (^/p 2 ). 

Si el movimiento curvilineo es uniforme (esto es, si la magnitud de la velocidad 
permanece constante), v = constante, de modo que ar = 0, y no hay aceleraci6n 
tangencial. Por otro lado, si el movimiento es rectilineo (esto es, si la direcci6n 
de la velocidad no cambia), el radio de curvatura es inflnito (/> = oo), de modo 
que a N = y no hay aceleracion normal. Debe senalarse que los resultados que 
hemos obtenido son validos tanto para movimientos en un piano como para 
movimientos en el espacio. 

EJEMPLO 5.0. Un disco D (Fig. 5-19) esta rotando libremente alrededor de su 
eje horizontal. Una cuerda esta enrollada alrededor de la circunferencia exterior 
del disco, y un cuerpo A, unido a la cuerda, cae bajo la acci6n de la gravedad. El 
movimiento de A es uniformemente acelerado, pero, como se vera en el capitulo 10, 
su aceleraci6n es menor que aquella debida a la gravedad, Cuando t = 0, la velocidad 
del cuerpo A es de 0,04 m s -1 , y dos segundos mas tarde A ha caldo 0,2 m. Encontrar 
las aceleraciones tangencial y normal, en cualquier instante, de un punto cualquiera 
del borde del disco. 

Soluddn: Considerando que el origen de coordenadas se encuentra en la posici6n 
t = 0, la ecuaci6n del movimiento uniformemente acelerado de A es x = v^t + ±at*. 
Pero sabemos que y = 0>04 m s- 1 . Asi 

x = 0,04* + Ja/» m. 

Con ( = 2s, debemos tener x = 0,2 m. Asi a = 0,06 m s" a , Esto es 

x = 0,04* + 0,03P m. 



106 Cinemdtica 



(5.9 



B 



D[ O* 



0" 



x -- 



0,2 m 



1ml 













\a T 



_JL 



L 1 




(a) 



Fig. 6-19, La fotografia de destello multiple en (b) muestra que la masa cae con 
movimiento uniformemente acelerado. (Verificar esto tomando medidas de la foto- 
grafia). 



Por consiguiente, la velocidad de A es 

dx 



v = 



dt 



0,04 + 0,06/ m s-». 



Esta ecuaci6n da tambign la velocidad de cualquier punto B situado sobre el borde 
del disco. La aceleraci6n tangential de B es por lo tanto igual que la aceleraci6n de A, 

a T = -?- = 0,06 m s- a , 
at 

mientras que, como p = 0,1 m, la aceleraci6n normal de B es 

p 2 (0,04 + 0,060 s 



Qn = 



0,1 



= 0,016 + 0,048/ + 0,036f 3 m s- a . 



La aceleracidn total del punto B es asi a = \ a% + a%. 



5*9 Movimiento circular: velocidad angular 

Consideremos ahora el caso especial en el cual la trayectoria es un circulo; esto 
es, movimiento circular. La velocidad v, siendo tangente al circulo, es perpen- 
dicular al radio R = CA. Cuando medimos distancias a lo largo de la circun- 
ferencia del circulo a partir de O, tenemos, de la Fig, 5-20, que 5 = i?6, de acuerdo 



5.9) 



Movimiento circular: vdocidad angular 107 



a la ec. (2.5). Por consiguiente, aplicando la ec, (5.23) y considerando el hecho 
de que R permanece constante, obtenemos 



ds _ de 

v = = R — - 

dt dt 



La cantidad 



CO 



do 
dt 



(5.45) 



(5.46) 



se denomina vdocidad angular, y es igual a la variaci6n del 6ngulo descrito en 
la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo, rad s" x > o simplemente 
s- 1 . Luego 

v = 6>fi. (5.47) 




Fig. 5-20* Movimiento circular. 




Fig. 5-21. Relation vectorial entre la 
velocidad angular, la velocidad lineal 
y el vector de posicidn en el movi- 
miento circular. 



La velocidad angular puede expresarse como una cantidad vectorial cuya direc- 
ci6n es perpendicular al piano del movimiento en el sentido de avance de un 
tornillo de rosea derecha girado en el mismo sentido en que se mueve la par- 
ticula (Fig, 5-21). De la figura vemos que R = r sen y y que o = u z (dQjdt); por 
lo tanto podemos escribir, en lugar de la ec. (5.47), 

v = <or sen y, 

indicando que la siguiente relation vectorial se cumple, tanto en magnitud como 
en direcci6n. 

y© = o x ty (5.48) 

Notese que esto es vilido solamente para movimiento circular o rotational (mo- 
vimiento con r y y constantes). 



108 Cinemdiica fa g 

De interes especial es el caso de movimiento circular uniforme; esto es, movi- 
miento en el que *> = constante. En este caso, el movimiento es peri6dico y la 
particula pasa por cada punto del circulo a intervalos iguales de tiempo* El pe- 
rtodo P es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolucibn, 
y la frecuencia es el numero de revoluciones por unidad de tiempo. Asl si en el 
tiempo t la particula realiza n revoluciones, el periodo es P = tjn y la frecuencia 
es v = njL Ambas cantidades est&n entonces relacionadas por la siguiente expre- 
si6n, que usaremos a menudo, 

V--1-. (5.49) 

Cuando el periodo se expresa en segundos, la frecuencia debe expresarse en (se- 
gundos)- 1 o s- 1 , unidad denominada hertz, abreviada Hz. El termino usual 
es revoluciones por segundo (rps) en lugar de s -1 o Hz. La unidad fue llamada 
hertz en honor del fisico alemdn H. R. Hertz (1857-1894), quien fue el primero 
en demostrar experimentalmente la existencia de ondas electromagneticas. Al- 
gunas veces la frecuencia de un movimiento se expresa en revoluciones por mi- 
nuto (rpm). o equivalentemente en (minutos) 1 . Obviamente 1 min- 1 = ^ Hz, 

Los conceptos de periodo y frecuencia son aplicables a todos los procesos pe- 
ri6dicos que ocurren en forma ciclica; esto es, aquellos procesos que se repiten 
despues de completer cada ciclo. Por ejemplo, el movimiento de la tierra alrede- 
dor del sol no es ni circular ni uniforme, pero es peri6dico. Es un movimiento 
que se repite cada vez que la tierra completa una 6rbita. El periodo es el tiempo 
requerido para completar un ciclo, y la frecuencia es el numero de ciclos por 
segundo, correspondiendo un hertz a un ciclo por segundo. 

Si « es constante, tenemos, integrando la ec. (5.46), 

| de = | cod/ = <o f dt 6 8 = e + «(* — g, 

J oo J to J to 

El estudiante debe comparar esta relaci6n, la cual es vdlida para el movimiento 
circular uniforme, con la expresi6n comparable del movimiento rectilineo uni- 
forme obtenido en el ejemplo 5.2. Usualmente se adopta O = y f = 0, dando 

6 = «* 6 o> = — . (5.50) 

Para una revoluci6n completa, ( = Py 6 = 2*, resultando 

2* n 
- = 2™ (5.51) 



Ci> = 



EJEMPLO 5.10. Encontrar la velocidad angular de la tierra con respecto a su eje, 

Soluei6n: El primer impulso del estudiante seria naturalmente usar la ec. (5.51), 
con w = 2tt/P, escribiendo para el periodo P el valor de 8,640 x 10 4 s, correspon- 
diente a un dia solar medio. Sin embargo, si operaramos de esta manera, el resultado 



5J0) 



Movimiento circular: aceleracion angular 109 



seria incorrecto. Veamos la Fig, 5-22 (no dibujada a escala) y consideremos un punto P. 
Cuando la tierra ha completado una revolucidn con respecto a su eje polar, lo cual 
se denomina dla sideral, se encontrara en E\ debido a su movimiento de traslaci6n, 
y el punto estari en P'. Pero para completar un dla, la tierra tiene atin que girar 
a travGs del &ngulo y hasta que el punto se encuentre en P*> dando cara nueva- 
mente al sol. El periodo de revolucitfn de la tierra (dla sideral) es entonces ligera- 
mente menor que 8,640 x 10* s. Su valor medido es 

P = 8,616 + 10* s, 

o alrededor de 240 s menor que el dla solar medio. La 
velocidad angular de la tierra es entonces 



2tc 



6> = 



= 7,292 x 10- 5 rad s 



-i 



Es relativamente simple estimar esta diferencia de 
240 s. La tierra cubre su drbita completa alrededor 
del sol en 365 dias, lo cual signifies que el angulo y 
correspondiente a un dia es ligeramente menor que 1° 
6 0,01745 radianes. El tiempo necesario para recorrer 
este 4ngulo con la velocidad angular dada line as 
arriba, es, por la ec. (5.50), 







1,745 x 10- 1 rad _ 



7,292 x 10- B rad s~ l 



= 239 s, 



Fig. 5-22. Dia Sideral. 



valor que estd en excelente acuerdo con nuestro resultado previo. 



5.10 Movimiento circular: aceleracidn angular 

Cuando la velocidad angular de una particula cambia con el tiempo, la aceleracidn 
angular esti definida por el vector 



a = 



da* 



(5,52) 



Como el movimiento circular es en un piano, la direcci6n de m permanece inva« 
liable, y la relacidn (ec. 5.52) tambi&i se cumple para las magnitudes de las can- 
tidades involucradas. Esto es, 



:u 



a = 



dt 



~dfi' 



(5.53) 



Cuando la aceleracidn angular es constante (esto es, cuando el movimiento circu- 
lar es uniformemente acelerado), tenemos, integrando la ec, (5.53), 



p<* ft rt 

J wo J *0 * '0 

6k = O> + Qt(f <o), 



(5.54) 



110 Cinematica 



(5.10 



donde o es el valor de o> para el tiempo / . Sustituyendo la ec. (5*54) en la ec. (5.46), 
obtenemos dfydt = co + a(f — f ), e integrando nuevamente, 



f de = r o di+ a r (t—t )du 



(5.55) 



de modo que 

= e o + c* o (/-g + ±a(<-<o) 2 - 

Esto da la position angular para cualquier tiempo. 

En el caso particular de movimiento uniforme, encontramos combinando las 
ecs. (5.43) y (5.47) con la ec. (5.53), que la aceleraci6n tangential (o transversal) es 



dv da <P$ 

a T = -T- = R = R = R<x 9 

dt dt dP 



(5.56) 




Fig. 5-23. Aceleraciones 
tangential y normal en el 
movimiento circular. 




wxr 



Figura 5-24 



y que la aceleracion normal (o centripeta) es 

y 2 
«N = — = w 2 R, 



(5.57) 



Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el movimiento circular 
se ilustran en la Fig. 5-23. 

Notese que en el movimiento circular uniforme (aceleracion angular nula, 
a = 0), no hay aceleracion tangencial, pero si aceleracion normal o centripeta 
debido al cambio de direction de la velocidad. 

En este caso de movimiento circular uniforme podemos calcular la aceleracion 
directamente usando la ec. (5.48). Luego, como w es constante, 



dv dr 

a = — — — <n x = m x v, 

dt dt 



(5.58) 



5J0) 



Mouimiento circular; aceleracion angular 111 



ya que drjdl = v. Usando la ec. (5.48) nuevamente, podemos escribir la acelera- 
cion en la forma alterna 



a =■ a> x (ct> x r). 



(5.59) 



Como el movimiento circular es uniforme, la aceleracion dada por la ec. (5.58) 
o (5*59) debe ser la aceleracion cetripeta. Esto puede verificarse facilmente. Refi- 
riendose a la Fig. 5-24, vemos que el vector g> x v senala hacia el centro del 
circulo, y su magnitud es \a> x v\ = <»v = u a fl, ya que & y v son perpendicu- 
lars y v = wR Este valor coincide con nuestro resultado previo (5.57)* 



EJEMPLO 5.11* La tierra rota uniformemente con respecto a su eje con una velo- 
cidad angular at = 7,292 x 10" 5 s tal . Encontrar, en funci6n de la latitud, la velocidad 
y la aceleracidn de un punto sobre la superficie terrestre. 

Sotucidn: Debido al movimiento rotacional de la tierra, todos los puntos sobre su 
superficie se mueven con movimiento circular uniforme. La latitud del punto A 
(Fig, 5-25) se define como el angulo X que el ra- 
dio r = CA forma con el radio CD situado en j 
el ecuador. Cuando la tierra gira alrededor del CJ3" 
eje NS, un punto tal como A describe un clrculo 
de centro B y radio R = AB tal que 

R — r cos X, 

La velocidad de un punto sobre la superficie de 
la tierra es tangente al clrculo, y es por tanto 
paralela al ecuador. Su magnitud, por la ec. 

(5.47) es 

v = oyR = o>r cos X. 

La aceleracidn a es centripeta porque el movi- 
miento es uniforme, y esta dirigida hacia B. Su 
magnitud, por la ec. (5,57), es 




a = v?R = co'r cos X. 



(5.60) 



Fig. 5-25. Velocidad y acelera- 
cidn de un punto sobre la tierra, 



Introduciendo los valores de la velocidad angu- 
lar (co = 7,292 x 10-* s- 1 ) y el radio de la tie- 
rra (r = 6,35 x 10* m), tenemos 

u = 459 cos X m s _1 , 

y la aceleraci6n es 

a = 3,34 x 10"* cos X m s- 1 . 

El valor m&ximo de v ocurre en el ecuador, para el cual v = 459 m S" 1 6 1652 km hr- 1 
o cerca de 1030 mi hr- 1 . Nosotros no sentimos los efectos de esta velocidad tan 
grande, porque siempre hemos estado movtendonos a dicha velocidad y nuestros 
cuerpos y sentidos se ban acostumbrado a ella. Pero notariamos inmediatamente un 
cambio en ella. Similarmente, el m&ximo valor de la aceleracidn es 3,34 x 10" 1 m s-*, 
«1 cual es alrededor del 0,3 % de la aceleracidn debida a la gravedad. 



(5.61) 



1 12 Cinemdtica 

5*11 Movitniento curvilineo general en un pUmo 



(5.11 



Considerar la Fig. 5.26, en la cual una particula describe una trayectoria curvi- 
linea en un piano. Cuando se encuentra en A t su velocidad estd dada por v = 

drfdt Usando los vectores unitarios u r (pa- 
ralelo a r) y u& (perpendicular a r), pode- 
mos escribir r = uw. Por consiguiente 

dt dt dt dt 

(5.62) 

Ahora, usando las componentes rectangula- 
res de los vectores unitarios, 

u r = u x cos 9 + u ff sen 9 

y 

th = — «x sen 9 + u y cos 9, 
vemos que 

rfe , * <*9 de 

- + u ff cose_^« fl ^ r , 




Figura 6-26 



du r 
IT 



= — u x sen 9 



y por consiguiente podemos escribir la velocidad de la particula como 



dr t d9 



(5.63) 



La primera parte de esta ecuaci6n [u^dr/df)] es un vector paralelo a r y se llama 
la velocidad radial; es debida al cambio en la distancia r de la particula del punto O. 
La segunda parte [i*ar(d9/d0] es un vector perpendicular a r y es debido al cambio 
en la direcci6n de r, o la rotaci6n de la particula alrededor de 0; se denomina 
la velocidad transversal, Esto es 



/ 



v, = 



dr 
dt 



de i 
v 6 =r — ~ *? «r, 
at 



(5.64) 

ya que « = dfydt es la velocidad angular en este caso. En el movimiento circular 
no hay velocidad radial porque el radio es constante; esto es, drjdt = 0. La velo- 
cidad es enteramente transversal, como podemos ver comparando la ec. (5,45) 
coi la segunda relation en la ec. (5.64). 



Bibliografla 113 



Bibliografia 



"The Perception of Motion", H. Wallach. Set Am., julio de 1959, p£g. 56 

"Aristotle's Notion of Speed' 1 , R. Seeger. Am. J. Phys. SI, 138 (1963) 

Mechanics, Keith R. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1960, secciones 
1-2, 3-4, 3-5 y 3-11 

Physical Mechanics, Robert B. Lindsay. New York: Van Nostrand, 1961, sec- 
ciones 1-4 y 1-5, caps. 2 y 3 

5. Introduction to Engineering Mechanics, John V* Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison- Wesley, 1961, cap. 5, secciones 6-5 y 6-6 

6. Vector Mechanics, D. E, Christie. New York: McGraw-Hill, 1964, cap. 5 

7. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. 
L. Sands. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 5 y 8 

8. Source Book in Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard University 
Press, 1963, pag, 1 (Galileo) ; pig, 50 (Descartes) ; pag* 51 (Leibniz) ; pag. 55 
(d'Alembert) 

9. Foundations of Modern Physical Science, Gerald Holton y D. H. D. Roller. Rea- 
ding, Mass. : Addison-Wesley, 1958, caps. 1, 2 y 3 



Probletnas 



5.1 Un electr6n incide sobre una pan- 
talla de televisidn con una velocidad de 
3 x 10* m s- 1 . Suponiendo que ha sido 
acelerado desde el reposo a trav£s de 
una distancia de 0,04 m, encontrar su 
aceleracidn promedio. 

5.2 Un cuerpo se mueve con una velo- 
cidad inicial de 3 m s _1 , y una acelera- 
cidn constante de 4 m s~* en la misma 
direccidn que la de la velocidad. &Cual 
es la velocidad del cuerpo y la distancia 
recorrida al final de 7 s? Resolver el 
mismo problema para un cuerpo cuya 
aceleracidn tiene direcci6n opuesta de la 
velocidad. Escribir la expresi6n del des- 
plazamiento en funcidn del tiempo. 

5-3 Un aeoroplano, al partir, recorre 
600 m, en 15 s. Suponiendo una acelera- 
cidn constante calcular la velocidad de 
partida. Calcular tambten la acelera- 
cidn en m s-*, 

5.4 Un autom6vil, que parte del re- 
poso, alcanza una velocidad de 60 km 
hr -1 en 15 s. (a) Calcular la aceleracidn 
promedio en m min _a y la distancia 
recorrida, (b) Suponiendo que la acele- 
racidn es constante, ^cuantos segundos 



mis le tomara al auto para alcanzar los 
80 km hr _1 ? £Cu41 ha sido la distancia 
total recorrida? 

5.5 Un auto parte del reposo y se 
desplaza con una aceleracidn de 1 m s- 1 
durante 1 s. Luego se apaga el motor 
y el auto desacelera debido a la friccidn, 
durante 10 s a un promedio de 5 cm s- 1 . 
Entonces se aplican los frenos y el auto 
se detiene en 5 segundos m£s. Calcular 
la distancia total recorrida por el auto. 
Hacer un gr&flco de z, v y a contra L 

5.6 Un cuerpo que se mueve con mo- 
vimiento rectillneo uniformemente ace- 
lerado viaja 55 pies en 2 s« Durante los 
prdximos 2 s, cubre 77 pies, Calcular la 
velocidad inicial del cuerpo y su acele- 
racidn, £Qu6 distancia recorrera en los 
prdximos 4 s? 

5.7 Un auto viaja a lo largo de la Hnea 
OX con movimiento uniformemente ace- 
lerado. En los tiempos t x y t u sus posi- 
ciones son x, y Xj, respectivamente. De- 
mostrar que su aceleracidn es a = 2 
(x^ — xA)/W,- <i)- 

5.8 Un auto parte del reposo y se 
mueve con una aceleracidn de 4 m s -1 



114 Cinemdtica 



y viaja durante 4 s. Durante los pr6- 
ximos 10 s se mueve con movimiento 
uniforme. Se aplican luego los frenos 
y el auto desacelera a raztin de 8 m s~ a 
ha,sta que se detiene, Hacer un graflco 
de la velocidad contra el tiempo y de- 
mostrar que el area comprendida entre 
la curva y el eje del tiempo mide la 
distancia total recorrida. 

5.9 Un auto esta esperando que cam- 
bie la luz roja. Cuando la luz cambia 
a verde, el auto acelera uniformemente 
durante 6 s a raz6n de 2 m s -2 , despuGs 
de lo cual se mueve con velocidad cons- 
tants En el instante que el auto co- 
mienza a moverse, un cami6n que se 
mueve en la misma direccidn con mo- 
vimiento uniforme de 10 m s _1 , lo pasa. 
<,En que tiempo, y a que distancia se 
encontraran nuevamente el auto y el 
cami6n? 

5.10 Un autom6vil se esta moviendo 
a una velocidad de 45 km hr _1 cuando 
una luz roja se enciende en una inter- 
seccidn. Si el tiempo de reacci6n del 
conductor es de 0,7 s, y el auto desace- 
lera a raz6n de 7 m s~ a tan pronto el 
conductor aplica los frenos, calcular que 
distancia recorrera el auto desde el 
instante en que el conductor nota la 
luz roja hasta que el auto se detiene. 
"Tiempo de reacci6n" es el intervalo 
entre el tiempo en que el conductor 
nota la luz y el tiempo que aplica los 
frenos. 

5.11 Dos autos, A y B, estan viajando 
en la misma direcci6n con velocidades 
va y vb> respectivamente. Cuando el 
auto A se encuentra a una distancia d 
detras del auto B, se aplican los frenos 
de A y causando una desaceleracitin a. 
Demostrar que a fin de que haya un 
choque entre A y B, es necesario que 
va — vb > ]/2ad f 

5.12 Do& autos, A y B, se mueven 
en la misma direcci6n, Cuando t = 0, 
sus velocidades respectivas son 1 pie s _1 
y 3 pies s _1 , y sus respectivas acelera- 
ciones son 2 pies s _a y 1 pie s -2 . Si el 
auto A se encuentra 1,5 pies delante del 
auto B cuando t = 0, calcular cuando 
se encontraran lado a lado. 

5.13 Un cuerpo se esta moviendo 
a lo largo de una recta de acuerdo a la 



ley x = 16/ — $P, donde x se mide en 
metros y t en segundos. (a) Encontrai 
la posici6n del cuerpo cuando 1 = 1 s, 
(b) ^Para que tiempos el cuerpo pasa 
por el origen? (c) Calcular la velocidad 
promedio para el intervalo de tiempc 
< t < 2 s. (d) Encontrar la expresi6n 
general de la velocidad promedio en 
el intervalo t < t < (/ + At), (e) Calcu- 
lar la velocidad en cualquier instante. 
(f) Calcular la velocidad instantanea 
para t = 0. (g) ^Para qu6 tiempos y po- 
siciones estara el cuerpo estacionario? 
(h) Encontrar la expresidn general de la 
aceleraci6n promedio para el intervalo 
de tiempo t < t < (t + Af). <i) Encon- 
trar la expresi6n general de la acelera- 
ci6n instantanea en cualquier instante. 
(j) ^Para que tiempos es la aceleraci6n 
instantanea cero? (k) Representar en un 
conjunto simple de ejes x contra t, v 
contra U y a contra t. (1) ^Para que 
tiempo(s) el movimiento es acelerado 
y para que tiempo(s) es retardado? 

5.14 Un cuerpo se mueve a lo largo de 
una recta de acuerdo a la ley v = P + 
+ 4/ 2 -f 2, Si x = 4 pies cuando f = 2 s, 
encontrar el valor de x cuando / = 3 s. 
Encontrar tambien su aceleracitin. 

5.15 La aceleraci6n de un cuerpo que 
se mueve a lo largo de una linea recta 
esta dada por a = 4 — P, donde a se 
da en m s~ 2 y t en segundos. Encontrar 
las expresiones de la velocidad y el des- 
plazamiento en funcitin del tiempo, su- 
poniendo que para t = 3 s, v = 2 m s _1 
y x = 9 m. 

5.16 Un cuerpo se mueve a lo largo de 
una recta. Su aceleraci6n esta dada por 
a = — 2x 9 donde x esta en pies y a 
esta en pies s~ a . Encontrar la relaci6n 
entre la velocidad y la distancia, supo- 
niendo que cuando x = 0, v = 4 pies s~ J , 

5.17 La aceleraci6n de un cuerpo que 
se mueve a lo largo de una linea recta 
esta dada por a = — Kti* t donde K 
es una constante y suponiendo que 
cuando / = 0, v = i? . Encontrar la velo- 
cidad y el desplazamiento en funci6n del 
tiempo. Encontrar tambien x en fun- 
ci<Jn de t y v en funci6n de x. 

5.18 Para un cuerpo en movimiento 
rectilineo cuya aceleraci6n esta dada por 
a = 32 — 4v (las condiciones iniciales 



Problemas 115 



son x *= y v = 4 cuando t - 0), en- 
contrar v en funcidn de /, x en funci6n 
de f, y x en funci<Sn de v. 
5.19 La posicidn de un cuerpo en mo- 
vimiento en funci6n del tiempo se pre- 
senta en la Fig. 5-27. Indicar (a) d6nde 
el movimiento es en la direction positiva 
y negativa de las X. (b) Cuando el mo- 
vimiento es acelerado o retardado. (c) 
Cuando el cuerpo pasa por el origen, 
y (d) cuando la velocidad es cero. Hacer 
tambi^n un esquema de la velocidad y la 
aceleraci6n en funcitin del tiempo. Es- 
timar del graflco la velocidad promedio 
entre (a) t - 1 s y t = 3 s, (b) t - 1 s 
y t = 2,2 s, (c) t - 1 s y t = 1,8 s. 



X(m) 




Fig. 5-27* Aceleraci6n debida a la rota- 
ci6n de la tierra. 



5.20 Una piedra cae desde un globo 
que desciende a una velocidad uniforme 
de 12 m s _1 . Calcular la velocidad y la 
distancia recorrida por la piedra despu£s 
de 10 s. Resolver el mismo problema 
para el caso cuando el globo se eleva 
a la misma velocidad. 

5.21 Una piedra se lanza verticalmente 
hacia arriba con una velocidad de 20 m 
s ~ l . ^Cuando tendrd una velocidad de 
6 m s^ 1 y a qu6 altura se encontrara? 

5.22 Se tira una piedra hacia arriba 
desde el fondo de un pozo de 88 pies de 
profundidad con una velocidad inicial 
de 240 pies s- 1 , Calcular el tiempo que 
demorara la piedra en alcanzar el borde 
del pozo, y su velocidad* Discutir las 
respuestas posibles. 

5*23 Un hombre parado en el techo de 
u n ediflcio tira una bola verticalmente 



hacia arriba con una velocidad de 
40 pies s _l . La bola llega al suelo 4,25 s 
mas tarde. ^Cual es la maxima altura 
alcanzada por la bola? &Qu6 altura tiene 
el ediflcio? ^Con qu£ velocidad llegara 
la bola al suelo? 

5.24 Un cuerpo que cae recorre 224 pies 
en el ultimo segundo de su movimiento. 
Suponiendo que el cuerpo partid del 
reposo, determinar la altura desde la 
cual cay6 el cuerpo y qu6 tiempo le 
tomd llegar al suelo. 

5.25 Una piedra es lanzada vertical- 
mente hacia arriba desde el techo de un 
ediflcio con una velocidad de 29,4 m s _1 . 
Otra piedra se deja caer 4 s despu£s que 
se lanza la primera. Demostrar que la 
primera piedra pasara a la segunda 
exactamente 4 s despu6s que se soltd la 
segunda. 

5.26 Un cuerpo se deja caer y simul- 
taneamente un segundo cuerpo, se tira 
hacia abajo con una velocidad inicial 
de 100 cm s- 1 . ^Cuando sera la distancia 
entre ellos de 18 m? 

5.27 Se tiran dos cuerpos verticalmente 
hacia arriba, con la misma velocidad 
de salida de 100 m s~\ pero separados 4 s. 
lQn€ tiempo transcurrira desde que se 
lanz6 el primero para que se vuelvan 
a encontrar? 

5.28 Un cuerpo cae libremente. Demos- 
trar que la distancia que recorre durante 
el en£simo segundo es (n — i)g. 

^29 Se deja caer una piedra desde lo 
alio de un ediflcio. El sonido de la piedra 
al chocar con el suelo se escucha 6,5 s 
mas tarde. Si la velocidad del sonido 
es de 1120 pies s _1 , calcular la altura 
del ediflcio. 

5.30 Calcular la velocidad angular de 
un disco que gira'con movimiento uni- 
forme 13,2 radianes cada 6 segundos. 
Calcular tambien el perlodo y la fre- 
cuencia de rotation. 

5.31 £Qu6 tiempo le tomard al disco 
del problema anterior (a) girar un £ngulo 
de 780°, y (b) dar 12 revoluciones? 

5.32 Calcular la velocidad angular de 
las tres manecillas de un reloj. 

5.33 Calcular la velocidad angular, la 
velocidad lineal, y la aceleraci6n cen- 
tripeta de la luna, derivando su res- 



116 



Cinemdtica 



puesta del hecho que la lima realiza 
una revolucidn completa en 28 dlas y que 
la distancia promedio de la tierra a la 
luna es de 38,4 x 10* km. 

5.34 Encontrar (a) la magnitud de la 
velocidad y (b) la aceleracidn centrlpeta 
de la tierra en su movimiento alrededor 
del sol. El radio de la 6rbita terrestre 
es de 1,49 x 10 11 m y su periodo de 
revolucidn es de 3,16 x 10 7 s. 

5.35 Encontrar la magnitud de la velo- 
cidad y la aceleracidn centrfpeta del sol 
en su movimiento a travSs de la Via 
LActea. El radio de la drbita del sol es 
de 2,4 x 10 10 m y su periodo de revo- 
lucidn es de 6,3 x 10 1 * s. 

5.36 Una volante cuyo diametro es de 
3 m esta girando a 120 rpm. Calcular: 
(a) su frecuencia, (b) el periodo, (c) la 
velocidad angular, y (d) la velocidad 
lineal de un punto sobre su borde. 

5.37 La velocidad angular de un vo- 
lante aumenta uniformemente de 20 rad 
s- 1 a 30 rad s- 1 en 5 s. Calcular la ace- 
leracidn angular y el Angulo total re- 
corrido. 

5.38 Un volante cuyo diametro es de 
8 pies tiene una velocidad angular que 
disminuye uniformemente de 100 rpm 
en / =0, hasta detenerse cuando / = 4 s. 
Calcular las aceleraciones tangencial y 
normal de un punto situado sobre el 
borde del volante cuando t = 2 s. 

5.39 Sobre un electr6n cuya velocidad 
es de 4,0 x 10 6 m &- 1 actiia un campo 
magn£tico que lo obliga a describir una 
trayectoria circular de 3,0 m. Encon- 
trar su aceleracidn centrfpeta. 

5.40 Un cuerpo, inicialmente en reposo 
(8 = y o> = cuando t — 0) es acele- 
rado en una trayectoria circular de 
1,3 m de radio de acuerdo a la ecuacidn 
ot = 120f* — 48* + 16. Encontrar la po- 
sicidn angular y la velocidad angular del 
cuerpo en funcidn del tiempo, y las 
componentes tangencial y centrlpeta de 
su aceleracidn. 

5.41 .Un punto se mueve en un circulo 
de acuerdo a la ley s = /» + 2f*, donde 
s se mide en pies a lo largo del circulo y t 
en segundos. Si la aceleracidn total del 
punto es 16 \2 pies s- 1 cuando t = 2 s, 
calcular el radio del circulo. 



5.42 Una particula se esta moviendc 
en un circulo de acuerdo a la ley 8 = 
= 3/* + 2t donde 6 se mide en radianes 
y / en segundos. Calcular la velocidad 
angular y la aceleracidn angular des- 
pugs de 4 s. 

5.43 Una rueda parte del reposo y ace- 
lera de tal manera que su velocidad an- 
gular aumenta uniformemente a 200 rpm 
en 6 s. Despu6s de haber estado girando 
por algun tiempo a esta velocidad, se 
aplican los frenos y la rueda toma 5 min 
en detenerse. Si el mimero total de 
revoluciones de la rueda es de 3100, 
calcular el tiempo total de rotacidn. 



2 pies 



3 pies 



D 




B 



Wmmmmmm 

Figura 5-28 



m 



5.44 La barra BC de la Fig. 5-28 estfi 
oscilando debido a la accidn de la barra 
AD. El punto A esta unido al borde de 
un volante cuyo diametro es de 9 pul- 
gadas y el cual est& girando a una velo- 
cidad angular de 60 rpm y a una ace- 
leracidn angular de 6 rad s~*. Calcular 

(a) la velocidad lineal en el punto £>, 

(b) la velocidad angular de BC, (c) las 
aceleraciones tangencial y normal del 
punto C, (d) la aceleracidn angular de 
BC, (e) la aceleracidn tangencial en D. 

5.45 Un volante de 4 pies de radio est A 
girando con respecto a un eje horizontal 
mediante una cuerda enrollada en su 
borde y con un peso en su extremo. Si 
la distancia vertical recorrida por el 
peso esta dada por la ecuacidn x = 40P, 
donde x se mide en pies y t en segundos, 
calcular la velocidad angular y la acele- 
racidn angular del volante en cualquier 
instante. 



Problemas 



117 



5.46 La posicidn angular de una par- 
ticula que se mueve a lo largo de la cir- 
cunferencia de un circulo de 5 pies de 
radio esta dada por la expresi6n 6 = 3P, 
donde 6 se da en radianes y t en segun- 
dos. Calcular las aceleraciones tangen- 
cial, normal, y total de la particula 
cuando t = 0,5 s. 




Figura o-2t> 

5.47 La rueda A (Fig. 5-29) cuyo radio 
tiene 30 cm parte del reposo y aumenta 
su velocidad angular uniformemente a 
raztin de 0,4* rad s -1 . La rueda trans- 
mite su movimiento a la rueda B me- 
diante la correa C. Obtener una relacitin 
entre las aceleraciones angulares y los 
radios de las dos ruedas. Encontrar el 
tiempo necesario para que la rueda B 
alcance una velocidad angular de 300 rp 
minuto. 

5.48 Una bola se esta moviendo hacia 
el norte a 300 cm s- 1 cuando se Ie aplica 
una fuerza durante 40 s, dando lugar 
a una aceleraci6n hacia el este de 10 cm 
s-*, despu6s de lo cual se quita la fuerza. 
Determinar (a) la magnitud y direcci6n 
de la velocidad final de la bola, (b) la 
ecuacWn de su trayectoria, (c) su distan- 
cia del punto de partida, (d) su desplaza- 
miento del punto de partida. 

5.49 Un tren se esta moviendo a 72 km 
hr~ l cuando una linterna que esta col- 
gando en el extremo del tren a 4,9 m 
sobre el piso, se suelta. Calcular la dis- 
tancia recorrida por el tren en el tiempo 
que demora la lampara en caer al suelo. 
iD6nde cae la lampara con respecto 
al tren y a los rieles? &Cual es la tra- 
yectoria relativa al tren y cual a los 
rieles? 

5.50 Un auto esta viajando en una 
curva plana tal que sus coordenadas 
rectangulares, en funci6n del tiempo, 
esUn dadas por x = 2P — 3P, g = 



= f» — 2t + 1. Suponiendo que t esta 
dado en segundos y las coordenadas en 
metros, calcular (a) la posici6n del auto 
cuando t = 1 s, (b) las componentes 
rectangulares de la velocidad en cual- 
quier instante, (c) las componentes rec- 
tangulares de la velocidad cuando t = 1 s, 

(d) la velocidad en cualquier instante, 

(e) la velocidad cuando t = s, (f) el 
(los) tiempo(s) cuando la velocidad es 
cero, (g) las componentes rectangulares 
de la aceleraci6n en cualquier instante, 
(h) las componentes rectangulares de la 
aceleraci6n cuando f = 1 s, (1) la acele- 
racidn en cualquier instante, (j) la ace- 
Ieraci6n cuando t = s, (k) el (los) 
tiempo(s) cuando la aceleracidn es para- 
lela al eje Y. 

5.51 Un jugador de beisbol golpea la 
bola de modo que adquiere una veloci- 
dad de 48 pies s _1 en un angulo de 30° 
sobre la horizontal. Un segundo jugador, 
parado a 100 pies del bateador y en el 
mismo piano de la trayectoria de la 
bola, comienza a correr en el mismo 
instante en que el primero golpea la 
bola. Calcular su velocidad minima si 
61 puede alcanzarla a 8 pies sobre el 
suelo y considerando que la bola se en- 
contraba a 3 pies de altura cuando reci- 
bi6 el golpe. &Qu6 distancia tuvo que 
correr el segundo jugador? 

5.52 Las coordenadas de una particula 
en movimiento estan dadas por x — P f 
y = (t — l) a . Encontrar su velocidad 
promedio y aceleracidn en el intervalo 
de tiempo entre t y t + AL Aplicar los 
resultados para el caso cuando ( = 2 s 
y A( = 1 s y comparar con los valores 
de la velocidad y aceleracidn para t = 2 s. 
Representar todos los vectores que inter- 
vienen. 

5.53 La posicidn de una particula en el 
tiempo t est£ dada por x = A sen &L 
Encontrar su velocidad y aceleracidn 
en funcidn de t y de x. 

5.54 Un punto se esta moviendo con 
velocidad constante de 3 pies s -1 . La 
velocidad tiene una direcci6n tal que 
hace un &ngulo de (nj2)t radianes con el 
eje positivo de las X. Si x = y = 
cuando t = 0, encontrar la ecuaci6n de 
la trayectoria de la particula. 

5.55 Las coordenadas de un cuerpo 
en movimiento son x = f*, y = (t — l) 2 . 



118 



Cinemdtica 



(a) Encontrar la ecuacidn Gartesiatia de 
la trayectoria. (Ayuda: Eliminar t de las 
ecuaciones.) (b) Representar la trayec- 
toria, (c) ^Cuando se tiene la velocidad 
minima? (d) Encontrar las coordenadas 
cuando la velocidad es 10 pies s-\ (e) 
Calcular las aceleraciones tangencial y 
normal en cualquier instante. (f) Calcu- 
lar las aceleraciones tangencial y normal 
cuando t = 1 s. 

5.56 Una particula se esta moviendo 
a Io largo de una parabola y = x 2 de 
modo que en cualquier instante v x = 
= 3 pies s^ 1 . Calcular la magnitud y la 
direcci6n de la velocidad y la acelera- 
cidn de la particula en el punto x = 
= i Pi«* 

5.57 Las coordenadas de un cuerpo en 
movimiento son x = 2 sen c*f, y = 2 cos 
&L (a) Encontrar la ecuaci6n Cartesiana 
de la trayectoria, (b) Calcular el valor 
de la velocidad en cualquier instante. 
(c) Calcular las componentes tangencial 
y normal de la aceleracidn en cualquier 
instante, Identificar el tipo de movi- 
miento descrito por las ecuaciones ex- 
puestas. 

5.58 Si las coordenadas de un cuerpo 
en movimiento son x = at, y = b sen at, 
demostrar que el valor de la aceleracitin 
es proporcional a la distancia, entre el 
cuerpo y el eje X, Hacer un grafico de la 
trayectoria. 

5.59 Un punto se mueve en el piano 
XY de tal manera que v x = 4P + 4/, 
v y = 4t Si la posici6n del punto es 
(1, 2) cuando t = 0, encontrar la ecua- 
ci6n Cartesiana de la trayectoria. 

5.60 Una particula se mueve en el piano 
XY de acuerdo a la ley ax = — 4 sen t, 
a y = 3 cos /. Si cuando t = 0, x = 
y — 3, v x = 4, v y = 0: Encontrar (a) la 
ecuacidn de la trayectoria y (b) calcular 
el valor de la velocidad cuando t = 7r/4 s # 

5.61 Un proyectil es disparado con 
una velocidad de 600 m s _1 haciendo un 
angulo de 60° con la horizontal, Calcular 
(a) el alcance horizontal, (b) la altura 
maxima, (c) la velocidad y altura des- 
pues de 30 s, (d) la velocidad y el tiempo 
cuando el proyectil se encuentra a 10 km 
de altura. 

5.62 Un avi6n bombardero esta vo- 
lando horizontalmente a una altura de 



1,2 km con una velocidad de 180 km 
hr- 1 . (a) ^Cuanto tiempo antes de que el 
avi6n est£ sobre el bianco debe dejar 
caer la bomba? (b) ^Cual es la velocidad 
de la bomba al llegar al suelo? (c) &Cual 
es la velocidad de la bomba 10 s des- 
pues de soltarla? (d) ^Cual es la veloci- 
dad de la bomba cuando se encuentra 
a 200 m de altura y cuando llega al 
suelo? (e) ^Cual es el angulo que forma 
con el eje horizontal la velocidad de la 
bomba al caer al suelo? (f) ^Cual es 
la distancia horizontal cubierta por la 
bomba? 

5.63 Un proyectil es disparado ha- 
ciendo un angulo de 35°, Llega al suelo 
a una distancia de 4 km del can6n. 
Calcular (a) la velocidad inicial, (b) el 
tiempo de vuelo, (c) la maxima altura, 
(d) la velocidad en el punto de maxima 
altura. 

5.64 Un can6n esta situado en lo alto 
de un arrecife a una altura de 400 pies. 
Dispara un proyectil con una velocidad 
de 786 pies s _1 haciendo un angulo de 
30° sobre la horizontal, Calcular el al- 
cance (distancia horizontal desde la base 
del arrecife) del can6n. Si un auto se 
dirige directamente al arrecife a una 
velocidad de 60 mi hr- 1 a lo largo de un 
camino horizontal, £a que distancia debe 
estar el auto del arrecife para sentir el 
impacto del proyectil? Repetir el pro- 
blema para un disparo bajo la horizontal. 
Repetir el problema cuando el auto se 
aleja del arrecife, 

5.65 Un can6n esta colocado en la 
base de un cerro cuya pendiente hace 
un angulo ^ con la horizontal. Si el 
can6n hace un angulo a con la horizon- 
tal y dispara un proyectil con velocidad 
v 09 encontrar la distancia, medida a lo 
largo del cerro, a la cual caera el pro- 
yectil. 

5.66 Un aeroplano esta volando hori- 
zontalmente a una altura h con velocidad 
p. En el instante que el aeroplano esta 
directamente sobre un can6n antia6reo, 
el candn dispara al aeroplano. Calcular 
la velocidad minima v y el angulo de 
apunte a que requiere el proyectil para 
darle al aeroplano. 

5.67 Una ametralladora dispara una 
bala con una velocidad de 650 pies s -1 . 



Problernas 119 



Determinar los Angulos bajo los cuales 
la bala alcanzara un bianco situado a 
450 pies de distancia y 18 pies de alto. 

5.68 Encontrar el radio de curvatura 
en el punto mas alto de la trayectoria 
de un proyectil disparado haciendo un 
angulo inicial a con la horizontal. 

5.69 Un cazador apunta a una ardilla 
que se encuentra en la rama de un arboL 
En el momento que el dispara su rifle 
la ardilla se deja caer de la rama. Demos- 
trar que la ardilla no debi6 moverse si 
deseaba seguir viviendo. 

5.70 Un aeroplano vuela horizontal- 
mente a una altura de 1 km y con una 
velocidad de 200 km hi- 1 , Deja caer 
una bomba que debe dar en un barco 
que viaja en la misma direccidn a una 
velocidad de 20 km hr- 1 . Demostrar que 
la bomba debe dejarse caer cuando la 
distancia horizontal entre el aeroplano 
y el barco es de 715 m. Resolver el 
mismo problema para el caso en el cual 
el barco se esta moviendo en la direccidn 
opuesta. 

5.71 Demostrar que para un movi- 
miento piano bajo aceleraci6n constante 
a t se cumple la siguiente relaci6n : 

E* = v *+ 2a-(r — r ) 

y 

5.72 Un disco de radio R rueda con 
velocidad constante v Q a lo largo de un 
piano horizontal. Demostrar que la posi- 



cidn de cualquier punto sobre su borde 
esti dado por las ecuaciones x = R(<*t — 
— sen &{) e y = i?(l — cos <af), donde 
co = vJR es la velocidad angular del 
disco y t se mide desde el instante en 
que el punto se encuentra en contacto 
con el piano. Encontrar tambiSn las 
componentes de la velocidad y la ace- 
leraci6n del punto. 

5.73 Un disco de radio R rueda a lo 
largo de un piano horizontal. Demos- 
trar que en cada instante la velocidad 
de cada punto es perpendicular a la 
linea que une el punto con el punto 
de contacto del disco y el piano. Si p es 
la distancia entre estos puntos, demos- 
trar que la magnitud de la velocidad 
del punto que se mueve es cop. iQu6 
conclusiones obtiene usted de estos resul- 
tados? 

5.74 Usando el m£todo explicado en la 
secci6n 5,11 demostrar que 

duejdt = — UrdO/d/. 

5.75 Demostrar que las componentes 
de la aceleraci6n a lo largo de los vec- 
tores unitarios u r y uq (Fig. 5-26) son 



a r 



df* 



( d6 y _ dr d6 



+ r 



d*9 
dP 



[Ayuda: Usar la expresi6n (5.63) de la 
velocidad y tomar en cuenta los valores 
de dur/dt y dujdt] 



6 
MOVIMIENTO RELATIVO 



6.1 Introduecidn 

6.2 Velocidad relativa 

6.3 Movimiento relativo de traslation uniforme 

6A Movimiento relativo rotational uniforme 

6.5 Movimiento relativo con respecto a la tierra 

6.6 Transformation de Lorentz 

6.7 Transformation de velocidades 

6.8 Consecuencias de la transformation de Lorentz 



6.2) 



Velocidad relativa 



121 



$.1 Jntroduccidn 

En el capitulo anterior indicamos que el movimiento es un concepto relativo 
porque debe siempre referirse a un sistema particular de referenda, escogido 
por el observador. Como diferentes observadores pueden utilizar sistemas de 
referencias distintos, es importante conocer la forma en que estdn relacionadas 
las observaciones hechas por diferentes observadores. Por ejemplo, la mayor 
parte de las observaciones hechas en la tierra est£n referidas a un sistema de 
referencia situado en ella, y por lo tanto, moviendose con la tierra, Los astr6- 
nomos aiin prefieren referir el movimiento de un cuerpo celeste a las llamadas 
estrellas fijas. En fisica at6mica el movimiento de los electrones se determina 
con respecto al nucleo. Un experimentador usualmente escoge un sistema de 
referencia en el cual la toma de los datos y el an&lisis se realizan m&s f&cilmente. 
La posibilidad de defmir un sistema absolute de referencia en reposo relativo 
con respecto al espacio vacio es un asunto que ha sido discutido durante siglos 
por fisicos y fil6sofos. Cuando sesupuso que el espacio vacio estaba "lleno" de 
una sustancia imaginaria llamada eter, con propiedades algo contradictorias e 
imposibles, el sistema absoluto de referencia se definid como aquel que se encon- 
traba en reposo con respecto al eter. Sin embargo, una vez que la gente descart6 
la idea artificial e innecesaria del eter, se hizo imposible definir tal sistema absoluto, 
ya que en el espacio no hay elementos que puedan servir como puntos de refe- 
rencia. Como veremos en este capitulo, este asunto no tiene en la actualidad 
mayor importancia. 



6.2 Velocidad relativa 

Consideremos dos objetos A y B y un observador 0, utilizando como sistema de 
referencia los ejes XYZ (Fig. 6-1). Las velocidades deAyB con respecto a son 



VA dt ' 



Vn - 



dr B 
dt 



(6.1) 



Las velocidades de B con respecto a A y 
de A con respecto a B estdn definidas por 



Vn A = 



BA 



dr B A 
dt 



V AB = 



drAB 



dt 



(6.2) 



dondi 




r BA =AB =r B —r A , 

, Fig* 6-1. Definici6n de velocidad rela- 

r AB =BA =r A — r B . (6.3) tiva. 



122 Movimiento relativo 



(6.2 




(a) 




(b) 




;c) 



Figura 6-2 



Notese que, considerando r AB 
Vba = - V AB . 



Vba> tambien tenemos que 



(6.4) 



En otras palabras, la velocidad de B con respecto a A es igual y opuesta a 
la velocidad de A con respecto a B. Derivando la ec. (6.3) con respecto al tiem- 
po, resulta: 



dr BA 



dr 



dt 



dr A 



B 



dt 



dt dt 

o, usando las ecs. (6.1) y (6.2), tenemos 

Vba = V b — V a , V ab = V A 



dr A 
dt 



dr 



dt 



(6.5) 



Por consiguiente, para obtener la velocidad relativa de dos cuerpos, se restan sus 
velocidades con respecto al observador. Derivando nuevamente la ec. (6.5), en- 
contramos que 



dV B A 
dt 



dV> 



dt 



dV A 
dt 



con una expresion similar para dVAB/dt. El primer termino se denomina la ace- 
leracion de B con respecto a A f y se designa por Uba- Los otros terminos son las 
aceleraciones de B y de A con respecto a 0, respectivamente. Luego 



«ba = «b — «A 



Q>AB = &A «B' 



(6.6) 



EJEMPLO 6.1. Un aeroplano A (Fig. 6-2) vuela hacia el Norte a 300 millas por 
hora con respecto a la tierra. Simultaneamente otro avi6n B vuela en la direccidn 
N 60° W a 200 miilas por hora con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad 
de A con respecto a B y de B con respecto a A. 



6.3) 



Movimienio relativo de traslacion uniforme 123 



Solucitin: En la Fig. 6-2, las velocidades de los aviones A y B con respecto a la 
tierra se han representado a la izquierda, A la derecha tenemos la velocidad de A 
con respecto a B, esto es, Vab = V a — V B y de B con respecto a A, esto es 
Vba — Vb — V A . Podemos notar que Vab = — Vba, en concordancia con la ec, (6.4). 
Para calcular V A b, usamos la ec. (3.6), notando que el angulo entre V A y Vb 
es de 60°. Asi 

Vab = V 300 2 + 200 2 — 2 x 300 x 200 x cos 60° = 264,6 mi hr- 1 . 

Para obtener la direccidn de v A b 9 usamos la ley de los senos ec, (3.4), 

Vb Vab ± Vb sen 60° 



sen a 



sen 60° 



sen a = 



Vab 



= 0,654, 



obteniSndose a = 40,7°. Entonces, a un pasajero en el avi6n B le parece como 
si el avi6n A se desplazara a 264 millas/hr en la direcci6n N 40,7° E. La velocidad 
relativa Vba tiene la misma magnitud 264,6 mi/hr pero en la direcci6n opuesta, 
S 40,7° W. 



6.3 Movimiento relativo de traslacion uniforme 



Consideremos dos observadores O y 0' que se mueven, uno con respecto al otro, 
con movimiento de traslacion uniforme. Esto es, los observadores no rotan 
uno con respecto al otro* Por ello, el observador O ve al observador O' moviendose 
con velocidad v, mientras que O' ve a O moviendose con velocidad — v. Estamos 
interesados en comparar sus descripciones del movimiento de un objeto, como, 
por ejemplo, cuando un observador se encuentra sobre la plataforma de una 
estacion de ferrocarril y el otro esta situado en un tren que se desplaza en linea 
recta, y ambos observadores est&n mirando el vuelo de un avion que pasa por 
encima de ellos. 

Escogemos, por simplicidad, los ejes X y X' a lo largo de la linea del movi- 
miento relativo (Fig. 6-3) y los ejes YZ e Y'Z' paralelos entre si; los ejes de coor- 
denadas permaneceran siempre paralelos 
debido a la ausencia de rotation relativa. 
Supondremos tambien que para t = Q, O 
y O' coinciden, de modo que si la veloci- 
dad relativa v es constante, podemos es- 
cribir 



00' = vt 



v 



u x v. 



Considerando ahora una particula en A. 

De la Fig. 6-3, vemos que OA ^00' + CTA 

y como OA = r, O'A = r\ y OO' = vt, los 
vectores position de A medidos por O y O f 
estan relacionados por 




vt 



(6.7) 



Fig, 6-3. Sistemas de referenda en 
movimiento relativo de traslaci6n 
La ecuacion vectorial puede expresarse en uniforme. 



124 Movimiento relativo (6,3 

sus tres componentes, tomando en consideraci6n el hecho de que v es paralela 
a OX, Por lo tanto 

x' = x — vU y' =y, z' = z, V = L (6.8) 

Hemos aiiadido V = t a las tres ecuaciones espaciales para dar enfasis al hecho 
de que estamos suponiendo que los dos observadores estan usando el mismo 
tiempo; esto es, suponemos que las mediciones de tiempo son independientes 
del movimiento del observador. Esto parece muy razonable, pero es s6Io una 
suposicion, que puede ser desvirtuada en forma experimental. 

El conjunto de ecs. (6.8) la simple ecuacion vectorial (6.7) combinadas con 
V = U son denominadas una transformation Galileana. 

La velocidad V de A con respecto a se define por 

¥7 dr dx v du . dz 



dt * dt g dt ' z dt 
y la velocidad F' de A con respecto a 0' es 

¥7 , dr' dx' , dy' dz' 

dt dt y dt dt 

N6tese que no escribimos dr'jdt' debido a que hemos supuesto que t =V y por 
lo tanto dr'jdt' es lo mismo que dr'jdt. Derivando la ec. (6.7) con respecto al tiempo 
y notando que v es constante, tenemos 

V = V—v, (6.9) 

o notando que V x = dxjdt, V^ = dx'/dt, etc., podemos separar la ec. (6.9) en 
sus tres velocidades componentes: 

V' x > =V x -v, V' y . = V y , V' z . = V z . (6.10) 

Estas pueden tambien obtenerse directamente derivando las ecs. (6.8), las ecs. (6.9) 
a (6.10) dan la regla Galileana para comparar la velocidad de un cuerpo medida 
por dos observadores en movimiento relativo de traslacion. Por ejemplo, si A se 
mueve paralelamente al eje OX, tenemos simplemente 

V = V — v, (6.11) 

siendo las otras componentes nulas. Pero si A se mueve paralelamente al eje OY 9 
V x = V z = 0, V y = V, luego V' x > = — v y V' w . = V, V' s > = 0, de modo que 

V' = ]/ V 2 + v*. (6.12) 

Las aceleraciones de A con respecto a O y 0' son a = dVfdt yo'= dV'jdt res- 
pectivamente. N6tese nuevamente que usamos el mismo tiempo / en ambos 
casos. A partir de la ec. (6.9) notando que dvjdt — ya que v es constante, 
obtenemos 

dV dV 

6 a' = a, (6.13) 



dt dt 



6.3) 



la cual, expresada en coordenadas rectangulares es 



Mouimiento relativo de traslacion uniforme 



&x' — a x* 



<V = a V 



a'. = a,. 






125 



(6.14) 



En otras palabras, ambos observadores miden la misma aceleraci6n. Esto es, 
la aceleracion de una parttcula es la misma para todos los observadores en movi- 
miento relativo de iranslacion uniforme. Este resultado nos ofrece un ejemplo de 
una cantidad fisica — la aceleracion de una particula — que parece ser inde- 
pendiente del movimiento de un observador; en otras palabras, hemos encontrado 
que la aceleracion permanece invariante cuando se pasa de un sistema de referenda 
a otro que se encuentra en movimiento relativo de traslacion uniforme. Es la primera 
vez que encontramos una cantidad fisica que permanece invariante bajo una 
transformaci6n. Mas adelante encontraremos otras cantidades fisicas que se 
comportan de la misma manera. Este resultado, como veremos, tiene una pro- 
funda influencia en la formulaci6n de las leyes de la fisica. 

EJEMPLO 6.2. La velocidad del sonido en aire quieto a 25°C (6 77°F) es de 358 m S" 1 . 
Encontrar la velocidad medida por un observador que se mueve a 90 km hr~ x 
(a) alejandose de la fuente, <b) acercandose hacia la fuente, (c) perpendicular a la 





Figura 6-4 



1Z0 



movimiento reiatwo 



(6.4 



direccidn de propagacitin en el aire, (d) en una direcci6n tal que el sonido parece 
propagarse perpendicularmente a la direccldn del observador, Suponer que la fuente 
se encuentra en reposo relativo a la tierra. 

Soluci6n: Usemos un sistema de referenda XYZ (Fig. 6-4) fijo relativo a la tierra, 
y por ello en reposo relativo con respecto al aire, y un sistema X'Y'Z* que se mueve 
con el observador, con los ejes X y X' paralelos a la velocidad del observador, 
como en la Fig. 6-3. Con respecto a XYZ, la fuente de sonido se encuentra en 0, 
la velocidad del observador O' es u = 90 kmhr 1 — 25 m s~\ y la velocidad del 
sonido es V = 358 m s- 1 . La velocidad del sonido, con respecto a X'Y'Z' medido 
por el observador 0' es V". Aplicando la ecuaci6n (6.9) o la (6.10) tenemos para el 
caso (a) V = V — v = 333 m s- 1 . En el caso (b) notamos que 0' se mueve a lo 
largo de la direction negativa del eje X. Luego podemos escribir que v = — u x v 9 
transformando la ec. (6.11) en V = V + u = 383 m s- 1 . 

Para la situaci6n (c) usamos la ec. (6.12) de modo que V — Vv 2 + u 2 = 358,9 m s -1 . 
Para el observador en movimiento, el sonido parece propagarse en una direccidn 
que hace un angulo a' con el eje X' tal que 



tga' = 






= — 15,32 



v 



a' = 93,7«. 



Finalmente, en el caso (d), la direcci6n de propagaci6n del sonido en el aire es tal 
que desde el punto de vista de O' se mueve en la direccidn Y'. Por ello W = 0, 
VV = V' f y W = 0. Luego, usando la ec. (6.10) tenemos = Y x — v 6 V x = v 
y V = V v . Por consiguiente V 2 = VI + V| = v 2 + V' 2 6 V = yv* — v 2 = 357,1 
m s- 1 . En este caso el sonido se propaga a traves del aire quieto en una direccidn 
que hace un angulo a con el eje X de modo que 



tg a 



Vx 



V' 



v 



= 14,385 



a = 86,0°. 



6A Movimiento relativo rotacional uniforme 

z 




Fig, 6-6. Sistemas de referencia en movi- 
miento relativo de rotaci6n uniforme. 



Consideremos ahora dos observadores 
O y 0' que rotan uno con respecto a 
otro pero sin movimiento de trasla- 
cion relativo. Por simplicidad supon- 
dremos que y 0' se encuentran en 
la misma region del espacio y que 
cada uno de ellos usa un sistema de 
referencia fijo a si mismo pero con 
origen comiin. Por ejemplo, el obser- 
vador 0, quien utiliza el sistema XYZ 
(Fig* 6-5), nota que el sistema X'Y'Z' 
fijo a O' esta rotando con velocidad 
angular <w. Para 0', la situation es 
justamente inversa; 0' observa el sis- 
tema XYZ rotando con velocidad an- 



gj\ Movimiento relativo rotational uniforme 127 

gular — <»• El vector position r de la particula A referido a XYZ es 

r = UxX + u y y + u 2 z, (6,15) 

y, por consiguiente, la velocidad de la particula A medida por con respecto 
a su sistema de referenda XYZ es 

dr dx , dy , dz 

= w x — - + u y -f + u, — . (6.16) 



dt dt tf dt dt 

Similarmente, el vector position de A referido a X'Y'Z' es 

r = u x >x f + u g >y' + u z >z\ (6.17) 

donde, debido a que los origenes coinciden, el vector r es el mismo que el de 
la ec. (6,15); esa es la razon por la cual no hemos escrito r\ La velocidad de A, 
medida por 0' con respecto a su propio sistema de referenda X'Y'Z' es 



dx' dy' dz' 

dt y dt dt 



V = U* — + Ujf -4- + Uz' — . (6-18) 



Al derivar la ec. (6.17) el observador 0' ha supuesto que su sistema X'Y'Z' no 
esta rotando, y por lo tanto ha considerado los vectores unitarios como cons- 
tantes en direction. Sin embargo, el observador tiene el derecho de decir que, 
para el, el sistema X' Y'Z' esta rotando y que, por consiguiente, los vectores uni- 
tarios u x >, 11$ y u t >, no tienen direction constante de modo que al calcular la 
derivada con respecto al tiempo de la ec, (6,17), debe escribirse 

dr dx' dy' dz' 



dt ~ dt ' y dt ' z dt 

+ d^ du^ du^^ 

dt dt y dt v ' 

Ahora bien los extremos de los vectores u x > 9 u y > y u z * estan (por suposici6n) en 
movimiento de rotation uniforme relativo a 0, con velocidad angular co. En 
otras palabras du x >jdt es la velocidad de un punto situado a una distancia uni- 
taria de y que se mueve con movimiento circular uniforme con velocidad an- 
gular a). Por consiguiente, usando la ec. (5.48), tenemos 

du x > du u > du z > 

= a> x Utf t — ----- = co x Uy'y — — = co x u z > 



dl *' dt y dt 

En concordancia, de la ec. (6.19) podemos escribir 

du x > , , du u ' , , du z > , , , , . , 

— ~ x' -\ £- y f ^ — z = co x u x >x f + co x u y <y' + © x u z z 

dt dt dt 

r=cox {u x >x' + u y <y' + u t z') 

= wxn (6.20) 



128 Movimienio relativo (6a 

Introduciendo este resultado en la ec. (6.19) y usando las ecs. (6.16) y (6.18), 
obtenemos finalmente 

V = V + © x r. (6.21) 

Esta expresi6n da la relaci6n entre las velocidades V y V de A, medidas por doa 
observadores y 0' en movimiento relativo de rotaci6n uniforme. 

Para obtener la relaci6n entre las aceleraciones, procedemos de una manera 
similar. La aceleraci6n de A f medida por O con respecto a XYZ es: 

dV dV * , dv v , dV * /to* 

La aceleracion de A, medida por 0' respecto a X'Y'Z\ cuando el ignora la ro- 
taci6n es: 

dV* dV'< dV' z > 

dt di at 

Cuando derivamos la ec, (6.21) con respecto al tiempo /, recordando que hemos 
supuesto o constantes, obtenemos 

dV dV' dr 

a = — — = — — + a> x — . (6,24) 

dt dt dt 

Ahora, ya que V = u x >V' X - + *VV^ + u z <V^ t obtenemos por derivation 

dv dv x , , dv;^ , _ dv;* 



= "*- — ^- + U^ — *- + U 



dt dt * dt dt 

^ d< * * ' <fl 

Los tres primeros terminos son justamente a', dados por la ec. (6*23), y los tres 
ultimos, por el procedimiento identico usado para derivar la ec. (6.20), son <o x V* 
Esto es, sustituyendo las cantidades apropiadas en la ec. (6.20), tenemos 

m x UfVrf + a> x UjVtf + a> x u?Vj 

- © x (UfV'j + u y >V^> + «rV^) = a> x P. 

Por ello dV'/dt = a' + o x V. Igualmente, de las ecs, (6,16) y (6.21) drjdt = 
= V = V + o x r, de modo que 

dv 

m x = w x (F* + © x r) = <» x F' + © x (© x r), 

df 
Sustituyendo ambos resultados en la ec. (6.24) obtenemos finalmente 

a = a' + 2© x F' + © x (o x r). (6.25) 



6.5) 



Movimiento relativo con respecto a la tierra 129 



Esta ecuaci6n da la relaci6n entre las aceleraciones a y a' de A registradas poi 
los observadores y 0' en movimiento relativo de rotaci6n uniforme. El segundo 
termino 2m x V* se denomina la aceleracion de Coriolis. El tercer termino es si- 
milar a la ec. (5.59) y corresponde a la aceleracion centrtpeta. Tanto la aceleraci6n 
de Coriolis como la aceleracion centripeta son el resultado del movimiento rota- 
cional relativo de los observadores. En la pr6xima secci6n ilustraremos el uso 
de estas relaciones. 



6.5 Movimiento relativo con respecto a la tierra 

Una de las aplicaciones m£s interesantes de la ec. (6.25) es el estudio del movi- 
miento de un cuerpo con respecto a la tierra. Como se indic6 en el ejemplo 5-10, 
la velocidad angular de la tierra es w= 7,292 x 10" 5 rad s~ l . Su direcci6n es 
aquella del eje de rotation de la tierra. Consideremos un punto A sobre la super- 
ficie terrestre (Fig. 6-6). Llamaremos g la aceleraci6n de la gravedad medida 
porunobservador que no gira situado en AXuego g corresponde a a de la ec. (6.25). 
Despejando a' de la ec. (6.25), obtenemos la aceleracidn medida por un obser- 
vador que rota con la tierra: 



a' — g — 2o x V — to x (o x r), 



(6.26) 



90° -X 



I 

N 



C£5 



Direcci6 
radial 



R 1 ' W ' 

Jr,1 / X \<<Z/-* 



OIX 





WX(ft)Xf) 



Direcci6n -^ '^ j 

radial B 



(a) Hemisferio Norte (b) Hemisferio Sur 

FI&. 6-6. Aceleraci6n centrlfuga debida a la rotaci6n de la tierra. 



Primero consideraremos el caso de un cuerpo inicialmente en reposo, o mo- 
v iendose muy lentamente, de modo que el termino de Coriolis — 2<o x V es cero 
despreciable cuando se compara con el ultimo termino — o x (o x r). La 



130 Movimiento relatwo 



(6.6 



aceleracion o' medida en este caso se denomina aceleracion efectiua de la grave- 
dad, y se designa por la letra g. Asi 



g = g — o> x (a) x r). 



(6.27) 



Esta es la aceleracion medida por un pendulo, como se discutira en el capitulo 12. 
Suponiendo que la tierra es esferica (realmente se desvia ligeramente de esta 
forma) y que no hay anomalias locales, podemos considerar que g esta seiialando 
hacia el centro de la tierra en la direccion radial. Debido al segundo termino 
de la ec. (6,27), la direccion de g 9 Uamada la vertical se desvia ligeramente de la 




oi 2 r cos y sen A 



w 



/■£ Ecuador 



U) 



a r cos X sen /^^L ^ ^"d ,'' }> 



taix(uxr) 



<o*r cos* I 



Fig. 6-7. Componentes horizontal y radial de la aceleraci6n centrifuga 



direcci6n radial, y esta determinada por la linea de la plomada. Los liquidos 
siempre reposan en equilibrio con su superficie en direccidn perpendicular a g. 
Sin embargo, para propositos pr£cticos, y en la ausencia de perturbaciones lo- 
cales, la vertical puede suponerse que coincide con la direccion radial. 

Analicemos ahora en mayor detalle el ultimo termino en la ec, (6.27) ; esto es, 
— m x (t» x r). Se denomina aceleracion centrifuga debido a que por su signo 
negativo senala en la direcci6n DA como se indica en la Fig. 6-6. El angulo X 
que r = CA hace con el ecuador es la latitud. Por consiguiente, el vector o hace 
un dngulo 90° — X con CA en el hemisferio norte y 90° -f x en el hemisferio sur. 
La magnitud de o x f es entonces 

or sen (90° ± X) = wr cos X, 

y la direccion de o> x r, siendo perpendicular a o, es paralela al ecuador. Re- 
cordando el ejemplo 5,11, encontramos que la magnitud de la aceleracion cen- 
trifuga — a> x (a> x r) es 

|— © x (<o x r)\ = w 2 /- cos x = 3,34 x 10~ 2 cos x m s" 2 , (6.28) 



6.5) 



Movimiento relative* con respecto a La tierra 161 



donde r = 6,37 x 10 6 m f es el radio de la tierra, Esta aceleracion disminuye del 
ecuador a los polos, pero es siempre pequena comparada con la aceleraci6n de 
la gravedad g Q — 9,80 ms~ 2 . Su maximo valor, en el ecuador, es alrededor del 
0,3 % de g Q (ver ejemplo 5.11). 

Encontraremos ahora las componentes de — a> x (m x r) a lo largo de la 
direccion radial AB y a lo largo de la linea norte-sur (NS) en A. En la Fig. 6-7, 
asi como en la Fig. 6-6 la linea AB, la cual es la extension de CA, est& en la di- 
reccion radial. El vector co obviamente hace un angulo X con NS. Como se indico 
antes, la aceleracion de la gravedad g se dirige hacia el centro a lo largo de AB. 
La aceleraci6n centrifuga — a> x (eo x r) forma un dngulo x con AB; su com- 
ponente a lo largo de AB se obtiene, por consiguiente, multiplicando su magnitud 
dada por la ec, (6,28), por cos X. Esto es, 

| — & x (o x r)\ cos x = <i> 2 r cos 2 x. 

La componente de la aceleracion centrifuga a lo largo de la linea NS se dirige 
hacia el sur en el hemisferio norte (y hacia el norte en el hemisferio sur) y se 
obtiene multiplicando su magnitud por sen X, obteniendose 

| — w x (a> x r)\ sen X = o> 2 r cos X sen X. 

Las dos componentes se ilustran en la Fig. 6-7. De acuerdo a la defmicion de g 
dada por la ec. (6,27), las componentes de g a lo largo de las direcciones radial 
y horizontal son como se muestran en la Fig. 6-8. Debido a la pequenez del ter- 
mino centrifugo, el angulo a es muy pequeno y la magnitud de g no difiere apre- 



B 

I a) a r cos A sen X 



N 



Piano horizontal 



0o — m*r cos 1 X 



Direccion 
radial i 




Direcci6n 



\ vertical 
(a) Hemisferio norte 



B 



w*r cos y sen X 

N-- 



Direcci6n 
vertical 



Piano horizontal 




2 r cos* X 



"'Direcci6n 
1 radial 



(b) Hemisferio sur 



Pig. 6-8, Definici6n de la direcci6n vertical y la aceleraci6n efectiva de caida. 



ciablemente de su componente a lo largo de la direccion radial AB. Por consi- 
guiente podemos escribir, como una buena aproximacion que 

g - g Q — <o 2 r cos 2 X. (6.29) 

Aunque el ultimo termino es muy pequeno, toma en cuenta el aumento obser- 



132 Movimiento relativo 



(6.6 



vado en el valor de la aceleracion de la gravedad con la latitud como se aprecia 
en la tabla 6-1. 

La componente de la aceleracion centrifuga a lo largo de la direccion NS tiende, 
en el hernisferio norte a desplazar al cuerpo ligeramente hacia el sur de la direc- 
ci6n radial AB y hacia el norte en el hernisferio sur. Por lo tanto, la trayectoria 
de un cuerpo que cae se desviara como se ilustra en la Fig. 6-9. El cuerpo llegara 
a A' en lugar de hacerlo a A, como sucederia si no hubiera rotacion. Debido al 
pequeno valor de a esta desviacion es despreciable. 

Consideremos ahora el termino Coriolis — 2m x V. En el caso de un cuerpo 
que cae, la velocidad V es esencialmente hacia abajo a lo largo de la vertical 
AB (Fig. 6-10) y a> x V senala hacia el oeste. Luego el termino Coriolis — 2& x V 
est£ senalando hacia el este, y el cuerpo al caer se desviara en esa direccion lie- 



TABLA 6-1 Valores de la aceleracion de la gravedad, expresados en m s" 



Localidad 


Latitud 


Gravedad 


Polo Norte 


90° 0' 


9.8321 


Anchorage 


61° 10' 


9,8218 


Greenwich 


51* 29' 


9,8119 


Paris 


48° 50' 


9,8094 


Washington 


38° 53' 


9,8011 


Key West 






(Florida) 


24o 34' 


9,7897 


Panama 


8° 55' 


9,7822 


Ecuador 


0°0' 


9,7799 



gando al suelo en A", ligeramente al este de A. Combinando este efecto de Co- 
riolis con el efecto centrifugo, el cuerpo caera en un punto al sureste de A en el 
hernisferio norte y al noreste de A en el hernisferio sur. Este efecto, el cual es 



Direcr.i6n vertical 





Piano 
horizontal 



(a) Hernisferio norte 



(b) Hernisferio sur 



Pig. 6-9. Desviacidn de la direcci6n de un cuerpo que cae debido a la aceleracidn 
centrifuga: hacia el sur (hacia el norte) en el hernisferio norte (sur). 



6.0) 



iviuvuntztuv retuiwo con respecw a la nerra 166 





(a) Hemisferio norte 



(b) Hemisferio sur 



Fig. 6-10, Desviaci6n hacia el este en el hemisferio norte (sur) de un cuerpo que 
cae debido a la aceleracion Coriolis, 



despreciable en la mayor parte de los casos, debe tomarse en cuenta tanto en 
bombardeo de gran altura como en cohetes balisticos intercontinentales. La 
aceleracion de Coriolis afecta seriamente las trayectorias de los cohetes y de 
los satelites, debido a sus grandes velocidades. 

En el caso de un cuerpo que se mueve en un piano horizontal, el vector 
— 2o x V\ perpendicular a co y V' 9 hace un angulo igual a tt/2 — X con el 
piano horizontal. Tiene una componente horizontal an y una componente ver- 
tical ay (Fig. 6-11). La componente horizontal ajjtiende a hacer que la trayectoria 
se desvie de una recta, hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda 
en el hemisferio sur. La componente an disminuye a medida que uno se aleja 
de los polos hacia el ecuador, donde su valor es cero. Por ello en el ecuador la 
aceleracion de Coriolis no produce ningiin efecto horizontal en el movimiento hori- 
zontal. El efecto vertical es pequeno comparado con la aceleracion de la gravedad, 
y en la mayor parte de los casos puede ser despreciado. 

El efecto horizontal puede verse en dos fenomenos comunes. Uno es el remolino 
en un huracan. Si se desarrolla un centro de baja presion en la atmosfera, el 
viento fluira hacia el centro (Fig. 6-12). Sin embargo, la aceleracion de Coriolis 
desvia las moleculas del aire hacia la derecha de sus trayectorias en las latitudes 
nortes dando por resultado un movimiento en sentido contrario a las agujas del 
reloj o remolino.* En el hemisferio sur la rotation es en el sentido de las agujas 
del reloj. 

Como un segundo ejemplo, consideremos las oscilaciones de un pendulo. Cuando 
la amplitud de las oscilaciones es pequena, podemos suponer que el movimiento 
de la masa es a lo largo de una trayectoria horizontal* Si el pendulo inicialmente 



La presion y la temperatura del aire tienen tambien un profundo efecto en su movimiento, 
Este efecto da lugar a un fenomeno el cual es demasiado complicado para ser adecuadamente 
descrito aquL El resultado final es el movimiento ciclonico ilustrado en la Fig. 6-1 2(c). 



itJ£ 



Movimiento reiatwo 



(ff.fi 



Direccidn 
vertical 



B i 

' Eje de la 

' tierra 




Direcci6n 
vertical 



Piano 
horizontal 



Piano 
horizontal 




(a) Hemisferio norte 



tierra 
(b) Hemisferio sur 



Fig. 6-11. Aceleraci6n de Coriolis. Cuando un cuerpo se mueve en un piano hori- 
zontal, la componente horizontal de la aceleracitfn de Coriolis sefiala hacia la derecha 
(izquierda) de la direcci6n del movimiento en el hemisferio norte (sur). Aqui V estd 
en el piano horizontal; a> esta en el piano deflnido por AB y NS, y <*h es perpendicu- 
lar a V\ 





(tO Hemisferio 
sur 



Fig, 6-12, Movimiento del viento en 
sentido contrario a las agujas del reloj 
en el hemisferio norte como resultado 
de un centro de baja presidn combinado 
con la aceleracidn de Coriolis. La parte 
(c) muestra una perturbacidn de baja 
presi6n fotograflada por un satelite Ti- 
ros. (Fotografia cortesia de NASA/ 
Centro Espacial Goddard). 




Movimxento relativo con respecto a la tierra 135 



(a) Hemisferio ^ 
norte 




(b) Hemisferio 
sur 



Fig, 6-18. Rotaci6n del piano de oscilaciAn de un pendulo como resultado de la 
aceleracidn de Coriolis (la rotaci6n en el hemisferio sur es en la direcci6n opuesta 
a la del hemisferio norte). 

oscilara en la direccion este-oeste y fuera liberado en A (ver Fig. 6-13), conti- 
nuaria oscilando entre A y B si la tierra no estuviera rotando. Pero a causa de 
la aceleraci6n de Coriolis, debida a la rotation de la tierra, la trayectoria del 
pendulo se desvla continuamente hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia 
la izquierda en el hemisferio sur. Por consiguiente al final de la primera oscila- 
ci6n, llega a B' en lugar de B. A su regreso Uega a A ' y no a A. Luego, en oscilaciones 
completas sucesivas llega a A", A'", etc, Enotras palabras, el piano deoscilacion 
del pendulo rota en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte y en 
sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio sur. Dejamos al estudiante 
que verifique que el Angulo de rotacidn del piano de oscilaci6n durante cada 
hora es de 15° sen X. El efecto ha sido muy exagerado en la Fig. 6.13; alcanza 
su m6ximo valor en los polos y su valor es cero en el ecuador. 

Este efecto fue demostrado espectacularmente por el fisico frances Jean Leon 
Foucault cuando en 1851, desde la cupula de los InvAlidos, en Paris, colg6 un 
pendulo de 67 metros de largo. Durante cada oscilaci6n, la masa del pendulo 
dejaba caer arena en un circulo demostrando experimentalmente que el piano 
de oscilaci6n rotaba a raz6n de 11° 15' cada hora. Existe un pendulo de Foucault 
en la sala del Instituto Smithsoniano en Washington D.C., asi como en la sala 
del edificio de las Naciones Unidas en New York. El experimento de Foucault es 
una prueba efectiva de la rotacibn de la tierra. Aun si la tierra hubiera estado 
siempre cubierta de nubes, este experimento habria demostrado a los fisicos 
que la tierra estaba rotando. 



EJEMPLO 6.3. Calcular la desviaci6n de un cuerpo que cae debida a la acelera- 
ci6n de Coriolis. Compararla con la desviacitin debido a la aceleraci6n centrffuga. 

Soiucidn: De la Fig. 6-10 vemos que la velocidad V de caida de un cuerpo forma 
un &ngulo de 90° + X con Q>. Luego la magnitud de la aceleracidn de Coriolis 
— 2<& x v' es 

2w V sen (90° + X) 6 2w V cos X. 



lao movimiemo reianvo {fiS 

Esta es la aceleracitfn d 2 x/dt 2 del cuerpo que cae, considerando la direcci6n este 
como el eje de las X. Por consiguiente 

d 2 x 

-— = 2«V cos X. 

\ dt * 

Para el valor de V usamos como una buena aproximaci6n, el valor de caida libre 
obtenido en el capitulo 5, esto es V — gt, por tanto, 

d 2 x 

— - = 2<*gt cos X, 

Integrando, y suponiendo que el cuerpo parte del reposo (dx/dt = para / — 0) 
tenemos 

dx . 

— — = o>gt z cos X, 
dt 

Integrando, nuevamente y considerando que cuando / = el cuerpo se "encuentra 
sobre A y por lo tanto x = 0, obtenemos 

x — i<*9t 3 cos X, 

lo que da el desplazamiento hacia el este en funcidn del tiempo de calda. Si el cuerpo 
se suelta desde una altura h podemos suponer su valor para caida libre como 
h = igt 2 9 de modo que 



= i« I J cosX = 1,53 x 10- 6 A 3 ' 2 cos X. 



Por ejemplo, para un cuerpo que cae de una altura de 100 m. tenemos x = 1,53 x 
x 10~ a cos X m, que es una cantidad relativamente pequena cuando se le compara 
con la altura de caida. 

La aceleraci6n centrifuga hacia el sur es to 2 r 2 cos X sen X = 3,34 x 10 _2 cos X 
sen X y la deflexi6n, usando h = igt* t es 

y — i(<**r cos X sen X)/ a = to 2 r(h/g) cos X sen X = 0,342 h cos X sen X m. 



6M Transformaddn de Lorentz 

Al final del siglo diecinueve, cuando se suponia que el espacio, vacio de materia, 
estaba lleno con "eter", hubo una gran discusion en lo que respecta a c6mo se 
movian los cuerpos a traves del eter y como afectaria este movimiento la velo- 
cidad de la luz medida desde la tierra. Los fisicos al principio habian supuesto 
que las vibraciones de este eter hipotetico estaban relacionadas con la luz del 
mismo modo que las vibraciones en el aire est&n relacionadas con el sonido. Su- 
poniendo el eter estacionario, encontramos que la luz se desplaza con respecto 
al eter con una velocidad c = 2,9979 x 10 8 ms" 1 . Si la tierra se moviera a traves 
dfiLeter sin alterarlo, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debia 
depender de la direccion de propagacion de la luz. Por ejemplo, debia ser c — v 
para un rayo de luz que se propaga en la misma direcci6n del movimiento de la 



6,6) Transformation de Lorentz 137 

tierra y c + v en la direccion opuesta. Sin embargo, si la trayectoria de la luz 
como se observa desde la tierra es en direccion perpendicular a su movimiento, 
su velocidad relativa a la tierra debia ser ]/ c 2 — v 2 . (Recordar el ejemplo 6.2d 
para un caso similar del sonido). 

En 1881 los fisicos norteamericanos Michelson y Morley iniciaron una serie de 
experimentos memorables para medir la velocidad de luz en diferentes direc- 
ciones con respecto a la tierra. Con gran sorpresa encontraron que la velocidad 
de la luz era la mism,a en todas las direcciones.* Sin embargo, la transformacion 
Galileana indica que ningun cuerpo puede tener la misma velocidad relativa a 
dos observadores en movimiento uniforme relativo, y que la velocidad relativa 
depende de la direccion del movimiento del observador. Esto se aprecia particu- 
larmente en las ecs. (6.9) y (6.10). Una explicacion posible podria ser que la tierra 
arrastrara al eter con ella, como arrastra a la atmosfera, y por consiguiente cerca 
a la superficie terrestre el eter estaria en reposo relativo con respecto a la tierra. 
Esta es una explicacion poco probable, ya que el arrastre del eter se manifestaria 
asimismo en otros fenomenos relacionados con la propagation de la luz. Tales 
fenomenos no se han observado nunca. Por tales razones la idea del eter ha sido 
descartada por los fisicos. 

El dilema del experimento de Michelson y Morley fue resuelto en 1905 cuando 
Einstein establecid su principio de relatividad el cual se discutira en mas detalle 
en la section 11.3. Este principio establece que 

todas las leyes de la naturaleza son las mismas (es decir, permanecen 
invariantes) para todos los observadores en movimiento relativo de 
trastacion uniforme, 

Einstein supuso que la velocidad de la luz es una invariante fisica que tiene el 
mismo valor para todos los observadores. Como veremos posteriormente, esto 
se requiere cuando aplicamos el principio de relatividad a las leyes del electro- 
magnetismo. Bajo esta suposicion, la transformacion galileana no es la correcta* 
En particular la cuarta ecuacion en (6.8) V = / no puede ser correcta, Puesto 
que la velocidad es la distancia dividida entre el tiempo, tenemos que ajustar 
el tiempo al igual que la distancia, si el cociente de las dos debe ser el mismo 
para observadores en movimiento relativo como en el caso de la velocidad de la 
luz. En otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene nece- 
sariamente que ser el mismo para observadores en movimiento relativo. Por 
consiguiente debemos reemplazar la transformacion Galileana por otra de modo 
que la velocidad de la luz sea una invariante. Como en el caso de la transformacion 
Galileana, supondremos que los observadores y 0' se mueven con velocidad 
relativa v y que los ejes X y X' senalan en la direccion del movimiento relativo 
y los ejes YZ e YZ f son paralelos respectivamente (Fig, 6-14). Podemos tambien 



* Para una revision critica de los experimentos realizados para determinar la velocidad de la 
luz con respecto a la tierra en diferentes direcciones, consultar R, S. Shankland, et al, Reviews 
of Modern Physics 27, 167 (1955). 



138 



Movimiento relativo 



(6.6 



suponer que ambos observadores ajustan sus relojes de modo que / = /' = 
cuando ellos coinciden. 

Supongamos que para t = se emite un destello de luz en la position comiin, 
Despues de un tiempo / el observador notara que la luz ha llegado al punto A 
y escribira r — d 9 siendo c la velocidad de la luz. Ya que 



[(x, y, z t t) 
(*', y', *', t' 




r 2 = x 2 + f + z\ 
podemos tambien escribir 

s» _|_ y z + z 2 _ #p m 

(6.30) 

Similarmente, eLiibservadQt_01iiDtara 
qne.la.iuz-Uega al-inisraQ punto^A en 
un tiemgo^f, pero. tambien con velo- 
cidad. c* Luego el escribe r' = ct' t o 

^^ (6.31) 



Fig. 6-14. Sistemas de referenda en 
movimiento relativo de traslaci6n uni- 
forme. 



Nuestro proposito es obtener una 
transformation que relatione las ecs. 
(6.30) y (6.31). La simetria del pro- 
blema sugiere y' — y y z f = z* Tam- 
bien, ya que 00' = vt para el observador 0, debe cumplirse que x =vt para x' = 
(punto 0'). Esto hace suponer que x' = £(# — #/)> donde A: es una constante a 
determinarse. Ya que V es diferente, podemos tambien suponer que/' = a(t— bx), 
donde a y b son constantes a determinarse (para la transformaci6n Gali- 
leana k=a = lyb=0). Realizando todas estas substituciones en la ec. (6*31) 
tenemos 



k 2 (x* — 2vxt -f v*P) + y 2 + z 2 = c*a 2 (P — 2bxt + b 2 x% 
6 

(A» _ 6W)x» — 2(Jft> — &a 2 c 2 )z/ + y 2 + * 2 

= (a 2 — AV/cV/ 2 . 

Este resultado debe ser identico a la ec. (6.30). Por tanto 
Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos 



* = a = 



|/l — 1> 2 /C 2 



6 = y/c 2 . 



(6.32) 



6.6) 



Transformacion at L.orentz i$y 



La nueva transformacion, compatible con la invariancia de la velocidad de« la 
luz, es entonces 



x' — k(x — vf) 



y =y> 



z = z, 



r = k(t — bx) = 



X 



vt 



1/1 — v*lc 2 



(6.33) 



t — vx\c 2 

]/l _ V 2j c 2 



Este conjunto de relaciones es denominado transformacion de Lorentz debido a 
que fue obtenida por primera vez por el fisico holandes Hendrik Lorentz, alre- 
dedor de 1890, en conexion con el problema del campo electromagnetic© de una 
carga en movimiento. 

Cuando notamos que c es una velocidad muy grande comparada con las velo- 
cidades que encontramos en la tierra, de modo que la relation vfc es muy pe- 
quena, los terminos v % jc % y vxjc 2 son, en general, despreciables y k es practic^mente 
igual a uno (ver Fig. 6-15). Desde el punto de vista practico, entonces, no hay 
diferencia entre las transformaciones Lorentziana y Galileana, y po demos seguir 
usando la ultima en la mayor parte de los problemas que encontramos. Sin em- 
bargo, cuando tratamos con particulas muy rapidas, tales como los electrones 
en los atomos o las particulas en los rayos cosmicos, debemos usar la transfor- 
macion de Lorentz. 



*> 






















4 








































i 
























3 




















/ 


2 




















/ 












































1 






















a 























0,5 

v/c 



10 v 



Fig. 6-15. Gambio de k en funcidn de vie. 



140 Movimiento relativo 



(6.7 



EJEMPLO 6A. Obtener la transformation de Lorentz que exprese las coordenadas 
#> y, z y el tietnpo t medido por O en funci6n de las coordenadas x' y\ z'y el tiempo V 
medido por 0'. 

Soluci&n: Esta es la transformaci6n Lorentziana inversa a aquella expresada por 
la ec. (6.33). Por supuesto, la segunda y tercera relaciones no ofrecen ninguna 
dificultad. Una manera simple de resolver la primera y la cuarta es resolverlas 
como un conjunto de dos ecuaciones simultaneas para xy /en funci6n de x' y t\ 
Dejamos este metodo como un ejercicio para el estudiante, sin embargo, y pro- 
cederemos a lo largo de una linea de razonamiento mas fisica. Desde el punto de 
vista del observador 0\ el observador O se aleja en la direccitfn — X' con una 
velocidad — v. El observador 0' tiene derecho a usar la misma transformation 
de Lorentz para obtener los valores de x y t medidos por en funci6n de los valores 
x' y V que mide O'. Para ello el observador O' tiene solamente que reemplazar t? 
por — v en la ec. (6.33) e intercambiar x, t con x\ V. Asi 

x' + vV 
x 



yi_y2 /c 2' 

(6.34) 

z = z% 

= v + vx 'l c% 

]/ 1 — v*/c* ' 
que da la transformation inversa de Lorentz. 

6*7 Transformacion de velocidades 

Dbtengamos ahora la regla para comparar velocidades. La velocidad de A me- 
iida por tiene componentes 

Vx ~ dt' V »-~dT> Vz ~-dT* (6 * 35) 

Jimilarmente, las componentes de la velocidad de A medida por 0' son 
V', - dx ' v - dy ' v dz ' 

>T6tese que nosotros usamos dt' y no dt, ya que t y V no son las mismas. Dife- 
enciando las ecs. (6.33) obtenemos 

dx'= dx ~ vdt = J^iL „/ 

|/l — « 2 /c 2 j/l_y2/ C 2 

dy' = dy, 

dz' = dz, 

dt — vdxjc 2 \— v y x j c t 

at — ..- — = , - dt. 

y i _ p2/ c 2 • yi-.^/ja 



£7) Transformation de velocidades 141 

En la primera y ultima ecuacion dx ha sido reemplazada por V x dt, de acuerdo 
a la ec. (6.35). Por consiguiente, dividiendo las tres primeras de estas ecuaciones 
entre la cuarta, obtenemos 

17 , dx' V x — v 



dV ' 1 — W x lc*' 



y. - W - VyV^^ (6 . 36 ) 



di' 



1 — v V x /c 2 



y , = dz' _ Vz]/l— ^/c 2 
df i_ y v x / c 2 

Este conjunto de ecuaciones da la ley de transformaci6n de Lorentz para las 
velocidades; esto es, la regla para comparar la velocidad de un cuerpo medida 
por dos observadores en movimiento uniforme de traslacion relativa. Nuevamente 
se reduce a la ec. (6.10) cuando la velocidad relativa es muy pequena comparada 
con la velocidad de la luz. Para particulas que se mueven en la direcci6n X te- 
nemos V x = V, V y = V z = 0. Por consiguiente, como \ x * = V ya que las 
otras dos componentes de V son cero, la ec, (6,36) se vuelve 

V'= - V ~% - (6.37) 

1 — vVjc 2 

Para verificar que la ec. (6.37) es compatible con la suposici6n que la velocidad 
de la luz es la misma para ambos observadores y 0', consideremos el caso de una 
senal luminica que se propaga en la direcci6n X, Luego V = c en la ec. (6.37) y 

1 — VCjC 2, 

Por lo tanto el observador 0' mide tambien una velocidad c. Resolviendo la 
ec. (6.37) para V, obtenemos 

V = - V ' X* , , (6.38) 

1 — uv jc 2 

que es la transformaci6n inversa de la ec. (6.37). Notese que si V y u son ambas 
menores que c, entonces V es tambien menor que c, Adem&s, la velocidad v no 
puede ser mayor que c porque el factor ]/ 1 — y 2 /c 2 seria imaginario. Por el mo- 
mento no podemos dar un significado fisico a tal factor. Por consiguiente la 
velocidad de la luz es la maxima velocidad que puede observarse, 

Debe tambien notarse que las ecs. (6.37) o (6,38) relacionan la velocidad del 
mismo cuerpo medida por dos observadores en movimiento relativo. Sin embargo, 
un observador dado combina diferentes velocidades en su propio sistema de refe- 
renda de acuerdo a las reglas establecidas en el capitulo 3. 



142 Mouimiento relative* 



(6.7 



EJEMPLO 6.5. Verificar el hecho de que las transform aciones de velocidades 
ec. (6.36), son compatibles con la suposici6n de que la velocidad de la luz es la misma 
para ambos observadores considerando un rayo de luz que se mueve a lo largo 
(a) del eje Y con respecto a XYZ f (b) del eje Y' con respecto a X'Y'Z'. 

Solueidn: (a) En este caso debemos suponer que V x = 0, V y = c, y V z = 0. Asi 
la ec. (6.36) se vuelve 

V'*> =—v 9 Vy = c]/T— v*/c\ Vl> = 0, 
Entonces la velocidad relativa a X'Y'Z' es 

V = V V? + V£? = V^ + c 2 {l — i> 2 /c 2 ) = e, 

y el observador 0' mide tambiSn una velocidad c para la luz, como se requirid 
cuando se deriv6 la transformacidn de Lorentz. Al observador en movimiento 0' 
le parece que la luz se propaga con respecto al sistema X'Y'Z' en una direcci6n 
que hace un angulo con el eje X f dado por 

V x r V 

(b) Consideremos ahora el caso en el cual el observador 0' ve el rayo de luz 
propagandose a lo largo del eje Y'. Luego VV = y las dos primeras expresiones 
en la ec, (6.36) dan 

o = v — v V'> = Ml — p, / c ' 

1 — i>Y*/c 2 * y i — vVx/c* ' 

De la primera ecuacidn obtenemos V* = V, la cual, cuando se reemplaza en la 
segunda ecuacirin, da 

y i — v*/c* 

Pero para el observador 0, quien mide la velocidad de la luz como c, tenemos 

c = y yj + vi = y v * + vi 6 v = v c 2 — 1» 2 = c y 1 — »vc«, 

la cual, cuando se reemplaza en la expresi6n previa de Vy da Yy = c. Una vez 
mas verificamos que el observador 0' mide tambien la velocidad de la luz como c. 
La direcci6n en la cual el observador ve el rayo de luz hace un angulo a con el eje 
de las X dado por 

tg a = -£*- = -1 1/ 1 — pi/cT 

Los resultados de este problema deben ser comparados con aquellos del ejemplo 6.2 
para el sonido, en el cual se us6 la transformaci6n Galileana. 

EJEMPLO 6.6. Obtener la relacidn entre la aceleraci6n de una particula medida 
por dos observadores en movimiento relativo. Suponer por simplicidad que, en 
el instante de la comparaci6n, la particula esta en reposo relativo con respecto al 
observador 0\ 

Solueidn: La componente X de la aceleraci6n de la particula, medida por 0% es 

&V* dV* dt 

OLx = = — 

dt' dt dt' ' 



g m g) Consecuencias de la transformation de Lorentz 143 

Usando el valor de W de la primera relacitin de la ec. (6.36) y reemplazando las 
derivadas apropiadas, tenemos 



a*' = 



a x (Vg — v)vax/c 2 

11_pWc* (1— pVx/c 2 ) 2 " 



1 _ yy^/cB " ^ {1 — vVx/cY 



En el instante cuando la particula se encuentra en reposo relativo con respecto 
a 0', Vx = v y 

a ;, = a * = k*a x . 

(l_p»/ C *)B/« 

Por un analisis similar encontramos que 



ay , a ' a* 



«/ = t-^ = *<«* " - T^f^ = k ° a - 



Este resultado difiere del de la ec. (6,14) de la transformaci6n Galileana, ya que 
en este caso la aceleraci6n no es la misma para ambos observadores en movimiento 
relativo uniforme. En otras palabras, el requisito de que la velocidad de la luz sea 
invariante en todos los sistemas de referencia que se encuentran en movimiento 
relativo uniforme destruye la invariancia de la aceleraci6n. 

Es importante conocer la relacitin entre las magnitudes de la aceleracidn ob- 
servada por y O'. Ahora 

a'* = al + a%< + a>\> 



a% a% 


a! 


(I_y2/ C 2)3 (l— P */c*)* (1 


— p 2 /c 2 ) a 


a! + {a\ + al)(l — v^) 




(1 — v 2 /c*) 3 




a 2 — v^ + af)/c 2 




(1 — u 2 /c s ) s 





Pero v = u x v y v * a = — u u va z + u 2 va y , de modo que (t> * a) 2 = v\a y + ai). Por 
consiguiente 

= a* — (v * a)V c» (09) 

(1 _ y2 /c 2)3 • 

que es la relaci6n requerida. Cuando la aceleraci6n es paralela a la velocidad, v * o==0 
y a' = a/(l — i7 2 /c z ) 3/2 , Este resultado esta de acuerdo con la relacitin entre a x y fly'. 
Cuando la aceleraci6n es perpendicular a la velocidad (a * v) 2 = v 2 a 2 y a' = a/(l — 
— i? 2 /c 2 ) que coincide con la relaci6n entre a y , a* y a' V ' 9 c£. 



6.8 Consecuencias de la transformacidn de Lorentz 

El factor k = l/|/l —v^jc 2 que aparece en la ec. (6.33) sugiere que las longitudes 
de los cuerpos y los intervalos de los tiempos entre eventos dados pueden no ser 
los mismos cuando se miden por observadores diferentes. Discutiremos ahora esta 
importante cuestion. 



144 Movimiento relativo 



(6.8 



(1) Contraccidn de la longitud. La longitud de un objeto puede definirse 
como la distancia entre sus extremos. Sin embargo, si el objeto cuya longitud 
se mide se encuentra en movimiento relativo con respecto a un observador, las 
posiciones de sus dos extremos deben ser medidas simultdneamente. Consideremos 
una barra en reposo relativo a 0' y paralela al eje O'X'. Designando sus dos 
extremos por a y b, su longitud medida por 0' es U = x b — x' a . La simultaneidad 
no es necesaria para 0' debido a que el ve la barra en reposo. Sin embargo, 
el observador 0, quien ve la barra en movimiento, debe medir las coordenadas 
x a y x b de los extremos al mismo tiempo t 9 obteniendo L = x b — x a , Aplicando 
la primera relaci6n en la ec. (6.33) encontramos que 






X„ — vt 



xi = 



Vl — ^/c 2 
x b — vt 



N6tese que escribimos el mismo tiempo en ambas expresiones. Ahora, sustrayendo 

x ' b ~ x ' a = Y^W 6 L = v r=r ^ L '- < 6 - 40 > 

Puesto que el factor J/l — v*jc 2 es menor que la unidad, tenemos una situaci6n 
en la cual L es menor que L', esto es el observador 0, quien ve el objeto en mo- 
vimiento, mide una longitud menor que el observador 0', quien ve el objeto en 
reposo. En otras palabras, los objetos en movimiento parecen mas cortos; esto es 

^movimiento < ^reposo* 

(2) Dilatacidn del tiempo. Un interualo de tiempo puede definirse como el 
tiempo que transcurre entre dos eventos, medido por un observador. Un evento 
es una ocurrencia especifica que sucede en un punto particular del espacio y en 
un tiempo particular. Asi, en funcion de estas definiciones, cuando la masa del 
pendulo alcanza su maxima altura durante una oscilaci6n, esto constituye un 
evento, Despues de un cierto periodo de tiempo retornard a esta misma position; 
esto es un segundo evento. El tiempo transcurrido entre estos dos eventos es 
entonces un intervalo. Asi un intervalo es el tiempo que toma hacer algo: oscilar 
para un pendulo, girar alrededor del micleo para un electron, desintegrarse para 
una particula radioactiva, latir para un coraz6n, etc. 

Consideremos dos eventos que ocurren en el mismo lugar x' con respecto a un 
observador 0\ El intervalo entre estos eventos es T = i b — /;. Para un ob- 
servador con respecto a quien 0' se esta moviendo con velocidad constante v 
en la direction positiva de las X, el intervalo es T =t b ~ t a . Para encontrar la 
relaci6n entre los tiempos en los cuales ocurren los dos eventos, registrados por 
ambos observadores, usamos la ultima de las ecs. (6.34), Esto nos da 

_ t a + vx'jc* t' b + vx'Ic* 

ta — — — , l b = — — . 

]/l — ^/C 2 ]/l _ ^/ C 2 



6.8) 



Consecuencias de la transjormacwn <te L,orentz i&& 



Notese que escribimos la misma x f en ambas expresiones, Por consiguiente, res- 
tando t a de t bt tenemos 



h — ta 



t' b -t'a 



]/l — t^/c 2 



T = 



T 



yi — »>lc< 



(6.41) 



Ahora T es el intervalo de tiempo medido por un observador 0* en reposo con 
respecto al punto en el cual tienen lugar los eventos, y T es el intervalo de tiempo 
medido por un observador O relativo al cual el punto est6 en movimiento cuando 
los eventos ocurren. Esto es, el observador ve que los eventos ocurren en 
dos posiciones diferentes del espacio* Puesto que el factor 1/yi — i^/c 2 es mayor 
que uno, la ec. (6.41) indica que T es mayor que V. Por consiguiente los procesos 
parecen tomar mas tiempo cuando ocurren en un cuerpo en movimiento relativo a 
un observador que cuando el cuerpo esta en reposo relativo al observador; esto es 

* movimiento ^ ' reposo* 

Es importante analizar la dilataci6n del tiempo y la contracci6n de la longitud 
en mayor detalle, ya que estos resultados son contrarios a nuestras expectativas 
a priori. Demostraremos en una manera mis directa que la dilatacitin del tiempo 
y la contracci6n de la longitud son consecuencias directas de la invariancia (cons- 
tancia) de la velocidad de la luz. Consideremos de nuevo a dos observadores 
y 0' en movimiento relativo a lo largo del eje X con velocidad v. En la Fig. 6-16, 
M' es un espejo en reposo relativo a 0' y situado a una distancia L del origen 
a lo largo del eje Y'. Esta es.la misma distancia medida por ya que el espejo 
se encuentra en una posici6n perpendicular a la direcci6n del movimiento. Supon- 
gamos que, cuando y 0' coinciden se envia un rayo de luz desde su posici6n 
comun hacia el espejo. Para el observador que ve el espejo en movimiento, la 
senal de luz debe enviarse haciendo un dngulo dependiente de la velocidad del 
espejo y la distancia L. Sean T y V los tiempos registrados por y 0' para que 
la senal de luz retorne a 0' despuSs que se haya reflejado en el espejo. En el sis- 
tema 0\ la luz retornard al origen, pero en el sistema O la luz cruzar£ el eje X 
a una distancia vT del origen. Con respecto a 0', la trayectoria de la senal de 
luz es O'M'O' = 2L y el tiempo transcurrido es T = 2L/c, ya que 0' mide la 



r, y 



0,0- 



X 



(a) 





Figura 6-16 



146 Movimiento relativo 



F, Y f 



Y 



0,0' 



X f 
X 



Y 



M f 



fa) 








I 
I 

Vto I Ctn | 



1 T Y, 



0' 




(<0 



(6.8 



X' 
X 



velocidad de la luz como c. Este intervalo de tiempo corresponde a dos eventos 
que tienen lugar en el mismo punto (0') respecto a 0'. 

Con respecto al observador 0, quien mide la velocidad como c, la trayectoria 
de la serial es OPO', y por e llo ap lica la relacion (de la Fig. 6-16b) (\cT) = 
= QvT? + L 2 oT = (2L/c)/ 1/1 — v*l<*. Por consiguiente T = T f j]/l^~v^ y que 
es la ec. (6.41). Notese que hemos obtenido la dilatation del tiempo requiriendo 
que la velocidad de la luz sea la misma para todos los observadores inerciales* 

Consideremos ahora el espejo M l colocado a lo largo del eje X' y orientado 
perpendicularmente a el y a una distancia L' de 0' y consideramos el espejo 
en reposo en el sistema 0'. El conjunto se muestra en la Fig. 6-17. Nuevamente 
cuando y 0' coinciden se lanza una serial de luz hacia el espejo y se miden los 
tiempos T y T que toma la luz en regresar a 0'. El intervalo para 0\ quien 
mide la velocidad de la luz como c, es V = 2L'jc. La distancia Q'M puede no 
ser la misma para el observador 0, y la llamaremos la distancia L. Ahora el 
tiempo t v para que la luz viaje de al espejo se encuentra de la relacion ^=7,+^ 
o t x =L(c — v), ya que M' ha avanzado la distancia vt v Al reflejarse, mide 
un tiempo t % para que la luz llegue a 0', que se ha movido una distancia vt 2 en 
aquel tiempo (ver Fig. 6-17c). Asi ct % =L — vi % ot t = Lj(c + i>). El tiempo total 
necesario para que la luz llegue a 0', medido por 0, es asi 



T = * ! + t 2 = 



+ 



2L 



c — V C + V 



1 — v*ic 



iS/i.2 



Pero T y V corresponden a dos eventos que ocurren en el mismo lugar, con res- 
pecto a 0\ y estdn relacionadas por consiguiente por la ec. (6.41), Asi, 



2L/c 



2L'lc 



1 — y 2 /c 2 y 1 _ ^j c 2 



6 L= yY^-&ic*L: 



Esta ecuacion es identica a la ec. (6.40) ya que L' es una longitud en reposo con 
respecto a 0'. De estos dos ejemplos, vemos que la constancia de la velocidad 
de la luz para todos los observadores inerciales afecta, en una manera muy par- 
ticular, los resultados obtenidos por observadores en movimiento relativo. 



6.8) 



Consecuencias de la transformation de Lorentz 147 



M 2 mmmm& 



EJEMPLO 6.7. Andlisis del experimento de Michelson-Morley. Al principio de la 

seccitfn 6.6, mencionamos el experimento de Michelson-Morley. Lo describiremos 

ahora sucintamente, y analizaremos los resultados. El arreglo experimental 11a- 

niado interfer6metro se muestra esquematicamente en la Fig. 6-18, donde S es una 

fuente monocromatica de luz y M l y M % 

son dos espejos colocados a la misma dis~ 

tancia L* (medida por un observador te- 

rrestre) de un espejo plateado P. La luz 

que proviene de S, cuando llega a P, es 

parcialmente transmitida hacia M x y par- 

cialmente reflejada hacia M 2 . Los rayos re- 

flejados en M x y M 2 regresan a P y even- 

tualmente llegan al observador situado 

en 0\ N6tese que la trayectoria de la luz 

dibujada en la Fig* 6-18 es con respecto a! 

sistema X'Y'Z' que se mueve con la tierra 

y con respecto al cual el interferdmetro esta 

en reposo, Se sugiere como ejercicio que el 

estudiante dibuje la trayectoria de la luz 

vista por un observador respecto al cual 

la tierra se mueve con una velocidad v. 

El equipo experimental real usado por Mi- 

chelson y Morley se ilustra en la Fig. 6-19. 




Movimiento 
de tierra 



oV> 



Observador 
terrestre 



Fig, 6-18. Componentes basicos 
experimento de Michelson-Morley, 



del 



Soiucidn: Sea c la velocidad de la luz medida por un observador estacionario re- 
lativo al £ter. Llamemos v a la velocidad de la tierra con respecto al 6ter, y orien- 
temos el interferdmetro de modo que te lfnea PM X sea paralela al movimiento de 
la tierra* 

Cuando usamos la transform aci6n Galileana, encontramos, siguiendo los resulta- 
dos del ejemplo 6.2, que con respecto a la tierra, la velocidad de la luz que va de 
P a M 1 es c — v, la de M x a P es c -f v y la que va de P a M a 6 de M a a P es 
y c a — pa. Asi el tiempo necesario para que la luz vaya de P a M x y de regreso a P, 
medido por el observador terrestre 0\ es 



m-= 



u 



- + 



L' 



C V c + V 



2L'c 



21,7c 



C* V 3 



1 — v 2 /c 



2//»* 



mientras que el tiempo necesario para ir de P a M % , y de regreso a P, medido por 
0', es 

2U 2L'/c 



t'± = 



y c * — v* V i — v*fc* 



Notamos que *f| y /I son diferentes, y por consiguiente los rayos que llegan al 
observador 0' tienen una diferencia de trayectoria y (de acuerdo a la teoria pre- 
sentada en el capltulo 22) deberia dar por resultado un cierto patr6n de interfe- 
rencia. Sorprendentemente no se observa tal interferencia, como se indicd pre- 
viamente en la secci6n 6.6 * Esto sugiere que t\\ = fl. Para resolver este dilema 



* En el experimento real realizado por Michelson, los dos brazos del interferdmetro, o mis pre- 
cisamente las longitudes opticas, eran ligeramente diferentes, dando por resultado un patr6n 
de interferencia. Luego Michelson para compensar esta diferencia y realmente aumentar la 
precision de sus mediciones, giro* el instrumento 90° (Fig. 6-19). Y aunque la teoria, 
basada en la transformacion Galileana, predecia un corrimiento en el patrdn de interferencia 
como resultado de la rotation, no se observ6 tal corrimiento. 



IK Movimiento relativo 

Fuente de luz Espejo a ustable 
|os Espejos 



(6. 



Placa de vidrio transparente 
Espejos 



Espejos 



Telescopio 




Fig. 6-19, Interferometro usado por Michelson y Morley en sus mediciones de 
la velocidad de la luz. Una mesa de piedra que sostiene los espejos, se flja a un anillo 
de madera que flota en mercurio. La serie de espejos sirven para aumentar la tra- 
yectoria total de la luz. La placa no plateada se coloca a lo largo de una de las tra- 
yectorias para compensar el hecho de que la otra trayectoria debe pasar a traves 
del vidrio del espejo. EI telescopio permite observar las franjas de interferencia. 
(Dibujo cortesia de Scientific American.) 



Lorentz, e independientemente Fitzgerald, propusieron que todos los objetos que 
se mueven a traves del eter sufren una contracci6n "real" en la direcctfn del mo- 
vimiento, y que esta contracci6n es suficiente para hacer que t\\ = 4. Esto sig- 
nifica que la longitud que aparece en ff| no debe ser la misma longitud que aparece 
en t u ya que la primera es en la direcci6n del movimiento de la tierra y la otra 
perpendicular a ella. Escribiendo L en lugar de L* en la expresi6n para t]\ tenemos 



t\\ = 



2L/c 



1 — vVc 



Igualando t\\ y t±, obtenemos, despues de simplificar, 
L = j/1 — v 2 /c 2 L\ 



(6.42) 

Esta expresi6n relaciona las longitudes PM 1 y PM 2 medidas por un observador 
O en reposo con respecto al eter. (El observador 0' no debia notar esta contraccirtn, 
debido a que la regla que usa para medir la distancia PM X esta tambien contraida 
en la misma proporctfn que PM X cuando se le coloca en la direcci6n del movi- 
miento de la tierra! Asi, para el, las longitudes PM X y PM % son iguales. Pero el 
observador reiria de las preocupaciones de 0' ya que el se da cuenta que 0' esta 
en movimiento y, de acuerdo a la hip6tesis de Lorentz-Fitzgerald, los objetos que 
el Ueva se acortan en la direction del movimiento. Asi concluye que la longitud 
real" de PM U es L y la de PM Z es L% siendo esta diferencia "real" en longi- 
tud la raz6n del resultado negativo obtenido al examinar la interferencia de los 
dos haces de luz. 

Por supuesto, una explicacidn alternativa del resultado negativo del experimento 
de Michelson-Morley es suponer que la velocidad de la luz es la misma en todas 



Bibliografia 149 

las direcciones no importa cual sea el estado de movimiento del observador. En- 
tonces el observador 0' utiliza C para todas las trayectorias de la Fig. 6-18 y 
entonces t\\ = t\ = 2L'/C. Esta fue la posici6n adoptada por Albert Einstein 
cuando formul6 su principio de relatividad. El estudiante puede, sin embargo, 
en este momento decir que la contracci6n "real" supuesta por Lorentz para expli- 
car el resultado negativo es exactamente la misma que la contracci6n que encon- 
tramos en la ec. (6.40) usando la transformaci6n de Lorentz y el principio de la 
invariancia de la velocidad de la luz. Hay, sin embargo, una diferencia fundamental 
entre las dos hipdtesis usadas para obtener estos dos resultados aparentemente 
identicos : (1) La contracci6n (6.42) obtenida por medio de la transformaci6n Ga- 
lileana, se supone que es una contracci6n real sufrida por todos los cuerpos que se 
mueven a traves del eter, y la v, que aparece en la formula, es la velocidad del ob- 
jeto con respecto al eter. (2) La contraccidn (6.40) se refiere s61o al valor medido 
de la longitud del objeto en movimiento con respecto al observador, y es una con- 
secuencia de la invariancia de la velocidad de la luz. La v que aparece en la f6rmula 
es la velocidad del objeto con respecto al observador y asi la contracci6n es diferente 
para diferentes observadores. El gran ingenio de Einstein lo llev6 a comprender que 
la idea del 6ter era artificial e innecesaria, y que la explication ldgica era la segunda. 
Este fue el postulado basico que Einstein utiliz6 para formular el principio de la 
relatividad como veremos en el capitulo 11, 



Bibliografia 

1. "The Coriolis Effect", J. McDonald, Set Am., mayo de 1952, pag. 72 

2. "The Speed of Light", J, Rush, Set Am., agosto de 1955, pag. 62 

3. "The Clock Paradox", J. Bronowski, Sci. Am., febrero de 1963, pag. 134 

4. "Conversations with Albert Einstein", R. Shankland, Am. J. Phys. 81, 47 (1963) 

5. "Michelson-Morley Experiment", R. Shankland, Am. J. Phys. 32, pag. 16 (1964) ; 
Sci. Am., noviembre de 1964, pag. 107 

6. "Measurement of the Relativistic Time Dilation Using ^-Mesons", D. Frisch 
y J. Smith, Am. J. Phys. 31, 342 (1963) 

7. "The Geometrical Appearance of Large Objects Moving at Relativistic Speeds", 
G. D. Scott y M. R. Viner, Am. J. Phys. 38, 534 (1965) 

8. "Visual Appearance of Rapidly Moving Objects", V, Weisskopf, Physics Today, 
septiembre de 1960, pag, 24 

9. "Resource Letter SRT-1 on Special Relativity Theory", G. Holton, Am. J. Phys. 
30, 462 (1962) 

10. An Introduction to the Special Theory of Relativity, R» Katz. Princeton, N. J* : 
Momentum Books, D. Van Nostrand Co,, 1964 

11. The Special Theory of Relativity, U. Bohm. New York : W. A. Benjamin, 1964 

12. An Introduction to the Special Theory of Relativity, W* G. W, Rossen, London : 
Butterworth & Co. 1964, caps. 1-4 

13. Special Relativity Theory, separatas escogidas del Am. J* Phys., editado por el 
AIP (335 E. 45th, St., New York 17, N. Y.), 1962 

14. Mechanics, Keith R. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1960, secciones 
7-1 a 7-4 



10U 



movimiemo reiatwo 



15. Physical Mechanics, Robert B. Lindsay. New York : Van Nostrand, 1961, 
secciones 7-11 y 7-12 

16. Vector Mechanics, D. E. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, cap. 14 

17. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, R. P. Feynman, R. B. Leighton j 
M. L. Sands. Reading, Mass. : Addison- Wesley, 1963, caps. 15, 18 y 20 

18. Source Book in Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard University 
Press, 1963, pag. 27 (Huygens) ; pag. 369 (Michelson y Morley) 



Problemas 



6.1 Dos trenes, AyBse desplazan en 
rieles paralelos a 70 km hr- 1 y a 90 km 
hr- 1 , respectivamente. Calcular la ve- 
locidad relativa de B con respecto a 
A, cuando: (a) se mueven en la misma 
direction, (b) cuando se mueven en di- 
recciones opuestas. 

6.2 Resolver el problema anterior si 
los rieles hacen entre si un angulo de 60°. 

6.3 Un tren sale de la ciudad A a las 12 
del dfa yendo ha:cia la ciudad B 9 situada 
a 400 km de distancia, con una velocidad 
constante de 100 km hr- 1 . Otro tren 
sale de B a las 2,00 p.m. y mantiene una 
velocidad constante de 70 km hr- 1 . De- 
terminar el tiempo en el cual los trenes 
se encuentran y la distancia medida a 
partir de la ciudad A si (a) el segundo 
tren se dirige hacia A, y (b) el segun- 
do tren se aleja de A. 

6.4 Un hombre que guia a traves de 
una tormenta a 80 km hr^ 1 observa que 
las gotas de lluvia dejan trazas en las 
ventanas laterales haciendo un angulo 
de 80° con la vertical. Cuando 61 detiene 
su auto, observa que la lluvia esta ca- 
yendo realmente en forma vertical. 
Calcular la velocidad relativa de la lluvia 
con respecto al auto (a) cuando esta 
detenido, y (b) cuando se desplaza a 
80 km hr- 1 . 

6.5 Dos autos que se desplazan en 
caminos perpendiculares viajan hacia el 
norte y el este respectivamente. Si sus 
velocidades con respecto a la tierra son 
de 60 km hr- 1 y de 80 km hr- 1 , calcular 
su velocidad relativa. ^Depende la velo- 
cidad relativa de la position de los autos 
en sus respectivos caminos? Repetir el 



problema, suponiendo que el segundo 
auto se desplaza hacia el oeste. 

6.6 Un bote se mueve en la direccidn 
N 60° W a 4,0 km hr -1 con respecto 
al agua. La corriente tiene tal direccidn 
que el movimiento resultante con res- 
pecto a la tierra es hacia el oeste a 
5 km hr- 1 . Calcular la velocidad y la 
direcci6n de la corriente con respecto 
a la tierra. 

6.7 La velocidad de un bote de carrera 
en agua quieta es de 55 km hr- 1 . El 
piloto desea dirigirse a un punto situado 
a 80 km S 20° E. La corriente es muy 
fuerte a 20 km hr- 1 en la direcci6n 
S 70° N. (a) Calcular en qu6 direcci6n 
debe ser dirigido el bote de modo que 
se desplace directamente hacia el punto 
deseado. (b) Determinar el tiempo re- 
querido para el viaje. 

6.8 Un rio fluye hacia el norte a una 
velocidad de 3 km hr- 1 . Un bote se 
dirige al este con una velocidad relativa 
al agua de 4 km hr- 1 . (a) Calcular la 
velocidad del bote con respecto a la 
tierra. (b) Si el rio tiene 1 km de ancho, 
calcular el tiempo necesario para realizar 
el cruce, (c) ^Cual es la desviaci6n hacia 
el norte del bote cuando llegue a la otra 
orilla del rio? 

6.9 Dos lugares, A y B, en la orilla 
de un rio perfectamente recto, estan se- 
parados a 1 km. Un hombre va de A a B 
y de regreso hacia A en un bote de 
remos que se desplaza a 4 km hr -1 con 
respecto al rio. Otro hombre camina 
a lo largo de la orilla de A hacia B y de 
regreso a 4 km hr- 1 . Si el rio fluye a 
2 km hr -1 calcular el tiemoo true demnra 



Problemas 151 



cada hombre para realizar el viaje com- 
pleto. 

6-10 Usando los datos del problema 
anterior, determinar la velocidad del 
rio de modo que la diferencia entre los 
tiempos de recorrido sea de 6 minutos. 

6*11 Un rio tiene 1 km de ancho. La 
velocidad de la corriente es de 2 km hr- 1 . 
Determinar el tiempo que demoraria un 
hombre para llevar y traer, remando, un 
bote a trav6s del rio de una orilla a la 
otra. Comparar este tiempo con el que 
le tomaria a un hombre para remar 
1 km en la direccWn de la corriente y 
regresar nuevamente. El bote a remos 
se mueve con una velocidad constante 
de 4 km hr- 1 con respecto al agua. 

6.12 Usando los datos del problema 
anterior determinar la velocidad de la 
corriente si la diferencia de tiempos entre 
los dos recorridos completos es de 10 mi- 
nutos. 

6.13 Dado un sistema de coordenadas 
fljo en la tierra (suponer que la tierra 
es plana y no tiene movimiento), con- 
siderar una bala con una velocidad de 
800 pies s _1 disparada desde la cola de 
un aeroplano que se desplaza a 700 pies 
s- 1 (aproximadamente 440 mi hr- 1 ). Des- 
cribir el movimiento de la bala (a) en 
el sistema de coordenadas de la tierra, 
(b) en el sistema de coordenadas del 
aeroplano, (c) calcular el Angulo bajo el 
cual el can6n debe apuntar de modo 
que la componente horizontal de la velo- 
cidad de la bala sea nula en el sistema 
de coordenadas de la tierra. 

6.14 La posicidn de una particula Q 
en un sistema de coordenadas O se 
mide por r = «x(6/* — 40 + *v(— 3P) + 
+ u r 3 m. (a) Determinar la velocidad 
relativa constante del sistema O' con 
respecto a O si la posicidn de Q se mide 
por r' = Ux(6P + St) + Uy{— 3P) + «r 
3 m. (b) Demostrar que la aceleracidn 
de la particula es la misma en ambos sis- 
temas- 

6.15 Un tren pasa por una estacidn 
a 30 m s- 1 . Una bola rueda sobre el 
piso del tren con una velocidad de 
15 m s- 1 dirigida (a) en la direcci6n del 
movimiento del tren, (b) en la direcci6n 
opuesta y (c) en direccidn perpendicular 



a la del tren. Encontrar, en cada caso, 
la velocidad de la bola con respecto a un 
observador parado en la plataforma de 
la estaci6n. 

6.16 Una particula con una velocidad 
de 500 m s- 1 con respecto a la tierra 
se dirige hacia el Sur a 45° latitud N. 
(a) Calcular la aceleracWn centrifuga 
de la particula. (b) Calcular la acelera- 
ci6n de Coriolis de la particula. (c) Repe- 
tir el problema para la posici6n de 45° 
latitud S. 

6.17 Un cuerpo cae desde una altura 
de 200 m en un punto cuya latitud es 
de 41° N. Encontrar la desviacidn hacia 
el este con respecto al punto directa- 
mente debajo del punto de partida. Re- 
petir este problema para un punto situa- 
do en una latitud 41° S. 

6.18 Un rio fluye hacia el sur a una 
velocidad de 9 km/hr en un lugar cuya 
latitud es 45° N (S). Encontrar la acele- 
racitin de Coriolis. Demostrar que en el 
hemisferio Norte (Sur) empuja el agua 
hacia la margen derecha (izquierda). 
Este defecto produce una mayor erosi6n 
en la rivera derecha (izquierda) que se 
ha notado en algunos casos. 

6.19 Ud. esta volando sobre el ecuador 
hacia el este en un jet a 450 m s* 1 
(cerca de 1000 mi hr- 1 ). jCual es su 
aceleraci6n de Coriolis? 

6.20 El planeta Jupiter que rota sobre 
su eje con un perfodo de 9 hr 51 min, 
tiene un radio de aproximadamente 
7 x 10 4 km, y la aceleracidn debida a la 
gravedad en su superflcie es de 26,5 m 
s- 1 . £Cu&l es la maxima desviacidn de la 
plomada de la direcci6n radial en la 
superflcie de Jiipiter? 

6.21 Comparar los valores de la acele- 
raci6n de la gravedad dada por la ta- 
bla 6-1 con los valores tedricos de la 
ec. (6.29). 

6.22 Un cuerpo se lanza verticalmente 
hacia arriba con una velocidad v . De- 
mostrar que caer4 en un punto despla- 
zado hacia el o este a una distancia 
igual a (f)o> cos x/S/i 8 /^, siendo h = v%!2g. 

6.23 Obtener las expresiontes de la 
velocidad y aceleraci6n de un punto 
registradas por dos observadores O y O' 
que se mueven con velocidad angular 



152 Mouimiento relatwo 



relativa o> 9 cuando a> no es constante, 
Considerar este problema cuando los 
origenes coinciden y cuando no coin- 
cides 

6.24 Dos observadores y 0' se en- 
cuentran en movimiento de traslacidn 
relativo con v = 0,6c. (a) El observa- 
dor O ve una varilla en reposo alineada 
paralelamente al movimiento, y que 
mide 2,0 m. <,Que longitud tiene la vari- 
lla de acuerdo a 0'? (b) Si la misma 
varilla esta en reposo en 0', y esta 
alineada paralelamente al movimiento, 
ique" larga es de acuerdo aOy 0'? 

6.25 Determinar la velocidad relativa 
de una varilla que tiene una longitud 
medida igual a la mitad de su longi- 
tud en reposo, 

6.26 iCual es la magnitud del diame- 
tro de la tierra para un observador si- 
tuado en el sol? (La velocidad orbital 
de la tierra con respecto al sol es de 
30 km s- 1 , y el radio de la tierra se da 
en la tabia 13-1.) 

6.27 Una nave espacial que se dirige 
hacia la luna pasa la tierra con una 
velocidad relativa de 0,8c. (a) ^Que tiem- 
po demora el viaje de la tierra a la luna, 
de acuerdo a un observador terrestre? 
(b) iCual es la distancia tierra-luna, 
de acuerdo a un pasajero de la nave? 
4 Que tiempo demora el viaje, de acuerdo 
con el pasajero? 

6.28 La vida media de un neutr6n, 
como particula libre en reposo es de 
15 min* Se desintegra espontaneamente 
en un electr6n, un proton y un neutrino. 
iCual es la velocidad minima promedio 
con la cual un neutr6n debe dejar el sol 
a fin de llegar a la tierra antes de desin- 
tegrarse? 

6.29 Un mes6n \l es una particula 
inestable cuya vida media es de 2 x 

x 10~ e s medida por un observador en 
reposo con respecto al mesdn. <,Cual sera 
la vida media con respecto a un obser- 
vador que ve el mesdn moverse con una 
velocidad de 0,9c? Si se produce una 
gran cantidad de mesones en un cierto 
punto de la atm6sfera pero solamente 
el 1 % alcanza la superficie terrestre, 
estimar la altura del punto en el cual 
se originaron los mesones. 



6.30 Un niicleo radioactivo se mueve 
a una velocidad de 0,1c con respecto 
al laboratorio cuando emite un electr6n 
con una velocidad 0,8c con respecto al 
niicleo. iCual es la velocidad y la direc- 
ci6n del electr6n con respecto al labo- 
ratorio si, con respecto a un sistema de 
referencia situado en el niicleo, el elec- 
tron es emitido (a) en la direccidn del 
movimiento, (b) en la direcci6n opuesta, 
(c) en la direccibn perpendicular? 

6.31 Los observadores y 0' estan 
en movimiento de traslaci6n relativa 
con v — 0,6c, y coincide cuando t = 
= V = 0. Cuando han transcurrido cinco 
afios, de acuerdo a 0, cuanto demora en 
llegar una serial de O a 0'? Con esta 
informacidn conocida por y 0', qu6 
tiempo ha transcurrido de acuerdo a 0' 
desde que O y O' coincidieron? Una 
serial de luz colocada en es encendida 
durante un afio. ^Que tiempo esta en- 
cendida de acuerdo aO'? 

6.32 Resolver el problema anterior, 
cuando el movimiento de traslacirtn es 
de 0,9c. 

6.33 Un cohete, cuya longitud en re- 
poso es de 60 m, se aleja de la tierra. 
El cohete tiene espejos en cada extremo. 
Una serial de luz, enviada desde la 
tierra se refleja en ambos espejos. La 
primera serial es recibida despues de 
200 s y la segunda, 1,74 [xs mas tarde. 
Encontrar la distancia a que se encuentra 
el cohete de la tierra y su velocidad con 
respecto a la tierra. 

6.34 Un astronauta desea ir a una 
estrella situada a cinco afios luz. Calcu- 
lar la velocidad de su cohete con respecto 
a la tierra de modo que el tiempo, me- 
dido por el reloj del astronauta, sea 
un afio luz, ^Cual sera el tiempo regis- 
trado para esta misi6n por un observador 
terrestre? 

6.35 Un estudiante toma un examen 
que tendra una duration de una hora 
segiin el reloj de su profesor. El profesor 
se mueve a una velocidad 0,97c con 
respecto al estudiante y envia una serial 
de luz cuando su reloj marca una hora. 
El estudiante deja de escribir cuando re- 
cibe la serial. £Que tiempo tuvo el estu- 
diante para el examen? 



Problemas 



153 



6.36 Un cientiflco desea utilizar el m6- 
todo de Michelson-Morley para medir 
la velocidad del viento, enviando senates 
sonoras en dos direcciones perpendicu- 
lares. El supone que la velocidad del 
sonido es de 300 m S" 1 y que la longitud 
de su recorrido es de 100 m. ^Cual es la 
minima velocidad del viento que puede 
descubrir si puede medir una dilerencia 
de tiempos M <> 0,001 s? 

6.37 Demostrar que la transformation 
general de Lorentz cuando los ejes de 
coordenadas utilizadas por O y O' no 
son paralelos a la velocidad relativa es 



r + <*-l)£^-JW, 



V = k(t — r*vlc*). 

[Ayuda: Descomponer los vectores r 
y r' en componentes paralelas y perpen- 
diculares a v; note que r' = r\\ + r x y 
que r || = (r*»)c/p 2 .] 

6.38 Demostrar que' si V y V son las 
magnitudes de la velocidad de una par- 
ticula medida por los observadores O 
y O' que se desplazan a lo largo del eje 
X con velocidad relativa v, entonces 



V 1 — VVc* =* 



V 1 — V a /c s 



V(i- 


- p a /c a ) (1 — V a /c 2 ) 


1 — vVx/c* 


Vd- 


- w a /c 2 ) (1 — V' a /c 8 ) 



1 + v Vi/tf 



6.39 Demostrar que la transformation 
medida por O y O', cuando la particula 



general de la aceleraci6n de una particula 
se mueve con velocidad V relativa a O, es 



<Xx = 



a v = 



a* = 



(1—vVx/c*)* 

1 — v*jc* ( 

- 1% + 

(1 — i>V*/c 2 ) 2 V 

1 — v 2 jc* ( 

(1 — vVxIc*)* V 



a x 



vVyjc" 



CLz + CLx 



1 — vVxlc* 

vVz/c* \ 
1 — vVxjc* ) 



\ 



6.40 Demostrar que cua ndo v es c asi 
igual a c, entonces k « 1/^2(1 — vfc) f y 
que cuando v es muy pequeiia comparada 
con c, entonces k & 1 + v 2 j2c 2 . 

6.41 Una caja cubica de lado L me- 
dida por un observador O' en reposo 
con respecto a la caja, se mueve con una 
velocidad v paralela a una arista con 
respecto a otro observador O. Demos- 
tra r que el volumen medido por O es 
Ll]/ 1 — v*jc\ 

6.42 Una particula se mueve relativa- 
mente a un observador O de modo que 
su posici6n en el tiempo t esta dada 
por x — vt 9 y = ±at 2 y su trayectoria 
es una parabola. Describir su movi- 
miento con respecto a un observador O' 
quien se mueve con respecto a con 
una velocidad v. En particular, encon- 
trar su trayectoria y su aceleraci6n. 

6.43 Una varilla de un metro forma 
un angulo de 45° con respecto a la direc- 



tion de movimiento en un sistema m6vil 
de coordenadas. ^Gual es su longitud y su 
orientaci6n, medida en el sistema del 
laboratorio, si el sistema en movimiento 
tiene una velocidad de 0,8c? 

6.44 Discusidn de simultaneidad. (a) 
Demostrar que si dos eventos tienen lu- 
gar con respecto a un observador O en 
los tiempos t x y t 2 y en los lugares x t y x 2 , 
y si T = f 2 — t lf L = x 2 — x l9 los even- 
tos ocurren para el observador Q' (mo- 
viendose con respecto a O con velocidad 
v a lo largo del eje X) en los tiempos t[ 
y t' % tales que, si 



T' 






entonces 



T = k(T — vLlc 2 ). 



(b) iEn general, son los eventos que 
aparecen como simultaneos a O, simul- 
taneos aO'? &Bajo qu6 condiciones son 
los eventos que aparecen simult&neos 
a tambi6n simultaneos a todos los 



154 Movimiento relaiivo 



observadores que se mueven con movi- 
miento relativo? (c) Obtener la relacidn 
entre L y T de modo que el orden en el 
cual suceden los dos eventos, observa- 
dos por 0\ se invierten con respecto a 0. 
(d) Suponer que los eventos (x lf y y 
(x 2 , t 2 ) observados por son el resultado 
de alguna sefial transmitida de (x u tj 
con velocidad V = L/T t por necesidad 



V = 



k(l — F-t>/c a ) 



menor que o igual a c. <,Puede el orden 
de los eventos aparecer invertido para 
O'? [Notar que si la respuesta es afirma- 
tiva entonces la teorfa requiere que 
V > C.] 

6.45 Demostrar que la ley de trans- 
formacidn de velocidades puede escri- 
birse en la forma vectorial de la siguiente 
manera: 



v + (k — 1) 



F-t? 

1? 



v 



kv 



6.46 Demostrar que la ley de transformaci6n de aceleraciones puede escribirse en 
la forma vectorial de la siguiente manera : 



<r = 



#»(! — v<v/c 2 y 



,/l A av 1 

\k ) & c a v 



10 



7 
DINAMICA DE UNA PARTICULA 



7 A Introduction 

12 Ley de inertia 

7,3 Momentum lineal 

7 A Principio de conservation del momentum 

7,5 Redefinition de masa 
7.6 Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 

7.7 Critica del concepto de fuerza 

7.8 Unidades de fuerza 

7.9 Fuerzas de friction 
7 JO Fuerzas de friction en fluidos 

7J1 Sistemas con masa variable 

7A2 Movimiento curvilineo 

7 A3 Momentum angular 

7A4 Fuerzas centrales 

7A5 Equilibrio y reposo 



156 Dindmica de una particula (7.2 

7.1 Introduccidn 

En el capitulo 5, relativo a la cinematica, discutimos los elementos que inter- 
vienen en la "descripci6n" del movimiento de una particula. Investiguemos 
ahora la razon por la cual las particulas se mueven de la manera en que lo hacen. 
^Por que los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleraci6n cons- 
tan te? iPor que la tierra se mueve alrededor del sol en una 6rbita eliptica? ^Por 
que los 6tomos se unen para formar moleculas? £Por que oscila un resorte cuando 
se le estira y luego-se le suelta? Quisieramos comprender estos y otros movimientos 
que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensi6n es impor- 
tante no solamente desde el punto de vista del conocimiento b&sico de la natu- 
raleza, sino tambien desde el punto de vista de la ingenieria y las aplicaciones 
pricticas. La comprensi6n de c6mo se producen los movimientos nos capacita 
para disenar m&quinas y otros instrumentos pricticos que se mueven en la forma 
en que nosotros deseamos. El estudio de la relaci6n entre el movimiento de un 
cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dindmica. 

Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es 
un resultado directo de sus interacciones con los otros cuerpos que lo rodean. 
Cuando un bateador golpea una pelota, su accion modifica el movimiento de la 
pelota* La trayectoria de un proyectil no es sino el resultado de su interacci6n 
con la tierra. El movimiento de un electron alrededor de un niicleo es el resultado 
de sus interacciones con el niicleo y quizes con otros electrones. Las interacciones 
se describen convenientemente por un concepto matemAtico denominado fuerza. 
El estudio de la din&mica es b&sicamente el analisis de la relaci6n entre la fuerza 
y los cambios en el movimiento de un cuerpo. 

Las leyes del movimiento que presentaremos en la siguiente discusi6n son 
generalizaciones que resultan de un anAlisis cuidadoso de los movimientos que 
observamos alrededor nuestro y la extrapolaci6n de nuestras observaciones a 
ciertos experimentos ideales o simpliflcados. 



7.2 Ley de inertia 

Una particula libre es aquella que no estd sujeta a interacci6n alguna. Estricta- 
mente no existe tal cosa, ya que toda particula estd sujeta a interacciones con 
el resto del mundo, Luego una particula libre deberd estar completamente aislada, 
o ser la unica particula en el mundo. Pero entonces seria imposible observarla 
porque, en el proceso de la observaci6n> hay siempre una interacci6n entre el 
observador y la particula. En la pr&ctica, sin embargo, hay algunas particulas 
que podemos considerar libres, ya sea porque se encuentran suflcientemente 
lejos de otras y sus interacciones son despreciables, o porque las interacciones 
con las otras particulas se cancelan, dando una interaccidn total nula. 
Consideremos ahora la ley de inertia, la cual establece que 

una particula libre se mueve siempre con velocidad constante, o 
(lo que es lo mismo) sin aceleracion. 



7.2) 



Ley de inertia 157 



Esto es, una particula libre se mueve en linea recta con una velocidad constante 
o se encuentra en reposo (velocidad cero). Esta proposici6n se denomina la pri- 
mera ley de Newton, porque fue inicialmente propuesta por Sir Isaac Newton 
(1642-1727). Es la primera de tres "leyes" que el enunciara en el siglo diecisiete. 

Nosotros recordamos de los capitulos 5 y 6 que el movimiento es relativo. 
Luego, cuando enunciamos la ley de inercia debemos indicar con respecto a 
quien o a que se refiere el movimiento de la particula libre, Suponemos que el 
movimiento de la particula est£ relacionado a un observador quien es asimismo 
una particula libre (o un sistema); es decir, que no esta sujeto a interacciones 
con el resto del mundo. Tal observador se denomina observador inercial, y el 
sistema de referenda que el utiliza se llama un sistema inercial de referenda. 
Suponemos que los sistemas inerciales de referenda no estan rotando, debido a 
que la existencia de rotaciones implicaria que hay aceleraciones (o cambios en 
la velocidad debidos a cambios en la direcci6n), y entonces que hay interacciones, 
lo cual seria contrario a nuestra definicion del observador inercial como "par- 
ticula libre" o sin aceleraci6n. De acuerdo a la ley de inercia, diferentes obser- 
vadores inerciales pueden estar en movimiento, unos con relaci6n a otros, con 
velocidad constante. Estando sus observaciones relacionadas ya sea mediante las 
transformaciones de Galileo o las de Lorentz, depentjiendo ello de la magnitud 
de sus velocidades relativas. 

Debido a su rotaci6n diaria y a su interaction con el sol y los otros planetas, 
la tierra no es un sistema inercial de referenda. Sin embargo, en muchos casos 
los efectos de la rotacidn de la tierra y las interacciones son despreciables, y los 
sistemas de referenda unidos a nuestros laboratories terrestres pueden, sin gran 
error, ser considerados inerciales. Tampoco el sol es un sistema inercial de refe- 
renda. Debido a sus interacciones con otros cuerpos en la galaxia, el sol describe 
una 6rbita curva alrededor del centro de la galaxia (Fig. 7-1). Sin embargo, como 
el movimiento del sol es m£s rectilineo y uniforme que el de la tierra (la acelera- 
ci6n orbital de la tierra es 15 millones de veces mayor que la del sol), la seme- 
janza del sol a un sistema inercial es mucho mayor. 



sxio^m 




Centro de galaxia ^^g ^"j 

y 1,5 x 10" m 



3,15 x 10' s 



10 a afios 



= 6,3 x 10 16 s 



Fig. 7-1. Un sistema situado en la tierra no es inercial debido a la rotaci6n diaria 
de la tierra y a su movimiento acelerado alrededor del sol. El sol igualmente no es un 
sistema inercial debido a su movimiento alrededor del centro de la galaxia. Sin 
embargo, para propdsitos practtcos cualquiera de estos cuerpos puede utilizarse 
para deflnir un sistema inercial. 



158 Dindmica de una particula (7.3 

Ilustremos algunos experimentos realizados en nuestros laboratories terrestres 
que sustenten la ley de inertia. Una bola esferica en reposo en una superficie 
horizontal lisa permanece en reposo a menos que actuemos sobre ella. Esto 
es, su velocidad permanece constante, con un valor igual a cero. Suponemos 
que la superficie sobre la cual la bola esta reposando equilibra la interaction 
entre la tierra y la bola, y por tanto que la bola se encuentra esencialmente libre 
de interacciones. Cuando la bola es golpeada, como en el juego de billar, sufre 
momentaneamente una interaction y gana velocidad, pero despues se encuentra 
libre nuevamente, moviendose en una linea recta con la velocidad adquirida 
cuando se le golpeo. Si la bola es rigida y perfectamente esferica, y la superficie 
es perfectamente horizontal y lisa, podemos suponer que la bola continuara 
moviendose de ese modo indefinidamente. En la practica este no es el caso, ya 
que la bola disminuye su velocidad y eventualmente se detiene. Decimos entonces 
que ha habido una interaction adicional entre la bola y la superficie. Esta inter- 
action, llamada friction, se estudiara mas adelante. 



7*3 Momentum lineal 

En la section 2.3 dimos una definition operacional de masa diciendo que es un 
ntimero que asociamos a cada particula o cuerpo, el que se obtiene comparando 
el cuerpo con un cuerpo patron, utilizando para ello una balanza de brazos iguales. 
La masa, entonces, es un coeficiente que distingue una particula de otra. Nuestra 
definition operacional de masa nos da su valor suponiendo que la particula se 
halle en reposo. Sin embargo, a partir de dicha definition no sabemos si la masa 
sera la misma cuando se encuentre en movimiento; luego, para ser precisos, 
deberiamos utilizar el termino masa en reposo. Supongamos, por el momento, 
que la masa es independiente del estado de movimiento y llamemosla simple- 
mente masa* Mas adelante, en el capitulo 11, haremos un analisis mas cuidadoso 
de este aspecto importante y verificaremos que nuestra suposicion es una buena 
aproximacion en tanto la velocidad de la particula sea muy pequena comparada 
con la velocidad de la luz. 

El momentum lineal de una particula se define como el producto de su masa 
por su velocidad. Designandolo por p y tenemos 

p = mv. (7.1) 

El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma direction de la 
velocidad. Es un concepto fisico de mucha importancia porque combina los dos 
elementos que caracterizan el estado dinamico de una particula: su masa y su 
velocidad. En adelante escribiremos la palabra momentum en lugar de "momentum 
lineal M . En el sistema MKSC, el momentum se expresa en m kg s _1 (a esta unidad 
no se le ha dado un nombre especial). 

El hecho de que el momentum lineal es una cantidad dinamica con mayor 
information que la velocidad puede demostrarse estudiando algunos experimentos 
simples. Por ejemplo, es mas dificil detener o aumentar la velocidad de un camion 



7A) 



Principio de conservation del momentum 159 



cargado en movimiento que de uno vacio, aun si la velocidad original fuera la 
misma en cada caso, porque el momentum de un cami6n cargado es mayor. 
Podemos ahora expresar de otra manera la ley de inercia diciendo que 

una particula libre siempre se mueve con momentum constants 



7.4 Principio de conservation del momentum 



Una consecuencia inmediata de la ley de inercia es que un observador inercial 
reconoce que una particula no es libre (es decir, que interactua con otras par- 
ticulas) cuando observa que la velocidad o el momentum de la particula deja de 
permanecer constante; o en otras palabras, cuando la particula experimenta una 
aceleracion, 

Consideremos ahora una situation ideal. Supongamos que, en lugar de observar 
una particula aislada en el universo, como se supuso en la ley de inercia, obser- 
vamos dos particulas que estan sujetas solamente a su interaction mutua y se 
encuentran por otro lado aisladas del resto del universo. Como resultado de su 
interaction, sus velocidades individuales no son constantes sino que cambian 
con el tiempo, y sus trayectorias en general son curvas, como se indica en la Fig. 7-2 
por las curvas (1) y (2). En un cierto tiempo /, la particula 1 se encuentra en A 
con velocidad v x y la particula 2 en B con velocidad t? 2 . Posteriormente en el 
tiempo V, las particulas se encuentran en A f y B' con velocidades v{ y v'^ res- 
pectivamente. Denominando m 1 y m 2 las masas de las particulas, el momentum 
total del sistema en el tiempo t es 



P = Pi + P* = *"!*>! + ™2^2' 



(7-2) 



Posteriormente en V, el momentum total 
del sistema es 



P ' = Pi + Pz = m l^l + m 2 V 2' 



(7.3) 




Fig. 7-2. Interacci6n entre dos par- 
ticulas. 



Al escribir esta ecuacion hemos mantenido 
nuestra suposicion de que las masas de las 
particulas son independientes de sus esta- 
dos de movimiento; asi hemos usado las 
mismas masas de la ec. (7,2). De otra ma- 
nera hubieramos escrito P r =/n{i?i + m' 2 v^ 
El resultado importante de nuestro expe- 
rimento es que independientemente de los 

valores de t y t' t siempre encontramos como resultado de nuestra observation, 
que P == P\ En otros terminos, 

el momentum total de un sistema compuesto de dos particulas que 
estdn sujetas solamente a su interaction mutua permanece constante. 



160 Dindmica de una particula (7.4 

Este resultado constituye el principio de la conservation del momentum, uno de 
los principios fundamentales y universales de la fisica. Consideremos, por ejemplo, 
un atomo de hidrogeno, compuesto por un electron rotando alrededor de un 
prot6n, y supongamos que el sistema se encuentra aislado de modo que solamente 
se tomara en cuenta la interaction entre el electron y el proton* Por consiguiente, 
la suma de los momentos del electron y del proton con relacion a un sistema 
inercial de referencia es constante. Similarmente, consideremos el sistema com- 
puesto por la tierra y la luna. Si fuera posible despreciar las interacciones debidas 
al sol y a los otros cuerpos del sistema planetario, entonces la suma de los mo- 
mentos de la tierra y la luna, con relacion a un sistema inercial de referencia, 
seria constante. 

Aunque el principio ya enunciado de la conservacion del momentum considera 
solamente dos particulas, este principio se cumple para cualquier niimero de 
particulas que formen un sistema aislado; es decir, particulas que estan sometidas 
solamente a sus propias interacciones mutuas y no a interacciones con otras 
partes del mundo. Por ello, el principio de la conservacion del momentum en su 
forma general dice 

el momentum total de un sistema aislado de particulas es constants. 

Por ejemplo, consideremos una molecula de hidrogeno compuesta por dos atomos 
(dos electrones y dos protones). Si la molecula esta aislada, de modo que solamente 
las interacciones entre estas cuatro particulas son consideradas, la suma de sus 
momentos en relacion a un sistema inercial de referencia sera constante, Simi- 
larmente, consideremos nuestro sistema planetario, compuesto del sol, los plane- 
tas y sus satelites. Si pudieramos despreciar las interacciones con todos los otros 
cuerpos celestes, el momentum total del sistema planetario en relacion a un 
sistema inercial de referencia seria constante. 

No se conocen excepciones a este principio general de conservacion del mo- 
mentum. Por el contrario, cuando parece que hay violation de este principio 
en un experimento, el fisico inmediatamente busca alguna particula desconocida 
o que no ha notado y la cual puede ser la causa de la aparente falta de conser- 
vacion del momentum. Es esta busqueda la que ha dado lugar a que los fisicos 
identifiquen el neutron, el neutrino, el foton, y muchas otras particulas elemen- 
tales. Mas adelante tendremos que reformular el principio de la conservacion del 
momentum en una manera algo diferente; pero para la gran mayoria de los 
problemas que discutiremos, podemos usarlo en la manera en que se ha propuesto. 

La conservacion del mom'entum puede expresarse matematicamente escribiendo 
la siguiente ecuacion: 

P = Eipt = p 1 + p t + /> 3 + ... = constante. (7.4) 

la cual implica que, en un sistema aislado, el cambio en el momentum de una 
particula durante un intervalo particular de tiempo es igual y opuesto al cambio 
en el momentum del resto del sistema durante el mismo intervalo de tiempo. 
Asi, por ejemplo, en el caso de una molecula de hidrogeno aislada, el cambio del 



7.4) 



Principio de conservation del momentum 161 



momentum de uno de los electrones es igual 
y opuesto a la suma de los cambios en el 
momentum del otro electrdn y de los dos 
protones. 
Para el caso particular de dos particulas 



Pi + Pa ~ constante 



es decir 



(7.5) 
(7.6) 




Pi + Pa = Pi + Pa- 

N6tese que, de la ec. (7,6) 

pi — Pi = Pa — Pa = — (Pi — Pa)- (7.7) 



Fig. 7-3. Intercambio de momen- 
tum como resultado de la interacci6n 
entre dos particulas. 



0, Uamando p' — p = Ap el cambio en el momentum entre los tiempos t y t\ 
podemos escribir 



A Pi = — A Ps 



(7-8) 



Este resultado indica que, para dos particulas interactuantes, el cambio en el 
momentum de una particula en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesto 
al cambio en el momentum de la otra durante el mismo intervalo de tiempo 
(Fig. 7-3). Por lo tanto, el resultado anterior puede expresarse igualmente diciendo 
que 

una interaction produce un intercambio de momentum, 

de manera que el momentum "perdido" por una de las particulas interactuantes 
es igual al momentum "ganado" por la otra particula. 

La ley de inercia propuesta en la secci6n 7.2 es justamente un caso particular 
del principio de conservaci6n del momentum. Como tenemos solamente una 
particula aislada en lugar de varias, la ec. (7*4), tiene solamente un t£rmino por 
lo que p = constante o lo que es lo mismo, v = constante, lo cual es una expre- 
si6n de la ley de inercia. 

Continuamente encontramos alrededor 
nuestro, ejemplos del principio de con- 
servaci6n del momentum. Un ejemplo 
es el retroceso de una arma de fuego. 
Inicialmente el sistema del canon y la 
bala se hallan en reposo, y el momen- 
tum total es cero. Cuando el can6n es 
disparado, retrocede para compensar el 
momentum ganado por la bala. Cuando 
un niicleo se desintegra, emitiendo (por 
ejemplo) un electrbn y un neutrino, el 
momentum total del electr6n, el neutrino, 
y el nucleo resultante debe ser cero, ya 




mmmmMMMMmmMMMMim 



Fig. 7-4. El momentum se conserva 
en la exp!osi6n de una granada. 



162 Dindmica de una particula 



(7.4 



que inicialmente el sistema se encontraba en reposo con respecto a un sistema 
inercial en el laboratories Similarmente, si una granada o una bomba estalla en 
pleno vuelo, el momentum total de todos los fragmentos inmediatamente despues 
de la explosion debe tener un valor igual al momentum de la granada inme- 
diatamente antes de la explosi6n (Fig. 7-4), 

EJEMPLO 7.1. Un rev61ver cuya masa es de 0,80 kg dispara una bala cuya masa 
es de 0,016 kg con una velocidad de 700 m s- 1 . Calcular la velocidad de retroceso 
del revolver. 

Solucidn: Inicialmente tanto la bala como el rev61ver se encuentran en reposo y 
su momentum total es cero. Despues de la explosi6n la bala se desplaza hacia ade- 
lante con un momentum 

Pi = Wi = (0,016 kg) x (700 m s- 1 ) = 11,20 mkgs- 1 . 

El revtflver debe entonces retroceder con momentum igual pero opuesto. Por con- 
siguiente debemos tener tambien : 

p 2 - 11,20 mkgs- 1 =m 2 v 2 

o, ya que m 2 = 0,80 kg, 

11,20 mkgs- 1 



v a = 



0,80 kg 



= 14,0 m s- 1 . 



EJEMPLO 7.2. Analisis de la conservaci6n del momentum en las interacciones 
entre particulas at6micas. 




(a) 



(b) 



Pig. 7-5, Conservacidn del momentum en la colisi6n de una particula (nucleo de 
helio) y un protdn (nucleo de hidr6geno), 



Soluci6n: La fotografia de la cattiara de niebla en la Fig. 7-5 (a), muestra una par- 
ticula alfa (o nucleo de helio) incidente interactuando con un atomo de hidrdgeno 
que se encontraba inicialmente en reposo formando parte del gas de la camara. La 
particula alfa sufre una deflexitfn de su direcci6n original y el atomo de hidr6geno 
es puesto en movimiento* Si conocemos las masas respectivas, las que en este caso 
tienen una relacidn de 4 a 1, y medimos sus velocidades (por tecnicas especiales 
desarrolladas para analizar fotografias de camaras de niebla), podemos trazar el 
diagrama del momentum de la Fig. 7-5 (b). Guando, despues de la interacci6n, los 



7.6) Segunda g tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 163 

momentos se suman, el resultado es igual al momentum de la particula alfa inci- 
dente ; esto, es pa — Pa + ph. Hasta ahora se ha observado que la conservaci6n 
del momentum se cumple en todas las interacciones at6micas y nucleares. 



7.5 Redefinition de masa 

Utilizando la definici6n (7.1) del momentum, y suponiendo que la masa de una 
particula es constante, podemos expresar el cambio en el momentum de la par- 
ticula en un tiempo At como 

Ap — A(mv) = m Av* 

Por ello, la ec. (7.8) se convierte en m 1 Av 1 =—m 2 Av 2 o, considerando solamente 
las magnitudes: 



"• - |4ei1 (7.9) 



m i I A «^| 

la cual indica que los cambios de magnitud de velocidad son inversamente pro- 
porcionales a las masas. Este resultado nos permite definir la masa dinimica- 
mente. Asi, si la particula 1 es nuestra particula "patr6n M , su masa m 1 puede 
definirse como la unidad. Haciendo interactuar cualquier otra particula, llame- 
mosle la particula 2, con la particula patrdn y aplicando la ec. (7.9) podemos 
obtener su masa m r Este resultado indica que nuestra definici6n operacional 
previa de masa de la secci6n 2,3 puede reemplazarse por esta nueva deflnici6n 
operacional, derivada a partir del principio de conservacidn del momentum y 
la suposici6n de que la masa no cambia con la velocidad. 



7S Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 

En muchos casos observamos el movimiento de solamente una particula, ya sea 
porque no tenemos manera de observar las otras particulas con las cuales inter- 
actiia o porque las ignoramos a prop6sito. En esta situaci6n es algo dificil usar 
el principio de conservacion del momentum. Sin embargo, hay una manera pr&c- 
tica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoria 
matemitica correspondiente se denomina dindmica de una particula. 

La ecuacion 7,8 relaciona el cambio en el momentum de las particulas 1 y 2 
durante el intervalo de tiempo At = V — /. Dividiendo ambos lados de esta 
ecuaci6n entre A* t podemos escribir 

^ - ^ (7.10) 



At At 



que indica que las variaciones promedio con respecto al tiempo del momentum 
de las particulas en un intervalo At son iguales en magnitud y opuestas en direc- 



164 Vin&mica de una pariicula (7^ 

ci6n. Si hacemos M muy pequeno, vale decir, si encontramos el limite de la ec. (7.10) 
cuando A/ -> 0, obtenemos 

d Pi rf Pa 

de modo que las variaciones (vectoriales) instant&neas del momentum de las 
particulas, en cualquier instante U son iguales y opuestas. Asi, utilizando nuestros 
ejemplos previos, podemos ver que la variaci6n, con respecto al tiempo, del mo- 
mentum del electr6n en -un dtomo aislado de hidrigeno es igual y opuesta a la 
variaci6n, con respecto al tiempo, del momentum del prot6n. O, si suponemos 
que la tierra y la luna constituyen un sistema aislado, la variacidn, con respecto 
al tiempo, del momentum de la tierra es igual y opuesto a la variaci6n, con res- 
pecto al tiempo, del momentum de la luna. 

Designaremos el cambio con respecto al tiempo del momentum de una parttcula 
con el nombre de "fuerza". Esto es, la fuerza que "actiia" sobre una particula es 

F = -%- < 7 - 12 > 

La palabra "actua" no es apropiada ya que sugiere la idea de algo aplicado a 
la particula. La fuerza es un concepto matem4tico el cual, por definici6n, es igual 
a la derivada con respecto al tiempo del momentum de una particula dada, cuyo 
valor a su vez depende de su interacci6n con otras particulas. Por consiguiente, 
fisicamente, podemos considerar la fuerza como la expresion de una interacci6n. 
Si la particula es libre, p = constante yF = dpjdt = 0. Por lo tanto, podemos 
decir que no actiian fuerzas sobre una particula libre. 

La expresi6n(7.12)es la segunda ley de movimiento de Newton; pero, como po- 
demos ver, es m£s una definici6n que una ley, y es una consecuencia directa del 
principio de conservaci6n del momentum. 

Utilizando el concepto de fuerza, podemos escribir la ec. (7.11) en la forma 

tfi- — *» (7.13) 

donde F x = dpjdt es la fuerza sobre la particula 1 debido a su interacci6n con 
la particula 2 y F 2 = dp % \dt es la fuerza sobre la particula 2 debido a su inter- 
acci6n con la particula 1. Luego Uegamos a la conclusi6n que 

cuando dos particulas interaction^ la fuerza sobre una parttcula es 
igual y opuesta a la fuerza sobre la otra. 

Esta es la lercera ley, del movimiento de Newton, nuevamente una consecuencia 
de la definition de fuerza y el principio de conservation del momentum. Se le 
denomina algunas veces como la ley de action y reaction. 

En numerosos problemas F x (y por consiguiente tambien F^ puede expresarse 
como una funcion del vector de posici6n relativo de las dos particulas, r 12 , y 
quizes tambien como una funcidn de su velocidad relativa. De acuerdo a la ec. (7.9), 
si m 2 es mucho mayor que m v el cambio en la velocidad de m 2 es muy pequeno 



7,5) Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 165 

comparado con aquel de m v y podemos suponer que la particula 2 permanece 
pricticamente en reposo en algiin sistema de referenda inercial. Podemos entonces 
hablar del movimiento de la particula 1 bajo la acci6n de la fuerza F ± (Fig. 7-6), 
y ^i P ue de considerarse una f unci6n de la posici6n o la velocidad de m 1 solamente. 
Es en estos casos que la ec, (7,12) es particularmente util. Por ejemplo, este es 
el caso de los cuerpos terrestres que se mueven bajo la acci6n gravitacional de 
la tierra, o de un electr6n que se mueve con relaci6n a un nucleo at6mico. 

La determinaci6n de F(r 12 ) en las diversas interacciones encontradas en 
la naturaleza es uno de los problemas m£s importantes de la fisica. Es precisa- 
mente debido a que el flsico ha sido capaz de asociar formas funcionales de F(r^ 
con diferentes interacciones observadas en la naturaleza que el concepto de 
fuerza le ha sido tan util. 

Recordando la definici6n (7.1) del momentum, podemos escribir la ec, (7,12) 
en la forma 

F = d{mV) , (7,14) 

dl 

y si m es constante, tenemos 

F = m— 6 F = ma. (7,15) 

dt 

Podemos expresar la ec, (7-15) en palabras diciendo: 

La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleracion, si la 
masa es constante. 

N6tese que en este caso la fuerza tiene la misma direccidn que la aceleraci6n. 
Por la ec. (7.15) apreciamos que si la fuerza es constante la aceleraci6n, a = F//n, 
es tambi6n constante y el movimiento es uniformemente acelerado. Esto es lo 
que sucede con cuerpos que caen cerca de la superficie terrestre: todos los cuerpos 
caen hacia la tierra con la misma aceleracidn g t y, por consiguiente, la fuerza de 
atracci6n gravitacional de la tierra, llamada peso, es 

W = mg. (7.16) 

[Estrictamente hablando, debiamos escribir W = mg , estando g y g relacionadas 
por la ec* (6.27)]. 

Al escribir la ec. (7.12) hemos supuesto que la particula interactiia solamente 
con otra particula como se desprende de la discusi6n precedente a la ec. (7.12), 
y la ilustraci6n de la Fig, 7-6, Sin embargo, si la particula m interactua son las 
particulas m v m& m^ , . , (Fig, 7-7) cada una produce un cambio en el momentum 
de m que es caracterizado por las fuerzas respectivas F v F z , F 3 , . . ., de acuerdo 
a la ec. (7.12). Luego el cambio total del momentum de la particula m es 



ijjL-F 1 + F i + * , 8 + ... =F. 



166 Dindmica de una parttcula 




Fig. 7*6. Como resultado de la conser- 
vaci6n del momentum, la accuSn y la 
reaccidn son iguales y opuestas. 



(7. J 




6 ^,. 



Fig. 7-7, Fuerza resultante sobre una 
parttcula. 



La suma vectorial de la derecha recibe el nombre de fuerza resultante F aplicada 
sobre m. Esta regla para calcular la fuerza resultante ya ha sido usada en el ca- 
pitulo 4. En la Fig, 7-7 no hemos indicado las interacciones posibles entre m x y mj, 
fflj y inj, nij y mj, etc-, debido a que estas interacciones no son relevantes para 
nuestro presente prop6sito. Tambi6n hemos supuesto implicitamente que la in- 
teraccidn entre m y m v por ejemplo, no es alterada por la presencia de m 3t m 4f . . . ; 
en otras palabras, hemos supuesto que no hay efectos de iriterferencia. 

En las secciones que siguen en este capitulo, en las cuales discutiremos el mo- 
vimiento de una particula, supondremos que la fuerza resultante Fes s61o funci6n 
de las coordenadas de la particula, ignorando asi el movimiento de 
las otras partfculas con las cuales interactua. Esta aproximaci6n muy iitil, como 
dijimos antes, constituye lo que se conoce como la dindmica de una parttcula. 
En capitulos posteriores consideraremos los movimientos de sistemas de par- 
tfculas y las fuerzas asociadas con las diferentes interacciones conocidas por los 
fisicos. 



7.7 Crltica del concepto de fuerza 

Hagamos ahora una evaluaci6n critica del concepto de fuerza. Nosotros intro- 
dujimos este concepto (esto es, F = dpjdf) en la ec. (7.12) como una noci6n ma- 
temAtica conveniente para describir la variaci6n del cambio del momentum de 
una particula debido a sus interacciones con otras particulas. Sin embargo, en 
la vida diaria tenemos una imagen algo diferente del concepto de fuerza. Nosotros 
"sentimos" una fuerza (realmente una interaccidn) cuando un bateador golpea 
una pelota, un martillo golpea un clavo, un boxeador golpea; la cara de su opo- 
nente, o un peso hala una cuerda. Y obviamente es dificil reconciliar esta imagen 
sensorial de fuerza con la fuerza o interacci6n entre el sol y la tierra. En ambos 
casos, sin embargo, tenemos una interaccidn entre dos cuerpos. El estudiante 
puede decir: si, pero hay una gran distancia entre el sol y la tierra, mientras 
que el bateador M toca M la pelota. Y este es precisamente el punto en el cual las 



f g) Unidades de fuerza 167 

cosas no son tan diferentes como parecen. No importa cuin compacto pueda 
parecer un s61ido, sus dtomos est6n separados y mantienen sus posiciones en la 
misma manera en que los planetas mantienen su posici6n como resultado de sus 
interacciones con el sol. El "bate" nunca esti en contacto con la pelota en el 
sentido microsc6pico, aunque sus moteculas se acercan macho a aquellas de la 
pelota, produciendo una alteraci6n temporal en sus posiciones como resultado de 
sus interacciones. Asi todas las fuerzas en la naturaleza corresponden a interac- 
ciones entre cuerpos situados a cierta distancia entre ellos. En algunos casos la 
distancia es tan pequeria desde el punto de vista humano que tendemos a extra- 
polar y pensamos que es cero. En otros casos la distancia es muy grande desde 
el punto de vista humano. Sin embargo, desde el punto de vista fisico, no hay 
diferencia esencial entre las dos clases.de fuerza. Por lo tanto, debemos aplicar 
tales conceptos sensoriales o macrosc6picos como "contacto' 1 muy cuidadosa- 
mente cuando tratemos procesos en escala at6mica. 

El hecho de que dos particulas interactiian cuando las separa cierta distancia, 
significa que debemos considerar un mecanismo para la transmisi6n de la inter- 
acci6n. Este mecanismo se considerard en los capitulos posteriores; aqui diremos 
solamente que nuestra discusidn requerira una revisi6n de la.ec. (7.5). En la 
forma en que est& escrita la ec. (7.5) presupone que la interacci6n entre las par- 
ticulas es instantdnea. Sin embargo, las interacciones se propagan con una velo- 
cidad finita presumiblemente igual a la de la luz, como se discutird en los capitulos 
posteriores. A fin de tomar en cuenta el retardo en la interaction debida a la velo- 
cidad finita de la propagaci6n seri necesario incorporar un termino adicional a 
la ec. (7.5). Cuando esto se hace, el concepto de fuerza pasa a un piano secun- 
dario y la ley de action y reaccidn pierde su significado. Sin embargo, mientras 
las particulas se desplacen a velocidades pequenas en comparaci6n con la velo- 
cidad de la luz, o interactuen muy debilmente, la ec. (7.5) y la teoria que emana 
de ella constituye una aproximaci6n excelente para describir la situaci6n fisica, 



7.8 Unidades de fuerza 

De las ecs. (7.12) o (7.15) apreciamos que la unidad de fuerza debe expresarse 
en funcion de las unidades de masa y aceleraci6n. Asi en el sistema MKSC la 
fuerza se mide en m kg s -2 , una unidad denominada newton y denotada por N; 
esto es, N == m kg s~ 2 , consecuentemente, definimos el newton como la fuerza 
que es aplicada a un cuerpo cuya masa es de un kg produce una aceleraci6n 
de 1 m s" 2 . 

Aun es frecuente el uso de la unidad cgs de fuerza Uamada dina, y definida como 
la fuerza que aplicada a un cuerpo cuya masa es de 1 gramo, le proporciona 
una aceleracidn de 1 cm s~ 2 ; esto es, dina = cm g s~ 2 . Notando que 1 kg = 10 3 g 
y que 1 m = 10 2 cm, vemos que N = m kg s~ 2 = (10 2 cm) (10 3 g) s~ z = 10 5 dinas. 

La unidad britdnica de fuerza, muy raramente usada, es el poundal, definida 
como la fuerza que actuando sobre un cuerpo cuya masa es de 1 libra le propor- 
ciona una aceleraci6n de 1 pie lb s -2 . Recordando que 1 lb = 0,4536 kg y que 



168 Dindmica de una particula iy mi 

1 pie = 0,3048 m, podemos escribir que poundal = (0,3048 m) (0,4536 kg) s" 2 = 
= 0,1383 N. 

Otras dos unidades son utilizadas frecuentemente par los ingenieros. Ellai 
estAn basadas en la ec. (7.16) la cual define el peso de un cuerpo. Una es el kilo 
gramo fuerza, abreviado kgf, que se define como una fuerza igual al peso de urn 
masa igual a un kilogramo. Asi, poniendo m = 1 kg en la ec. (7.16), tenemoi 
kgf = gN ~ 9,807 N. Analogamente la libra fuerza, abreviada lbf, se defin< 
como una fuerza igual al peso de una masa igual a 1 libra. Poniendo m = 1 11 
en la ec. (7.16) obtenemos lbf = g pdl ~ 32,17 pdl = 4,448 N. 

Notese que la masa medida en kilogramos o libras y el peso medido en kilo- 
gramos fuerza o libras fuerza se expresan por el mismo niimero. Asi una mass 
de 7,24 lb pesa 7,24 lbf o 238,7 paundales. La introduction de kgf y lbf para medii 
fuerzas requiere la definition de nuevas unidades de masa si deseamos usar estas 
unidades de fuerza junto con la ecuacion de movimiento F = ma. Por ejemplo, 
en el sistema britanico tenemos que 

lbf = (nueva unidad de masa) x (pie s -2 ). 

Llamando la nueva unidad de masa un slug, vemos que 

lbf 32,17 pdl 

slug = = \ p = 32,17 lb, 

pie s -2 pie s~ 2 

6 1 lb =0,0311 slug. Un slug es, por consiguiente, la masa de un cuerpo cuya 
aceleraci6n es de 1 pie s~ 2 cuando actiia sobre el una fuerza de 1 lbf. 

Aunque el peso, siendo una fuerza, debia expresarse en N o en paundales, es 
costumbre, especialmente en usos caseros y de ingenieria, expresarlo en kilo- 
gramos fuerza o libras fuerza. En la practica, sin embargo, uno habla de una 
fuerza de tantas libras y no de libras fuerza, 

EJEMPLO 7,3. Un autotti6vil cuya masa es de 1000 kg sube por un camino cuya 
inclinaci6n es de 20°. Determinar la fuerza que ha de ejercer el motor si el auto 
debe moverse (a) con movimiento uniforme, (b) con aceleraci6n de 0,2 m s- 2 . En- 
contrar tambien en cada caso la fuerza ejercida sobre el autom6vil por el camino. 

Solucidn: Designamos la masa del autom6vil por m ; las fuerzas que actiian sobre 
61 se ilustran en la Fig. 7-8. Ellas son su peso W = mg 9 dirigido hacia abajo; la fuerza F 
debido al motor hacia arriba, y la fuerza 2V debido al camino en direcci6n perpen- 
dicular a F, Usando un conjunto de ejes como el indicado en la figura, y empleando 
la ec. (7.15), encontramos que el movimiento a lo largo de la direccidn X satisface 
la ecuaci6n 

F — mg sen <x = ma 6 F = m(a + g sen a). 
El auto no tiene movimiento a lo largo del eje Y, por lo que 

N — mg cos a = 6 N =' mg cos a. 

Notamos que la fuerza N debido al camino es independiente de la aceleraci6n del 
auto e, introduciendo valores numericos, es igual a 9210 N. Pero la fuerza F de- 
bido al motor depende de la aceleraci6n del auto. Cuando el auto se mueve con 



7.8) 



umaaaes ae fuerza it>y 



velocidad constante, a = 0, y F = mg sen a ; en nuestro ejemplo es 3350 N. 
Cuando se mueve con la aceleraci<3n de 0,2 m s _a , entonces F = 3550 N. 

Sugerimos que el estudiante resuelva este problema cuando el auto se mueve 
hacia abajo. 

EJEMPLO 7,4. Determinar la aceleraci6n con la cual se mueven las masas m y m' 
de la Fig. 7-9. Suponer que la rueda rota libremente alrededor de O y despreciar 
cualquier efecto que pueda deberse a la masa de la rueda (estos efectos se conside- 
raran mas adelante, en el capitulo 10). 

Solucidn: Supongamos que el movimiento es en la direcci6n mostrada por la flecha, 
de manera que m esta cayendo y m' subiendo. Ambas masas se mueven con la misma 
aceleraci6n a si la cuerda es inextensible, como podemos suponer. Las masas inter- 
action a traves de la cuerda. Designaremos por F las fuerzas iguales y opuestas 
que ejercen las masas entre si. Luego la ecuaci6n del movimiento hacia abajo de m 
con aceleracidn a es mg — F = ma, y la ecuaci6n del movimiento hacia arriba de 
m' con la misma aceleraci6n a es F — m'g = m'a. 

Sumando las dos ecuaciones, eliminamos F, y obtenemos 



a 



m 



m' 



m + m' 



9 



para la aceleracidn comun. Por lo tanto la tensi6n en la cuerda es 

2mm' 



F = 



m + m' 



Un sistema similar al mostrado en la Fig. 7-9 y denominado mdquina de Atwood 
se utiliza algunas veces para estudiar las leyes del movimiento uniformemente 
acelerado. Una ventaja de su uso es que, empleando un valor de m muy pr6ximo a 
m\ podemos lograr que la aceleraci6n a sea muy pequena, lo cual hace mas facil 
observar el movimiento. 








J£ 



Figura 7-8 




EJEMPLO 7,5, Una particula de masa m = 10 kg, sometida a la acci6n de una 
fuerza P = (120 t + 40) N, se desplaza en una trayectoria rectilinea. Cuando t — 
la particula se encuentra en x = 5 m, con una velocidad v — 6 m s- 1 . Encontrar 
su velocidad y posici6n en cualquier instante posterior. 



170 Dindmica de una partlcula 



(7.£ 



Solucidn: Usando la ec. (7.5), obtenemos 

120f + 40 = 10a 6 a = (12/ + 4) m s~*. 

De ahora en adelante procedemos como en el ejemplo 5.2. Ya que para movimiento 
rectillneo a = do/dt , 



dp 
dt 



= 12* + 4. 



Integrando, tenemos 

/[ dv = f (12 ' + 4) dt 6 v = < 6 '* + 4t + 6 > m ■~ 1 - 
Ahora, poniendo v = dx/df e integrando nuevamente, tenemos 

f'dx = I"* p df = P (6/* + 4/ + 6) df 

6 

x = (2P + 2P + 6f + 5) m, 

lo cual nos permite encontrar la posici6n en cualquier instante posterior. 



7.9 Fuerzas de fricddn 

Cuando hay dos cuerpos en contacto, tal como en el caso de un libro que reposa 
sobre una mesa, hay una resistencia que se opone al movimiento relativo entre 
tos dos cuerpos. Supongamos, por ejemplo, que empujamos el libro a lo largo 
de la mesa, ddndole cierta velocidad. Despues de soltado, disminuye su velocidad 
y hasta que se detiene. Esta perdida del momentum es una indicaci6n de 
la existencia de una fuerza opuesta al movimiento. Esta fuerza se denomina 
friction por deslizamiento y se debe a la interacci6n entre las moleculas de los dos 
cuerpos, algunas veces llamada cohesion o adhesion dependiendo de si los cuerpos 
son del mismo o diferente material- El fen6meno es algo complejo y depende de 
muchos factores tales como la condici6n y la naturaleza de las superficies, la 

velocidad relativa, etc. Podemos verifi- 
car experimentalmente que la fuerza de 
fricci6n F f tiene una magnitud que, 
para muchos prop6sitos pricticos, puede 
considerarse como proporcional a la fuer- 
za normal N de presi6n de un cuerpo 
sobre el otro (Fig. 7-10). La constante de 
proporcionalidad es llamada coeficiente 
de friction, y se designa por f. Esto es t 
en magnitud 



Movimiento .. «, 



u v JN 



m^^^mmrAmMMmmmmm 



N 



Fig. 7-10. La fuerza de fricciOn se 
opone al movimiento y depende de la 
fuerza normal. 



Ff = fricci6n por deslizamiento — fN. 

(7.17) 

La fuerza de fricci6n por deslizamiento siempre se opone al movimiento del cuerpo, 
y por ende tiene una direcci6n opuesta a la velocidad. Podemos escribir la ec. (7.17) 



7.9) 



Fuerzas de friction 171 



TABLA 7-1 Coeficientes de friccltfn (Todas las superficies 

secas)* 



Material 


n 


/* 


Acero sobre acero (duro) 


0,78 


0,42 


Acero sobre acero (blando) 


0,74 


0,57 


Plomo sobre acero (blando) 


0,95 


0,95 


Cobre sobre acero (blando) 


0,53 


0,36 


Niquel sobre niquel 


1,10 


0,53 


Fierro fundido sobre fierro 






fundido 


1,10 


0,15 


Tefl6n sobre tefldn (o sobre 






acero) 


0,04 


0,04 



* Estos valores deben considerarse como promedios, ya 
que los coeficientes de friccitin son cantidades macros- 
cdpicas que dependen de las propiedades microsc6picas 
de ambos materiales, y fluctiian bastante, 

en forma vectorial reconociendo que un vector unitario en la direcci6n del movi- 
miento se obtiene dividiendo el vector velocidad entre la magnitu4 de la veloci- 
dad, u v = vjv. Esto permite escribir la ec. (7.17) en la forma vectorial Ff= — u u fN* 
Por ejemplo, en el caso de la Fig. 7-10, si F es la fuerza aplicada que mueve al 
cuerpo hacia la derecha (posiblemente al tirar de una cuerda), la fuerza horizontal 
resultante hacia la derecha es F — u v fN 9 y la ecuaci6n de movimiento del cuerpo, 
aplicando la ec. (7.15), es 

ma = F — u v fN. 

En general hay dos clases de coeficientes de fricci6n. El coeflciente estdtico de 
fricci6n, f S9 que al multiplicarse por la fuerza normal, nos da la fuerza minima 
necesaria para poner en movimiento relativo dos cuerpos que estan inicialmente 
en contacto y en reposo. El coeflciente cinitico de friccidn, fa, que al multiplicarse 
por la fuerza normal, nos da la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos 
en movimiento uniforme relativo, Se ha encontrado experimentalmente que f 9 es 
mayor que fa para todos los materiales hasta ahora examinados. La tabla 7"1 
proporciona valores representativos de f s y fa para varios materiales. 

La fricci6n es un concepto estadistico, ya que la fuerza Ff representa la suma 
de un numero muy grande de interacciones entre las moleculas de los dos cuerpos 
en contacto. Es, por supuesto, imposible tener en cuenta las interacciones molecu- 
lares individuates, pues ellas se determinan en forma colectiva por 
algun m^todo experimental y representadas aproximadamente por el coeflciente 
de fricci6n. 

En los siguientes ejemplos ilustramos c6mo tratar problemas dindmicos 
involucrando fricci6n entre s61idos. 



ejemplo 7.6+ Un cuerpo cuya masa es de 0,80 kg se encuentra sobre un piano 
inclinado 30°. iQu6 fuerza debe aplicarse al cuerpo de modo que se mueva (a) hacia 



17% Dinamica de una parttcula 

Movimiento 



(7,< 




£-\ W cos a 



(a) Movimiento del cuerpo 
hacia arriba 



Movimiento^ 










JUz00t> 


Hl0 f ' 


W sen a\x 












°\ 




W = mg 
\ 
\ 

i. 


— 3~-- 


\W cos a 






,- 




(b) Movimiento del cuerpo 
hacia abajo 





Figurs 7-11 



arriba (b) hacia abajo? En ambos casos suponer que el cuerpo se mueve con movi- 
miento uniforme y con aceleraci6n de 0,10 m s~ 2 . El coeflciente de friccidn de des- 
lizamiento con el piano es 0,30, 

Solucidn: Consideremos en primer, lugar el movimiento del cuerpo hacia arriba. 
Las fuerzas que actiian en el cuerpo se ilustran en la Fig. 7-11 (a). Ellas son el peso 
W = mg, dirigido hacia abajo, la fuerza aplicada F (que suponemos hacia arriba 
del piano), y la fuerza de friccidn F/ f la cual es siempre opuesta al movimiento y 
en este caso hacia abajo, * Cuando descomponemos el peso en sus componentes a lo largo 
del piano y perpendicular al piano, el movimiento del cuerpo a lo largo del piano, 
usando la ec. (7.15), esta dado por 

F — mg sen a — Ff = ma. 

Ahora, de acuerdo a la ec, (7.17), debemos escribir Ff = /N. De la Fig. 7-11 (a) 
vemos que la fuerza normal del cuerpo contra el piano es mg cos a, Asi Ff = f mg 
cos a. Y la ecuactfn del movimiento se tfansforma en 

F — mg (sen a + / cos a) = ma, 

Esta ecuacWn sirve para dos prop<Jsitos, Si conocemos la aceleraci6n a, podemos 
encontrar la fuerza aplicada F. Por otro lado, si conocemos la fuerza F pode-* 
mos encontrar la aceleraci6n. En el primer caso tenemos : I 

F = m[a + g (sen a + / cos a)]. I 

Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, a = 0, y cuando insertamos los valorem] 

numgricos correspondientes F = 5,95 N. Cuando el cuerpo se mueve con una ace-j 

leracidn de 0,10 m s* 2 , obtenemos F = 6,03 m s- a . > 

En la Fig. 7-11 (b) se ilustran las fuerzas cuando el cuerpo se mueve hacia abaW 

Ahora hemos supuesto que la fuerza F es hacia abajo, pero podrtamos haber su-| 

puesto lo contrario. Sin embargo, la fuerza de fricci6n Ff debe ser hacia arriba para 

oponerse al movimiento. Considerando la direction hacia abajo como positiva, ell 

estudiante puede veriflcar que la ecuaci6n del movimiento es ahora 1 

■I 
F + mg (sen a — / cos a) = ma 



F = m[a — g (sen a — / cos a)], 



* Otra fuerza que no se ha mostrado en la flgura es la fuerza ejercida por el piano sobre el cuerpo.; 
No necesitamos considerar esta fuerza en este problema. 



7J0) Fuerza$ de friccidn en fluidos 173 

Si el movimiento es uniforme (a = 0), cuando insertamos los valores num6ricos, 
obtenemos F = — 1,88 N mientras que si se desliza hacia abajo con una acele- 
raci6n de 0,10 m s~*, obtenemos F = — 1,80 N. El signo negativo en cada caso 
significa que la fuerza F es hacia arriba en lugar de hacia abajo como habiamos 
supuesto. 

Sugerimos que el estudiante determine el movimiento del cuerpo cuando no se 
aplica ninguna fuerza F 9 y en vista del resultado obtenido justifique el signo ne- 
gativo obtenido previamente para F. 



7.10 Fuerzas de fricd&n en fluidos 

Cuando un cuerpo se mueve a velocidad relativamente baja a travfe de un fluido 
tal como un gas o un liquido, la fuerza de fricci6n puede obtenerse aproximada- 
mente suponiendo que es proporcional a la velocidad, y opuesta a ella. Por con- 
siguiente escribimos 

F f = fricci6n del fluido = — K*]t>. (7.18) 

El coeficiente de friccidn K depende de la forma del cuerpo. Por ejemplo, en el 
caso de una esfera de radio R 9 un cAlculo laborioso indica que 

K = 6itfi, (7.19) 

relaci6n conocida como la ley de Stokes. El coeficiente ij depende de la Mcci6n 
interna del fluido (i.e., la fuerza de friccidn entre las diferentes capas del fluido 
que se mueven a diferentes velocidades). Esta fricci6n interna se denomina tam- 
bien viscosidad y recibe el nombre de coeficiente de viscosidad.* El coeficiente de 
viscosidad en el sistema MKSC se expresa en N s m" 2 . Esto puede verse de la 
siguiente manera. De la ley de Stokes, ec. (7.19) vemos que K se expresa en me- 
tros (1° mismo se aplica a cuerpos de diferentes formas). Asi, de conformidad 
con la ec. (7.18) t\ debe expresarse en N/m (m s _1 ) que es igual a las unidades 
ya indicadas. Recordando que N = m kg s~ 2 , podemos tambten expresar la vis- 
cosidad en m _1 kg s _1 . La viscosidad puede tambten expresarse en cm -1 g s~\ 
una unidad llamada poise, y abreviada P. El poise es igual a un d^cimo de la 
unidad MKSC de la viscosidad, ya que 

1 nr 1 kg s- 1 = (10 2 cm)- 1 (10 s g) s" 1 = 10 cm- 1 g s" 1 = 10 P. 

El coeficiente de viscosidad de los liquidos disminuye a medida que aumenta la 
temperatura, mientras que en el caso de los gases, el coeficiente aumenta con 
el aumento de temperatura. La tabla 7-2 presenta los coeficientes de viscosidad 
de varios fluidos. 

Cuando un cuerpo se desplaza a trav6s de un fluido viscoso bajo la accidn de 
una fuerza F, la fuerza resultante es F — K i\v y la ecuaci6n del movimiento es 

ma=F — Kyv. (7-20) 



* En el capftulo 24, se dara una definicidn mas general del coeficiente de viscosidad. 



174 Dindmica de una partlcula 



(7.10 



Supomendo una fuerza F constante, la aceleracidn a produce un aumento con- 
tmuo en v y por lo tanto en la fuerza de friccidn, de modo que eventualmente 
el miembro de la derecha se hace cero. En dicho momento la aceleraci6n es tam- 
bi6n cero y no hay mayor aumento en la velocidad, estando la fuerza de fricci6n 
equilibrada exactamente por la fuerza aplicada. 



TABLA 7-2 


Coeficientes 


de Viscosidad, en Poises* 


Liquidos 


TJ x 10* 


Gases 


V X 10" 


Agua (0°C) 

Agua 

Agua (40°C) 

Glicerina 

Aceite de castor 

Alcohol 


1,792 
1,005 
0,656 
833 
9,86 
0,367 


Aire (0°C) 

Aire 

Aire (40°C) 

Hidr6geno 

Amoniaco 

Bi<5xido de carbono 


1,71 
1,81 
1,90 
0,93 
0,97 
1,46 



♦Todos a 20°C, excepto aquellos en que se indica la temperatura. 

La particula continiia moviendose en la direcci6n de la fuerza con una velocidad 
constante, llamada velocidad limite o terminal, la cual esta dada por 



»l = 



F 



K-n 



(7.21) 



Por lo tanto la velocidad limite depende de t, y de K; esto es, de la viscosidad 
del fluido y de la forma del cuerpo. En caida libre bajo la influencia de la gra- 
vedad, F = mg, y la ec. (7.21) se torna 



v L = 



mg 



(7.22) 



La ec. (7.22) debe corregirse para tener en cuenta el empuje ejercido por el 
fluido, el cual, de conformidad con el principio de Arquimedes, es igual al peso 
del fluido desplazado por el cuerpo. Si m t es la masa del fluido desplazado, su 
peso es m/g, de modo que el empuje hacia arriba es B = — infi, y la fuerza total 

hacia abajo sera mg — mfg = (m—mj)g. Esto da, 

en lugar de la ec. (7.22), 



Ff=Kr,v i B = m f g 
(Fricci6n T (Flotacion) 
del fluido)/^!N 



V L = 



(m—m f )g 



(7.23) 



li = mg 
(Peso) 



Fig. 7-12. Fuerzas que ac- 
tuan en un cuerpo que cae 
dentro de un fluido. 



Las tres fuerzas que actuan sobre el cuerpo en este 
caso se ilustran en la Fig. 7-12. Para cuerpos grandes 
y velocidades mayores, la fuerza de fricci6n es pro- 
portional a una potencia mayor de la velocidad, y 
la discusi6n de los p£rrafos previos no es suficiente 
para describir los eventos fisicos. 



7 JO) Fuerzas de friction en ftuidos 176 

EJEMPL0 7.7. Encontrar la velocidad limite de una gota de lluvia. Suponer un 
diametro de 10 -3 m. La densidad del aire con respecto al agua es 1,30 x 10~ 3 . 

Solucidn: Suponiendo que las gotas son esf6ricas t de radio r 9 encontramos, usando 
la ec, (1.1) que sus masas son 



m 



= oV - im* 9t 



donde p es la densidad del agua. Igualmente si p/ es la densidad del fluido (en este 
caso aire) tenemos que 

rns — p/V — frcr 3 P/ , 

de modo que 

m — mf = %nr s (p — p/). 

Tambten, de la ec. (7.19), K = 6nr ya que las gotas son esf ericas. Aplicando la 
ec. (7.23), encontramos que la velocidad limite esta dada por : 

2( P — 9f )r*g 

Ul = — 



9^ 

Sustituyendo valores numericos, incluyendo 7] = 1,81 x 10~ 5 N s m _a y p — 10 3 
kg m- 8 , encontramos que vl — 30 m s~ l , o alrededor de 107 km hr- 1 6 66 mihr- 1 ! 
Una gota mucho mas grande no tendra una velocidad limite muy diferente, de- 
bido a las consideraciones mencionadas en el parrafo previo a este ejemplo. 

EJEMPLO 7.8. Obtener en funci6n del tiempo la velocidad de una particula que 
se mueve en una trayectoria rectilinea en un fluido viscoso, suponiendo que la 
ec. (7.20) es correcta y que la fuerza es constante. 

Solucidn: Como el movimiento es rectilineo podemos escribir la ec. (7.20) (recor- 
dando que a = dv/dt) como 

F —Krp, 









m ■ 


dv 
dt 


de 


modo 


que 


dv 





m V Kr,} 



dt m \ Kn 

Separando variables e integrando, tenemos 



6 



r * — =-*^f<«, 

J v v — F/Kr\ m J 



O utilizando la ec. (M. 18), en la cual In e* = x, obtenemos 

Xtj V" Kti 



„ = -£- + ( Po _Aj e -(^/m)l. 



El segundo termino disminuye muy rapidatnente, siendo pronto despreciable, de 
modo que la velocidad se vuelve constante e igual a F/Kri, de acuerdo con la ec. (7.21). 



176 Dindmica de una particula 



(7,11 



En otras palabras, la velocidad limite es independiente de la velocidad inicial. 
oi u Q = 0, 

V = -J~ (1 _ c -(Kl/mH), 




Fig. 7-13. Velocidad en funcidn del tiempo de un cuerpo que cae en un fluido 
viscoso. 



La vanaci6n de v con respecto a t se ilustra en la Fig. 7-13. El tiempo de relajacidn 
se define como t = m/K^ Este es el tiempo para el cual v es el 63 % de v L , como 
puede venficar el estudiante. Sugerimos que el estudiante prosiga con Ios csklculos 
y, utilizando el resultado previo de u, obtenga por integracidn la distancia reco- 
rnda en funci6n del tiempo. Encontrar tambten la distancia correspondiente al 
tiempo t. 



7.11 Sistemas con masa variable 

Puede considerarse que la gran mayoria de los sistemas que encontramos en 
fisica tienen masa constants Sin embargo, en ciertos casos la masa es variable. 
EI ejemplo m£s simple es el de la gota de agua. Mientras cae, la humedad puede 
condensarse en su superiicie o el agua puede evaporarse, resultando en un cambio 
de masa. Supongamos que la masa de la gota es m cuando se desplaza con velo- 
cidad v y que la humedad, cuya velocidad es t? , se condensa en la gota a una 
raz6n de dmjdt El cambio total del momentum es la suma de m dvfdt, correspon- 
diente a la aceleraci6n de la gota, y (dm/df) (v — r ), correspondiente a la velo- 
cidad con que gana momentum la humedad. Luego la ecuaci6n de movimiento 
de la gota, utilizando la ec. (7.14) es 

„ dt> t dm . 

F=m nr + -dT iv -*°>- 

Para resolver esta ecuacidn es necesario hacer algunas suposiciones sobre, por 
ejemplo, c6mo varia la masa con el tiempo. 

Una cinta transportadora sobre la cual cae material en un extremo y/o se dea- 
carga en el otro extremo es otro ejemplo de masa variable. Consideremos, por 
ejemplo, el sistema de la Fig. 7-14, en el cual el material cae continuamente sobre 
la cinta transportadora a raz6n de dmjdt kg s" 1 . La cinta se desplaza a una velocidad 
constante v y se aplica una fuerza F para moverla. Si M es la masa de la cinta 



y m ll) Sistemas con masa variable 177 

y m es la masa del material que ha caido en el tiempo U el momentum del sistema 
en ese instante es P =s= (m -f M)v. Luego la fuerza aplicada a la cinta es: 

dP dm 

F = = v 




dt dt 

N6tese que en este caso la fuerza es de 

bida enteramente al cambio de masa y / m 

no al cambio de velocidad. ■ ■ ^v^-^i^^^^^ i m *- 

Quizes el ejemplo mds interesante es 
aquel de un cohete, cuya masa disminu- FIgura 

ye debido al consumo del combustible. 
En el ejemplo siguiente analizaremos la din&mica de un cohete. 

EJEMPLO 7.0. Discutir el movimiento de un cohete. 

Soiuddn: Un cohete es un proyectil el cual, en lugar de recibir un impulso inicial 
de la expansi6n de los gases en el cafi6n, se mueve debido a una fuerza derivada 
de la expulsion de los gases que se producen en la c&mara de combusti6n dentro 
del cohete mismo. El cohete en el momento del despegue tiene una cierta cantidad 
de combustible que usa gradualmente, y por ello su masa no es constante sino que 
disminuye. 

Llamemos v la velocidad del cohete con respecto a un sistema inercial, el cual 
supondremos en una buena aproximacitin que es la tierra, y »' la velocidad de sa- 
lida de los gases, tambifoi con respecto a la tierra. Luego la velocidad de escape 
de los gases con respecto al cohete es 

v* — v' V. 

Esta velocidad es siempre opuesta a t , y es usualmente constante. Sea m la tnasa 
del cohete, incluyendo su cumbustible, en cualquier instante. Durante un pequefio 
intervalo dt, la masa del sistema experimenta un cambio pequeno dm f el cual es 
negativo ya que la masa disminuye. En el mismo intervalo la velocidad del cohete 
cambia en dv. El momentum del sistema en el tiempo t es p = m». El momentum 
en el tiempo t + dt, ya que — dm es el valor positivo de la masa de los gases ex- 
pelidos, es 

p' = (m + dm)(v + dv) + ( — dm)v f = mv + mdv — (»' — v) dm 

y ¥ * * v > 

Cohete Gases 

6 

p' = mv + mdv — v 9 dm, 

donde hemos despreciado el t6rmino de segundo orden dm dv. El cambio en el mo- 
mentum en el tiempo dt es 

dp = p' — p = mdv — v* dm, 

y el cambio en el momentum del sistema por unidad de tiempo es 

dp dv dm 

= tn —- v t 



dt dt dt 

Si F es la fuerza externa que actua en el cohete, la ecuacidn de movimiento, de 
acuerdo a la ec. (7.12) es 

m *>._5_ = 1? . (7.24) 

at at 



178 Dindmica de una parttcula {7.12 

El segundo t6rmino en el miembro de la izquierda se denomina el empuje del co- 
hete y es igual a la "fuerza" debido al escape de los gases. Para resolver esta ecua- 
ci6n debemos hacer alguna suposici6n con respecto a v e . En general se supone que 
v es constants TambiSn, despreciando la resistencia del aire y la variaci6n de la 
gravedad con la altura, escribimos F = mg, de modo que la ec, (7.24) se trans- 
forma en 

dv v e dm 

Para simplificar, consideremos que el movimiento es vertical Entonces v esta 
dirigida hacia arriba y v e y g hacia abajo, y la ec. (7.25) toma la forma 

do , v e dm 



dt m dt 

Multiplicando por dt e integrando desde el comienzo del movimiento (t = 0), cuando 
la velocidad es v y la masa m 0i hasta un tiempo arbitrario /, tenemos 



r j t r dm r e JA 

dv + Ve \ = — g \ dt 



Luego 



vq j w»q m 



v — v + veln ^- = — gt 9 



v = v + ve\n (~±\ — gt 



(7,26) 



Si t es el tiempo necesario para quemar todo el combustible, entonces en la ec. (7.26), 
m es la masa final y v la velocidad maxima obtenida por el cohete. En general, 
^o = 0, y el ultimo termino (en muchos casos) es despreciable. Por ejemplo, si un 
cohete tiene una masa inicial de 3000 toneladas, una masa final de 2780 toneladas 
despues que se ha quemado el combustible, y los gases son expulsados a 2840 lb s- 1 
(o 1290 kg s- 1 ), entonces t = 155 s. Si suponemos una velocidad de escape de 
55.000 m s- 1 y v = 0, la maxima velocidad de esta etapa del cohete sera : 

v = 55.000 In -|^ m s -i _ (9j8 m s -«)(155 s) 

= (55.000 In 1,08 — 1520) m S" 1 = 2710 m S" 1 . 

Esta velocidad es casi 9000 pies s- 1 , o aproximadamente 6000 mihr- 1 . Estas ci- 
fras se refleren al cohete Centauro, que tiene 5 etapas, cada una de las cuales es 
capaz de desarrollar 1,5 millones de lbf de empuje en el momento del despegue. 



7.12 Movimiento curvillneo 

En los ejemplos dados hasta el momento hemos trataao el movimiento rectilineo. 
Consideremos ahora el caso del movimiento curvillneo. Si la fuerza tiene la misma 
direction que la velocidad, el movimiento es en linea recta. Para producir el mo- 
vimiento curvillneo, la fuerza resultante debe estar haciendo un angulo con res- 
pecto a la velocidad, de modo que la aceleracion tenga una componente perpen- 
dicular a la velocidad que proporcionara el cambio en la direcci6n del movimiento. 
Por otro lado, recordemos que (si la masa es constants) la fuerza es paralela a la 



7.12) 



Movimiento curviltneo 



179 






7 






*7 






A A 


/ dx 


F x 






At 




t 






/ ' Xu 










1 






















X 



Fig, 7-15* Relacidn entre las compo- Fig. 7-16. Relaci6n entre las compo- 

nentes tangencial y normal de la fuerza nentes rectangulares de la fuerza y la 

y la aceleraci6n en el movimiento cur- aceleraci6n en el movimiento curvilineo. 
vilineo. 



aceleraci6n. La relation de todos estos vectores en el movimiento curvilineo se 
ilustra en la Fig. 7-15. 

De la relation F = ma y ambas ecs. (5.44), Uegamos a la conclusion que la 
componente de la fuerza tangente a la trayectoria, o la fuerza tangencial, es 



Ft = max 



m 



dv_ 
It 



(7.27) 



y la componente de la fuerza perpendicular a la trayectoria, o la fuerza normal 
o centrtpeta es, 



F N = ma N o 



F N = 



mifi 



(7.28) 



donde p es el radio de curvatura de la trayectoria. La fuerza centripeta esta 
siempre dirigida al centro de curvatura de la trayectoria. La fuerza tangencial 
es responsable del cambio en la magnitud de la velocidad, y la fuerza centripeta es 
responsable del cambio en la direcci6n de la velocidad. Si la fuerza tangencial 
es cero, no hay aceleraci6n tangencial y el movimiento circular es uniforme. Si 
la fuerza centripeta es cero, no hay aceleracidn normal y el movimiento es rec- 
tilineo. 

En el caso particular de movimiento circular, p es el radio R del circulo y 
v = &R 9 de modo que la fuerza es tambien 



Fw = moPR. 



N 



(7.29) 



Para el caso de movimiento circular uniforme la unica aceleraci6n es a N> que 
puede escribirse, usando la ec. (5.58), en forma vectorial: a = m x- «?. Por con- 
siguiente F — ma = mm x v = <o x (mv) y ya que p = mv> 



F = €0 x p. 



(7.30) 



1SU Dindmica de una parttcula 



(7- 



Esta es una relation matematica litil entre la fuerza, la velocidad angular y 
momentum lineal de una particula en movimiento circular uniforme. 

Algunas veces puede ser mas conveniente usar las componentes rectangulai 
de F (Fig. 7-16). Por ejemplo, en el caso de movimiento piano, la ecuaci6n v< 
torial F =ma puede descomponerse en las siguientes dos ecuaciones: 



F x = ma. 



F y = ™y 



F* = m 



dv x 
dt 



F u —m — £ 
y dt 



(7.3 



Integrando estas ecuaciones, obtenemos la velocidad y la position de la parties 
en cualquier instante. 

En general, cuando incluimos el caso en el cual la masa es variable, debem 
usar F = dpjdL Pero p, siendo paralela a la velocidad es tangente a la trayectori 
Asi podemos escribir p = u T p y, usando la ec. (5.42), tenem6s 



F = 



dp dp du T dp vp 



dt ' dt ' dt ' ' dt 

Luego, en lugar de las ecs. (7-27) y (7.28) tenemos 



Fx — 



dp 
dt 



F*j = 



pv 



N 



EJEMPLO 7.20, Las lineas de los ferrocarriles y las pistas de alta velocidad tien< 
peralte en las curvas para proporcionar la fuerza centripeta necesaria para que 
vehiculo se mueva a lo largo de las curvas. Encontrar el angulo del peralte < 
funci6n de la velocidad del vehiculo a lo largo de la curva. 



Vista 
frontal 




(a) 
Fig, 7-17. Peralte de las curvas para producir una fuerza centripeta. 




Ji' Vista desde 
arriba 

a 



7.12) 



Movimiento curvilineo 



181 



SohuMn: La Fig. 7-17 ilustra un peralte, aunque el dngulo ha sido exagerado. Las 
fuerzas que actuan sobre el carro son su peso W = mg m y la fuerza normal N de- 
bida a los rieles. Su resultante Fn debe ser suflciente para producir la fuerza cen- 
trlpeta dada por la ec. (7.28), Asi Fn = Jiu>Vp» donde p es el radio de la curva. 
Entonces de la figura tenemos que 



tga = 



Fn 
W 



99 



El resultado es independiente de la masa del cuerpo. Como a e&tk flja una vez que 
se han colocado los rieles, esta formula da la velocidad correcta para pasar la curva 
de modo que no hayan fuerzas laterales que actiien sobre el vehiculo. Para velocida- 
des menores o mayores no hay problem as con la curva, ya que las pistas propor- 
cionan la fuerza de equilibrio apropiada. Sin embargo, para velocidades mucho 
mayores el vehiculo tenderd a salirse de la curva. 

EJEMPLO 7*11. Una masa m suspendida de un punto fljo por una cuerda de Ion* 
gitud L gira alrededor de la vertical con velocidad angular co. Encontrar el dngulo 
que hace la cuerda con la vertical. Este sistema se llama pindulo cdnico. 

Solucitin: El sistema ha sido ilustrado en la Fig. 7-18. 
La masa A gira alrededor de la vertical OC 9 descri- 
biendo un circulo de radio R = CA — OA sen a = L 
sen a. Las fuerzas que actuan sobre A son su peso 
W = mg y la tensi6n F de la cuerda. Su resultante 
Fn debe ser justamente la fuerza centrlpeta necesaria 
para describir el circulo. Asi, usando la ec. (7.29), 
tenemos 



Fn = m<a*R = nrn x L sen a. 



De la figura vemos que 

Fn 



( 
\ 



tga = 



o'L sen a 



W 



g 



o, ya que tg « = sen a/cos a, 




cos a « 



9 



6>»L 



W = mg 



Fly. 7-18. P6ndulo c6nico. 



Por lo tanto, cuanto mayor es la velocidad angular o>, mayor es el dngulo a, como 
se demuestra experimentalmente. Por esta raz6n el pindulo c6nico ha sido utilizado 
como un regulador de velocidad de las m&quinas de vapor; cierra la vilvula de la 
entrada de vapor cuando la velocidad supera un limite prefijado y la abre cuando 
dicha velocidad baja de dicho limite. 



EJEMPLO 7.12. 

cuerpo. 



Analizar el efecto de la rotaci6n de la tierra sobre el peso de un 



Sotuci&n: En la secci6n 6.5 discutimos, desde un punto de vista cinemdtico, el 
movimiento de un cuerpo en relaci6n con un sistema de referenda que rota con la 
tierra. En este ejemplo trataremos el mismo problema dindmicamente. 

La Fig. 7-19 muestra una particula A sobre la superflcie terrestre. La fuerza gra- 
vitacional debida a la atracci6n de la tierra la designamos por IF . Si la tierra no 
estuviera rotando, la aceleracidn de un cuerpo cerca a la superflcie terrestre seria 
g = wjm. Sin embargo, debido a la rotacidn de la tierra, parte de esta fuerza 



182 Dindmica de una particula 



(7.12 





Fig. 7-19. Efecto de la rotacton. 



Figura 7-20 



debe usarse para producir la fuerza centripeta F N necesaria para que A se mueva 
en una trayectoria circular de radio CA = r cos X con velocidad angular « Esto 
es, usando la ec. (7.29), tenemos que Fs = mco*r cos X. La diferencia w'— F» 
nos da la fuerza total w, que produce una fuerza -hacia abajo sobre la particula 
Asi la aceleracidn efectiva de la gravedad es g = W/m. Si la particula A esta sus- 
pendida de un punto mediante una cuerda (como una plomada), la cuerda tendra 
la direccidn de W. Igualmente, la tension hacia arriba sobre A producida por la 
cuerda sera igual a W. Por consiguiente, cuando se utiliza un resorte para deter- 
tmnar el peso de un cuerpo, es la fuerza W la que se determine Solamente en los 
polos y a lo largo del Ecuador W, y w tienen la misma direccion, y solamente en 
dicnos lugares la plomada sigue la direccidn radial. 

EJEMPLO 7.13 Calcular las fuerzas normal y tangencial que acttian en un pro- 
yectil lanzado honzontalmente desde lo alto de un ediflcio. 

Soluei6n: Si el proyectil se lanza con velocidad inicial horizontal o (Fie 7-20) 
entonces en elpunto P su velocidad horizontal es aiin v pero su velocidad vertical 
es gt, donde t es el tiempo necesario para que el proyectil caiga la distancia y, o se 
desplace honzontalmente x = v t. Luego la velocidad total del proyectil es 

v = ]/»; + 9*t*. 

Asi la ec. (7.27) da la fuerza tangencial como 



* dt 



mgH 



\v\ + g*P 



Para encontrar la fuerza centripeta podemos usar la ec. (7.28), pero ello requerirla 
del caiculo previo de la curvatura de la trayectoria, la cual es una parabola Po- 
demos realizar el calculo de otra manera ya que conocemos que la fuerza resultante es 



W = mg = Vn + F%. 



Por consiguiente 



Fn = V W* — F* T = 



mgv, 



V»\ + gf 



7.13) 

7.13 Momentum angular 

El momentum angular con respecto a 
(Fig. 7-21) de una particula de masa m que 
se mueve con velocidad v (y por consi- 
guiente momentum p = mv) est6 deflnido 
por el producto vectorial 



Momentum angular 183 




o 



L = r x p 



L =mr x v. 



(7.32) 



Trayectona 

Piano del movimiento 

Fly. 7-21. El momentum angular 
de una particula. 



El momentum angular es entonces un vector perpendicular al piano determinado 
por r y v. El momentum angular de la particula en general cambia en magnitud 
y direccion mientras la particula se mueve. Sin embargo, si una particula se 
mueve en un piano, y el punto estd situado en el piano, la direcci6n del mo- 
mentum angular permanece invariants es decir, perpendicular al piano, ya que 
tanto r como v estan en el piano. En el caso de movimiento circular (Fig. 7-22), 
cuando es el centro del clrculo, los vectores r y v son perpendiculares y v ■= «r, 
de modo que 

L = mrv = mr 2 to, (7.33) 

La direccion de L es la misma que la de a> 9 de modo que la ec. (7.33) puede escri- 
birse vectorialmente como 



Xi = mr 2 o. 



(7.34) 



Si el movimiento piano en vez de circular es una curva cualquiera, podemos des- 
componer la velocidad en sus componentes radial y transversal, como se explicd 
en la seccidn 5.11; esto es, V = v r + v Q (Fig. 7-23). Luego podemos escribir el 
momentum angular como 

L == mr x (v r + Ve) == mr x «? e , 

ya que r x v r = (los dos vectores son paralelos). Por ello, la magnitud de L 
es L = mrv e . Pero como v e = r(d6/d0 de conformidad con la ec. (5.64), podemos 
escribir 



L = mi* 



do 
dt 



(7.35) 



Esta expresion es identica a la ec. (7.33) para movimiento circular, ya que 
o> = dQjdt, pero en el caso general r no es constante. Recordando la ec. (3.26) 
del producto vectorial, podemos escribir el momentum angular de una particula 
como 



L = r x p = 



lljj! Wti "z 

x y z 
Px P„ Pz 



1M Dindmica de una particula 



(7.13 





Fig, 7-22. Relaci6n vectorial entre la Fig- 7-23. Relaci6n entre el momentum 
velocidad angular y el momentum angu- angular y la componente transversal de 
lar en el movimiento circular. la velocidad. 



o, en funcidn de las componentes 

L x = yp z — zpy, L y = zp x — xp z > L z = xp y — yp : 



(7.36) 



Podemos notar que cuando el movimiento es en un piano, digamos el piano XY, 
tenemos z = y P z = 0, de modo que L x = L y = 0, y solamente queda la compo- 
nente L 2 . Esto es, el momentum angular es perpendicular al piano, como hemos 
indicado previamente, usando una 16gica diferente. 
Tomemos ahora la derivada con respecto al tiempo de la ec. (7,32), Esto nos da: 



dL 
~df 



dr t dp 

x p + r x r 



(7.37) 



dt * ' dt 

Pero dr/dt = v t y p = mt> es siempre paralelo a v 9 de modo que 

dr 
— — xp = vxp=mvxv=0. 

Por otro lado, dpjdt = F de acuerdo a la ec. (7.12). Entonces, la ec. (7.37) se 
torna dLjdi = r x F. Cuando recordamos que, de acuerdo a la defmicidn (4.5), 
el torque de F alrededor de es r = r x F, obtenemos finalmente 



dL 
dt 



(7.38) 



El estudiante debe notar que esta ecuaci6n es correcta solamente cuando Ly x 
se evaliian con respecto al mismo punto. 

La ec. (7.38), que es fundamental para la discusi6n del movimiento de rotacion, 
guarda gran semejanza con la ec. (7.12), con el momentum lineal p reemplazado 
por el momentum angular L, y la fuerza F reemplazada por el torque t. Establece 
simplemente que: 



7.14) 



Fuerzas centrales 



185 



el cambio con respecto al tiempo del momentum angular de una par- 
ticula es igual al torque de la fuerza aplicada a ella. 

Esto implica que el cambio dL en el momentum angular en un intervalo corto 
de tiempo dt es paralelq al torque t aplicado a la particula. 



7.14 Fuerzas centrales 

Si el torque aplicado a una particula es cero (t = r x F = 0), de acuerdo a la 
ec. (7.38), debemos tener dLjdt =0oL= vector constants Por consiguiente el 
momentum angular de una particula es constante si el torque de las fuerzas es 
cero. Esta condici6n se satisface si F = 0; es deck si la particula es libre. De 
la Fig. 7-24, tenemos L = mvr sen e = mud, donde d = r sen 6. Esta cantidad 
permanece constante ya que todos los f actores involucrados son tambien constantes, 
y la trayectoria de la particula libre es una linea recta y la velocidad no cambia. 



Trayectoria de 
una particula libre 





Fig". 7-24. El momentum angular de 
una particula libre es constante." 



Fig. 7-25. El momentum angular es 
constante en el movimiento bajo fuerzas 
centrales. 



La condition r x F =0 se satisface tambien si F es paralela a r; en otras, 
palabras, si la direction de F pasa por el punto 0. Una fuerza cuya direction 
pasa siempre a traves de un punto fijo se denomina fuerza central (Fig* 7-25). Por 
ello, cuando un cuerpo se mueve bajo la acci6n de una fuerza central gu momentum 
angular permanece constante, y viceversa. Otra manera de establecer esto, es 
decir que 

cuando la fuerza es central el momentum angular con respecto al 
centro de la fuerza es una constante del movimiento, y viceversa. 

Este resultado es muy importante porque muchas fuerzas de la naturaleza 
son centrales, Por ejemplo, la tierra gira alrededor del sol bajo la influencia de 
una fuerza central cuya direction est£ dirigida siempre hacia el centro del sol. 
Luego el momentum angular de la tierra con respecto al sol es constante. El 
electron en un &tomo de hidrogeno se mueve esencialmente bajo la fuerza central 
debido a la interacci6n electrostdtica con el nucleo, estando la direcci6n de la 



186 Dindmica de una parttcula 



(7.14 



fuerza siempre dirigida hacia el micleo. Asi el momentum angular del electr6n 
con respecto al micleo es constante. 

En dtomos que tienen muchos electrones, la fuerza sobre cada electr6n no es 
rigurosamente central porque, ademds de la interacci6n central con el micleo, 
hay tambien interaction con otros electrones. Sin embargo, en general, la fuerza 
promedio sobre el electrdn puede considerarse como central. Igualmente, en cier- 
tos niicleos, podemos suponer como primera aproximaci6n que sus componentes 
(protones y neutrones) se mueven en promedio bajo la acci6n de fuerzas centrales. 

En una molecula, por otro lado, la fuerza sobre un electr6n no es central, 
porque resulta de la atracci6n producida por los diferentes niicleos y la repulsion 
de los otros electrones. Por consiguiente el momentum angular de los electrones 
no es constante. En una molecula diatomica, tiene lugar una situaci6n intere- 
sante (Fig. 7-26). Un electr6n e gira alrededor de dos niicleos P x y P 2 » sometido 
a sus fuerzas F x y F 2 , cuya resultante F = F 1 -\- F 2 siempre queda en el piano 

determinado por Oe = r y la linea que pasa a traves de los niicleos, o sea el eje Z. 
El torque resultante sobre el electrtin con respecto al centro de masa de la 
molecula (si despreciamos las interacciones con los otros electrones) es 

t = r x (F 1 + F 2 ) = r x F. 

De la Fig. 7-26 vemos que este torque es perpendicular al piano determinado 
por el vector posici6n r y el eje Z. sea el torque se encuentra en el piano XY 
de modo que t z = 0. De acuerdo a la ec. (7.38) esto nos da dL z jdt =0o sea 
L t = constante. Este resultado no es solamente vAlido para moleculas diat6micas 
sino para cualquier molecula lineal, o en una forma m&s general, para el movi- 





Fig. 7-26. En el movimiento 
bajo la acci6n de una fuerza axial, 
la componente del momento an- 
gular a lo largo del eje es cons- 
tante. 



Fig. 7-27. Bajo fuerzas centra- 
les, el vector posici<Jn barre areas 
iguales en tiempos iguales. 



7,14) Fuerzas centrales 187 

miento bajo la acci6n de una fuerza que pasa siempre por un eje fijo. Tal fuerza 
se denomina fuerza axial Por consiguiente, 

cuando la fuerza es axial, la componente del momentum angular a 
lo largo del eje es constants 

Este resultado es muy litil cuando estudiamos la estructura de dtomos y moleculas. 
ELJliexiEiim&i4sJ^ conflnado siempre a un piano 

ya que i es^constante. Luego, usando la ec. (7.35), tenemos 

(7.39) 




Cuando la particula se mueve dePaP' (Fig. 7-27), el radio vector r barre el drea 
sombreada, correspondiente al tridngulo OPP'. Por ello 

dA - Area AOPP' = £r 2 d9, 

y el Area barrida por unidad de tiempo es 




Comparando este resultado con la ec. (7.39), vemos <jue dAjdt = constante, 
in dicando ^qujLen el movimiento by^o fuerzas centrales, el radio vector de la particula 
barre areas iguales enHempos i^u^XTlsfelfiegultaao" es' de interes hustorico en 
relaci&rii con el descubrimiento de las leyes de movimiento planetario, y se conoce 
como ltf segunda Ley de Kepler. Nos referiremos a ella con m&s detalle en el ca- 
pitulo 13, cuando estudiemos el movimiento planetario. 
• 

EJEMPLO 7.14. En el caso del proyectil del ejemplo 7.13, encontrar el momen- 
tum angular y el torque de mg con respecto a O. Veriflcar que se cumple la ec. (7.38). 

Solucidn: Al establecer los ejes X e Y como en la Fig. 7-20, las coordenadas del 
punto P son x = OA = i> U y = A P = — Vaff'S y l as componentes de la velo- 
cidad son v x = v Qf v v = — gt Recordando p = m« y usando la tercera ecuacijin 
de 7.36, podemos escribir 

Lt — xp u — ypz = m(xv v — yv x ) = — imgv Q P. 

Igualmente las componentes de la "fuerza aplicada en P son F x = 0, F v = — mg. 
Luego, usando la ec. (4.8), obtenemos 

x* = xF y — yF* = — mguj. 

EI estudiante puede veriflcar que en este caso dLz/dt = t«, de modo que la ec. (7.38) 
se confirm a. 

EJEMPLO 7.15. Estimar el momentum angular de la tierra alrededor del sol, 
y aquel de un electr6n alrededor del micleo en un atotno de hidr6geno. En ambos 
casos suponer, por simplicidad, que la 6rbita es circular, de modo que se puedan 
aplicar las relaciones de la Fig. 7-22. 



J** VinOmica de una particula (7. 14 

Soluci6n: La masa de la tierra es de 5,98 x iO u kg y su distancia media al sol es 
de 1,49 x 10 11 m. Iguahnente, de nuestra deflnici6n del segundo dado en la sec- 
ci6n 2.3, llegamos a la conclusion que el periodo de revolution de la tierra alrededor 
del sol es 3,16 x 10 7 s, Asf la velocidad angular promedio de la tierra alrededor del 
sol es, de la ec. (5.51), 

« = ^r = Q , g 2TC , n7 = 1,98 x 10- T s^. 
P 3,16 x 10 7 s 

Entonces, de la ec. (7.33) el momentum angular de la tierra con respecto al sol es 

L = mr*<* = (5.98 x 10»kg)(l,49 x lO^m^l^ x lO-'s- 1 ) 

= 2,67 x 10" m* kg %-K 

Por otro lado, un electrdn en un atomo de hidr6geno tiene una masa de 9,11 x 10~ S1 kg, 
su distancia media al nucleo es 5,29 x 10^ u m, y su velocidad angular es 4,13 x 10" 
s- 1 . Por tanto, usando nuevamente la ec. (7.33), encontramos que el momentum 
angular del electron alrededor del nucleo es 

L = mr*<o - (9,11 x 10-" kg)(5,29 x 10- 11 m)'(4,13 x 10 l « s~») 
= 1,05 x 10-"m*kgs- 1 . 

Este valor num£rico constituye una de las constantes mas importantes de la 
ffsica, y se designa por el simbolo ft, hache cruzada. El momento angular de las 
particulas at6micas y fundamentals se expresa en unidades de ft. La cantidad 
ft = 2nh se denomina constante de Planck, 

El estudiante debe tener en cuenta la tremenda disparidad en los valores de las 
cantidades ffsicas en las dos situaciones que hemos resuelto, y puede dudar si se 
aplican las mismas leyes en ambos casos. Podemos responder diciendo que en ambos 
casos, como las fuerzas son centrales, el momentum angular es constante. Sin em- 
bargo, en el caso del electr6n, cuando nos referimos a una particula atfmica, se 
requiere una cierta revisi6n de nuestros m6todos ; la nueva t£cnica es denominada 
mecanica cuantica, pero no trataremos esta teoria en este momento. Podemos 
adelantar sin embargo, que el resultado que conseguiremos estara esencialmente 
de acuerdo con lo que hemos obtenido en este ejemplo. 

EJEMPLO 7.16. Dispersi6n de una particula por una fuerza central repulsiva que 
varia inversamente con el cuadrado de la distancia. 

Soluci6n: Estudiemos la desviacidn o dispersidn que sufre una particula cuando 
esta sometida a una fuerza de repulsi6n que varia en forma inversamente propor- 
tional al cuadrado de la distancia de la particula en movimiento con respecto a un 
punto fljo o centro de fuerzas. Este problema es de especial interns debido a su apli- 
caci6n en fisica at6mica y nuclear. Por ejemplo, cuando un prot6n, acelerado por 
una maquina tal como uncitiotr6n, pasa cerca deun nucleo del material del bianco, es 
desviado o dispersado bajo la acci6n de una fuerza de esta clase, debido a la repul- 
si6n electrostitica del nucleo. 

Sea O el centro de la fuerza y A una particula que se dirige hacia desde una gran 
distancia con velocidad v Q (Fig. 7-28). La distancia b t denominada pardmetro de 
impacto, es la distancia perpendicular entre la prolongaci6n de la trayectoria rec- 
tillnea initial y una linea trazada a trav6s de O paralela a v f . Suponiendo que la 
fuerza entre A y O es de repulsion y central, la particula seguira la trayectoria AMB. 
La forma de la curva depende de la forma como varia la fuerza con la distancia. 
Si la fuerza es inversamente proportional al cuadrado de la distancia, esto es, si 

F = k/r\ (7.40) 



7.14) 



Fuerzas centrales 



189 



la trayectoria es una hip6rbola, como se demostrard en la seccitin 13.5. Cuando 
la particula se encuentra en A su momentum angular es mv b. En cualquier otra 
posicitin tal como M, su momentum angular, de acuerdo a la ec. (7*35), es mr* 
(dQ/dt). Por consiguiente, como el momentum angular debe pemianecer constante, 
por ser la fuerza central, 



mr 



d0 
dt 



= mVfib. 



(7.41) 



La ecuaci6n de movimiento en la direcci6n 
Y se obtiene combinando la ec. (7.40) con 
la segunda de las ec. (7.31) ; esto es 



m 



dvy 
~~df 



= Ft 



F sen 6 



A* sen 



Eliminando r a usando la ec* (7.41) podemos 
escribir 

du y 



dt 



k a d8 

sen 6 — 

mv b dt 




Fig. 7-28, Dispersi6n de una par- 
ticula bajo la accidn de una fuerza 
central que varia inversamente con 
el cuadrado de la distancia. 



Para encontrar la deflexidn de la parti- 
cula, debemos integrar esta ecuacidn de un 
extremo de la trayectoria al otro. En A el 
valor de Vy es cero debido a que el movi- 
miento inicial es paralelo al eje X, y tam- 
bi6n 6 — 0. En B tenemos v y = v sen ^ y 
6 = n — ^. Notar que en B la velocidad 

es nuevamente v ya que, debido a la simetria, la velocidad perdida cuando la par- 
ticula se aproxima a debe ganarse cuando se aleja de 0. (El principio de con- 
servaci6n de energia, a discutirse en el proximo capltulo, tambien verifica esto.) 
Luego 



j 



v Q sen j> 



dv v = 



mvj) 



J 



n — # 



sen 6 dd 



o sea 



v sen ^ = 



mu b 



(1 + cos *). 



Recordando que cotg i ^ = (1 + cos ^)/sen <f> t obtenemos finalmente 



cotg i ^ = — -*- b. 



(7.42) 



Esta relaci6n da el angulo de dispersidn ^ en funci6n del parametro de impacto &. 

En la secci6n 14.7 aplicaremos esta ecuaci6n a la dispersi6n de particulas car- 
gadas por los niicleos. N6tese que el resultado (7.42) es valido solamente para una 
fuerza que varia inversamente con el cuadrado de la distancia de la particula al 
centro de fuerzas. Si la fuerza depende de la distancia en una manera diferente, 
el angulo de dispersidn satisface una ecuacitin diferente. Por ello, los experimentos 
de dispersidn son muy utiles cuando deseamos determinar la ley de fuerzas en in- 
teracciones entre particulas. 

En los laboratorios de fisica nuclear, los experimentos de dispersi6n son reali- 
zados acelerando electrones, protones, u otras particulas por medio de un ciclo- 
tr6n, o un acelerador Van de Graaff, o algun equipo similar, y observando la dis- 
tribucidn angular de las particulas dispersadas. 



190 Dindmica de una particula 

7.15 Equilibria y reposo 

Terminaremos este capitulo con una revisi6n de los conceptos de reposo y equi- 
librio. Una particula se encuentra en reposo con relaci6n a un observador inercial 
cuando su velocidad, medida por este observador, es cero. Una particula se en- 
cuentra en equilibrio con respecto a un observador inercial cuando suaceleracidn 
es cero (a = 0). Luego, de la ec. (7,15), Uegamos a la conclusion que F — 0; esto 
es, una particula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las 
fuerzas actuantes es cero. Esta defmicidn fue utilizada en el capitulo 4. 

Una particula puede estar en reposo con relaci6n a un observador inercial, 
pero no estar en equilibrio. Por ejemplo, cuando tiramos una piedra verticalmente 
hacia arriba, la piedra est& moment&neamente en reposo cuando alcanza su altura 
maxima. Sin embargo, no se encuentra en equilibrio ya que est& sometida a la 
fuerza de atracci6n no balanceada de la tierra. Por dicha razon la piedra comen- 
zari inmediatamente a caer. 

Igualmente, una particula puede estar en equilibrio y no estar en reposo rela- 
tivo a un observador inercial. Un ejemplo lo constituye una particula libre. Como 
no actiian fuerzas sobre ella no hhy aceleracion y la particula se encuentra en 
equilibrio. Sin embargo, la particula puede no estar en reposo con respecto a 
muchos observadores inerciales. La situacidn mas comiin que se encuentra es 
aquella de una particula que est£ tanto en reposo como en equilibrio al mismo 
tiempo, Por dicha razon muchas personas consideran err6neamente los dos con- 
ceptos como sinonimos. Por supuesto una particula en equilibrio puede estar 
siempre en reposo en algiin sistema inercial de referenda. 



Bibliografia 

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Problemas 191 



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' Addison-Wesley, 1961, cap. 19 

15. Vector Mechanics, D. Christie. New York ; McGraw-Hill, 1964, caps. 6 y 12 ; 
Secciones 7.1 a 7.5 

16. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, R. P. Feynman, R. B. Leighton y 
M. L. Sands, Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 9,10 y 18 

17. Source Book in Physics, W. R Magie. Cambridge, Mas. : Harvard University 
Press, 1963, pag. 1, Galileo ; pag. 30, Newton 

18. Foundations of Modern Physical Science, Gerald Holton y D. H. D. Roller. 
Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1958, caps. 16 y 17 



Problemas 



7.1 Una particula de 3,2 kg de masa se 
mueve hacia el oeste con una velocidad 
de 6,0 m s _1 , Otra particula de 1,6 kg 
de masa se desplaza hacia el norte con 
una velocidad de 5,0 m s _1 . Las dos 
particulas interactiian. Despues de 2 s 
la primera particula se mueve en la di- 
recci6n N 30° E con una velocidad de 
3,0 m s _1 . Encontrar: (a) la magnitud 
y direcci6n de la velocidad de la otra 
particula, (b) el momentum total de las 
dos particulas tanto al comienzo como 
al final de los 2 s, (c) el cambio en el 
momentum de cada particula, (d) el 
cambio en la velocidad de cada particula, 
y (e) las magnitudes de estos cambios 
en velocidad; veriflcar la ec. (7,9). 

7.2 Un tronco de un arbol de 45 kg 
flota en un rio cuya velocidad es de 
8 km hr- 1 . Un cisne de 10 kg intenta 
aterrizar en el tronco mientras vuela 
a 8 km hr- 1 en sentido contrario al de la 
corriente. El cisne resbala a lo largo del 
tronco y sale del extremo de 6ste con 
una velocidad de 2 km hr- 1 . Calcular 
la velocidad final del tronco. Despreciar 
la friccidn del agua. ^Es necesario con- 
verts las velocidades a m s- 1 ? 

7.3 En la reaccidn qulmica H + CI -> 
;-> HC1, el atomo H se estaba moviendo 
imcialmente hacia la derecha con una 
velocidad de 1,57 x 10* m s" 1 , mientras 
que el atomo de CI se estaba moviendo 
perpendicularmente con una velocidad 
ue 3,4 x 10* m s- 1 . Encontrar la mag- 



nitud y direcci6n (respecto al movi- 
miento original del atomo de H) de la 
velocidad de la motecula resultante HC1. 
Usar las masas atdmicas de la tabla A-l. 

7.4 Escribir una ecuaci6n exprfsando 
-la dbnservaci6n del momentum en la 
reacci6n qulmica A + BC -> AB + C. 

7.5 Una particula cuya masa es* de 
0,2 kg se esta moviendo a 0,4 m s _1 a lo 
largo del eje X cuando choca con otra 
particula, de masa 0,3 kg, que se en- 
cuentra en reposo. Despu6s del choque 
que la primera particula se mueve a 
0,2 m s _1 en una direcci6n que forma 
un angulo de 40° con el eje X. Determi- 
nar (a) la magnitud y la direcci6n de 
la velocidad de la segunda particula des- 
pu6s del choque y (b) el cambio en la 
velocidad y el momentum de cada parti- 
cula. (c) Veriflcar la relaci6n (7.9). 

7.6 Encontrar el momentum adquirido 
por una masa de 1 gm, 1 kg, y 10 8 kg 
cuando cada una de ellas cae desde una 
altura de 100 m. Considerando que el 
momentum adquirido por la tierra es 
igual y opuesto, determinar la velocidad 
(hacia arriba) adquirida por la tierra. 
La masa de la tierra se da en la tabla 13.1. 
Determinar la magnitud de la fuerza en 
cada caso. 

7.7 Dos carros, A y B, se empujan, uno 
hacia el otro (Fig. 7-29). Inicialmente B 
estd en reposo, mientras que A se mueve 
hacia la derecha a 0,5 m s _1 . DespuGs 



192 Dindmica de una parttcula 




del choque, A rebota a 0,1 m s- 1 , mien- 
tras que B se mueve hacia la derecha 
a 0,3 m s- 1 . En un segundo experimento, 
A est£ cargado con una masa de 1 kg 
y se dirige hacia B con una velocidad 
de 0,5 m s- 1 . Despu6s de la colisidn, 
A permanece constants, mientras que B 
se desplaza hacia la derecha a 0,5 m s- 1 . 
Encontrar la masa de cada carro. 

7.8 Gohsiderar el sistema tierra-luna 
(ignorar el movimiento de este sistema 
alrededor del sol). En 28 dias, la luna 
gira alrededor de la tierra en un circulo 
de 4,0 x 10 B m de radio, (a) (Cuil es el 
cambio en el momentum de la luna en 
14 dias? (b) iCudl debe s^r el cambio 
en el momentum de la tierra en 14 dias? 
(c) iSe encuentra estacionaria la tierra 
en el sistema tierra-luna? (d) La masa 
de la tierra es 80 veces la de la luna, 
&Cu&l es el cambio en la velocidad de 
la tierra en 14 dias? 

7.9 Dos objetos, Ay B, que se mueven 
sin f ricci6n en una lfnea horizontal, inter- 
action. El momentum de A es p A = 
= Po — bt t siendo p y b constante y t el 
tiempo. Encontrar el momentum de B en 
(unci6n del tiempo si (a) B se encuentra 
inicialmente en reposo y (b) el momen- 
tum inicial de B fue — p . 

7.10 Una granada que se desplaza ho- 
rizontalmente a una velocidad de 8 km 
s- 1 con respecto a la tierra explota en 
tres segmentos iguales. Uno de ellos 
continua movtendose horizontalmente a 
16 km 8~ l , otro se desplaza hacia arriba 
haciendo un Angulo de 45° y el tercero 
se desplaza haciendo un &ngulo de 45° 
bajo la horizontal. Encontrar la magnl- 
tud de las velocidades del segundo y ter- 
cer fragmentos. 

7.11 Un sat&ite se mueve "horizontal- 
mente" a una velocidad de 8 km s- 1 con 
respecto a la tierra. Deseamos dejar caer 
verticalmente una carga de 50 kg Ian- 
z&ndola horizontalmente del sat£Hte : Cal- 
cular la velocidad del sat£lite despu^s 



del lanzamiento de la carga si la masa 
total (iiutfuyendo la carga) es de 450 kg. 
(iCudl es la velocidad de la carga, con 
respecto a la tierra inmediatamente 
despu^s del lanzamiento?) 

7.12 Un vagdn vacio cuya masa es 
de 10* kg pasa a una velocidad de 0,5 m 
s- 1 bajo un depdsito estacionario de 
carbdn. Si se dejan caer 2 x 10* kg de 
carbdn en el vag6n al pasar debajo del 
depdsito. (a) ^Cu&l es la velocidad final 
del vagdn? (b) £Cu61 es la velocidad del 
vagdn si el carbdn sale del vag6n me- 
diante oriflcios en su suelo y el carbdn 
cae verticalmente con respecto al vag6n. 
(c) Suponiendo que fuera posible lanzar 
todo el carbdn de una sola vez por de- 
trds del vag6n de modo que el carbdn 
quede en reposo con respecto a tierra, 
calcular la velocidad resultante del va- 
gdn. (d) £En qu6 condiciones se tendrla 
el mismo resultado que en (c) si el car- 
bdn fuese lanzado haciendo un Angulo 
con respecto al vagdn en movimiento? 

7.13 Un carro con masa de 1,5 kg se 
desplaza a lo largo de su trayectoria a 
0,20 m S" 1 hasta que choca contra un 
obst&culo fijo al extremo de su camino. 
&Cu&l es el cambio en el momentum y la 
fuerza promedio ejercida sobre el carro, 
si en 0,1 s (a) queda en reposo, (b) rebota 
con una velocidad de 0,10 m s- 1 ? Discu- 
tir la conservacidn del momentum en el 
choque. 

7.14 iQu6 fuerza constante se requiere 
a fln de aumentar el momentum de un 
cuerpo de 2300 kg m s- 1 a 3000 kg m s- 1 
en 50 seg? 

7.15 Un automdvil tiene una masa de 
1500 kg y su velocidad inicial es de 60 
km hr- 1 . Cuando se aplican los frenos 
se produce una desaceleracidn constante, 
y el auto se detiene en 1,2 minutos. De- 
terminar la fuerza aplicada al auto. 

7.16 (Durante qu£ tiempo debe actuar 
una fuerza constante de 80 N sobre un 
cuerpo de 12,5 kg a fln de detenerlo, 
considerando que la velocidad inicial del 
cuerpo es de 72 km hr- 1 ? 

7.17 Un cuerpo con una masa de 10 g 
cae desde una altura de 3 m en una pila 
de arena. El cuerpo penetra una dis- 
tancia de 3 cm en la arena hasta dete- 
nerse. &Qu£ fuerza ha ejercido la arena 
sobre el cuerpo? 



Problemas 



193 



7.18 Dos mulas halan un carguero en 
un canal mediante sogas atadas a la 
proa del carguero. El artgulo entre las 
sogas es de 40° y la tensi6n en las cuer- 
das es de 2500 N y 2000 N respectiva* 
mente. (a) Gonsiderando que la masa del 
carguero es de 1700 kg, &Cudl seria la 
aceleracidn si el agua no ofreciera resis- 
tencia? (b) Si el carguero se desplaza 
con movimiento uni forme, cu&l es la re- 
sistencia del agua? 

7.19 Un hombre esti parado en la pla- 
taforma de un camidn que se mueve a 
la velocidad de 36 km hr-\ jBajo qu£ 
ingulo y en qui direccidn debe el hom- 
bre apoyarse para evitar caer si, en 2 s 
la velocidad del cami6n cambia a (a) 
45 km hr-\ (b) a 9 km hr- 1 ? 

7.20 Un ascensor cuya masa es de 
250 kg lleva tres personas cuyas masa? 
son 60 kg, 80 kg y 100 kg, y la fuerza 
ejercida por el motor es de 5000 N. 4 Con 
qui aceleracidn subird el ascensor? Par- 
tiendo del reposo, que altura alcanzarA 
en 5 s? 

7.21 Suponer en el problema previo 
que el hombre de 100 kg de masa est& 
parado sobre una balanza. iCudnto "pesa" 
a medida que el ascensor se acelera? 

7.22 Un ascensor vacio de una masa de 
5000 kg se desplaza verticalmente hacia 
abajo con una aceleracidn constante. 
Partiendo del reposo, recorre 100 pies 
en los primeros diez segundos. Calcular 
la tensidn en el cable que sostiene el as- 
censor. 

7.23 Un cuerpo cuya masa es de 60 kg 
esta parado en una balanza. Si de repente 
se impulsa hacia arriba con una acelera* 
cidn de 245 cm S-*. &Cu&l ser& la lectura 
de la escala? Discutir el efecto asociado 
con este problema cuando se aplica a 
una m&quina que mide la aceleracidn 
del cuerpo mfdiendo la fuerza ejercida. 
(Tal m&quina, denominada aceterdmetro, 
es una herramienta de mucha utilidad 
en la industria y en laboratorios de inves- 
tigacidn.) 

7.24 Una masa de 200 gm se desplaza 
con velocidad constante v = u x 50 cm 
s~\ Cuando la masa se encuentra en 
r — — ux 10 cm, actua una fuerza cons- 
tante F = — ux 400 dinas sobre ella. 
Determinar: (a) el tiempo en que se de- 



tiene la masa, y (b) la posicidn de la 
masa en el instante en que se detiene. 

7.25 Un hombre cuya masa es de 90 kg 
se encuentra en un ascensor, Determinar 
la fuerza que ejerce el piso sobre el hom- 
bre cuando: (a) el ascensor asciende con 
velocidad uniforme, (b) el ascensor baja 
con velocidad uniforme, (c) el ascensor 
acelera hacia arriba a 3 m &-*, (d) el as- 
censor acelera hacia abajo a 3 m s~ s , 
y (e) el cable se rompe y el ascensor cae 
libremente. 

7.26 Un cuerpo cuya masa es de 2 kg 
se desplaza sobre una superflcie hori- 
zontal lisa bajo la accidn de una fuerza 
horizontal F = 55 + P donde F se ex- 
presa en newtons y / en segundos. Calcu- 
lar la velocidad de la masa cuando / = 5 s 
(el cuerpo se encontraba en reposo 
cuando t = 0). 

7.27 Un cuerpo de masa m se mueve 
a lo largo del eje X de acuerdo a la ley 
x = A cos (<*t + 4), donde A, o> y £ son 
constantes. Calcular la fuerza que actiia 
sobre el cuerpo en funcidn de su posi- 
cidn. £Cu&l es la direccidn de la fuerza 
cuando x es (a) positivo, (b) negativo? 

7.28 La fuerza resultante sobre un ob- 
jeto de masa m es F — F — Jcf, donde 
F y k son constantes y t es el tiempo. 
Encontrar la aceleracidn. Mediante in- 
tegracidn, encontrar ecuaciones para la 
velocidad y la posicidn. 

7.29 Sobre una partfcula de masa m, 
inicialmente en reposo, actiia una fuerza 
F = F (l — (t — r)Vr*) durante el in- 
tervalo ^ t ^ 27\ Demostrar que la 
velocidad de la particula al final del in- 
tervalo es 4F T/3m* Notar que la velo- 
cidad depende solamente del producto 
F (2T) y, que si T disminuye, se obtiene 
la misma velocidad haciendo F propor- 
cionalmente mds grande. Representar F 
en funcidn de t jPuede Ud. pensar en 
una situacidn fisica en la cual este pro- 
blema proporcionaria una descripcidn 
adecuada? 

7.30 Un cuerpo inicialmente en reposo 
en x se mueve en linea recta bajo la ac- 
cidn de una fuerza F — — Jr/x^ Demos- 
trar que su velocidad en x es p 1 =*= 
= 2(if/m)/(l/x — l/x ). Este m£todo 
puede utilizarse para determinar la velo- 



194 Dindmica de una partlcula 



cidad de un cuerpo que cae hacia la tie- 
rra desde una gran altura. 

7.31 Repetir el ejemplo 7.3 para el caso 
en que el carro est& corriendo hacia aba- 
jo. 

7.32 Un cuerpo con una masa de 1,0 kg 
se encuentra sobre un piano liso incli- 
nado 30° con respecto a la horizontal. 
jCon qu6 aceleracidn se mo vera el cuerpo 
si hay una fuerza aplicada sobre 61 de 
8,0 Nparalela al piano y dirigida (a) hacia 
arriba, (b) hacia abajo? 

7.33 Un camidn cuya masa es de 
5000 kg est& viajando hacia el norte a 
30 m s- 1 cuando, en 20 segundos, tuerce 
hacia un camino situado N 70° E, En- 
contrar (a) el cambio en el momentum, 
(b) la magnitud y la direccidn de la fuer- 
za promedio ejercida sobre el cami6n. 

7.34 Los cuerpos de la Fig. 7-30 tienen 
masas de 10 kg, 15 kg y 20 kg, respect!- 
vamente. Se aplica en C una fuerza Fde 
50 N. Encontrar la aceleracidn del siste- 
ma y las tensiones en cada cable. Discutir 
el mismo problema cuando el sistema se 
mueve verticalmente en lugar de hori- 
zontalmente. 




7.35. Calcular la aceleracidn de los cuer- 
pos en la Fig. 7-31 y la tensidn en la cuer 
da. Resuelva primero el problema alge- 
braicamente y luego encuentrela solucidr 
num£rica cuando m^ = 50 g, m t = 80 g 
y F = 10 B dinas. 

7.36 Los cuerpos de la Fig. 7-32 est&r 
unidos con una cuerda como se mues- 
tra. Suponiendo que no hay friccidn er 
las pbleas, calcular la aceleracidn de los 
cuerpos y la tensidn en la cuerda. Resoh 
ver algebralcamente el problema y luegc 
aplicar la solucidn al caso en que m 1 = £ 
kg y /n a = 2 kg. 

7.37 Determinar la aceleracidn con la 
cual se mueven los cuerpos de la Fig. 7-33 
(a) y (b) tambten las tensiones en las 
cuerdas. Suponer que los cuerpos se 
deslizan sin friccidn. Resolver el pro- 
blema algebraicamente y luego aplicar 



'mmmmimm. 'mmmmmm 






^j 



7T12 






T 



Tftl 



Figura 7-31 




Fi&ura 7-32 







f h ^ 



m, 



f 


n 




m s 


Wis 


: 



(b) 



Figura 7-33 



Figura 7-34 



Ifli 



?) 






(a) 



Figura 7-35 



m^ 



mi 



% L 






1 



m 2 



(b) 



Problemas 1V5 




<<0 



la soluci6n obtenida cuando m 1 = 200 g, 
m 2 = 180 g, a = 30% p = 60°. 

7.38 Repetir el problema anterior cuan- 
do hay fricci6n, con coeficientes / x sobre 
la primera superflcie y / 2 sobre la segun- 
da. Discutir todos los movimientos posi- 
bles. 

7^9 (a) Demostrar que la viga AB de 
la Fig. 7-34 se encontrard en equilibrio 
cuando se cumpla la siguiente ecuaci6n : 

m^irii + m 9 )l x = 4m^nJ 2 . 

(b) Encontrar la fuerza que el punto pi- 
vote ejerce sobre la viga. 

7.40 Calcular la aceleraci6n de los 
cuerpos m x ym t y la tensidn en las cuer- 
das (Fig. 7-35). Todas las poleas tienen 
peso despreciable y friccidn nula y los 
cuerpos se deslizan sin fricci6n. iCual 
dispositivo acelerara ni 1 mds rApidamen- 
te que en la caida libre? Resolver el pro- 
blema primero algebraicamente, luego 
obtener la soluci6n para el caso en que 
m x = 4 kg y ma = 6 kg. 

7.41 Demostrar que las aceleraciones 
de los cuerpos en la Fig. 7-36, con 



P = gl{m 1 m^ + nyi!, + 4m 2 m 3 ), 



son 



(a) a x = 4/ryn s P, 

a 2 = (ny^a - — n^iKa — Am^n^)P 9 
a B = (m 1 m B ~ m 1 m^ + 4m 2 m z )P; 

(b) a t = (4^/213 — nyn a — m^^P, 
a 2 = (3/n 1 7n 8 — mjxig — 4m 9 m 3 )P 9 
a 3 = (nixRti — 3/nj/na + 4m a m 3 )P. 

7-42 Las masas de A y B en la Fig. 7-37 
son de 3 kg y 1 kg respectivamente. Si 



mi 



w^ 






1 

(a) 



Flgura 7-86 



Q 



ni2 



m 3 



Figura 7-87 




(b) 






B 



W^ 



Figura 7-38 



i 



B 



196 Dindmica de una parttcula 




Figura 7-80 



3 kg 



5 kg 



Figura 7-40 



se aplica una fuerza F = 5PN a la polea, 
encontrar la aceleraci6n de A y B en 
funci6n de L £Qu6 sucede despairs que B 
alcanza la polea? 

7.43 Las masas de A y B en la Fig. 7-38 
son, respectivamente de 10 kg y 5 kg. 
El coeflciente de fricci6n entre A y la 
mesa es de 0,20. Encontrar la masa 
minima de C que evitara el movimiento 
de A. Calcular la aceleracidn del sistema 
si C se separa del sistema. 

7.44 Determinar la fuerza de friccidn 
ejercida por el aire sobre un cuerpo cuya 
masa es de 0,4 kg si cae con una acele- 
raci6n de 9,0 m s -2 . 

7.45 Repetir el ejemplo 7.6 para un 
caso en el cual no haya fuerza aplicada. 
La velocidad inicial del cuerpo es de 
2 m S" 1 hacia arriba. &Que distancia re- 
correra el cuerpo antes de detenerse? 
j,Cu41 es el valor menor del coeflciente 
de fricci6n de modo que el cuerpo, una 
vez detenido, no regrese hacia abajo ? 

7.46 Un bloque de masa 0,2 kg inicia 
su movimiento hacia arriba, sobre un 
piano inclinado a 30° con la horizontal, 
con una velocidad de 12 m s -1 . Si el 
coeflciente de friccidn de deslizamiento 
es de 0,16, determinar que distancia re- 
correrd el bloque sobre el piano antes 
de detenertfe. iQud velocidad tendra el 
bloque al retornar (si retorna) a la base 
del piano? 

7.47 Un tren cuya masa es de 100 to- 
neladas sube un terreno que se eleva 
1 pie cada 224 pies de longitud. La trac- 
ci6n del tren es de 9000 lbf y su acelera- 
ci6n es de 1 pie s -2 . Calcular la fuerza de 
fricci6n. 

7.48 Encontrar la aceleracidn de m en 
la Fig. 7-39 si el coeflciente de friccidn 
con el piso es /. Encontrar tambien la 



fuerza ejercida por el piso sobre el cuerpo, 
Resolver para m = 2,0 kg, / = 0,2 y 

F = 1,5 N. 

7.49 Un bloque cuya masa es 3 kg 
esta colocado encima de otro bloque de 
masa de 5 kg (Fig. 7-40). Suponer que 
no hay fricci6n entre el bloque de 5 kg 
y la superflcie sobre la cual reposa. Los 
coeflcientes de friccidn estatico y de 
deslizamiento entre los bloques son 0,2 
y 0,1 respectivamente. (a) ^Cual es la 
maxima fuerza que puede aplicarse a 
cualquier bloque de modo de deslizar 
todo el sistema y mantener los bloques 
juntos? (b) iCual es la aceletacidn cuan- 
do se aplica la fuerza maxima? (c) &Cu&l 
es la aceleracitin del bloque de 3 kg si 
la fuerza es mayor que la fuerza maxima 
y se aplica al bloque de 5 kg? ^Gual si se 
aplica al bloque de 3 kg? 

7.50 Encontrar la velocidad limite de 
una esfera de 2 cm de radio y una den- 
sidad de 1,50 g cm -3 que cae en glicerina 
(densidad ^ 1,26 g cm- 3 ). Encontrar 
tambien la velocidad de la esfera cuando 
su aceleraci6n es de 100 cm s -2 . 

7.51 Un cuerpo con una masa de 4 kg 
es lanzado verticalmente con una velo- 
cidad inicial de 60 m s _1 . El cuerpo en- 
cuentra una resistencia del aire de 
F — — 3i>/100, donde F se expresa en 
newtones y v es la velocidad del cuerpo 
en m s _1 . Calcular el tiempo que trans- 
curre desde el lanzamiento hasta que 
alcanza la maxima altura. &Cual es la 
maxima altura? 

7.52 Un cuerpo cae desde una altura 
de 108 cm en 5 s, partiendo del reposo. 
Encontrar su velocidad limite si la resis- 
tencia es proporcional a la velocidad. 

7.53 Usando los resultados del ejem- 
plo 7.8 encontrar el tiempo que toman 
las gotas del ejemplo 7.7 para alcanzar 



Problemas 197 



50 y 0,63 de su velocidad lfmite. En- 
contrar tambten la distancia cubierta en 
el tiempo t. 

7.54 Representar la velocidad de un 
cuerpo que cae en un fluido viscoso en 
funcidn del tiempo t cuando la velocidad 
inicial es diferente de cero. Considerar 
ambos casos cuando i? es menor y mayor 
que F/Ktj. &Qu6 sucede cuando u ti = 
= FjKrjl 

7.55 El electrdn en un dtomo de hidr<J- 
geno gira alrededor de un prot6n, si- 
guiendo una trayectoria casi circular de 
radio 0,5 x 10 -10 m con una velocidad 
que se estima en 2,2 x 10* m s _1 . Calcu- 
lar la magnitud de la fuerza entre el 
electron y el prot<Jn. 

7.56 Una piedra cuya masa es de 0,4 kg 
esta atada al extremo de una cuerda de 
0,8 m. Si la piedra describe un circulo 
a una velocidad de 80 rev/min, &cu£l es 
la magnitud de la fuerza que ejerce la 
cuerda sobre la piedra? Si la cuerda se 
rompe la tensi6n es mayor de 50 kgf. 
^Cudl es la mayor velocidad angular 
posible? 

7.57 Un pequeno bloque de 1 kg de 
masa estA atado a una cuerda de 0,6 m 
y gira a 60 rev/min en un circulo vertical. 
Calcular la tension en la cuerda cuando 
el bloque que se encuentra (a) en el punto 
m&s alto del circulo; (b) en el punto mis 
bajo, (c) cuando la cuerda est£ horizon- 
tal, (d) calcular la velocidad lineal que 
debe tener el bloque en el punto mis alto 
a fin de que la tensidn en la cuerda sea 
cero, 

7.58 Un tren pasa una curva con pe- 
ralte a 63 km hr- 1 . El radio de la curva 
es de 300 m. Calcular (a) el peralte de la 
curva de modo que el tren no experimen- 
te fuerzas laterales, (b) el &ngulo que 
hace con la vertical una cadena que 
cuelga de uno de los vagones. 

7.59 Una autopista tiene 24 pies de 
ancho. Calcular la diferencia de nivel 
entre los bordes extremo e interno del 
camino a fin de que un auto pueda viajar 
a 50 mi hr -1 (sin que experiment e fuer- 
zas laterales) alrededor de una curva 
cuyo radio es de 2000 pies« 

7.60 Una curva de una autopista cuyo 
radio es de 1000 pies no tiene peralte. 
Suponer que el coeflciente de fricci6n 




Figura 7-41 



entre la Uanta y el asfalto seco de 0,75, 
entre la llanta y el asfalto humedo es 
de 0,50, y entre la llanta y el hielo es 
de 0,25* Determinar la maxima velo- 
cidad con la cual se puede pasar la curva 
con seguridad (a) en dias secos?, (b) en 
dias Uuviosos, (c) en dias en que ha ne- 
vado. &Por qu£ son estos valores inde- 
pendientes de la masa del auto? 

7.61 Un cuerpo D, el cual tiene una 
masa de 12 lb (Fig. 7-41), se encuentra 
sobre una superflcie c6nica lisa ABC y 
estd girando alrededor del eje EE' con 
una velocidad angular de 10 rev/min. 
Calcular : (a) la velocidad lineal del 
cuerpo, (b) la reaccitfn de la superflcie 
sobre el cuerpo, (c) la tensidn en el hilo, 
y (d) la velocidad angular necesaria 
para reducir la reacci6n del piano a cero. 



mmmzm. 




Figura 7*42 



7.62 Una pequefia bola de masa m, 
inicialmente en A, se desliza sobre una 
superflcie circular lisa ADB (Fig. 7-42). 
Mostrar que cuando la bola se encuentra 
en el punto C la velocidad angular y la 
fuerza ejercida por la superflcie son 
o> = \2g sen a/r, F = m§{\ +2sen a). 



198 Dindmica de una parlicula 



Figura 7-43 





Figura 7-44 



7.63 Reflriindose al pSndulo c6nico de 
la Fig. 7-43 que rota en un circulo hori- 
zontal con una velocidad angular o>, 
calcular la tensi6n en la cuerda y el 
Angulo que hace con la vertical para el 
caso cuando M = 12 kg, L — 1,16 m 
y to — 3.0 rad s- 1 . 

7.64 Demostrar la igualdad de los pe- 
rlodos de 2 p£ndulo& c6nicos que cuelgan 
del mismo techo con diferentes longitu- 
des, pero movtendose de modo que sus 
masas se encuentran a la misma altura 
sobre el piso. 

7.65 Una particula de densidad p t est£ 
suspendida rotando en un lfquido de 
densidad p a en rotaci6n. Demostrar que 
la particula describira una trayectoria 
espiral hacia afuera (hacia adentro) si 
p! es mayor (menor) que p 2 . 

7.66 Demostrar que si un cuerpo se 
mueve bajo la acci6n de una fuerza 
F = ku x v, donde u es un vector uni- 
tario arbitrario, el movimiento es circu- 
lar con velocidad angular ct> = ku 9 o, 
en un caso mas general, el movimiento es 
de espiral paralelo a u. 

7.67 Para t = 0, un cuerpo de masa 
3,0 kg esta situado en r = u x 4 m, y tiene 
una velocidad v = (u x + u y 6) m s _1 . 
Si actua sobre la particula una fuerza 
constante F — u y 5 N, encontrar (a) el 
cambio en el iriomentum (lineal) del 
cuerpo despues de 3 s, (b) el cambio 
en el momentum angular del cuerpo 
despu£s de 3 s. 

7.68 Una bola cuya masa es de 200 gm 
se est& moviendo hacia el norte con una 
velocidad de 300 cm s~ l . Cuando se 



aplica una fuerza de 2000 dinas en Is 
direction este, obtener la ecuaci6n de Is 
trayectoria y calcular despues de 40 s 
(a) la magnitud y direcci<Jn de la velo- 
cidad, (b) la distancia recorrida desdc 
el momento inicial, (c) el desplazamientc 
medido desde el punto inicial. 

7*69 Sobre una particula que se mueve 
con una velocidad u a lo largo del eje -X 
actua una fuerza F paralela al eje Y 
mientras se mueve en la regidn ^ x£ 
^ L. Encontrar el cambio en la direc- 
ci6n de su movimiento- iA qu6 distancia 
del eje X se encontrar^ la particula que 
llega a una pared situada en x = L? 

7.70 Una masa puntual se est& mo- 
viendo en el piano XY bajo la accita 
de una fuerza constante cuyas compo- 
nentes son F x = 6 N y F v — — 7 N. 
Cuando t — s, x = 0, y = 0, v x = — 2 
m %-\ y v y = 0, encontrar la posicidn 
y la velocidad cuando ( = 2s. Suponer 
que la masa de la particula es de 16 kg. 

7.71 El vector posicidn de un cuerpo 
de masa 6 kg est£ dado por r = u, 
(3P — 60 + u y (—4f») + u t (3t + 2) m. 
Encontrar: (a) la fuerza que actua sobre 
la particula, (b) el torque con respecto 
al origen de la fuerza que actua sobre la 
particula, (c) el momentum lineal y el 
momentum angular de la particula con 
respecto al origen, (d) veriflcar que 
F = dpjdt y T = dLjdt 

7.72 Cuando t = s, una masa de 
3 kg est6 situada en r = u x 5 m y tiene 
una velocidad u v 10 m s~ l . Determinar 
el momentum angular de la masa con 
respecto al origen para (a) / = Os y (b) 
t = 12 s. 







1kg 








10 kg 


F 






^^md^'/MmwMm^MW/MWM 



Problemas 



199 



\~L-a n 




Figura 7-45 



FIgura 7*46 



7.73 Un extremo de una banda de 
goma esta unido a un disco; el otro 
extremo est£ fljo. El disco puede des- 
plazarse sobre una mesa horizontal lisa. 
Si la banda de goma se estira y se em- 
puja el disco en un cierto dngulo, 6ste 
describe la trayectoria mostrada por la 
fotografia estrobosc6pica de la Fig. 7-44 
(el intervalo de tiempo entre destellos es 
de 0,5 s). Realizando mediciones en la 
fotografia, demostrar que la ley de las 
areas se conflrma en este movimiento. 
A partir de la situacidn fisica descrita, 
ipuede Ud. decir si la fuerza sobre el 
disco es central? 

7.74 Un cuerpo de masa de 1 kg reposa 
sobre otro de masa 10 kg, el cual a su 
vez reposa sobre una superftcie horizon- 
tal como muestra la Fig. 7-45. La fuerza F 
varla con el tiempo t (medido en segun- 
dos), de tal modo que F = 0,2/ N. Si el 
coeficiente de friccidn estatica es de 
0,2 y el coeficiente de friccidn cin6tico 
es 0,15 entre todas las superficies, en- 
contrar el movimiento de cada bloque 
en funcitfn del tiempo. 

7*75 Cuando la tierra se encuentra 
en el afelio (la posici6n mas lejana con 
respecto al sol), en junio 21, su distancia 
es de 1,52 x 10 u m y su velocidad orbi- 
tal es de 2,93 x 10* m s- 1 . Encontrar 
su velocidad orbital en el perihelio (la 
posicidn mas cercana al sol) seis meses 
m&s tarde, cuando su distancia del sol 
es l t 47 x 10 u m. ^Afectan estas varia- 
ciones en la velocidad la duraci6n del 
dia solar? Encontrar tambi£n la 
velocidad angular de la tierra alrededor 
del sol en ambos casos (Ayuda: tanto 
en el afelio como en el perihelio la velo- 
cidad es perpendicular al radio vector). 

7 -76 Un cohete de 10 3 kg se coloca 
verticalmente en su base de lanzamiento. 
El gas de propulsi6n se expele a una 
velocidad de 2 kg s~ x . Encontrar la velo- 
cidad minima de los gases de escape de 



modo que el cohete comience a elevarse, 
Encontrar tambi&n la velocidad del co- 
hete 10 s despu£s de la ignici6n, supo- 
niendo que la velocidad de escape es la 
minima. 

7.77 Un cohete, lanzado verticalmente, 
expele los gases a una velocidad cons- 
tante de 5 x 10 -'/n kg &-\ donde m 9 
es su masa inicial. La velocidad de es- 
cape de los gases con respecto al cohete 
es de 5 x 10* m s -1 . Encontrar la velo- 
cidad y la altura del cohete despu£s de 
10 s. 

7.78 Una cadena flexible de longitud L 
y peso W (Fig. 7-46) estd colocada inicial- 
ment^ en reposo sobre una superftcie 
sin fricci6n ABC, estando D a una dis- 
tancia L — a de B. Demostrar que cuan- 
do el extremo D llega al punto B la ve- 
locidad de la cadena es v = 



= V(ff/L)(L* — a*) sen a. 

7.79 Una soga uniforme de masa M 
y longitud L (Fig. 7-47) pasa sobre un 
clavo liso de radio muy pequeno. Cuando 
se inicia el movimiento BC = b. Demos- 
trar que la aceleraci6n y la velocidad 
cua ndo BC = % L son a = <//3, v = 
= ]/2gjL( | L» + 2bL — **). Aplicar el 
resultado para L = 12 pies, b = 7 pies. 

7.80 Una masa M, unida al extremo de 
una cadena muy larga que tiene una 
masa m por unidad de longitud, se tira 
verticalmente hacia arriba con una velo- 
cidad inicial i> . Demostrar que la maxi- 
ma altura a lcanzada por M es de h = 
= (M/m) [ Vl + 3mvll2Mg — 1,] y que 
la velocidad de M cuando retorna a tie- 
rra es de v — ^2gh. 

7.81 El vapor de agua se condensa so- 
bre una gota de lluvia a raz6n de m 
unidades de masa por unidad de tiempo; 
inicialmente la gota tiene una masa M 
y parte del reposo. Demostrar que la 
distancia que cae en un tiempo t es ig 



200 Dindmica de una particula 



{it 2 + {Mlm)t— (M 2 //n a ) In [1 + (mjM)t]} t 
Despreciar la resistencia debida al aire. 

7.82 Una particula se mueve bajo la 
acci6n de una fuerza constante a trav6s 
de un fluido que ejerce una fuerza con- 
traria al movimiento y proporcional a la 
velocidad. Demostrar que, si se suprime 
la fuerza despu6s que el cohete alcance 
la velocidad limite, la velocidad en el 
tiempo t ser& v = vur^ K ^ % y la distancia 
recorrida sera x = (mjk) vl (1 ■ — e~^ k f m ^) t 
Veriflcar que la distancia recorrida antes 
de que se detenga es viAmjk). Demostrar 
que la velocidad de la particula se redu- 
cira a 1/e de su valor limite despues de 
un tiempo t = (mjk). 

7.83 Un cuerpo se mueve bajo la acci6n 
de una fuerza constante F en un flui- 
do que se opone al movimiento con una 
fuerza proporcional al cuadrado de la 
velocidad; esto es, F/ = — kv 2 , Demos- 
trar que la velocidad limite es vl = VFjk. 




Figura 7-47 



Demostrar que la relation entre la ve- 
locidad y la distancia es v 2 = (F/k) + 
+ lvi — (Flk)]e-**rt x . Representar v* en 
funci6n de x para v = 0. Si la fuerza 
se suprime despues que el cuerpo alcan- 
ce la velocidad limite, mostrar que la ve- 
locidad de la particula disminuye a 1/e 
del valor de la velocidad limite despues 
de recorrer una distancia mjk. 



7.84 Demostrar que cuando un cuerpo esta en movimiento bajo una fuerza que se 
opone al movimiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la velocidad en el 
tiempo t es: 



Vl 



(V + d l ) C (**l/"»>' — (» — VL)e^*» L im)t 



8 
TRABAJO Y ENERGIA 



8 A Introduction 

82 Trabajo 

8.3 Potencia 

8A Unidades de trabajo y potencia 

8.5 Energia cinetica 
8.6 Trabajo de una fuerza de magnitud y direction constantes 

8.7 Energia potencial 

8.8 Conservation de la energia de una particula 

8.9 Movimiento rectilineo bajo fuerzas conservativas 

8 JO Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas 

8.11 Discusion de curvas de energia potencial 

8.12 Fuerzas no conservativas 

8 A3 Teorema del virial para una sola particula 

8A4 Critica del concepto de energia 



202 Trabajo y energia (g t i 

8.1 Introduction 

En este capitulo continuaremos discutiendo diversos aspectos de la dinamica de 
una particula. Por tanto, nos limitaremos a la observation de una sola particula, 
reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo termino que 
hemos ya llamado fuerza. Al resolver la ecuacion fundamental de la dinamica 
de una particula (esto es, F = dp/dt) 9 podemos siempre realizar una primera 
integration si conocemos la fuerza en funcion del tiempo, ya que de esta ecuacion 
obtenemos por integration 

dt 



o sea 



dp=\ F 

J PQ J to 

P~Po= f Fdt = L 

J to 



(8.1) 



La magnitud / = J* o F dt que aparece a la derecha se llama impulso. Por con- 
siguiente la ec. (8.1) nos dice que 

el cambio de momentum de una particula es igual al impulso. 

Ya que el impulso consiste esencialmente del producto de la fuerza por el tiempo, 
una fuerza muy fuerte que actue por un tiempo muy corto puede causar un cam- 
bio de momentum comparable al de una fuerza debil, que actue por un tiempo 
largo. Por ejemplo, un "bateador" que golpea la pelota, aplica una fuerza grande 
durante un corto tiempo, cambiando apreciablemente el momentum de la pelota. 
Por su parte, la fuerza de gravedad, para producir el mismo cambio de momentum, 
tendria que actuar sobre la pelota por un tiempo mucho mayor. 

Al reemplazar p por mv, es posible integrar nuevamente y obtener la posicidn 
de la particula en funcion del tiempo. Esto es, 

mv — mv> = I o v =v + — L 

m 

Recordando que v = dr/dt, podemos escribir 

| dr=[ lv Q + — ) dt o r = r + v t + — f IdU 
J ro J to \ m f m J to 

lo que da r en terminos de /, y resuelve asi formalmente el problema dinamico. 
Por cierto, en el ejemplo 7.5 resolvimos un problema de este tipo para el caso 
del movimiento rectilineo. 

Sin embargo, en los problemas importantes que surgen en la fisica, la fuerza 
sobre una particula no se conoce como funcion del tiempo, sino como funcidn de 
la posici6n especificada por r o x, y, z; es decir, como F(r) o F(x, y, z). Por tanto, 
no podemos evaluar la integral de la ec. (8.1) hasta conocer x, y f z en funci6n 
del tiempo; vale decir, hasta haber resuelto precisamente el problema que esta- 
mos por resolver con la ec. (8.1). Para salir de este aparente circulo vicioso de- 



8.2) 



Trabajo 203 



bemos recurrir a otras tecnicas matematicas que nos conducinin a definir dos 
nuevos conceptos: trabajo y energia. Estos metodos nos permitir&n resolver pro- 
blemas aun en los casos en que desconozcamos la fuerza, pero podamos formular 
suposiciones razonables sobre sus propiedades. 

EJEMPLO 8.1. Una bola de tnasa 0,1 kg es soltada desde una altura de 2 m y, 
despues de chocar con el suelo, rebota hasta 1,8 m de altura. Determinar el im- 
pulso debido a la gravedad al caer la bola y el impulso recibido al chocar con el 
suelo. 

Solucidn; Usamos, en primer lugar, la e c, (5.1 2) para determinar la velocidad de la 
bola al llegar al suelo ; esto es, v x — \ 2gh lf siendo A x = 2m. As! i>j = 6,26 m s _1 . 
Ya que el sentido de la velocidad es hacia abajo, debemos escribir ^ = — u y (6,26 
m s -1 ). El momentum inicial es cero, y por tanto el cambio total de momentum 
durante la calda es mv x — = — u v (0,626 kg m s- 1 ). Este es el impulso debido 
a la gravedad. Tambi£n podemos computarlo directamente usando la definici6n 
/ = /J F dL En este caso t Q = y / = vjg = 0,639 s. Asimismo F ^ mg = 

uying = — t*i,(0,98_ N). De modo que el calculo directo vuelve a dar — u v 

(0,626 kg m s- 1 ) para el impulso debido a la gravedad durante la caida. 

Pero al chocar la bola con el suelo una nueva fuerza actua por un tiempo muy 
breve. Desconocemos la fuerza, pero podemos obtener el impulso computando el 
momentum de la bola al rebotar . Ya que alcanza una altura de h 2 = 1,8 m, la velo- 
cidad con que rebota es v 2 = V2yh 2 = 5.94 m s- 1 , o, en forma vectorial, v a = uy 
(5,94 m s- 1 ), puesto que el cuerpo se mueve hacia arriba. Por tanto el cambio de 
momentum es 

pa — p i = mVi — mVi = iij^i.221 kg m s _1 ), 

lo que tambten expresa el impulso. Comparando este valor con el obtenido para la 
calda, y notando que el choque con el suelo tiene lugar en un intervalo brevisimo, 
podemos concluir que la fuerza en el segundo caso es mucho mayor. Si pudidramos 
medir dicho intervalo, podriamos obtener la fuerza promedio sobre la bola. 



8.2 Trabajo 

Consideremos una particula A que se mue- 
ve a lo largo de una curva C bajo la acci6n 
de una fuerza F (Fig. 8-1). En un tiempo 
muy corto dt la particula se mueve de A a 

A', siendo el desplazamiento A A* = dr. El 
trabajo efectuado por la fuerza F durante tal 
desplazamiento se define por el producto 
escalar 

dW = F-dr. (8.2) 

Designando la magnitud del desplazamien- 
to dr (esto es, la distancia recorrida) por 
ds 9 podemos tambien escribir la ec. (8.2) 
en la forma 

dW =Fds cos e, (8,3) 




Fig. 8-1. El trabajo es igual al 
desplazamiento multiplicado por el 
componente de la fuerza a lo largo 
del desplazamiento. 



204 Trabajo g energia 



(8.2 



donde 6 es el &ngulo entre la direcci6n de la fuerza F y el desplazamiento dr. 
Pero F cos G es la componente Fj de la fuerza a lo largo de la tangente a la tra- 
yectoria, de modo que 



dW = F T ds. 
Verbalmente podemos expresar este resultado diciendo que 



(8.4) 



el trabajo es igual al produdo del desplazamiento por la componente 
de la fuerza a lo largo del desplazamiento. 

Notemos que si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (6 = 90°), el trabajo 
efectuado por la fuerza es cero. Por ejemplo, esto sucede en el caso de la fuerza 
centripeta F N en el movimiento circular (Fig. 8-2a), o en el de la fuerza de gra- 
vedad mg cuando un cuerpo se mueve sobre un piano horizontal (Fig. 8-2b). 




v Desplazamiento 



mg 



(a) 



(b) 




Fi£. 8-2. 

nulo. 



Fuerzas que efectuan trabajo 



Fig, 8-3. El trabajo total es la suma 
de muchos trabajos infinitesimales. 



La ec. (8.2) da el trabajo para un desplazamiento infinitesimal. El trabajo 
total sobre la particula cuando esta se mueve de A a B (Fig. 8-3) es la suma de 
todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos 
infinitesimales. Esto es f 



o sea 



W = F^dr ± + F 2 .dr 2 + F^dr z + 
W = f F-dr = f F T ds. 



(8.5)' 



Antes de poder efectuar la integral que aparece en la ec. (8.5), debemos conocer 
F en funci6n de x, y, z. De igual manera debemos en general conocer la ecuaci6n 
de la trayectoria seguida por la particula. Alternativamente, deberiamos conocer 
^» x * J/j y ^ en funcidn del tiempo o de otra variable. 

A veces es conveniente representar Ft gr£ficamente. En la Fig. 8-4 hemos 
representado F T en funci6n de la distancia s. El trabajo dW = Frds efectuado 



* Si el vector V es cualquier funcidn de posicidn, una integral de la forma /5 V*dr sobre una 
trayectoria de A a B se llama una integral de linea de V. La encontraremos a menudo en este 
libro. 



8.2) 



Trabajo 205 



lurante un pequeno desplazamiento ds corresponde al Area del rectAngulo alar- 
?ado. Podemos asi hallar el trabajo total efectuado en la particula de la Fig. 8-3 
para moverla de A a B dividiendo primero la totalidad del Area sombreada en 
rect&ngulos alargados y sumando entonces sus Areas* Esto es, el trabajo efec- 
tuado estd dado por el Area sombreada total de la Fig, 8-4. 




Fig. 8-4. El trabajo total efectuado 
yendo de A a B es igual al Area total 
debajo de la curva. 



JMocibn 



I 1 

I i 

I A ! 



B 



7A 



Fig. 8-5. El trabajo de una fuerza 
que es constante en magnitud y direc- 
ci6n/ 



Cuando la fuerza es constante en magnitud y direcci6n y el cuerpo se mueve 
rectilineamente en la direcci6n de la fuerza (Fig. 8-5), se tiene un caso particular 
interesante. Entonces F T = F y la ec. (8.5) da 



W 



= f Fds=F f ds = Fs, 




(8.6) 




Fig. 8-6. El trabajo hecho por una Fig. 8-7. Cuando varias fuerzas actiian 

fuerza es igual a la suma de los trabajos en una particula, el trabajo de la resul- 

hechos por sus componentes rectangu- tante es la suma de los trabajos efectua- 

lares. dos por las componentes. 



206 Trabajo y energia {*•<> 

o sea trabajo = fuerza x distancia, que es la expresion encontrada normalmente 
en textos elementales. 

Si F X9 F y y F z son las componentes rectangulares de F y dx, dy y dz las de dr 
(Fig. 8-6), podemos escribir mediante el uso de la ec, (3.2) 

W - f (F x dx + F u dy + Ft dz). (8,7) 



= f (F z dx + F 9 dy + F £ dz). 



Cuando sobre la particula actuan varias fuerzas F v F^F 3 , ..., los trabajos 
efectuados por cada una de ellas en un desplazamiento AA' = dr (Fig, 8-7) son 
gW x =: Fj-dr, dW 2 = F 8 *dr, <*W 3 = *Wi\ etc* Adviertase que dr es el mismo 
para todas las fuerzas ya que todas actuan sobre la misma particula. El trabajo 
total dW hecho sobre la particula se obtiene sumando los trabajos infmitesimales 
dW v dW 2 , dW& ..., efectuados por cada una de las fuerzas. Asi 

dW = dW x + dW 2 + dW z + • ■ . 

= F x -dr + F % -dr + F^dr + . . . 

= F*dr, 

donde F — F x + F a + F 3 + . . . es la fuerza resultante. Como el tiltimo resultado 
de la ec. (8.8) expresa el trabajo efectuado por esta resultante sobre la particula, 
se ha probado entonces que el trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas 
a la misma particula es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes. 



8*3 Potencia 

En las aplicaciones pr&cticas, especialmente las de ingenieria y mecanismos, es 
importante conocer la rapidez del trabajo efectuado. Se define la potencia ins- 
tantdnea por 

P-™-. (8.9) 

dt 

Esto es, se define la potencia como el trabajo efectuado por unidad de tiempo 
durante un intervalo dt muy pequeno. Usando las ecs. (8.2) y (5*17), podemos 
tambien escribir 

P=F.-^ = F.t>, (8.10) 

dt 

y asi la potencia puede defmirse tambien por el producto de la fuerza por la velo- 
cidad. La potencia promedio durante un intervalo t es obtenida dividiendo el tra- 
bajo total W, dado por la ec. (8.5), entre el tiempo U lo que da P = WjL 



gj) Unidades de trabajo y potencia 207 

Desde el punto de vista de la ingenieria, el concepto de potencia es muy im- 
portante, pues cuando un ingeniero disena una m£quina, es la rapidez con que 
puede efectuar el trabajo lo que importa, m£s bien que la cantidad total de tra- 
bajo que la m&quina pueda realizar. 



8.4 Unidades de trabajo y potencia 

Las ecs. (8.2) y (8.6) nos muestran que el trabajo debe ser expresado en terminos 
del producto de la unidad de fuerza por la unidad de distancia. En el sistema 
MKSC, el trabajo se expresa en newton metro, unidad que se llama joule y se 
abrevia J. Por tanto un joule es el trabajo efectuado por una fuerza de un newton 
actuando sobre una particula que se mueve un metro en la direction de dicha 
fuerza. Recordando que N = m kg s" 2 , tenemos J = N m = m 2 kg s~ 2 . El nom- 
bre joule fue escogido en honor de James Prescott Joule (1816-1869), cientifico 
britanico, famoso por sus investigaciones sobre los conceptos de calor y energia. 

En el sistema cgs, el trabajo se expresa en dina centlmetro, unidad que se 
llama erg. Asi: erg = din cm. Redordando que 1 N = 10 5 din y 1 m = 10 z cm, 
tenemos 1 J = (10 5 din) (10 2 m) = 10 7 ergs. En cuanto a la unidad de trabajo 
en el sistema ingles y que se llama pie-libra 9 y abrevia pie-lb, referimos al lector 
al problema 8.4. 

Segiin la defmici6n (8.9), la potencia debe ser expresada en terminos del co- 
ciente de la unidad de trabajo entre la unidad de tiempo. En el sistema MKSC 
la potencia se expresa en joule por segundo, unidad que se llama watt y se abre- 
via W. Un watt es la potencia de una mdquina que efectiia trabajo con la rapidez 
de un joule por segundo. Recordando que J = m 2 kg s -2 , tenemos que W = J s- ! = 
= m 2 kg s -8 . El nombre watt fue escogido en honor del ingeniero brit&nico James 
Watt (1736-1819), quien mejor6 la m£quina de vapor con sus inventos. Hay dos 
miiltiplos del watt que se usan con generalidad: el kilowatt (kW) y el megawatt 
(MW) y que se definen por: lkW = 10 3 W y 1 MW = 10 6 W. Los ingenieros 
usan comunmente una unidad de potencia llamada caballo vapor, que se abrevia hp, 
y se define como igual a 550 pie lb por segundo, o sea 746 W. 

Otra unidad para expresar el trabajo es el kilowait-hora, el cual es igual al 
trabajo efectuado durante una hora por una mAquina cuya potencia es de un 
kilowatt. Esto es: 1 kilowatt-hora = (10 s W) (3,6 x 10 8 s) = 3,6 x 10 e J. 

EJEMPLO 8.2. Un autom6vil cuya masa es de 1200 kg sube por una colina de 
5° de inclinaci6n con velocidad constante de 36 km por hora, Galcular el trabajo 
efectuado por el motor en 5 minutos y la potencia desarrollada por el. 

Solucidn: El movimiento del automdvil a lo largo de la subida se debe a la fuerza F 
desarrollada por el motor y a la fuerza W sen a, debida al peso del autom6vil (Fig. 8-8; 
Debetnos por tanto escribir, usando W = mg, 

F — mg sen a = ma. 

Ya que el movimiento es uniforme, a = 0, y -F = mg sen a = 1.023 x 10 3 N, La 
velocidad del autom<5vil es v = 36 km hr- 1 = 36(10 3 m) (3,6 x 10 3 s)- 1 = 10 m s^ 1 , 



208 Trabajo y energta 



(8.4 



y en 5 minutos (o 300 s) recorre la distancia s = (10 ms^ 1 ) (300 s) = 3 x 10 8 m, 
Luego, si usamos la ec. (8.6), el trabajo efectuado por el motor es 

W = Fs = (1,023 x 10 a N) (3 x 10 a m) = 3,069 x 10" J. 

La potencia promedio puede computarse de dos maneras diferentes. Primero 
podemos afirmar que 



W 



3,069 x 10 8 J 



= 1,023 x 10* W. 



t 3 x 10* s 

Alternativamente, podemos decir que 

P = Fv = (1,023 x 10 3 N) (10 m s- 1 ) = 1,023 x 10 4 W. 



Q y/////tf//////////^^^^ 




W cos a 



FIgura 8-3 



x- 1,50 cm 



B-*- 




Fig. 8-9, Trabajo efectuado al exten- 
der un resorte. 



EJEMPLO S.3. Calcular el trabajo necesario para extender el resorte de la Fig. 8-9 
en una distancia de 2 cm sin aceleraci6n. Se sabe que el colgar del resolte un cuerpo 
de 4 kg de masa, la longitud del resorte aumenta en 1,50 cm. 

Solucidn: Cuando ningun cuerpo cuelga del resorte^ la longitud de este se extiende 
desde O hasta el nivel horizontal A, Se ha veriflcado experimentalmente que para 
extender un resorte una pequena distancia x sin aceleracidn, se necesita una fuerza 
proporcional a la distancia : F = kx. Si el resorte es extendido sin aceleracidn, 
61 reacciona con una fuerza igual y opuesta. Este es el principio del resorte o dina- 
ndmetro, comunmente usado para medir fuerzas. Para determinar la constante de 
proporcionalidad k, aprovechamos el hecho de que cuando el cuerpo de masa m 
ejerce la fuerza de su peso sobre el resorte, este se estira la distancia x = 1,50 cm = 
= 1,50 x 10-* m. La fuerza F es, en este caso, el peso mg = 39,2 N. Luego, ha- 
ciendo mg = fcr, obtenemos 



k = 



39,2 N 



1,50 x 10-* m 



2,61 x 10 3 N m- 1 . 



Para extender el resorte una distancia x, sin aceleraci6n, aplicamos ahora una 
fuerza F — kx. Lo podemos hacer halando lentamente una cuerda atada al resorte. 
La fuerza crece constantemente al aumentar x. Para hallar el trabajo efectuado, 
debemos usar la ec. (8.5), la que da 



W 



= j F dx — \ kxdx 



ikx'< 



«£) Energta cinitica 209 

Este es el trabajo efectuado para cualquier desplazamiento x. Reemplazando los 
correspondientes valores numdricos de x y k f obtenemos el trabajo necesario para 
extender el resorte en 2 cm, que es W = 5,22 x 10- 1 J. 

EJEMPLO 8.4, Una fuerza F = 6* N actiia sobre una particula de 2 kg de masa. 
Si la particula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante 
los primeros 2 s. 

Solucitn: En el ejemplo anterior fue facil calcular el trabajo porque conociamos 
la fuerza como funci6n de la posici6n (F = kx). Pero en este ejemplo conocemos la 
fuerza solamente como funcidn del tiempo (F = Gt). Por ello no podemos calcular 
directamente el trabajo usando W = fFdx. En cambio debemos hallar el despla- 
zamiento en tdrminos del tiempo, usando la ecuaci6n del movimiento, F = ma, 
Esto es, a = F/m = 3f m S" 2 . Usando la ec. (5.6), con o = 0, podemos escribir, 
ya que la particula parte del reposo 

v = f (30 dt = l,5* a m s- 1 . 

J o 

Si usamos ahora la ec. (5.3) con x = 0, y si tomamos nuestro origen de coorde- 
nadas en el punto initial, obtenemos 

x = f (l,5P)dt = 0,5* 3 m. 
J o 

Teniendo ahora x en funci6n del tiempo, podemos proseguir de dos maneras dife- 

rentes 

(a) Buscando t 9 encontramos t = (x/0,5) 1 ' 3 = l,260x^ a , y la fuerza en t^rminos 
de la posici6n es entonces F = 6t = l^SQx 1 !* N. Utilizando la ec. (8.5), tenemos 
entonces 

W = T (7,560a: 1 ' 3 ) dx = 5,670x 4 ' 3 - 
J o 

Cuando t = 2, tenemos x = 0,5(2) 3 = 4 m, y por tanto W = 36,0 J. 

(b) Tambten podemos proceder de otra manera : De x = 0,5f 3 , deducimos ax — 
= l,5/ a dt Luego, usando para la fuerza su expresi<Jn en tSrminos del tiempo, 
F — 6f, escribimos 

W = f (6/) (1,51* dt) = 2,25/ 4 J, 

J 

y si hacemos t = 2 s, obtendremos W = 36,0 J, en concordancia con el resultado 

anterior. 

Este segundo mStodo es el que debemos usar cuando conozcamos la fuerza en 
funci6n del tiempo, ya que aiin despufes de resolver la ecuacirtn del movimiento 
puede ser dificil expresar, en general, la fuerza como funcidn de posicidn. 



8.5 Energta cin&tica 

De la ec. (7.27) se deduce que la fuerza tangencial es F T = ™ dvjdU Por tanto 

dv , , ds , 

Frds = m — d$ = m dv — - = mv dv f 
dt dt 



w 



210 Trabajo g energta (#,5 

ya que v = dsjdU segiin la ec. (5,23). Por consiguiente la integral que aparece 
en la ec* (8.5) representando el trabajo total es 

= F T ds = mvdv =\mv\ — %mv\, (8.11) 

donde v B es la velocidad de la particula en B y v A la velocidad de la particula 
en A. EI resultado (8.11) indica que cualquiera que sea la forma funcional de 
la fuerza F y la trayectoria seguida por la particula, el valor del trabajo W efec- 
tuado por la fuerza es siempre igual a la diferencia entre las magnitudes de \nuP 
evaluadas al final y al comienzo de la trayectoria. Esta importante magnitud, 
llamada energta cinetica, se designa por E k . Por consiguiente 

7)2 

E k = imy 2 o E k = -£_, (8.12) 

2m 

pues p =mv. La ec. (8.11) puede expresarse entonces en la forma 

W = E ktB ~E KA , (8.13) 

que en palabras puede traducirse asi: 

el trabajo efectuado sobre una particula es igual al cambio producido 
en su energta cinetica, 

y que es un resultado de validez general, cualquiera que sea la naturaleza de 
la fuerza. 

Podemos ver que, en virtud de la ec. (8.13), la energia cinetica se mide obvia- 
mente con las mismas unidades que el trabajo; vale decir, en joules en el sis- 
tema MKSC y en ergs en el sistema cgs. Esto tambien puede verificarse notando 
en la ec. (8.12) que E k en el sistema MKSC puede expresarse en m 2 kg s~ 2 , que 
es la expresi6n dimensional para los joules en terminos de las unidades funda- 
mentales. 

Mencionemos de paso la existencia de otra unidad muy usada por los fisicos 
para describir procesos quimicos y nucleares: el electron volt, que se abrevia eV, 
y cuya definition precisa ser£ dada en la section 14.9 (Vol. II). Su equivalente 
es: eV = 1,60210 x 10" 19 J. Un miiltiplo muy util del electron volt es el MeV, 
igual a 10 6 eV o 1,60210 x 10" 13 J. 

El resultado (8.13), que relaciona el cambio de la energia cinetica E k de una 
particula con el trabajo W efectuado por la fuerza, se parece mucho a la ec. (8.1), 
que relaciona el cambio en el momentum p de una particula con el impulso / 
de la fuerza. La diferencia consiste en que el impulso, siendo una integral de 
tiempo, es util solamente si conocemos la fuerza en funcion del tiempo. Pero el 
trabajo, siendo una integral de espacio, puede computarse facilmente si cono- 
cemos la fuerza en funci6n de la distancia. Generalmente se conoce la fuerza en 
funci6n de la position, y es por esta razon que los conceptos de trabajo y energia 
juegan un papel tan importante en la fisica. 



8.5) 



Energia cinetica 211 



Recordemos al estudiante que los conceptos de trabajo y energia, tal como se 
usan en fisica, tienen significados muy precisos y no deben ser confundidos con 
los mismas terminos tal como son usados corrientemente en la vida diaria. 






i 



i 



i 



1 









ml Posici6n de 
equilibrio 







F = 



W, 



—a 



ka 



H 



EJEMPLO 8.5. Usando los datos del 
ejemplo 8.4, computar directamente la 
energia cinetica que gana la particula 
en un tiempo L (a) 

Solucidn: Recordando la solucidn del 
ejemplo 8.4, la velocidad al cabo del 
tiempo t es: v = 1,5** m s- 1 , y por tanto 
la energia cinetica de la particula es : 

E k = ±/ni> a = i(2 kg) (l,5* a m s- 1 ) 2 

= 2,25* 4 J. (b) 

La energia cinetica inicial de la par- 
ticula, cuando t = 0, es cero, y por 
tanto el aumento de energia cinetica 
en el inter valo t es Ex — -E*, = 2,25* 4 J, 
que es precisamente igual al trabajo W 
efectuado sobre la particula, de acuer- ( c ) 
do al segundo resultado del ejemplo 8.4. 

EJEMPLO 8.6. El resorte del ejemplo 
8.3 est& situado horizontalmente, como 
lo muestra la Fig. 8-10. Se mueve la 
masa mala derecha una distancia a y 
entonces se la suelta. Calcular la ener- (<*) 
gia cinetica cuando se encuentra a una 
distancia x de la posici6n de equilibrio. 

Solucidn: De acuerdo a nuestra expli- 

caci6n en el ejemplo 8.3, el resorte 

ejerceri una fuerza F = — kx sobre la Figura 8-10 

masa m cuando est£ a la distancia x 

de la posicWn de equilibrio. (El signo 

menos indica que la fuerza del resorte apunta a la izquierda cuando el cuerpo se 

encuentra desplazado a la derecha). En la posicitin de equilibrio, x = 0, y por tanto 

F = 0. En la posicidn (b), cuando la masa esta por ser soltada, x = a, F — — ka 

y la velocidad es cero (v = 0), siendo por tanto nulo el valor inicial de la energia 

cinetica. Sea v la velocidad en la posici6n intermedia x. Luego, utilizando la ec. (8.11), 

encontramos que 







71V 

F = -kx 



■ x 



m 



O 



— kx 



imv* 



= j X Fdx = J*(— kx)dx = ±*(a* — x 2 ) 



o sea 



v = y (k/m) (a 2 — x 2 ), 



lo que nos da la velocidad de la particula en terminos de la posici6n. N6tese que 
la velocidad depende del cuadrado de x. ^Cu&l es el signiflcado fisico de esta de- 
pendencia? ^Con qu6 velocidad llega la particula a la posici6n x = 0? Debemos 
anteponer un signo ± a la raiz cuadrada en la expresidn de p? ^Hay hmitaci6n 
alguna en los valores de x? ^Puede el extudiante llegar a una representacirtn in- 
tuitiva del movimiento resultante? 



212 Trabajo y energia 



(8.6 



8.6 Trabajo de una fuerza de magnitud y direcddn constantes 

Considerese una partlcula de masa m que se mueve bajo la acci6n de una fuerza F 
constante en magnitud y direcci6n (Fig. 8-11). Puede haber otras fuerzas que 
tambien actiien sobre la particula y que sean o no constantes, pero no deseamos 
considerarlas por ahora. El trabajo de F cuando la particula se mueve de A a B 
a lo largo de la trayectoria (1) es 



W 



= \ F*dr = F*\ dr = F-(r B — 



r A y 



(8.14) 



De la ec. (8.14) puede derivarse la importante conclusion de que el trabajo 
en este caso es independiente de la trayectoria que conecte aAyfl, Por ejemplo, 
si la particula en vez de moverse a lo largo del camino (1), se mueve a lo largo 
del camino (2), que tambien va de A a B, el trabajo serd el mismo, ya que la 

diferencia vectorial r B — f a = AB es siempre la misma. N6tese que la ec. (8.14) 
puede tambien escribirse en la forma 



W = F-r B —F-r A > 



(8.15) 



y que W es por tanto igual a la diferencia de los valores de F*r en los extremos 
del camino. 




B(x B y. B ) 




Fig. 8-11. Trabajo de una fuerza de Fig. 8-12. Trabajo de la gravedad. 
magnitud y direcci6n constantes. 



El trabajo de la fuerza de gravedad constituye una importante aplicacion de 
la ec. (8.14). En este caso F = mg = — u y mg y r B — ta = u x (xb — £a) + 
+ u y (y B — JM). Por consiguiente, sustituyendo en la ec, (8.14) y utilizando la ec. 
(3.19) para el producto escalar, tenemos 



W = — mg(jj B — y A ) = mgy A — mgy B . 



(8.16) 



Obviamente, no hay referenda a la trayectoria en esta ec. (8.16), y el trabajo 
depende solamente de la diferencia j/b — j/a entre las alturas de los extremos. 



8.7) 



Energla potencial zi& 



EJEMPLO 8.7. Una masa de 2 kg colgada de un hilo de 1 m de longitud, es des- 
plazada en 30° de la vertical y entonces soltada. Hallar su velocidad cuando la 
cuerda forma un angulo de 10° con la vertical tanto en el mismo Iado como en el 
opuesto. 

Solucidn: Una masa colgada de un hilo constituye un pindulo. Cuando el hilo es 
desplazado hasta hacer un Angulo 6 con la vertical (Fig. 8-13) y soltado luego, la 
velocidad inicial de la masa es cero. Bajo la acci<Jn de su peso mg y la tracci6n Fn 
del hilo, la masa describe un arco de circulo para llegar al punto A. Al pasarlo, 
sigue movtendose a la izquierda hasta alcanzar una posici6n sim6trica a la inicial. 
A partir de aqui, el movimiento se repite de lado a lado, resultando las bien cono- 
cidas oscilaciones de un pdndulo. (El movimiento oscilatorio serd discutido deta- 
lladamente en el capitulo 12). 

Para obtener v usando el principio de la energia, ec. (8.11) deberiamos compu- 
tar primero el trabajo de las fuerzas que actuan sobre la particula. La fuerza cen- 
tripeta F N no efectua ningun trabajo, porque en todo momento es perpendicular 
a la velocidad. El trabajo de la fuerza de gravedad mg puede ser computado con 
ayuda de la ec. (8.16); esto es, W = mgy — mgy = mg(y — y). Midiendo la 
altura a partir de un nivel horizontal arbitrario, obtenemos y Q ~y = B'C = 
_ oC — OB'. Pero OB' = I cos 8 y OC 
= I cos 8. Luego y — y = / (cos 6 — cos 6 ) W ///////////^^^^^^ 

W = mg(y — y) = mgl (cos 8 — cos 8 ). 

La energia cinetica en la posici6n C es Ek 
— \tnv\ y en B es cero. Por tanto, usando 
la ec. (8.13), obtenemos 



o sea 



imv 2 = mgl (cos — cos 8 ) 
v = V 2gl (cos 8 — cos G ). 



Notamos que el resultado es independiente 
de la masa. Introduciendo valores num£- 
ricos, obtenemos 



v 



K 2(9,8 m s- 2 ) (1 m) (cos 10° — cos 30°) 
= 1,526 ms- 1 . 




ObsGrvese que en la posici6n simStri- 
ca D, para la cual el angulo es de — 10° 
con la vertical, obtenemos el mismo re- 
sultado ya que cos ( — 8) = cos 8. 



Piano de referenda 
arbitrario 

Fig. 8-13. Relaciones de energia en 
el movimiento de un pindulo. 



8.7 Energia potencial 



La situation ilustrada en la section previa no es sino un ejemplo de una grande 
e importante clase de fuerzas, Uamadas conservativas, por las razones que serin 
explicadas en las secciones finales de este capitulo. 

Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector position r o de las 
coordenadas x 9 y, z de la particula es tal que el trabajo W puede ser expresado 
como la diferencia entre los valores de una cantidad E p (x, y, z) evaluada en los 
puntos inicial y final. La cantidad E p (x, y, z) se llama energia potencial, y es 



214 Trabajo y energta (#-7 

una funci6n de las coordenadas de las particulas. Luego, si F es una fuerza con- 
servativa, 

W=\~ F-dr = E v a — En B . (8.17) 



= f F'dr=E PtA — E P9 



Observese que escribimos E PtA — E PfB y no E PtB — e p,a> esto es ' el trabajo efec- 
tuado es igual a E p en el punto inicial, menos E p en el final. En otras palabras, 

la energia potential es una funcion de las coordenadas tal que la 
diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual 
al trabajo efectuado sobre la particula para moverla de su position 
initial a la final. 

Estrictamente hablando, la energia potencial E p debe depender tanto de las 
coordenadas de la particula considerada, como de las coordenadas de todas 
las otras particulas del universo que interactuan con ella. Sin embargo, como 
mencionamos en el capitulo 7 cuando tratabamos de la dinamica de una par- 
ticula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y asi solamente las 
coordenadas de la particula considerada aparecen en E p . 

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresi6n de la 
energia cinetica (8.12), que la ec. (8.12) es valida en general no importando de 
que fuerza F se trate. Siempre se cumple que E k = %mv*, mientras que la forma 
de la funcion E p (x, y, z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y no todas las 
fuerzas pueden satisfacer la condici6n establecida por la ec, (8-17). Solo aquellas 
que la satisfagan se llaman conservativas. Por ejemplo, comparando las ecs. (8.17) 
y (8.16), notamos que la fuerza de gravedad es conservativa, y que la energia 
potencial debida a la gravedad es 

E p =mgy. (8.18) 

Andlogamente, de la ec. (8.15), deducimos que la energia potencial correspon- 
diente a una fuerza constante es 

E p = — F-r. (8.19) 

En la definici6n de la energia potencial siempre interviene una constante arbi- 
traria, pues, por ejemplo, si escribimos mgy + C en vez de la ec. (8.18), la ec. (8.16) 
permanece la misma, ya que la constante C, apareciendo en los dos terminos 
que se restan, se cancela. Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel 
de referenda o cero de la energia potencial, donde nos convenga mejor, Por 
ejemplo, para los cuerpos en caida, la superficie terrestre es el nivel de referenda 
m&s conveniente, y por ello la energia potencial debida a la gravedad es tomada 
como nula en la superficie terrestre. Para un satelite natural o artificial, se define 
la energia potencial de modo que sea cero a distancia infinita. 

El trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente 
de la trayectoria. 



8.7) 



Energla potential zm 



Podemos ver que es asi a partir de la defmicidn, ec. (8.17), ya que, cualquiera 
que sea la trayectoria que une a los puntos A y B, la diferencia E PjA — E P>B es 
la misma porque depende solamente de las coordenadas de A y B. En particular, 
si la trayectoria es cerrada (Fig. 8-14), de mode- que el punto final coincide con el 
inicial (esto es, A y B son el mismo punto), entonces E P<A = E p ,b y el trabajo 
es cero (W = 0). Lo que significa que en parte de la trayectoria el trabajo es 
positivo y en otra negativo pero igual en magnitud, dando un resultado neto 
nulo. Cuando la trayectoria es cerrada, la integral en la ec. (8.17) se escribe j>. 
El circulo en el signo integral indica que la trayectoria es cerrada. Por consi- 
guiente, para las fuerzas conservativas, 



W Q =j>F*dr =0, 



(8.20)' 



Reciprocamente, se puede probar que la condici6n expresada por la ec. (8.20) 
puede adoptarse como la defmici6n de una fuerza conservativa. En otras pala- 
bras, si una fuerza F satisface la ec. (8.20) para cualquier camino cerrado, arbi- 
trariamente escogido, entonces, puede probarse que la ec. (8.17) es correcta. 

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que 



F-dr = — dE 



p> 



(8,21) 



dr 



f: 



dE i 



porque entonces 

W = f F 

J A J A 

= — (E PfB — E PtA ) = E P ,A — E PtB , 

de acuerdo con la ec, (8.17). Notese que el signo negativo en la ec. (8,21) es nece- 
sario para obtener E PtA — E P>B en vez de E Pt B — E PtA . 




Fig. 8-14, El trabajo de una fuerza con- 
servativa a lo largo de una trayectoria ce- 
rrada es nulo. 







\! > 


^\ _ - 




^7a d ' 


O 
Figura 8-15 







* Para cualquier vector V que sea funci6n de posici6n, una integral de la forma j V-dr a lo 
largo de una trayectoria cerrada, se llama la circulacidn de V, Aparecera varias veces en este 
Hhrn. 



tfitf Trabajo y energia ,« ? 

Puesto que F-dr = F ds cos 6, donde es el Angulo entre la fuerza y el des- 
plazamiento, podemos escribir en lugar de la ec. (8,21) 

Fees 8=-^. (g22) 

Ahora, como se exphc6 en relaci6n con la Fig. 8-1, F cos esla componente 
de la fuerza a lo largo de la direcci6n del desplazamiento ds; por tanto, si cono- 
cemos E p {x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier direcci6n 
computando la cantidad - dEJds, que es la derivada de E p en aqueUa 
direcci6n, con s.gno negativo. Esto es lo que *e llama la derivada directional 
de £p. Cuando un vector es tal que su componente en una direcci6n es igual a 
la denvada direccional de una funcion en aquella direcci6n, el vector se llama 
el gradiente de la funci6n. Podemos asi decir que F es el negativo del gradiente 
de Ep, y escribir la ec. (8.22) en la forma general: 

F = — grad£ p , 

donde "grad" significa gradiente. Cuando estamos interesados en las componentes 
rectangulares de J? a lo largo de los ejes X, Y, Z, la expresi6n F cos 6 en la ec. (8.22) 
ser£ F x , F 9 y F z y el desplazamiento ds sera dx, dy y dz, respectivamente, de 
modo que 

p _ _ 8E p p 8E P 8E P 

6 

N6tese que al escribir la ec. (8.24) usamos el simbolo de la derivada partial por 
pnmera vez en este libro. Esta terminologfa es necesaria porque la energia po- 
tencial E p (x, y, z) es, en general, una funci6n de las tres variables, x, y, z Pero 
al desplazarse una particula una distancia dx a lo largo del eje X, por ejemplo 
las coordenadas y, z permanecen invariable*. Por ello, en vez de escribir dEJdx 
debemos usar la notaci6n 8E p /dx que los matematicos adoptan para esos casos! 
Si el movimiento es piano y se usan las coordenadas r, 6 (Fig. 8-15) el despla- 
zamiento a lo largo del radio vector r es dr y el desplazamiento perpendicular 
al radio vector es r de. Luego las componentes radial y transversal de la fuerza son 

F r = - dE > 



dr 

F e = -1^L 

r 06 



(8.25) 



N6tese que usamos nuevamente la notaci6n de derivaci6n partial. 

Un caso importante es aquel en que la energia potential E p depende de la 
distancia r, pero no del angulo 6; esto es, en vez de E p (r, e) tenemos E p (r). En- 



gj\ iLnergia potenciai zri 

tonces dEpjdd = y, de acuerdo a la ec, (8v25), F Q = 0. La fuerza entonces no 
tiene componente transversal, sino s61o radial, de manera que la fuerza es cen- 
tral: su linea de action pasa siempre por el centre Reciprocamente, si la fuerza 
es central, existe solo componente radial, y F$ = 0, dando 3E p jdb — 0, lo que 
implica que E p es independiente de 0. Obtenemos el resultado de que una fuerza 
central depende solajnente de la distancia de la particula al centro, Esta impor- 
tante conclusion puede ser enunciada asi: 

la energia potenciai asociada con una fuerza central depende sola- 
mente de la distancia de la particula al centro de fuerza, y recipro- 
camente. 

Cuando las fuerzas no son centrales, existe un torque alrededor del punto 
dado por t = IV, ya que la fuerza radial no contribuye al torque. Usando la 
segunda relaci6n en la ec. (8,25), tenemos que el torque alrededor de es 



8E 



T = 



P 



ae 



(8.26) 



Esta es una expresion general que da el torque en una direcci6n perpendicular 
al piano en que se mide 6. Por consiguiente, ya que un torque produce un cambio 
correspondiente en el momentum angular [ver la ec. (7.38)], concluimos que 

siempre que la energia potenciai depende del angulo % aciua un torque 
sobre el sistema, causando un cambio en el momentum angular en 
direccion perpendicular al piano del dngulo. 

Nota sobre el concepto de gradients. En fisica encontraremos a menudo expre- 
siones similares a la ec. (8.24) ; por consiguiente es importante lograr un claro en- 
tendimiento del concepto de gradients Considererrios una functfn V(x 9 y f z) que 
depende de las tres coordenadas de un punto. Dibujamos las superficies 

V(x 9 y,z) = d y V(x f y 9 z) = C B 

(Fig. 8-16). Al movernos del punto A en C x a cualquier punto B en C 2 , la funci6n 
V experimenta siempre un cambio C 2 — C x . Si la diferencia entre C t y C 2 es in- 
finitesimal, podemos escribir dV = C a — C,. El cambio en V por unidad de lon- 
gitud, o "derivada directional" de V es 

dV/ds = (C a — CJfds. 

Consideremos el caso en que A y B esten en una normal N comun a las dos su- 
perficies. La derivada directional a lo largo de la normal AN es dV/dn. Pero en 
la Fig. 8-16 vemos que dn = ds cos 0. Luego 

dV dV dn dV a 

cos 0, 



ds dn ds dn 



lo que relaciona la derivada directional a lo largo de la normal con la derivada 
direccional a lo largo de cualquier otra direcci6n. Puesto que cos 9 toma su valor 
maximo para 6 = 0, concluimos que dV/dn da la maxima derivada direccional 



218 Trabajo y energia 



(8.7 



de V. Introduciendo el vector unitario un, perpendicular a la superficie en A, 
definimos el gradiente de V por 



grad V = un 



dV 
dn 



y por tanto el gradiente es un vector perpendicular a la superficie V(x, y, z) = const, 
y es igual a la maxima derivada direccional de V(x y, z). Podemos entonces escribir 

= grad V | cos 6, 

ds 

lo que indica que la raz6n de cambio en 
la direcci6n AD, o sea la derivada direc- 
cional de V(x, y s z), es igual a la com- 
ponente del vector grad V en aquella di- 
recci6n. Esta es la relacidn usada al pasar 
de la ec. (8.22) a las ecs. (8.23) y (8.24). 
Para abreviar la notaci6n, se ha introdu- 
cido un operador diferencial, identificado 
por el simbolo V 16ase "nabla". Se expresa 
asi : 

V = Ux -— 1" U V ~7T~ + U * 




8x 



sy 



8z 



Fig, 8-16. El gradiente de V(x, y, z) 
es una funcidn vectorial perpendicular 
en cada punto a la superficie V = const. 



En terminos de este operador, el gra- 
diente puede escribirse 

grad V = VV. 

Para mayor informacitfn sobre el gradien- 
te de una funci6n, el estudiante puede 
ver Calculus and Analytic Geometry (ter- 
cera edici6n), por G. B. Thomas. Reading, 
Mass, : Addison- Wesley, 1962. 



EJEMPLO 8.8. Computar la energia potencial asociada con las siguientes fuerzas 
centrales : (a) F = Kr, (b) F = K/r\ En ambos casos, si K es negativa la fuerza 
es atractiva y si K es positiva la fuerza es repulsiva. 

Solucidn: Usando la ec. (8.25), para el caso (a), tenemos F = — 8E p /8r = kr o 
dEp = — kr dr. Integrando, obtenemos 



E* 



= j — krdr = — ikr* + C. 



La constante de integraci6n C se obtiene asignando un valor de E P a cierta po- 
sici6n. En este caso se acostumbra hacer E P = en r = 0, de modo que C = 
y E P = — ikr\ Gonsiderando que r a = x 2 + y 2 + z\ podemos tambien escribir 
E P = — $k(x 2 + y 2 + z a ), Usando la ec. (8.23), hallamos que las componentes 
rectangulares de la fuerza son 



F x = - 



^-* *- ^-* 



F z = 



dE P 

dz 



= kz, 



resultado que era de esperar, ya que la fuerza central F = kr en forma vectorial 
es F = kr = k (u*x + u y y + u x z). 

Para el caso (b) tenemos F = — dE P /8r = k/r % o dE p = — k(dr/r z ). Integrando 
tenemos 



*-/-*£-■£+* 



8.8) 



Conservation de la energta de una parttcula 219 



Para fuerzas que contienen r en el denominador, es costumbre determinar C 
haciendo E p = en r — oo, de modo que C = y E P = k/r. £Cu41es son las com- 
ponentes rectangulares de la fuerza en este caso? 



8.8 Conservation de la energla de una parttcula 

Cuando la fuerza que actiia en una particula es conservativa, se puede combinar 
la ec. (8.17) con la ecuaci6n general (8.13), lo que nos da£jc,s — E&A = E P9 a — E, p b 
o sea 

(E k + E P ) B = (E k + E P ) A . (8.27) 

La cantidad E k + E p es Uamada la energla total de la particula y designada 
por E\ esto es, la energia total de una particula es igual a la suma de su energia 
cinetica y su energia potential, o sea 



E = E k + E p = ±mv* + E p (x, y, z). 
La ec, (8.27) indica que 



(8.28) 



cuando las fuerzas son conservativas la energta total E de la particula 
permanece constante 9 

ya que los estados designados por A y B son arbitrarios. Asi, es posible escribir 
para cualquier position de la particula, 



E = E k + E p = const 



(8.29) 



En otras palabras, la energia de la particula se conserva, Esta es la razon por 
la que decimos que cuando hay una energia potential, las fuerzas son conserva- 
tivas. Por ejemplo, en el caso de un cuerpo que cae hemos visto (ec. 8.18) que 
E p = mgy, y la conservation de la energia nos da 



E = \mifi + mgy — const. 



(8,30) 




FIgura 8-17 



220 Trabajo y energia (8.9 

Si inicialmente la particula estd a la altura y Q y su velocidad es cero, la energia 
total es mgy ot y tenemos \mv* + mgy = mgy , 6^= 2g(iy — y) = 2gh, donde 
h = J/o — y es la altura que ha caido. Este resultado corresponde a la bien co- 
nocida f6rmula de la velocidad adquirida en caida libre desde una altura h. 
Debemos notar, sin embargo, que la ec. (8.30) no est* restringida al movimiento 
vertical; es igualmente vilida para el movimiento de un proyectil moviendose 
en £ngulo con la vertical. 

Debe notarse que, para una energia total dada, la magnitud de la velocidad 
(cualquiera que sea la direcci6n del movimiento) en un punto dado es fijada por 
la ec. (8.29). Esto resulta particularmente claro en el caso del movimiento bajo la 
acci6n de la gravedad, como se muestra en la ec, (8.30). 

EJEMPLO 8*9. Determinar la altura minima desde la cual una bola debiera em- 
pezar a caer de manera que pueda completar el movimiento circular mostrado en 
Fig. 8-17. Suponer que la bola resbala sin rodar y sin ninguna friccitin. 

Solucidn: Supongamos que la bola es soltada del punto A a una altura h sobre la 
base de la circunferencia en la Fig. 8-17. La bola gana velocidad al moverse hacia 
abajo y empieza a perderla cuando sube por la circunferencia. En cualquier punto 
del riel, las fuerzas actuantes sobre la particula son su peso mg y la fuerza F de- 
bida al riel. (La fuerza F apunta hacia el centro de la circunferencia, ya que el riel 
"empuja" pero no "tira"). En el punto m£s alto de la circunferencia, tanto mg 
como F apuntan hacia el centro 0, y de acuerdo a la ec, (7.28) tenemos 

_ mv* 

F + mg = — — , 

donde R es el radio de la circunferencia. Ya que F no puede ser negativa, la mi- 
nima velocidad de la bola en B 9 si es que describe la circunferencia, debe corres- 
ponder a F = o sea mg = mv*/R 9 lo que da 

»» = gR. 



Si la velocidad es menor que V gR* el peso hacia abajo es mayor que la fuerza 
centripeta requerida, y la bola se separara del riel antes de llegar al punto B, y 
describira una parabola hasta caer de vuelta en aqu61. 

Para obtener la altura correspondiente a h, notamos que en el punto A la ener- 
gia total es E A = (E* + E P ) A = mgh, ya que v = 0. En B, donde y = 2R y d* = gR 

5 

Eb = (E* + E p )b = im(9R) + mg(2R) = — mgR. 

5 
Asi, igualando los valores de Ea y Eb 9 obtenemos h = — R, que es la minima alturs 

del punto de partida de la bola si ella ha de completar la circunferencia. Este re 
sultado es correcto siempre y cuando despreciemos las fuerzas de friccidn. Si Is 
bola rueda, debe usarse los m6todos que se desarrollar&n en el capitulo 10. 

8.9 Movimiento rectillneo bajo fuerzas conservatives 

En el caso general del movimiento rectilineo la energia potencial depende sola- 
mente de una coordenada, digamos x, y la ec. (8.28) para la conservaci6n de h 
energia es 

E = \mv* + E p (x). (8-31 



gg\ Movimiento rectillneo bajo fuerzas conservativas 221 

donde E, la energia total, es una constants Esta ecuaci6n nos mostrard la utili- 
dad practica del concepto de energia. Para el movimiento rectillneo v — dxjdt, 
y la ec. (8.31) da 

E=±m(-^J + E p (x). (8.32) 

Resolviendo para dxjdt, obtenemos 

^- = {-[E-E p (x)]\'\ (8.33) 

dt [m J 

En las condiciones actuales podemos escribir esta ecuaci6n en forma tal que las 
variables x y / esten separadas; esto es, que la variable x aparezca solamente 
en un lado de la ecuaci6n y la variable t aparezca en el otro lado. Para nuestra 
ecuacion, logramos esto escribiendo 

dx - = dfc 



{(2lm)[E - E p (x)}}^ 
Integrando (y haciendo t = por conveniencia), tenemos 

( X ^ _ = f dt = t (8.34) 

J xo {(2lm)[E-E p (x)]yt* J 

Esta ecuacion nos permite obtener una relation entre x y /, y resuelve asi el pro- 
blema del movimiento rectilineo de la particula. Por consiguiente, siempre que 
podamos encontrar la funcion de energia potential [y esto es relativamente fdcil 
si conocemos la fuerza como funcion de x 9 ya que simplemente utilizamos la 
ec. (8.23) para obtener E p {x% la conservaci6n de la energia expresada por 
la ec, (8,34) nos da directamente la solution del problema del movimiento rectilineo. 

EJEMPLO 8.10. Usar la ec. (8.34) para resolver el problema del movimiento rec- 
tilineo bajo una fuerza constante, 

Solucidn; En este caso F es constante. Si tomamos el eje X a lo largo de la direc- 
ci6n de la fuerza, la primera de las ecs. (8.23) nos da F = — dE p /dx o dE v = — F dx. 
Integrando, obtenemos E p = — Fx + C, y estableciendo E P = para x = 0, 
obtenemos C = 0. En esta forma 

E p = — Fx 

es la expresi6n de la energia potential asociada con una fuerza constante. Esto 
coincide con la ec. (8.29) si hacemos F = u x F ; eso es, la fuerza F esta en la direc- 
ci6n X Usando la ec. (8.34), con x = por simplicidad, tenemos ahora 



— r 



dx . 



(2/m) 1 ' 2 \ (E + Fx) 1 / 2 
o sea 

2 



(E + FxY ( * — ™r E 1 ' 1 = HH t 



ZZZ Trabajo y energia (8.16 

Despejando x, obtenemos 



2 \mj 



I IE yi* 
\ m 



+ (~J t 



Pero F/m = a, y ya que E = £mt> 2 + Fx es la energia total, tenetnos que para 
t = 0, cuando x = 0, la energia £ es totalmente cin^tica e igual a %mv\. Asi 2E/m = 
= »<>, y obtenemos finalmente para x, x = £ort 2 + u f, que es la misma expresitfn ob- 
tenida anteriormente en la ec. (5.11), con x = y t = 0. Este problema es sufi- 
cientemente simple para ser resuelto facilmente con los metodos del capltulo 5. 
Lo hemos presentado aqui principalmente como una ilustraci6n de las t6cnicas 
para resolver la ecuacidn del movimiento usando el principio de la energia. 



8.10 Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas 

En el caso de una fuerza central, cuando E p depende solamente de la distancia r, 
la ec. (8.28) es 

E = \mv* + E p (r) t (8.35) 

a partir de la cual es posible determinar la velocidad a cualquier distancia. En 
muchos casos la funcion E p (f) disminuye en valor absoluto cuando r aumenta. 
Entonces a distancias muy grandes desde el centro, E p (r) es despreciable y la 
magnitud de la velocidad es con&tante e independiente de la direction del mo- 
vimiento. Este es el principio que aplicamos en el ejemplo 7.16 cuando, en 
la Fig, 7-28, indicamos que la velocidad final de la particula que se aleja, en B, 
es la misma que la velocidad inicial en A. 

Notese que, cuando tratamos del movimiento bajo la influencia de fuerzas 
centrales, hay dos teoremas de conservacion. Uno es el de conservacion del mo- 
mentum angular, discutido en la section 7,13, y otro es el de conservacion de 
la energia, expresado por la ec. (8.35). Cuando usamos coordenadas polares r y 0, 
recordando que las componentes de la velocidtod son v r = drjdt y v Q = rdQjdt 9 
podemos escribir, de acuerdo con la ec. (5.63), 

2 



*-*+*-(!) +>&) 



Pero por el principio de conservacion del momentum angular, usando la ec. (7.35), 
L = mr 2 d0/df, tenemos que 



r 2 



\~W) ~~ (mr) 2 ' 



donde L es el momentum angular constante. Por consiguiente 

L 2 



'-(!)" 



(mr)'* 



g 20) Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas 223 



Introduciendo este resultado en la ec. (8-35), tenemos 

2 ]j 



*-*"(£)+ IS? + *•«■ 



(8.36) 



Esta expresion se parece mucho a la ec. (8.32) para el movimiento rectilineo, 
con velocidad drjdt, si es que suponemos que, en lo que al movimiento radial se 
refiere, la particula se mueve con una energia potencial "efectiva" 

E P M') = ^f + &#). < 8 - 37 ) 

El primer termino se llama el potencial de energia centrifuga, E PfC (r) = L 2 /2/nr 2 , 
porque la "fuerza" asociada con el, usando la ec. (8.25), es F c =—dE P9 cldr=L 1i >jmfi 
y, siendo positiva, apunta fuera del origen; esto es, es centrifuga. Desde luego 
ninguna fuerza centrifuga actua sobre la particula, excepto la que pueda deberse 
al potencial real E p {r), en el ,caso de que este sea repulsivo y la fuerza centri- 
fuga F c es nada mas que un util concepto matematico. Fisicamente este concepto 
describe la tendencia de la particula, de acuerdo con la ley de inercia, de moverse 
en una linea recta evitando hacerlo en curva. Introduciendo la ec. (8.37) en 
la ec. (8.36), tenemos 



/ dr \ 2 



y resolviendo para drjdt, obtenemos 

± = { A [E - Ep^)]} 1 ' 2 . (8-38) 

dt [ m J 

que es formalmente identica a la ec. (8.33) para el movimiento rectilineo. Sepa- 
rando las variables ryie integrando (con 1 = por conveniencia), obtenemos 

I* - t— = f dt= U (8.39) 

J ro {(2lm)[E-E P Mr)]} 112 Jo 

lo cual nos da la distancia r en funci6n del tiempo [esto es, /(/)], y por consi- 
guiente tenemos la soluci6n de nuestro problema dinamico correspondiente al 
movimiento radial. 

Al despejar de la expresi6n para el momento angular, L = mr 2 dfydU la velo- 
cidad d0/df, obtenemos 

de L (8.40) 



dt mr* 



Introduciendo entonces la r(f) obtenida d£ la ec. (8.39) en la ec. (8.40), expre- 
samos Ljmr* como funci6n del tiempo, y al integrar esta expresion obtenemos 

f • de = f -±- dt 6 e = e + f ' -A- dt. (8.41) 

J eo J o mi* Jo mT% 



>. 



224 Trabajo y energia (8,11 

Esto da 6 en funcion del tiempo; esto es 6(/). En esta forma podemos resolver 
el problema completamente, dando los movimientos radiales y angulares como 
funciones del tiempo, 

Algunas veces, sin embargo, nos interesa mas la ecuacion de la trayectoria. 
Combinando las ecs. (8.38) y (8.40) por division, podemos escribir 



dr _ {(2im)[E-E n Mr)]} lt2 
d6 Llmr 2 



(8.42) 



(8.43) 



o, separando las variables r y 8 e integrando, 

r *- — = I* rfe - e-e, 

J ,o (m/L)r*{(2//n)[£ - E pM t(r)\} 112 J *o 

Esta expresion que relaciona r con 6 da la ecuacion de la trayectoria en coor- 
denadas polares. Reciprocamente, si conocemos la ecuacion de la trayectoria, de 
manera que podamos computar drjdQ, la ec, (8.42) nos permite calcular la energia 
potencial y entonces calcular la fuerza. 

Esta section ha ilustrado la forma en que los principios de conservacion del 
momentum angular y de la energia nos permiten resolver el movimiento de una 
particula bajo la influencia de una fuerza central. A esta altura el estudiante 
habra reconocido el hecho de que esos principios de conservacion no son curio- 
sidades matem£ticas, sino herramientas reales y efectivas para resolver problemas 
dinAmicos. Debemos notar que cuandojjljn^^ cen- 

tj^LlaJ^BLSe^^ci^^^* 1 ^ energia tip es suficiejite para resolver el problema. Es 
tamhicEj^cegai^ En el caso del 

movimiento rectilineo, la conservacion de la energia es suficiente para resolver el 
problema. EljQ.se debe a que la energia .siendo una cantidad escalar, no puede 
ser usada para determinar la direccion. del movimiento y a que en el movimiento 
rectlTineo la direccion esta dada desde el comienzo. 

Finalmente, declaremos en particular <jue los principios de conservacion del 
momentum angular y de la energia, tal ^omo son usados en este c.apitulo, son 
propiedades asociadas con una particula individual bajo las circunstancias espe- 
ciales de su movimiento, y que no hay relaci6n directa con la posible conserva- 
cion de la energia total del universo. Este asunto ser£ discutido en mayor detalle 
en el siguiente capitulo. 



8.11 Discusidn de curvas de energia potencial 

Los gr£ficos que representan E p (x) contra x en problemas rectilineos de una sola 
dimension y E p (r) contra r en los problemas de fuerza central son muy utiles 
para ayudar a comprender el movimiento de una particula, aiin sin resolver la 
ecuaci6n del movimiento. En la Fig. 8-18 hemos ilustrado una posible curva dc 
energia potencial para un movimiento unidimensionaL Cuando usamos la pri- 
mera de las ecs. (8.23), la fuerza sobre la particula para cualquier valor de a 



8.11) 



Discusion de curuas de energta potential 225 



E* 







\E p (x) "i 














\h 












(4) 
If 




Dj 


M 2 


\ F 






' (3) 


\c 










r 


(2) 


MM* j 

E i >s^ S 


i 






M 3 




(1) 



estd dada por F = — dE p jdx* Pero dE p fdx es la pendiente de la curva E p (x). 
La pendiente es positiva siempre que la curva crece, y negativa cuando la curva 
decrece. Por consiguiente, la fuerza F (esto es el negativo de la pendiente), es 
negativa, o dirigida a la izquierda, cuando la energia potencial esti aumentando 
y positiva, o dirigida a la derecha, cuan- 
do la energia potencial est k disminuyen- 
do. Esta situacion ha sido indicada en 
la Fig* 8-18 por flechas horizontales en 
diferentes regiones marcadas debajo de 
la figura. 

En los puntos donde la energia 
potencial es minima o maxima, tales 
como M lt M 2 y Af 3 , dE p fdx = y por 
tanto F = 0; esto es, tales posiciones 
son de equilibrio. Aquellas posiciones 
donde E p (x) es minima el equilibrio 
es estable; cuando la particula es <Jes- 
plazada ligeramente de su posici6n de 
equilibrio, est& sometida a una fuerza 
que trata de devolverla a dicha posi- 
ci6n. Donde E p (x) es maxima, el equi- 
librio es inestable, ya que si la par- 
ticula sufre un ligero desplazamiento 
de la posici6n de equilibrio, experi- 
menta una fuerza que trata de moverla 
aiin mas lejos de dicha posici6n. 

Consideremos ahora una particula con energia total £, indicada por la linea 
horizontal (1) de la Fig. 8-18. En cualquier posici6n x, la energia potencial E p 
est& dada por la ordenada de la curva y la energia cinetica, E k = E — E p , est& 
dada por la distancia de la curva E p (x) a la linea E. La linea E corta la curva 
E p (x) en los puntos A y B. A la izquierda de A y a la derecha de B la energia E 
es menor que la energia potencial E p (x) 9 y por tanto en dichas regiones la energia 
cinetica E k = E — E p seria negativa, Pero esto es imposible ya que E* = \miP 
es necesariamente positiva. Por consiguiente, el movimiento de la particula est6 
limitado al intervalo AB y la particula oscila entre x = A' y x = B\ En dichos 
puntos la velocidad se anula y la particula cambia su movimiento. Esos puntos 
se llaman de retorno* 

Si la particula tiene una energia mayor, tal como la que corresponde a la 
linea (2), hay dos regiones posibles de movimiento. Una es oscilante entre C y D 
y la otra oscilante entre F y G. Sin embargo, si la pArticula est& en una regi6n 
no puede saltar nunca a la otra, porque ello requeriria pasar por la regi6n DF 
donde la energia cinetica seria negativa y por lo tanto dicha regi6n es prohibida. 
Decimos que las dos regiones donde el movimiento es posible est&n separadas 



i. 



A' , B f 
Derecha*Hzquierda- 



-Der 



►|*Izquierda-*| 



Fig. 8-18, Relacidn entre el movimiento 
en linea recta y la energia potencial. 



* No es necesario usar la notacidn de derivada partial en este caso ya que E v depende solamente 
de una variable, x. 



226 Trabajo y energia 



(X.U 



por una barrera de potential. En el nivel de energia (3), el movimiento es osci- 
latorio entre H e L Finalmente en el nivel de energia (4) el movimiento no es 
m&s oscilatorio y la particula puede moverse entre K y el infinito. Por ejemplo, 
si la particula se est6 moviendo inicialmente hacia la izquierda, al llegar a K 
"rebota", alej£ndose por la derecha sin regresar jam6s. Cuando consideramos el 
movimiento de las particulas at6micas, donde se aplica la mecanica cuantica, 
la description que hemos dado requiere algunas modificaciones. 




Fig, 8-19. Relaciones ener- 
geticas para el movimiento 
bajo fuerzas centrales. 



# 



Considerando ahora el importante caso de las fuerzas centrales, supongamos 
una energia potencial E p (r) correspondiente a una fuerza que es atractiva a todas 
las distancias: — 3E p jdr es negativa y E p (r) es una funcion creciente, tal como 
se indica con la curva (a) de la Fig. 8-19. El potencial de energia centrifugo 
Ep tC = L 2 /2mr 2 esta indicado por la linea punteada (ft). El termino centrifugo es 
muy pequeno a grandes distancias pero aumenta rdpidamente a pequenas dis- 
tancias. En muchos casos de interes fisico el potencial de energia ceritrifuga es 
el termino dominante a pequenas distancias, dando como resultado una energia 
potencial E Ptett = E PjC + E p (r) con la forma indicada por la curva (c). 

Si la energia total E de la particula corresponde a la linea horizontal (1), el 
radio de la orbita pscilara entre los valores maximo y minimo r ± y r 2 , y la orbita 
tendra la forma ilustrada en la Fig. 8-20. Pero si la energia corresponde a un 
valor tal como el de la linea (2) de la Fig. 8-19, la 6rbita no est£ limitada, y la 
particula viene del infinito hasta el punto C de aproximacion minima a la dis- 
tancia r mint y se aleja entonces sin volver a regresar, tal como se inuestra en 
la Fig. 8-21. Si la energia corresponde al minimo M de E p , e ff, como se indica con la 



3.11) 



Discusion de curvas de energia potential 227 





Fig. 8-20. Forma general de la trayec- Fig. 8-21. Distancia de mayor apro- 

toria para el movimiento bajo fuerzas ximaci6n. 

centrales. 



linea (3), entonces existe una sola intersection y la distancia al centro permanece 
constante, dando como resultado que la particula describa una trayectoria circu- 
lar de radio r , Notese que la distancia de aproximacion minima aumenta con 
los valores crecientes del momentum angular, debido al efecto de la energia po- 
tential centrifuga £ PjC (r). 

Si, por algun mecanismo, una particula que tiene energia igual a la del nivel (1) 
de la Fig. 8-19 puede absorber energia y por tanto "saltar" al nivel de energia (2), 
se alejara del centro de fuerza; esto es, se "disociara" del centro de fuerza. La 
minima energia que una particula requiere para disociarse del nivel de energia (1) 
ha sido indicada en la Fig, 8-19 por E d . Por otra parte, si la particula inicialmente 
en el nivel de energia (2) por algun proceso pierde energia y pasa cerca del centro 
de fuerza, puede saltar al nivel de energia (1), y permanecera entonces en una 
6rbita limitada, Podernos decir que ha sido "capturada" por el centro de fuerza. 
Esta situation se presenta, por ejemplo, en la disociaci6n y formacidn molecular. 

En el caso de una molecula diat6mica tal como H 2 o CO, la energia poten- 
tial E p para la interacci6n entre los dos atomos tiene la forma (c) en la Fig. 8-19, 
Tal energia potential, ilustrada por la curva (a) en la Fig. 8-22, corresponde a 
una atraccion a grandes distancias y a una repulsi6n a cortas distancias, impi- 
diendp asi que los dos atomos se unan en una sola unidad aun en la ausencia del 
efecto centrifugo. El efecto del potential centrifugo E PtC dado por la curva pun- 
teada (b) es^levar la curva al perfil (c). Podernos, por consiguiente, visualizar los 
atomos de la molecula con una energia E en un estado de oscilacion relativa 
entre P x y P 2 . Si la molecula absorbe energia en cantidad apropiada, puede diso- 
ciarse y separarse en dos atomos que se alejaran uno del otro. 



ejemplo 8.11* La energia potencial para la interaccidn entre dos moleculas 
de gas puede aproximarse por la expresi6n 



^-^HrH-ll' 



zzzs rraoajo y energia 



\O.J.6 




Repulsi6n 




Atracci6n 



Position de equilibrio 

h- - 



P,0 



Fig. 8-22. Potencial intermolecular. 



Fig* 8-23. Potencial intermolecular de 
Lennard-Jones. 



donde E Py0 y r son constantes positivas y r es la separaci6n entre las moleculas. 
Este modelo para las energias potenciales moleculares fue introducido por el cien- 
tifico ingles J. Lennard-Jones. Hallar la posici6n de equilibrio y el valor de la 
energia potencial en dicho punto. El grafico de E p (r) esta mostrado en la Fig. 8.23. 

Soluci6n: En la posici6n de equilibrio, F = — 8E p /8r = 0. Por tanto 



dE 2 
8r 



= — E 



PjO 



-12-^ + 12^ 



= 



o sea r — r . Poniendo r = r en E P (r), obtenemos E P = — E PfQ para la energia 
potencial en el punto de equilibrio. Para distancias menores que r 0i la fuerza in- 
termolecular es repulsiva [E p (r) es una funci6n decreciente] y para distancias ma- 
yores que r es atractiva [E p (r) es una funci6n creciente]. 

iCual es el termino dominante en E p (r) a pequeiias distancias, y cual a grandes 
distancias? Sugerimos que el estudiante represente la fuerza como funci6n de la 
separaci6n r y determine la separaci6n para la cual la fuerza atractiva es maxima. 
Sugerimos tambien que busque en la literatura valores apropiados de E p , y r * 



8.12 Fuerzas no conservativas 



Es f£cil encontrar fuerzas en la naturaleza que no son conservativas. Un ejemplo 
de ellas es la fricci6n. La friccion siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo 
depende de la trayectoria seguida y, aunque la trayectoria pueda ser cerrada, 
el trabajo no es nulo, de modo que la ec. (8.20) no se aplica, Similarmente, la 
friccion en los fluidos se opone a la velocidad, y su valor depende de esta mas 



SJ2) Fuerzas no conservativas 229 

no de la position. Una particula puede estar sujeta a fuerzas conservativas y no 
conservativas al mismo tiempo. 

Por ejemplo, una particula que cae en un fluido est£ sujeta a la fuerza gravi- 
tational conservativa y a la fuerza de fricci6n no conservativa. Llamando E p a 
la energia potencial correspondiente a las fuerzas conservativas y W al trabajo 
hecho por las fuerzas no conservativas (trabajo que, en general, es negativo porque 
las fuerzas de friction se oponen al movimiento), el trabajo total hecho en la 
particula al moverse de A a B es W — E p> a — E PyB + W. Usando la ec. (8.13), 
podemos escribir 

Ek t B — Ek t A = Ep t A — E Pt B + W 
o 

(E k + E P ) B - (E k + E P ) A = W. (8.44) 

En este caso la cantidad E k + E p no permanece constante sino decrece (aumenta) 
si W es negativo (positivo). Pero por otra parte, no podemos llamar a E k + E p 
la energia total de la particula, porque este concepto no es aplicable en este caso, 
ya que no incluye todas las fuerzas presentes. El concepto de energia total de 
una particula tiene significado solo si todas las fuerzas son conservativas. Sin 
embargo la ec. (8.44) es util cuando queremos efectuar una comparaci6n entre 
el caso en que actuan solamente las fuerzas conservativas (de manera que E k + E p 
sea la energia total) y el caso en que hay fuerzas no conservativas adicionales. 
Entonces decimos que la ec. (8.44) da la ganancia o la perdida de energia debida 
a las fuerzas no conservativas. 

El trabajo no conservative W representa asi una transferencia de energia que, 
al corresponder a un movimiento molecular, es en general irreversible. La raz6n 
para no poder ser recobrado es la dificultad, aun dentro de un punto de vista 
estadistico, de volver todos los movimientos moleculares al estado initial. En 
algunos casos, sin embargo, los movimientos moleculares pueden estadisticamente 
ser devueltos a las condiciones originales. Esto es, aun si el estado final no es 
microscopicamente identico al initial, son estadisticamente equivalentes. Este 
es el caso, por ejemplo, de un gas que se expande muy lentamente mientras hace 
trabajo. Si despues de la expansion el gas es comprimido lentamente a su condi- 
tion fisica original, el estado final es estadisticamente equivalente al initial. 
El trabajo efectuado durante la compresion es el negativo del trabajo de ex- 
pansion y el trabajo total es por tanto cero. 

La existencia de fuerzas no conservativas tal como la friction no debe ser con- 
siderada como implicando necesariamente que puedan existir interacciones no 
conservativas entre particulas fundamentals. Debemos recordar que las fuerzas 
de friction no corresponden a una interaction entre dos particulas sino que son 
conceptos realmente estadisticos (recordar la discusion de la secci6n 7.9). La 
friction, por ejemplo, es el resultado de muchas interacciones individuales entre 
las moleculas de los dos cuerpos en contacto. Cada una de estas interacciones 
puede ser expresada por una fuerza conservativa. Sin embargo, el efecto macros- 
copico no es conservative por el siguiente motivo: aunque el cuerpo, al com- 
pletar una 6rbita cerrada, estd macroscopicamente en su position original, las 



230 Trabajo y energta i 8 - 12 

moleculas individuales no han retornado a su condici6n original. Por consiguiente, 
el estado final no es microsc6picamente identico al inicial, ni tampoco equivalente 
en un sentido estadistico. 

EJEMPLO 8.12. Un cuerpo cae a travel de un fluido viscoso partiendo del reposo 
y de una altura y . Calcular la rapidez con que se disipa su energfa cinetica, y su 
energia potencial gravitatoria. 

Soluci6n: Cuando el cuerpo se halla a cierta altura cayendo con una velocidad v, 
la suma de sus energias cinetica y potencial gravitatoria es imp* + mgy. La ra- 
pidez de disipaci6n de energia (o perdida de energia por unidad de tiempo) debida 
a la accidn de las fuerzas viscosas no conservatives es por tanto 

4r (£* + E v ) = 4" (im»» + mgy). 
dt dt 

Sugerimos primero al estudiante, usando las ecuaciones del ejemplo 7.7, expresar 
v* e y como funciones del tiempo. Entonces, por calculo de la denvada ante- 
rior, podra resolver el problema. 

Proponemos, sin embargo, demostrar c6mo puede ser resuelto el problema por 
un procedimiento diferente. De acuerdo a la ec. (8.44), si los puntos A y £ son muy 
cercanos entre si, podemos escribir la ecuacion d(E k + E„) = dW = Fdx, donde 
F' es la fuerza no conservativa. En nuestro ejemplo F' es debida a la friccion del 
fluido y tiene la forma Ft = —kt\v dada en la ecuaci6n (7.18). Asi 

* {Ek + E P ) = F' ^- = (- Kw)v = — Knv*. 
at «' 

Para v tomamos el resultado obtenido en el ejemplo 7.8, 

donde F = mg es el peso de la particula (corregido segiin el efecto de flotaci6n 
debido al fluido). Por tanto 



m*g* 



JL {Ek + Ep) = -jnJL-[i- r*«*r. 
dt ^T) 

El signo negativo para la rapidez de disipacidn energetica indica que el cuerpo 
esta perdiendo energta cinetica y potencial gravitatoria. Sin embargo, esta energls 
no esta "perdida", sino transferida a las moleculas del fluido en una forma que « 
practicamente imposible de recobrar. Despues de un cierto tiempo la exponencial 
es esencialmente cero. Por tanto podemos escribir 

JL (Ek + Ev) = _ « V 



demostrando asl que la energia es perdida con rapidez constante. Esta condicidi 

es llamada estacionaria. v . m «. a „ „■ 

Es interesante observar este resultado desde un angulo diferente. Vimos en e 
eiemplo 7.8 que despues de un tiempo largo la velocidad se torna constante e igua 
a F/Kti, donde F = mg. En esa forma la energia cinetica Et permanece cons 
tante y solamente la energia potencial E v = mgy varia. Por consiguiente podemos 
escribir 



8.1S) Teorema del virial para una sola partlcula 231 

donde el subindice ss significa que este es un problema estacionario. Pero dy/dt 
es la velocidad limite dada en la ec. (7.21), y podemos escribir dy/dt = — FfKv\ = 

mg/Kri. La raz6n para el signo negativo es que y es medida hacia arriba y 

que la velocidad limite esta dirigida hacia abajo. Sustituyendo este valor en la ex- 
presi6n previa, obtenemos 

que coincide con el resultado obtenido antes. Notamos, entonces, que despu6s de 
cierto tiempo la energia potencial gravitatoria perdida por el cuerpo es disipada 
en agitaci6n molecular del fluido. Esta es una manera de decir que la fuerza de gra- 
vitaci6n es balanceada por la fuerza opuesta debida a la viscosidad del ruido. 



8.13 Teorema del virial para una sola partlcula 

Este teorema (aunque no es tan importante como el de conservacion del momen- 
tum angular bajo una fuerza central o el de conservacion de energia bajo una 
fuerza conservativa) es muy litil para obtener ciertos resultados practicos. 

Considerese una partlcula de masa m en movimiento bajo la action de una 
fuerza F. Definamos la cantidad escalar A =mv*r f donde r es el vector posici6n 
de la particula y v su velocidad, Tomando la derivada temporal de A, tenemos 

dA dv , dr a 

m -r + mv* = ma*r + mir t 



dt dt dt 

ya que a = dvjdt y v = drjdt. El ultimo termino, segun la ec. (8.12), es el doble 
de la energia cinetica de la particula y en el primer termino podemos escribir 
ma = F. Luego 

dA ^F-r + 2E*. 



dt 
Si tomamos el promedio temporal de esta ecuacion, tenemos 



m 



(F-r) + 2(E k ). (8.45) 



El promedio temporal, en un intervalo t, de cualquier cantidad f(0 que depende 
del tiempo se define por 

En nuestro caso, entonces, 

\ * / T J dt T J T 

Si el tiempo t es muy grande y si A no crece indefinidamente con el tiempo, 
la cantidad (A — A )lx puede ser tan pequena (si t es suficientemente grande) 



232 Trabajo y energia ™ 

que puede ser considerada nula. Este es el caso de la particula que se mueve 
dentro de una region limitada. Por ejemplo, un electron en un atomo se mueve en 
una region espacial limitada y los valores de r y t> que le pertenecen, y que son 
las cantidades que intervienen en la definicion de A, son acotados. Puede decirse 
lo mismo de la tierra en su movimiento alrededor del sol. Por tanto, poniendo 
(dAjdt) = en la ec. (8.45), hallamos que 

Este es el teorema del virial para una particula. La cantidad — #F • r) se llama 
el virial de la particula. 

El teorema del virial adopta una forma especial cuando las fuerzas son centrales 
y conservativas. Si E p {f) es la energia potencial, entonces F = — u4E P jdr y 
p. r = __ r dE p jdr ya que u r r = r. Luego, la ec. (8.47) se transforma en 

«5-tRF5- " (8 - 48) 

Supongase que la energia potencial es de la forma E p = — kjr n . Entonces 



dr r n+1 

y la ec. (8.48) viene a ser 



k nE p 

n 



(E k )=-ME P ). (8 ' 49) 

Con este resultado, obtenemos una relacion entre los promedios temporales de 
las energias cinetica y potencial de la particula. 

8.14 Critica del concepto de energia 

En este capitulo hemos visto como podemos usar el concepto de energia de ma- 
nera muy efectiva para resolver ciertos problemas dinamicos de una particula 
cuando conocemos la fuerza en funcion de la posici6n. Esta es una de las razones 
basicas para introducir el concepto de energia en fisica. 

Nuestra experiencia inmediata nos Ueva a reconocer que los cuerpos a nuestro 
alrededor estan en movimiento. Atribuimos dichos movimientos a las mterac- 
ciones entre los cuerpos, y los describimos por medio de los conceptos de fuerza 
y energia. Tales conceptos tienen un solo proposito : proporcionar metodos utdes 
para analizar y predecir los movimientos que observamos. La gran utilidad del 
concepto de energia potencial, como la del concepto de fuerza, es que nos permite 
asociar formas especificas de energia potencial con interacciones especificas obser 
vadas en la naturaleza. Tal resultado no es sorprendente, ya que la fuerza f 
esta relacionada con la energia potencial E p por medio de la ec. (8.24). Es dichs 
relacion entre energia potencial e interaccion lo que da verdaderamente S1 gnificad< 
fisico a la idea de energia potencial. 



Bibliografta 233 

Al conocer la energia potencial como funcion de la position, podemos describii 
cualitativamente el movimiento, como se indic6 en la secci6n 8.11, o cuantita- 
tivamente como se explico en las secciones 8.9 y 8,10. En futuros capitulos dis- 
cutiremos el hecho de que la interaction entre dos cuerpos puede ser descrita 
como un intercambio de energia o como un intercambio de momentum. Cual- 
quiera de tales descripciones proporciona una representacidn conveniente y liti] 
de una interaction, Alertamos al estudiante que, en lo que resta del libro, descri- 
biremos los procesos que observamos en la haturaleza casi enteramente por medio 
de los conceptos de momentum y energia. 



Bibliografia 

1. "Energy", S. Schurr, Set Am., septiembre de 1963, pag. 110 

2. "Newton's Law of Motion and the 17th Century Laws of Impact", A. Arons 
y A. Bork, Am. J. Phys. 32, 313 (1964) 

3. Mechanics (segunda edicitin), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 
1964, secciones 2-1, 2-5, 3-7 y 3-12 

4. Physical Mechanics (tercera edici6n), por R. Lindsay, Princeton, N. J. : Van Nos- 
trand, 1963, cap. 4 

5. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison-Wesley (1961), caps. 20 y 21 

6. Vector Mechanics, por D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps, 7 y 17 ; 
sees. 12.6 hasta 12.8 

7. A Source Book of Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard University 
Press, 1963, pag. 59 (Young) 

8. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D, H, D. Roller. Reading, 
Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap, 18 

9. "Resource Letter EEC-1 on the Evolution of Energy Concepts from Galileo 
to Helmholtz", T. Brown ; Am. J. Phys. 88, 759 (1965) 



234 Trabajo y energta 



Problemas 



8.1 Se aplica una fuerza F t que dura 
20 s, a un cuerpo de 500 kg de masa. El 
cuerpo inicialmente en reposo, adquiere 
una velocidad de 0,5 m s _1 como resultado 
de la fuerza* Si esta aumenta durante 
15 s linealmente con el tiempo a partir 
de y entonces disminuye a cero en 5 s, 
(a) hallar el impulso en el cuerpo causado 
por la fuerza, (b) hallar la maxima fuerza 
ejercida en el cuerpo y (c) representar F 
contra / encontrando el area bajo la 
curva. ^Coincide el valor de dicha area 
con el resultado de (a)? Suponer que la 
fuerza F es la unica que actua sobre el 
cuerpo, 

8.2 Galcular el trabajo de una fuerza 
constante de 12 N» cuyo punto de apli- 
caci6n se mueve 7 m, si el angulo entre 
las direcciones de la fuerza y el desplaza- 
miento es (a) 0°, (b) 60°, (c) 90°, (d) 
145°, (e) 180°. 

8.3 Galcular el trabajo efectuado por 
un hombre que arrastra un saco de 
harina de 65 kg por 10 m a lo largo del 
piso con una fuerza de 25 kgf y que luego 
lo levanta hasta un cami6n cuya plata- 
forma esta a 75 cm de altura. ^Cual es 
la potencia promedio desarrollada si el 
proceso entero tom6 2 min? 

8.4 Se define un pie-libra como el tra- 
bajo efectuado por una fuerza de 1 lbf 
al mover un cuerpo una distancia de 
1 pie en su propia direcci6n. Verificar 
que 1 pie-lb es igual a 1,356 J, y que 
1 hp es igual a 746 W. Demostrar que 
cuando la masa esta dada en slugs y la 
velocidad en pie s- 1 , la energia cin£tica 
queda expresada en pie-lb. 

8.5 Un cuerpo de 4 kg de masa se 
mueve hacia arriba en un piano incli- 
nado 20° con respecto a la horizontal. 
Sobre el cuerpo actiian las siguientes 
fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, 
una fuerza paralela al piano de 100 N, 
f avoreciendo el movimiento, y una fuerza 
constante de fricci6n de 10 N que se 
opone al movimiento. El cuerpo se tras- 
lada 20 m a lo largo del piano. Calcular 
el trabajo total efectuado por el sistema 
de fuerzas actuantes sobre el cuerpo, 
asi como el trabajo de cada fuerza* 



8.6 Un anillo m de kg de masa resbala 
a lo largo de un arco metalico ABC muy 
pulido (Fig, 8-24) que es arco de una cir- 
cunferencia de 4 pies de radio. Sobre 
el anillo actiian dos fuerzas F y F' t cuyas 
magnitudes son 40 N y 150 N respectiva- 
mente. La fuerza F es siempre tangente 
a la circunferencia. La fuerza F' actua 
en direcci6n constante formando un an- 
gulo de 30° con la horizontal. Calcular 
el trabajo total efectuado por el sistema 
de fuerzas sobre el anillo al moverse 
este de A a B y de A a G. 




Figurfe 8-24 



8.7 Un cuerpo de 0,10 kg de masa ca< 
de una altura de 3 m sobre un montdi 
de arena. Si el cuerpo penetra 3 en 
antes de detenerse, que fuerza constant* 
ejerci6 la arena sobre el? 

8.8 Un cuerpo con 1000 kg de mas* 
cae de una altura de 10 m sobre la cabezi 
de una barreta metalica clavada perpeii 
dicularmente en el suelo hundi6ndoli 
1 cm mas. Galcular la fuerza resistent 
promedio ejercida por el terreno contt 
la barreta. (Suponer que toda la energt 
cinetica del cuerpo se transforma en tra 
bajo para hundir la barreta). 

8.9 Un hombre de 80 kg de mas 
sube por un piano inclinado 10° co 
respecto a la horizontal a una velocida 
de 6 km hr- 1 . Galcular la potencia dess 
rrollada. 

8.10 Un ascensor levanta 10 pasajerc 
80 m en 3 min. Cada pasajero tiene un 
masa de 80 kg, y el ascensor una mas 



Frobietnas 



Z65 



de 1000 kg. Calcular la potencia de su 
motor en hp. 

8.11 Un automdvil sube por un camino 
de 3° de inclinacitin con una velocidad 
constante de 45 km hr- 1 . La masa del 
automdvil es de 1600 kg. £Cu&l es la 
potencia desarrollada por el motor? 
j,Cual es *1 trabajo efectuado en 10 s? 
Despreciar las fuerzas de friccidn. 

8.12 Un autom6vil de 2000 Ibf de peso 
movtendose en un camino horizontal 
alcanza una velocidad maxima de 100 
pies s _1 cuando el motor desarrolla su 
maxima potencia de 50 hp. Calcular la 
maxima velocidad del autom6vil al subir 
una colina con5%de inclinaci6n. Supo- 
ner que la resistencia del aire es cons- 
tante. 

8.13 Resolver el problema anterior para 
un autom6vil que baja la colina. 

8.14 Una fuerza constante de 60 dinas 
actua por 12 s en un cuerpo cuya masa 
es de 10 gm. El cuerpo tiene una veloci- 
dad inicial de 60 cm s- 1 en la misma 
direcci6n de la fuerza. Calcular (a) el 
trabajo efectuado por la fuerza, (b) la 
energla cin£tica final, (c) la potencia 
desarrollada, y (d) el aumento de la 
energia cinStica. 

8.15 Repetir el problema anterior para 
una fuerza que es perpendicular a la 
velocidad inicial. 

8.16 (a) &Qu6 fuerza constante debe 
ejercer el motor de un automtivil de 
1500 kg de masa para aumentar la 
velocidad de 4 km hr- 1 a 40 km hr- 1 
es 8 s? (b) Determine la variacitin del 
momentum y de la energia cin^tica* (c) 
Determine el impulso recibido y el tra- 
bajo efectuado por la fuerza. (d) Com- 
pete la potencia promedio del motor, 

8.17 Una pequena bola de acero de 1 kg 
de masa est& amarrada al extremo de 
un alambre de 1 m de longitud girando 
fcn un clrculo vertical alrededor del 
otro extremo con una velocidad angu- 
lar constante de 120 rad s- 1 . Calcular la 
energia cin6tica. Si es m£s bien la ener- 
gia total la que permanece constante 
y no la velocidad angular, £cu£l es el 
cambio en la energia cin£tica y en la 
velocidad angular entre el punto m&s 
*lto y el m&s bajo del circulo? Suponer 



que el valor dado para la velocidad an- 
gular se reflere al punto mas alto. 

8.18 Un cuerpo de masa m se mueve 
v relativa a un observador O y con velo- 
cidad V relativa a O'. La velocidad 
relativa entre y O' es t>. Hallar la rela- 
cidn entre las energias cindticas E* y 
E'k de la particula medidas por O y 0\ 

8.19 Expresar, en eV, la energia cin6- 
tica de un electr6n (masa = 9,109 x 

x lO^ 1 kg) movi&idose a una velocidad 
de 10* m s- 1 . Repetir para un prot6n 
(masa = 1,675 x 10"" kg). 

8.20 Hallar la velocidad de un elec- 
tron que llega a la pantalla de un tubo 
de televisi6n con una energia de 1,8 x 
x 10« eV. 

8.21 Hallar la velocidad de un prot6n 
que sale de un acelerador de particulas 
con 3 x 10* eV de energia. 

8.22 Cuando Et es la energia cingtica 
en eV y v la velocidad en m s" 1 , demostrar 
que estan relacionadas por Et — 2,843 x 

x 10- is v* para el electrdn y Em — 5,228 X 

x 10 -*p* para el potr6n. 

8.23 La fuerza actuante sobre un cuer- 
po de 10 kg de masa es F = u»(10 + 20 
N» donde t est& en segundos. (a) Deter- 
minar los cambios de momentum y de 
velocidad del cuerpo despu6s de 4 s, 
asi como el impulso recibido, (b) iPor 
cudnto tiempo deberla actuar la fuerza 
sobre el cuerpo para que el impulso 
sea de 200 N s? Responder ambas pre- 
guntas para un cuerpo que estd inicial- 
mente en reposo y para otro con una 
velocidad inicial — «v{6) m s -1 . 

8.24 Una masa de 10 kg se mueve bajo 
la accidn de la fuerza F = u x (5t) + uy 
(3f* — 1) N. Cuando t — el cuerpo esti 
en reposo en el origen. (a) Hallar el 
momentum y la energia cin£tica del 
cuerpo cuando t = 10 s. (b) Computar 
el impulso y el trabajo efectuado por la 
fuerza de t = a t = 10 s, Comparar 
con las respuestas en (a). 

8.25 Una masa de 20 kg se mueve bajo 
la influencia de la fuerza F = u* (1000 
N, donde t se mide en segundos. Si, 
para t = 2, v = u*(3) m s- 1 , determine (a) 
el impulso dado a la particula durante 
el intervalo 2 s < i < 10 s, y (b) el mo- 
mentum de la masa cuando t — 10 s. 



236 Trabajo y energia 



(c) Pruebe que el impulso es igual al 
cambio de momentum de la masa en 
el intervalo dado, (d) Encuentre el tra- 
bajo efectuado sobre la particula y, 

(e) su energia cinetica cuando t — 10 s. 

(f) Demuestre que el cambio de energia 
cinetica es igual al trabajo efectuado, 

8.26 Repetir el problema anterior para 
v « a v (30 m s- 1 cuando / = 2 s. 

8.27 Sobre una particula actua la fuerza 
F = ux(y 2 — x a ) + u y (3xy). Hallar el 
trabajo efectuado por la fuerza al mo- 
verse la particula del punto (0, 0) al 
punto (2,4) siguiendo las siguientes tra- 
yectorias : (a) a lo largo del eje X desde 
(0,0 hasta (2,0) y, paralelamente al eje Y, 
hasta (2,4) ; (b) a lo largo del eje Y desde 
(0,0) hasta (0,4) y, paralelamente al 
eje X y hasta (2,4), (c) a lo largo de la 
recta que une ambos puntos ; (d) a lo 
largo de la parabola y = x 2 . &Es conser- 
vativa esta fuerza? 

8.28 Repetir el problema anterior para 
la fuerza F = u x (2xy) + u y (x 2 ). 

8.29 Se da F = u x (7) — «j,(6)N. (a) Gom- 
putar el trabajo efectuado cuando una 
particula va del origen a r = u x ( — 3) + 
+ «i/(4) + mi(16) m. ^Es necesario espe- 
cificar la trayectoria seguida por la par- 
ticula? (b) Gomputar la potencia pro- 
medio si tom6 0,6 s el ir de un lugar al 
otro. Exprese su respuesta en watts y 
caballos-vapor. (c) Si F es la dnica fuerza 
actuante, calcular el cambio de la energia 
cin6tica. 

8.30 La fuerza en el problema anterior 
es conservativa, ya que es constante. 
Calcular la diferencia de energia poten- 
cial entre los puntos extremos. Deter- 
minar la energia potencial en el punto 
r = u*(7) + u y {16) + u z (— 42) Hi. 

8.31 Una particula se mueve bajo la 
acci6n de una fuerza atractiva que varia 
con el inverso del cuadrado : F = — k/r 2 . 
La trayectoria es una circunferencia de 
radio r. Demostrar que la energia total 
es E = — k/2r 9 que la veldcidad esu = 
(k/mr) l/ \ y que el momentum angular 
es L = (m*r) 1/2 . 

8.32 Un piano inclinado tiene 13 m 
de largo y su base 12 m. Un cuerpo 
de 0,80 kg de masa resbala desde arriba 
con una velocidad inicial de 100 cm s _1 . 



^Cuales son su velocidad y su energia 
cinetica al llegar al final del piano? 

8.33 Representar las energlas potencial 
y cinetica como funcidn de (a) el tiempo 

y (b) la altura, para un cuerpo que cae ■ 
a partir del reposo desde una altura h. 
Verificar que la suma de las ordenadas 
correspondientes es constante. 

8.34 Se lanza verticalmente hacia arriba 
un cuerpo de 20 kg de masa con una 
velocidad de 50 m s" 1 . Calcular (a) los 
valores iniciales de Ek, E P y E ; (b) E* 
y E P despues de 3 s ; (c) Et y E p a 100 m 
de altura ; y, (d) la altura del cuerpo 
cuando Ek es reducida a un 80 % de su 
valor inicial. 

8.35 Una bola de 0,40 kg es lanzada 
horizontalmente desde la cima de una 
colina, a 120 m de altura, con una veloci- 
dad de 6 m S" 1 . Calcular (a) la energia ci- 
netica inicial de la bola, (b) su energia ] 
potencial inicial, (c) su energia cinetica ; 
al chocar con el suelo, y (d) su velocidad j 
en esta ultima circunstancia. 

8.36 Una bomba de 10 kg de masa es j 
soltada desde un avi6n que vuela hori- Jj 
zontalmente a 270 km hr~\ Si el avidn | 
esta a 100 m de altura, calcular (a) la .j 
energia cinetica inicial de la bomba, ^ 
(b) su energia potencial inicial, (c) su J 
energia total, (d) su velocidad al llegar ; 
al suelo, y (e) sus energias potencial y \ 
cinetica 10 s despues de haber sido sol- ■; 
tada. \ 

8.37 Utilizando solamente la conserva-| 
ci6n de la energia, calcular la velocidad \ 
de la bomba en el problema anterior 4 
cuando se halla a 50 m sobre el suelo i 
y su altitud cuando la energia cinetica j 
ha aumentado un 30 % sobre su valor I 
inicial. j 

8.38 Resolver el Problema 8.34 para ^ 
ei caso en que se lance el cuerpo en una* 
direcci6n de 70° sobre la horizontal, 

8.39 Un muchacho de masa m esta sen- 
tado sobre un monticulo hemisf^rico de 
nieve como se muestra en la Fig. 8-25. 
Si empieza a resbalar desde el reposo 
(suponiendo el hielo perfectamente liso) 
^en qu6 punto P deja el muchacho de 
tener contacto con el hielo? 

8.40 Tres canones disparan con la 
misma velocidad inicial (Fig. 8-26) de 



Probtemas Z'61 




Figura 8-25 




Figura 8-26 



modo que las balas pasan todas por el 
mismo punto A (no necesariamente en el 
mismo instante). Copiar la Fig. 8-26 y 
dibujar los vectores velocidad en A. 
Basando sus calculos en consideraciones 
de energia, determinar la relaci6n entre 
las magnitudes de las velocidades en A, 
A partir de su respuesta puede Ud. con- 
cluir que, usando nada mAs que la con- 
servaci6n de la energia, es posible deter- 
minar la direccidn del movimiento? 
iPor qu6? 

8.41 Un cuerpo de 0,5 kg de masa es 
soltado desde una altura de 1 m sobre 
un pequeno resorte vertical sujeto al 
suelo y cuya constante es A: — 2000 N 
m- 1 . Calcular la maxima deformacidn 
del resorte. 



8.42 El cuerpo A en la Fig. 8-27 tiene 
una masa de 0,5 kg. Partiendo del reposo 
resbala 3 m sobre un piano muy liso, 
inclinado 45° sobre la horizontal, hasta 
que choca con el resorte M, cuyo ex- 
tremo B estA fijo al final del piano, la 
constante del resorte es k = 400 N m _1 . 
Calcular su mAxima deformacidn. 

8.43 Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga 
de un resorte cuya constante elAstica 
es 2 x 10 s N m- 1 . Si se permite que 
el resorte se expanda lentamente, ^a qu6 
distancia llegara a desplazarse el cuerpo? 
Se suelta ahora el cuerpo para que caiga 
libremente. Hallar (a) la aceleraci6n ini- 
cial y (b) la aceleraci6n y la velocidad 
cuando ha caido 0,010 m, 0,0245 m 
y 0,030 m. Hacer consideraciones ener- 
g6ticas siempre que sea posible. 

8.44 En la molecula NH 3 el atomo N 
ocupa el v6rtice de un tetraedro con 
tres Atomos H en la base (ver Fig. 2-3), 
Evidentemente, el Atomo N tiene dos 
posiciones simStricas de equilibrio esta- 
ble. Dibu j ar esquemAticamente una 
curva de energia potencial para el 
Atomo N en funcidn de su distancia a la 
base del tetraedro. y discutir su posible 
movimiento en terminos de la energia 
total. 

8.45 En la molecula de etano (C 2 H a ), 
los dos grupos CH 5 son tetraedros con 
un Atomo C en el v&tice (Fig. 8-28). 
Dichos grupos pueden rotar relativa- 
mente alrededor de la linea que une los 
dos Atomos de carbono, Consideraciones 
de simetria sugieren que haya dos con- 
juntos de posiciones de equilibrio para 
este movimiento ; un conjunto consiste 



Figura 8-27 





Figura 8-28 



238 Trabajo g energla 



de posiciones estables y el otro de inesta- 
tables. Determinar dichas posiciones y 
bos que jar esquemiticamente la energia 
potencial como funci6n del dngulo ^ 
entre y 2w. Discutir el posible movi- 
miento de rotaci6n para diferentes va- 
lores de la energia total. 

8.46 Dibujar, como en la Fig, 8-19, 
■E„,eff para E v (r) = — 1/r y (a) E PtC = 
= l/2r a , (b) E Vl c = 2/r a , donde todas las 
energias est&n en J y r esta en m* Deter- 
minar la posici6n de los minimos de 
E v *tt en cada caso. Medir la energia 
necesaria para pasar del minirno de la 
primera curva al minimo de la segunda. 

8.47 Un trineo de 20 kg. de masa se 
desliza colina abajo, empezando a una 
altura de 20 m. El trineo parte del reposo 
y tiene una velocidad de 16 m s _1 al 
llegar al final de la pendiente. Calcular 
la p£rdida de energia debida al frota- 
miento. 

8.48 Una bola de 5 kg de masa que es 
lanzada verticalmente hacia arriba con 
una velocidad inicial de 20 m s -1 , alcanza 
una altura de 15 m. Calcular la pGrdida 
de energia debida a la resistencia del 
aire. 

8.49 Un tren que parte del reposo viaja 
300 m camino abajo por una pendiente 
del 1 %. Con el impulso asl adquirido, 
sube 60 m por una pendiente del 2 % 
hasta detenerse. Calcular la fuerza de 
resistencia al movimiento del tren. (Su- 
poniendo que ay? son los 4nguIos con 
la horizontal, tg a = 0,01 y tg p - 0,02). 

8.50 Un cuerpo de masa m se desliza 
hacia abajo por un piano de inclinaci6n a. 
El coeflciente de fricci6n es /. Hallar 
la rapidez con que se disipan las energias 
potencial y cin6tica combinadas. 

8.51 Resolver el ejemplo 8.12 sustitu- 
yendo valores apropiados para v e y 
como funciones de t (obtenidas del ejem- 
plo 7,8) en la expresidn d/dt (E* + E p ) = 
— d/dt (imv* + mgy). Demostrar que el 
resultado es el mismo ya obtenido en el 
ejemplo 8.12. 

8.52 Un cuerpo de 8 kg de masa reposa 
sobre un piano horizontal estando en 
contacto con el extremo libre de un re- 
sorte tambiSn horizontal cuya constante 



elastica es de 10* N m _1 . El otro extremo 
del resorte esti fljo en una pared vertical, 
Cuando se empuja el cuerpo hacia la 
pared, el resorte se comprime 15 cm, 
Al soltarlo entonces, el cuerpo es pro- 
yectado horizontalmente por accidn del 
resorte. La fuerza de fricci6n entre el 
cuerpo y el piano es constante y vale 5 N. 
Calcular (a) la velocidad del cuerpo en 
el instante en que el resorte recupera su 
longitud original, y (b) la distancia re- 
corrida por el cuerpo antes de detenerse, 
suponiendo que la acci6n del resorte 
sobre el cuerpo termina cuando aqu61 
recobra su longitud normal. Discutir la 
variaci6n de las energias cin^tica y po- 
tencial del sisterna cuerpo-resorte du- 
rante todo el proceso. 

8.53 Aplicar el teorema del virial para 
obtener la energia total de un cuerpo 
en movimiento bajo una fuerza atractiva 
F = — /c/r a . Comparar la respuesta con 
los resultados del Problema 8.31. 

8.54 Una particula se mueve en un 
campo de fuerzas descrito por una de las 
siguientes funciones de energia poten- 
cial : (a) E p (x) = ax n , (b) E P = by\ (c) 
E p = cxy, (d) Ep = cxyz, (e) E P = k(x* + 
+ y 2 + z a ). En cada caso expresar el 
campo de fuerza en forma vectorial. 

8.55 Una particula estd sujeta a una 
fuerza asociada con la energia potencial 
E P (x) = 3x 2 — X s . (a) Trazar un grafico 
de E p (x), (b) Determinar la direcci6n 
de la fuerza en rangos apropiados de la 
variable x. (c) Discutir los posibles movi- 
mientos de la particula para diferentes 
valores de su energia total. Hallar sus 
posiciones de equilibrio (estable e ines- 
table). 

8.56 La interaccidn entre dos nucleones 
puede ser representada con cierta aproxi- 
maci6n por el potencial de Yukawa 
E p (f) = — V (ro/r)e- r ' ro , donde V vale 
alrededor de 50 MeV y r 1,5 x 10~ lfi m, 
Hallar la fuerza entre los dos nucleones 
como funcitfn de su separaci6n. Hallar el 
valor de la fuerza para r = r . Estimar 
el valor de r para el cual la fuerza tiene el 
1 % del valor que posee para r = r . 

8.57 En vez de la interacci6n de Yu- 
kawa, considere una interaccidn de la 
forma Ep(r) = —V (ro/r) 9 y repita los 



Problemas 239 



mismos calculos. &Qu6 concluye Ud. 
acerca del efecto del factor c- f / r0 en el 
alcance de la fuerza? 

8,58 Probar que cuando una fuerza es 
conservativa, dFx/dy = dF y /dx, 8F y /dz = 
= dFz/8y f y dFi/dx = dFx/dz. Se puede 
probar que la reciproca es tambten ver- 
dadera, y que por tanto se tiene asl una 
importante manera de determinar si un 
campo de fuerza es conservativo* Sobre 
esta base, verificar cuales de las siguien- 



tes fuerzas son conservativas : (a) uxx n , 
(b) u z y«, (c) u*(x* — j/ a ) + M3xy)> (d) 
u*(2xy) + utfa% (e) «**/* + «»» + 
+ ttzxy, (f) uxx + u y y + uzZ. 

8.59 Demostrar que si la fuerza apli- 
cada a un cuerpo es F = Ar u * t?, donde 
w es un vector unitario arbitrario, la 
energla cinfetica permanece constants 
&Cu£l es el trabajo hecho por la fuerza? 
Describir la naturaleza del movimiento 
resultante. 



9 

DINAMIGA DE UN SISTEMA 

DE PARTICULAS 



9 A Introduction 

9.2 Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas 

9.3 Masa reducida 

9A Momentum angular de un sistema de particulas 

9.5 Energia cinetica de un sistema de particulas 

9.6 Conservation de la energia de un sistema de particulas 

9.7 Colisiones 

9.8 Sistemas de muchas particulas: temperatura 

9$ Sistemas de muchas particulas: trahajo 

9.10 Sistemas de muchas particulas: calor 

9.11 Reformulation del principio de conservacidn de la energia 

para sistemas de muchas particulas 

9.12 Teorema del virial para muchas particulas 

9.13 Ecuacion de estado de un gas 

9J4 Movimiento de un fluido 



og) Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas 241 

9.1 Introduccidn 

En los dos ultimos capitulos hemos discutido la teoria de la din&mica de una 
particula. En dicha teoria, ignoramos el resto del universo y lo representamos 
ya sea por una fuerza o por una energta potential, que dependen solamente de 
las coordenadas de la particula* Consideraremos ahora el problema m&s realista 
e importante de varias particulas. De hecho, fue con un sistema de particulas 
que empezamos nuestra discusion de la dindmica, cuando establecimos el prin- 
cipio de conservacidn del momentum en el capitulo 7. En la primera parte de este 
capitulo discutiremos tres resultados principals : el movimiento del centro de 
masa, la conservaci6n del momentum angular y la conservacidn de la energia. 
En la segunda parte de este capitulo consideraremos sistemas compuestos de un 
gran numero de particulas, los que requieren ciertas consideraciones de naturaleza 
estadistica. A lo largo de este capitulo supondremos que las masas de las par- 
ticulas son constantes. 



J. RELACIONES FUNDAMENT ALES 

9.2 Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas 

Consideremos un sistema compuesto de particulas de masas m v /n a , , . . , y velo- 
cidades v v r 2 , ..♦, relativas a un sistema inercial de referenda. Definiremos la 
velocidad del centro de masa por 

m ± + m 2 + . , . M 

Si las masas de las particulas son independientes de las velocidades, tt C M corres- 
ponde a la velocidad del punto definido en la section 4.8 como el centro de masa, 
y dado por el vector posicidn 

mrt + mp. + . ■ ■ __ Exmpi (9 2) 

TCXL = j j Tf • v*' ' 

Lo que podemos comprobar tomando la derivada tenporal de la ec. (9.2), 

^ = J- £ m *L=**2p-= vau- 
lt M dt M 

Observando que pi = mpt, podemos escribir la ec. (9.1) tambien como 

»cm = -^r SfPt = ~ 6 P = Mvcu, (9-3) 

donde P = Zipt es el momentum total del sistema. Esto sugiere que el mo- 
mentum del sistema es el mismo que corresponderia al caso en que toda la masa 



242 Dindmica de un sistema de pariiculas 



(9.2 



del sistema estuviese concentrada en el centro de masa, moviendose con veloci- 
dad i?cm- Por esta razdn t? C M se llama algunas veces la velocidad del sistema. Por 
ello cuando hablamos de la velocidad de un cuerpo movil compuesto de muchas 
particulas, tal como un aeroplano o un automovil, la tierra o la luna, o aiin una 
molecula o un micleo, nos referimos en realidad a la velocidad de su centro de 

masa i? C m- 

Si el sistema est& aislado, sabemos por el principio de conservation del mo- 
mentum que P es constants Por consigriente 

el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad cons- 
tante con relacion a un sistema inercial (suponiendo que las masas 
de las parttculas son independientes de la velocidad). 

En particular, podemos fijar un sistema inercial de referenda en el centro de 
masa de un sistema aislado y, con relaci6n a este sistema inercial, el centro de masa 
estard en reposo (t? C M = 0)- Este es el Uamado sistema de referenda del centro de 
masa o sistema-C de referenda. En vista de la ec. (9,3), el momentum total de un 
sistema de particulas referido al sistema-C de referencia es siempre cero: 



cm 



Z t pi = (en el sistema-C de referencia). 



(9.4) 



Por tal razdn el sistema-C es llamado a veces el sistema de momentum cero. Este 
sistema-C es importante porque muchos experimentos realizados en nuestro 
laboratorio o sistema-L de referencia pueden ser analizados mis simplemente en 

el sistema-C. 

Consideraremos ahora lo que sucede cuando un sistema S no esta aislado; en 
otras palabras cuando las componentes de S interactuan con otras particulas del 
universe que no pertenecen al sistema 5. Supongamos que nuestro sistema S 
est& compuesto de particulas situadas dentro de la linea punteada de la Fig. 9-1, 
y que las particulas de 5 interactuan con aquellas fuera de la linea punteada 
que pertenecen a otro sistema S'. Podemos suponer que S y S' juntos forman 
un sistema aislado. Para considerar algunos ejemplos concretos, nuestro sistema 5 



® & 




Fig. 9-1. Interaccion entre dos 
sistemas S y S\ 
t 




Fig. 0-2. Fuerzas externas e inter 
nas de un sistema S. 



g 2) Movimienio del centro de masa de un sislema de partlculas 243 

puede ser nuestra galaxia y S' puede ser el resto del universe O tambten S puede 
ser el sistema solar y S' el resto del universo. Podemos aiin considerar una mo- 
lecula aislada, y agrupar los &tomos que la componen en das sistemas S y S'. 
Designamos las particulas que pertenecen a S con el subindice i\ y aquellas 
que pertenecen a S' con el indice j. El principio de conservaci6n del momentum 
para el sistema aislado completo S + S' da 

P = Ztpi + IjPj = const 

Sistema S Sistema S' 

P^Ps + Ps= const. ( 9 -5) 

Cualquier cambio en el momentum de S debe estar acompanado por un cambio 
igual y opuesto en el momentum de S\ Vale decir, 



APs=— &P 



* 



Por consiguiente, la interacci6n entre los sistema S y S' puede ser descrita como 
un intercambio de momentum. El estudiante debiera comparar las ecs. (9.5) 
y (9.6) con las ecs. (7.5) y (7,8) para el caso particular de dos particulas y notar 

la similitud. 
Tomando la derivada temporal de la ec. (9.5), tenemos 

dPs = _ dPs* (9.7) 

dt dt 

Llamamos a la derivada temporal del momentum del sistema S la fuerza externa 
ejercida sobre S; esto es 

^=F ext 6 A (Z iPi ) = F ext . M 

dt dt 

Decimos fuerza externa porque el cambio de momentum de S es debido a su 
interacei6n con S'. Las fuerzas internas que existen en S debidas a las interac- 
tions entre sus particulas componentes no producen ningun cambio en el mo- 
mentum total, de acuerdo con el principio de conservaci6n del momentum. Luego 
si F' ext es la fuerza externa sobre el sistema S', la ec. (9.7) requiere que F ext =— *"ext, 
lo que constituye la ley de acci6n y reaccidn para las interacciones entre los sis- 
temas S y S'. 
Ya que, por la ec. (9.3), la velocidad del centro de masa de S es v C m = Ps/M, 

tenemos a partir de la ec. (9.8) que 



*5™ = Ma,„. (9-9) 

dt 



F tex = M -^- = Mocm 



Comparando este resultado con la ec. (7.15) vemos que 



244 Dinamica de un sistema de particulas (9.2 

el centro de masa de un sistema de particulas se mueve como si fuera 
una parttcula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la 
fuerza externa aplicada al sistema. 

Los resultados expresados por las ecs, (9.6), (9.7), (9.8) y (9.9) indican claramente 
que la interaction entre dos sistemas de particulas puede ser descrita formal- 
mente en terminos identicos a los introducidos en el capitulo 7 para dos particulas. 
Esto justifica, a posteriori, la manera informal en que ilustramos las aplicaciones 
del principio de la dinamica en el capitulo 7 (donde cuerpos y no particulas fueron 
tratados) en casos tales como la interaction entre la tierra y la luna, entre dos 
moleculas, o en el movimiento de un cohete o de un autom6viL 

Es interesante relacionar F ex t con las fuerzas que actiian sobre cada particula. 
Por simplicidad supongamos que nuestro sistema S est6 compuesto de dos par- 
ticulas (Fig, 9-2). Designemos con F 1% la fuerza interna sobre la particula m x debida 
a su interaccidn con m 2 , y con F 2X la fuerza interna sobre m 2 debida a su inter- 
action con m v La ley de action y reacci6n requiere que 

Sea F x la fuerza externa resultante sobre m x debida a su interacci6n con otras 
particulas y F 2 la fuerza externa sobre m 2 . Para obtener la ecuaci6n del movi- 
miento de cada particula bajo la action de todas las fuerzas que actiian sobre 
ella, aplicamos la ecuaci6n (7,12): 

A_r 1 + F. £-*. + *, 

Sumando dichas ecuaciones y usando la ec. (9.10) de manera que F 12 + F %1 = 0, 
encontramos que 

dt dt 

Por consiguiente, el cambio total por unidad de tiempo del momentum del sistema 
compuesto por m x y m 2 es igual a la suma de las fuerzas externas aplicadas sobre 
m r y m 2 . En general, para un sistema compuesto de un numero arbitrario de 
particulas, 

^-=4r Vtrt = z ^ < 9 ' 12) 

at at 

doride Ft es la fuerza externa sobre la particula m^ La comparaci6n con la ec. (9.8) 
indica que 

la fuerza externa sobre un sistema de particulas es la suma de las 
fuerzas externas sobre cada una de las particulas del sistema. 

Consideremos algunos ejemplos. La Fig. 9-3(a) muestra la tierra en su mo- 
vimiento alrededor del soL El centro de masa de la tierra se mueve en la forma 



9.2) 



Movimiento del centro de masa de un sistema de partlculas M5 



Trayectoria del centro 
de masa de la molecula 




Trayectoria del centro 
de masa de la tierra 




(a) 



(b) 




Trayectoria 
lei centro de 
nasa de la 
;adena 



Trayectoria del centro 

de masa 

de la granada 




Trayectoria 
del centro d< 
masa de los 
fragmentos 



mdmmmmmmmmmmm^mz 



(c) 



(d) 



Fig. 9-8. El centro de masa de un sistema de partlculas sigue una trayectoria debida 
a la fuerza exterior total actuante sobre el sistema. 



en que lo haria una particula que tuviera una masa igual a la de la tierra y estu- 
viese sujeta a una fuerza igual a la de las fuerzas ejercidas por el sol (y otros 
cuerpos celestes) sobre todas las particulas que componen la tierra- La Fig. 9-3(b) 
representa una molecula de agua. Suponiendo, por ejemplo, que la molecula estA 
sujeta a fuerzas externas electricas, su centro demasa se mueve como si fuera una 
particula de masa igual a la de la molecula sujeta a una fuerza igual a la suma de 
las fuerzas actuantes sobre todas las particulas cargadas que componen la molecula. 
La Fig. 9-3(c) ilustra el movimiento de una cadena lanzada al aire. El centro de 
masa de la cadena se mueve como si fuera una particula de masa igual a la de la 
cadena y sujeta a una fuerza igual al peso de la cadena, describiendo, por tanto, 
una trayectoria parab61ica. Finalmente, en la fig. 9-3 (d), tenemos el caso de una 
granada explotando en el aire; el centro de masa de los fragmentos continuara 
moviendose a lo largo de la par&bola original, ya que el centro de masa se com- 
porta como si fuera una particula de masa identica a la de la granada sujeta al 
peso total de todos los fragmentos. El peso de los fragmentos no cambia con la 
explosi6n puesto que la fuerza de gravedad es prdcticamente independiente de 
la posicion en las cercanias de la superficie terrestre. Debemos notar, sin embargo, 
que si el campo de fuerza no fuera constante sino dependiera de la posici6n, 
los fragmentos resultantes de la explosion estarian sujetos a fuerzas diferentes 
de aquellas a lo largo de la trayectoria original. La trayectoria del centro de masa 
no continuaria entonces como antes de la explosidn ya que la suma de las fuerzas 
exteriores seria diferente. Por ejemplo, si (debido a algiin cataclismo c6smico), 



246 Dindmica de un sistema de particulas 



(9.2 



un planeta del sistema solar se dividiera en varios fragmentos, el centro de masa 
de los fragmentos no seguiria la trayectoria eliptica original del planeta puesto 
que las fuerzas sobre los fragmentos serian diferentes. 

EJEMPLO 9.1. Una granada que cae verticalmente explota en dos fragmentos 
iguales cuando se halla a una altura de 2.000 tti y tiene una velocidad dirigida hacia 
abajo de 60 m s- 1 . Inmediatamente despu6s de la explosion uno de los fragmentos 
se mueve hacia abajo a 80 m s _1 . Hallar la posicidn del centro de masa del sis- 
tema 10 s despues de la exp!osi6n. 



m 



t = Ql 



f=10s 



910 m 



2000 m 



(a) 



CM 



no 



2000 m 



yn 



-iCM 



I hn@ 1— 

n ' 2 I t HOOm 

91 ° m ! 710 m 

! I 



(c) 



Figura 9-4 



Solud6n: Podemos seguir dos m6todos (ver la Fig. 9-4). Ya que sabemos que como 
resultado de la explosi6n las fuerzas exteriores no han cambiado, podemos suponer 
que el centro de tnasa contimia movi6ndose como si no hubiese habido ninguna 
explosi6n. Por tanto, despues de la explosi6n, el centro de masa estara a una altura 
dada por % = z + v Q t + igP 9 donde z = 2000 m, v = — 60 m s- 1 , y g = 
= — 9,8 m s~ a . Por consiguiente para t = 10 s, z = 910 m. 

Alternativamente, podemos computar directamente la posici6n del centro de 
masa a partir de las posiciones de los fragmentos 10 s despues de la explosi6n. 
Ya que se conserva el momentum de esta explosidn, tenemos que mp = m^ + m 2 v s . 
Pero tambten m 1 = m t = ±m ; luego 2v — v x + v 2 . Por otra parte v = — 60 m S" 1 
y Vl = — 80 m s- 1 . Por tanto u a = — 40 m s- 1 y el segundo fragmento se mueve 
inicialmente hacia abajo. Despues de 10 s la posici6n del primer fragmento es 
z x = z + v x t + igt 2 = 710 my el segundo fragmento tiene la posici6n z 2 = z + 
+ v 2 t + igt*'= 1110 m. Aplicando la ec, (9.2), encontramos que la posici6n del centro 
de masa es 

= ( Wi + (*"»)«■ = ^ +, 2) = 910m, 



z rw 



m 



de acuerdo con el resultado anterior. 

EJEMPLO 9.2. Un chorro de gas sale por una manguera de secci6n a con una 
velocidad v mucho mayor que la agitaci6n termica de las moleculas. Choca con 
una pared que desvia las moleculas sin cambiar la magnitud de su velocidad, 
Hallar la fuerza ejercida sobre la pared. 

Solucidn: Al moverse las moleculas hacia la pared (Fig. 9-5), su velocidad estd di- 
rigida hacia abajo. Despues de chocar con la pared empieza a moverse hacia arriba. 
En ambos casos hacen un dngulo 8 con la normal AT, Cada motecula, como resul- 



9.3) 



Masa reducida 247 



///Desputfs 



a = A 





Antes 



Fig. 9-6. Cambio de momentum de un chorro de gas chocando con una pared. 

tado de su impacto con la pared, sufre un cambio At? en su velocidad, el que es pa- 
ralelo a la normal N ya que 6sta tiene la direccidn de la fuerza ejercida por la pared. 
La magnitud del cambio es |A«| = 2v cos 6. El cambio en el momentum de una 
mol6cula es |Ap| = m\Av\ = 2mv cos 6 en la direcci6n de la normal N. Sea n el 
numero de moteculas por unidad de volumen. Las moteculas que llegan a la pared 
por unidad de tiempo estan contenidas en un volumen cuya longitud es igual a la 
velocidad v y cuya seccidn es a. Por tanto su numero es n(av). Cada mo!6cula sufre 
un cambio de momentum igual a 2mv cos 6. Por consiguiente, el cambio de mo- 
mentum del chorro por unidad de tiempo es 

F = (rcld) (2mv cos 6) = 2anmv* cos 6. 

Sea A el Area de la pared que sufre el impacto del gas. En la figura vemos que 
a = A cos 8, y, por tanto, nuestro resultado previo se transforma en 

F — 2Anmv* cos* 8, 

Esta, de acuerdo con la ec. (9.8), es la fuerza ejercida por -la pared sobre el chorro 
de gas, y en vista de la ec. (9.10), el chorro gaseoso ejerce una fuerza igual y opuesta 
sobre el area A de la pared. [La fuerza del viento sobre las velas de un bote estd 
dada por esta ecuacidn. Ella da tambien la fuerza ejercida por el viento soplando 
contra una pared durante una tempestad. En el ejemplo 9.16 veremos otra aph- 

caci6n. ] 

Ya que la fuerza total no esta aplicada a una sola particula de la pared, sino 
mas bien esta aplicada sobre un area, podemos introducir un concepto muy titil, 
ya conocido del estudiante, que es la presi6n, deflnida como la fuerza del gas sobre 
la unidad de area de la pared, Asi 

(9.13) 



p = 



A 



En el caso particular de este ejemplo, el gas ejerce una presidn sobre la pared igual 
a 2nmv % cos 8 8. 



9.3 Masa reducida 

Consideremos ahora el caso djL^sjarti^ 

mutujLLeste.es el caso en que no actiianinguna fuerza externa sobre ellas (Fig. 9-6), 



248 Dinamica de un sistema de parttculas 



{9.1 



Las dos particulas pueden ser, por ejemplo, un electron y un prot6n en un dtomc 
aislado de hidr6geno. Las fuerzas internas mutuas F n y F 21 satisfacen la rela- 
ci6n (9.10). Hemos dibujado dichas fuerzas a lo largo de la linea r lv Discutamos 
ahora el movimiento relativo de las dos particulas. La ecuacibn del movimiento 
para cada partlcula relativa a un observador inercial es m^dvjdf) = F 12 j 
m^idvjdf) = F^ o sea 




dv x __ F 12 



dVt 



21 



dt m 1 dt m% 

Sustrayendo estas ecuaciones, obtenemos 



dv x d*? 5 



12 



21 



dt 



dt 



m, 



m< 



F 



Usando la ec. (9.10), en la cual \F n == 
cribimos el resultado precedente en la forma 



21* 



es- 



d_ 
It 



^-vJ^i-L + ^F^ 



(9.14) 



Pero v x — 1? 2 = v^ es la velocidad de m x relativa a m^ y por tanto 

= <*I2 



d . . dv 12 

<*i — *> 2 )= 12 



dt 



dt 



es la aceleracidn de m 1 relativa a m^. Introduzcamos una cantidad llamada la masa 
reducida del sistema de dos particulas, y designada por y., definiendola como 



i-+ j 



m 1 + m 2 



m, 



m< 



m^m< t 



ji = 



m 1 m 2 



m l + m% 



(9.15) 



La ec. (9.14) puede entonces ser escrita bajo la forma 



«12 



F 



12 



*12 = ^Otf- 



(9.16) 



Este resultado importante expresa el hecho de que 

el movimiento relativo de dos particulas sujetas unicamente a una 
interaccion mutua es equivalente al movimiento, relativo a un obser- 
vador inercial, de una particula de masa igual a la masa reducida 
bajo una fuerza igual a la interaccion. 

Por ejemplo, podemos reducir el movimiento de la luna relativo a la tierra a 
un problema de una linica particula usando la masa reducida del sistema luna- 
tierra y una fuerza igual a la atraccibn de la tierra sobre la luna. An£logamente, 
cuando hablamos del movimiento de un electron alrededor del nucleo, podemos 



9.3) 



Masa reducida 249 



suponer el sistema reducido a una particula con masa igual a la masa reducida 
del sistema electrbn-nucleo moviendose bajo la fuerza entre el electr6n y el nu- 
cleo. Por consiguiente, al describir el movimiento de dos particulas bajo su inter- 
acci6n mutua podemos separar el movimiento del sistema en el movimiento del 
centro de masa, cuya velocidad es constante, y el movimiento de las dos par- 
ticulas, dado por la ec. (9,16), referido a un sistema de referenda ligado al centro 
de masa. 

Notese que si una de las particulas, por ejemplo m v tiene una masa mucho 
menor que la otra, la masa reducida se puede escribir, 



m 

m 



1 + m^m^ 



,(l-i). (9.17) 



donde hemos dividido ambos terminos en la ec. (9.15) por m 2 y usado la apro- 
ximaci6n (1 + x)~ x ^ 1 — x, de acuerdo a la ec. (M.28). Esto conduce a una 
masa reducida aproximadamente igual a la masa de la particula mis ligera. 
Por ejemplo, al discutir el movimiento de un satelite artificial alrededor de la 
tierra podemos usar, con muy buena aproximaci6n, la masa del satelite y no la 
masa reducida del sistema tierra-satelite. Por otra parte, si las dos particulas 
tienen la misma masa (m 1 = m 2 ), tenemos ^ = £%• Este es el caso de dos protones 
interactuando entre si. Lo mismo vale, con muy buena aproximacidn, para un 
sistema formado por un neutron y un prot6n, tal como ocurre en el deuter6n. 

ejemplo 9.3, Calcular la masa reducida de los siguientes sistemas : (a) electr6n- 
prot6n en un atomo de hidr6geno, (b) prot6n-neutr6n en un nticleo de deuterio. 
En cada caso comparar el resultado con la masa de la particula mas liviana. 

Solucidn: (a) Para el sistema electr6n-prot<Jn que comprende un atomo de hidr6- 
geno, tenemos que m e = 9,1091 x 10" 31 kg y m p = 1,6725 X 10" 27 kg. Por con- 
siguiente, dado que m e es mucho mas pequeiia que m P , podemos escribir, usando 
la ecuachin (9,17), 



txep - me ( 1 — — ) = 9,1031 X 10- 31 kg. 
\ m P / 



mp 

Vemos que \i difiere de m e en alrededor de 0,06 %. A pesar de su pequenez, esta 
diferencia produce resultados percibidos en muchos procesos at6micos. 

(b) Para el sistema neutr6n-prot6n en el deuter6n, tenemos que ran = 1,6748 x 
x 10~ 27 kg, que es casi lo mismo que m p . Podemos entonces usar la f6rmula exacta, 
ec. (9.15), la que da 

^ np = ^^ = 0,8368 + 10- 27 kg, 
m p + m n 

resultado que es aproximadamente igual a la mitad de la masa de cualquiera de 
las particulas. 

Ejemplo 9.4* Un observador mide la velocidad de dos particulas de masas m 1 
y /n 2 y obtiene, respectivamente, los valores v t y v 2 . Determinar la velocidad del centro 
de masa relativa al observador y la velocidad de cada particula relativa al centro de 
masa. 



250 Dindmica de un sistema de particulas 



(9.3 




»CM 



Soluei6n: De la ec. (9.1) tenemos (Fig, 9-7) 

/n^i + m 2 v 2 
/n t + m z 

La velocidad de cada parttcula relativa al cen- 
tro de masa, usando la transformaci6n Galileana 
de velocidades dada por la ec. (6.9), es 



■-1 



V t =»! 



rGM = v x — 



m t + m 2 



m 2 v 12 



v a — v< 



m,(t?i — v 2 ) = . 

m l + m 2 nil + m s 

^iK — vj __ 



t?CM 



™1*>12 



Fig. 9-7 

al CM. 



Movimiento relativo 



m x + m 2 



m t + m 2 



donde v l2 '= t?i — t? a es la velocidad relativa de 
las dos particulas. Por tanto en el sistema C, 
las dos particulas parecen moverse en direccio- 
nes opuestas. El momentum de la particula 1 relativo al centro de masa es 



P[ = ^i< = 



m A m 2 



m, + m 2 



«12 = H*>12 



Por consiguiente el momentum de la particula 1 en el sistema C es igual a la masa 
reducida del sistema multiplicada por la velocidad relativa. Analogamente, para 
la particula 2, 

p a = m 2 v 2 = \iv 21 = — \iv 12 . 

Asi veriflcamos que en el sistema de referenda del centro de masa las dos particulas 
se mueven con momenta iguales y opueslas, y que el momentum total es P[ + P% - 0, 
de acuerdo a la ec. (9.4). Ello se ilustra en la fotografia de la Fig, 9-8(a) cuyo ana- 
lisis aparece en la Fig. 9-8(b). 




Trayectoria del centro de masa 




(b) 

Fig. 9-8* Golisi6n entre dos cuerpos {m t - 2 kg, m. = 1,5 kg). La interacci6n 
aparece solamente cuando los cuerpos se hallan muy pr6ximos entre si. (a) Fotografia 
de exposici6n multiple del movimiento de los dos cuerpos. (b) Analisis graflco de la 
fotografia, mostrando que el CM se ha movido en linea recta con velocidad constante 
relativa al lab oratorio. 



9.4) Momentum angular de un sistema de parttculas Z51 

Las relaciones que hemos derivado en este ejemplo son muy importantes en los 
experimentos de dispersidn de fisica nuclear. En dichos experimentos las veloci- 
dades de las particulas son medidas con relaci6n a un sistema de referenda L fljo 
en el laboratorio. Pero las expresiones te6ricas para la dispersi6n son mas simples 
cuando se las reflere al sistema de referenda del centro de masa, De ese modo las 
relaciones entre ambos conjuntos de medidas deben ser conocidas, y para deter- 
minarlas, debemos usar las f6rmulas derivadas anteriormente. 



9 A Momentum angular de un sistema de particulas 

Discutamos ahora el momentum angular de un sistema de particulas. En la 
ec. (7.32) definimos el momentum angular de una particula con relacion a un 
punto dado como la cantidad vectorial 

L = r x p = m(r x v), (9.18) 

y obtuvimos en la ec. (7.38) una relacion entre L y el torque r = r x F de la 
fuerza aplicada, Esto es 

^ = r. (9.19) 

dt 

Examinemos una situaci6n similar, en la cual sin embargo intervienen varias 
particulas y no solamente una, Por simplicidad consideremos primero solamente 
el caso de dos particulas. La ec. (9.19) aplicada a las particulas 1 y 2 da 

dL* dL« 

1 = Tt v —4- = To. 



dt " u J dt 

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos 

A (L, + Z, 2 ) =r 1 + tr (9.20) 

dt 

Supongamos que cada particula, ademas de su interaction con la otra estd some- 
tida a una fuerza externa (Fig. 9-9). Entonces la fuerza sobre la particula 1 es 
*i + ^12 y sobre la Particula 2 es F 2 + F 2V y 

x 1 = r 1 x (F ± + F 12 ) = r 1 xF 1 + r 1 x F n , 
t 2 = r 2 x (F 2 + F 21 ) = r 2 x F 2 + r 2 x F u . 

Dado que F n = — F 21 , el torque total sobre las particulas es 

r 1 + r z =r 1 x F x + r 2 x F 2 + (r 2 — r x ) x F 21 , 

El vector r 2 — r ± = r n tiene la direcci6n de la linea que une las dos particulas. 
Si es que suponemos especialmente que las fuerzas internas F n y F 21 actiian a lo 
largo de la linea r 21 que une las dos particulas, los vectores r 2 — r x = r n y F 21 



252 Dindmica de un sistema de particulas 



(PA 



\ 
son paralelos, y por tanto (r 2 — r x ) x F 21 = 0. El ultimo termino de la ecuaci6n 

anterior desaparece entonces, dejando solamente los torques debidos a las fuerzai 

externas. Esto es, la ec. (9,20) se transforma eri| 

I 




dt 



— fu ext + * 2f exf 



Generalizando este resultado a cualquier nti- 
mero de particulas, obtenemos 



dL 
dt 



text- 



(9.21 



En esta ecuacion L = Z{Li es el momentum 
angular total de las particulas, y r ex t es el top 
que total ejercido por las fuerzas externas so* 
lamente, siempre y cuando las fuerzas interi 

nas actiien a lo largo de las lineas que unen cada par de particulas. Expresandii 

la ec, (9.21) en palabras, podemos decir que 

la rapidez de cambio del momentum angular total de un sistema d\ 
particulas, relativo a un punto arbitrario, es igual al torque total 
relatiuo al mismo punto, de las fuerzas externas actuantes sobre 
sistema, 

Este enunciado puede ser considerado como la ley fundamental de la din&mia 

de rotation. En el capitulo 10 lo aplicaremos al movimiento de un cuerpo rigido. 

Si no hay fuerzas externas, o si la suma de sus torques es cero, r ex t = 0> P<M 

consiguiente 

dL " (ZtLd 



dt 



dt 



0. 



Integrando, obtenemos 

L = ZiLt = L x + L 2 + L z + . . . = const. (9.2^ 

La ec. (9.22) constituye la ley de conservation del momentum angular, Expresad 
en palabras, indica que 

^USfiinez^uALiw^? 1 total de un sistema ai&lado, o un sistgrna-spb* 
el que actua un torque externo * total ■■■nalo, es constants m magnihn 
g direction. 

Este es el caso, por ejemplo, de los electrones de un atomo cuando uno conside 
linicamente las fuerzas internas debidas a la repulsion electrostatica de los ele 
trones y a la atraccion electrostatica del niicleo, que son fuerzas internas a 
tuantes a lo largo de las lineas que unen cada par de particulas. Tambien, 
suponemos que el sistema solar est6 aislado y despreciamos las fuerzas debid 
al resto de la galaxia, el momentum angular total de todos los planetas relativo 



QA) Momentum angular de un sistema de particulas 253 

centro de masa del sistema solar permanece constante. Esta conclusion es valida 
con un alto grado de precision. Analogamente, la raz6n por la que la tierra se 
mantiene rotando alrededor de su centro de masa con un momentum angular 
que es esencialmente constante, es que las fuerzas externas debidas al sol y a los 
otros planetas pasan por el centro de la tierra y por consiguiente tienen un torque 
nulo (o aproximsidamente nulo) alrededor del centro de masa. 

A pesar de la suposicion especial que utilizamos para derivar la ley de conser- 
vation del momentum angular (esto es, que las fuerzas internas actiien a lo largo 
de las lineas que unen cada par de particulas), esta ley parece ser universalmente 
valida, aplicandose a todos los procesos observados hasta el momento, aunque 
nuestra suposicion especial no parezca ser valida. La ley de conservaci6n del 
momentum angular implica que si, en un sistema aislado, el momentum angular 
de una parte del sistema cambia debido a interacciones intensas, el resto del sis- 
tema experimenta un cambio opuesto de momentum angular, de tal manera 
que el momentum angular total se ha conservado. 

Por ejemplo, en un niicleo en desintegracion las particulas emitidas, en muchos 
casos un electrdn y un neutrino, poseen cierto momentum angular. Dado que en 
el proceso de desintegracion solamente actuan fuerzas internas, el momentum 
angular del niicleo debe cambiar exactamente para compensar el momentum an- 
gular de las particulas emitidas. Analogamente, si un atomo, molecula, o nucleo 
emite radiacidn electromagnetica, su momentum angular debe cambiar de modo 
de compensar exactamente el momentum angular de la radiaci6n. Algunas veces 
ciertos procesos que podrian ocurrir en la naturaleza no ocurren debido a que 
algiin aspecto caracteristico de ellos entrana una violation de la conservation del 
momentum angular. 

EJEMPLO 9.5. Momentum angular de dos particulas relativo a su centro de masa 
o sistema de referenda C. 

Soluci6n: Sea r 12 = r 2 — r 2 el vector posici6n de la particula 1 relativo a la par- 
ticula 2. La posicidn del centro de masa de las dos particulas (referirse a la Fig, 9-6) 
relativo al sistema de referencia L es 

m x r x + m 2 r 2 
**cm = 



m 1 + m 2 

Por tanto el vector position de cada particula relativo al centro de masa o sis 
tema de referencia C es 

m 2 (r l — r 2 ) m 2 r 12 



r'j = r x — rcM = 
r s — r 2 — r CM = 



m r + m 2 77*! + m 2 

m 2 (r 2 — r x ) = _ m 1 r u 

Usando los resultados del ejemplo 9,4, obtenemos el momentum angular relativo 
al centro de masa, 

Lqm. = r[ * p[ + rj * Pa 

= f_jn^_\ x + / ^\ x ^ 

V m t + m 2 / V m x + m 2 } 

= E""l2 X *>12 = *li * (M-»»)» 



254 Dindmica de un sistema de parliculas (9.4 

Luego, el momentum angular del sistema relativo al centro de masa es el mismc 
que el de una sola particula de momentum \iv lt y vector posicidn r lt . N6tese que em 
la expresidn final para £cm, las unicas cantidades que aparecen son aquellas que des* 
criben la posicidn relative, y el movimiento relativo de las dos particulas. 

Este resultado, por ejemplo, es importante al cotnputar el momentum angulai 
de un atomo de hidrigeno. Debemos usar la distancia y la velocidad del electrin 
relativas al protdn, pero debemos reemplazar la masa del electrdn por la masa re- 
ducida del sistema electr6n-prot6n, esto es, Lcm = n*j>r e p x t?ep, donde los subindi- 
ces ey pse refieren al electron y al protein, respectivamente. 

Tratandose de un sistema de muchas particulas, es costumbre referir el momen- 
tum angular total al centro de masa, y entonces llamarlo momentum angular in- 
terne* del sistema. El momentum angular interno es asl una propiedad del sistema, 
y es independiente del observador. En el caso de un cuerpo rigido o de una particula 
elemental, el momentum angular interno se llama tambign spin. 

EJEMPLO 9.0. Relacidn entre el momentum angular de un sistema de particulas 
relativo al centro de masa o sistema C (momentum angular interno) y el momen- 
tum angular relativo al laboratorio o sistema-L. 

Solucidn: Por simplicidad consideremos un sistema compuesto de dos particulas. 
El momentum angular relativo al laboratorio o sistema-L es 

L = r t x pj + r 8 x p % . 

Si t?! y », son las velocidades relativas al sistema L y t?' x y tjj las velocidades rela- 
tivas al sistema- C, tenemos que v t = v[ + vcm y v t — ri + rcM. Entonces p x — 
= m ± v t = m x (v[ + ©cm) = pj + h^vcm, y analogamente p s = pi + m t vcu.. Por tanto, 
recordando que r x — rl x + rod y r t = r g ' + rcM, obtenemos 

L = (r' x + «cm) * (Pi + /h^cm) + (ri + rcM) * (pj + m t t>cu) 
= r[* p{ + rj x pi + rcM * (p[ + Pi) + (ny-j + m,*,) x t>cM, 

Recordamos el ejemplo 9,4 o la ec. (9.4) en que p{ + pj = y las deflniciones dc 
Lcm (ejemplo 9.5) y rcM (ec. 9.2), concluyendo que el momentum angular relativo 
al sistema-1 del laboratorio es 

L = Lcm + (m x + m^rcM * »cm = Lcm + Mrcu x t>cM. (9,23) 

El primer t&mino de la derecha da el momentum angular interno relativo al sis- 
tema-C, y el ultimo termino, el momentum angular externo relativo al sistema-L, 
como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en el centro de masa. Poi 
ejemplo, cuando un lanzador arroja una pelota rotando, el momentum angulai 
debido a la rotacidn estt dado por Lcm, mientras que el momentum angular debidfl 
a la traslaci6n de la pelota esta dado por mboia rcM x *?cm. Una situacidn analogs 
ocurre para el fclectrdn en rotacidn dando vueltas alrededor de un prot6n en un 
dtomo de hidrdgeno. Esto indica otra vez que podemos separar el movimiento 
interno del movimiento del centro de masa en lo que se refiere al momentum an- 
gular. Aunque nuestra demostraci6n vale s6Io para dos particulas, este resultado 
es v&lido para un sistema compuesto de cualquier mimero de particulas. 

EJEMPLO 9.7. Relacidn entre el torque externo alrededor del centro de masa y 
el momentum angular interno de un sistema de particulas. 

Solucidn: Considerando de nuevo, por simplicidad algebraica, un sistema compuesto 
de dos particulas m, y m % sujetas a fuerzas externas F x y F t , tenemos que el torque 
total externo relativo al origen de coordenadas en el sistema L es 

Text = r, x F x + r % x F t = (rj + r CM ) x F x + (rj + rcM) x F % 

= r/ x ^ + rj x F, + f^ k (F x + F 8 ). 



9.5) 



Energia cinetica de un sistema de partlcutas 255 



Los dos primeros t6rtninos dan el torque externo relativo al centro de masa, que 
sera designado por tcm, mientras que el ultimo termino da el torque de la fuerza 
externa resultante Fext = F 2 + F a como si estuviera aplicada en el centro de masa. 
por tanto 

Text = tcm + rcM * Fext. (9.24) 

pero, del resultado del ejemplo 9.6, se obtiene L = l C m + Mtoa * vcm. Tomando 
la derivada temporal de esta expresi6n, obtenemos 



dL dLcu , ™ rffCM 

— = — — + MrcM * — — 
dt di dt 



+ M — — x *?CM 

dt 



Recordamos que drcw/dt — i?cm, de manera que el ultimo termino es cero y, usando 
la ecuaci6n (9.9) (esto es, F ex t = M dvcM/dt), obtenemos 



dL 
dt 



dLcu 
dt 



+ rCM x F ex t. 



Sustituyendo en la ec. (9.21) las expresiones para dL/dt y Text, que acabamos de 
obtener, reconocemos que 



dLcm 
dt 



TCM. 



(9.25) 



Esta relaci6n es formalmente id6ntica a la ec. (9.21), pero existen algunas diferen- 
cias basicas. La ec. (9.21) es valida solamente cuando el momentum angular y el 
torque se evaluan con relacitfn a un punto fijo en un sistema inercial de referenda, 
usualmente el origen de coordenadas. Por otra parte, la ec. (9.25) es valida para el 
centro de masa, aun si no esta en reposo con relaci6n a un sistema inercial de refe- 
renda. Aunque esta ecuaci6n ha sido probada para dos particulas, es tambien 
valida para un sistema compuesto de cualquier niitnero de particulas. Es espe- 
cialmente util para discutir el movimiento de un cuerpo rtgido. 



9.5 Energia cinetica de un sistema de particulas 



Consideremos un sistema compuesto de 
dos particulas de masas m x ym 2 , sujetas 
a las fuerzas externas F 1 y F 2 y a las 
fuerzas internas F 15! y F 21 . En un cierto 
instante las particulas ocupan las posi- 
ciones indicadas en la Fig. 9-10, movien- 
dose con velocidades v x y v z a lo largo 
de las trayectorias C x y C 2 . La ecuacion 
del movimiento de cada particula es 



x a x = F ± + F w 



™ 2 °2 — *' 2 



(9.26) 

En un pequeno intervalo dt, las parti- 
c ulas experimentan desplazamientos dr x 




m. 



256 Dindmica de un sistema de particulas (9.5 

y dr 2 tangentes a sus trayectorias. Al tomar el producto escalar de las ecs, (9-26), 
la primera con dr x y la segunda con dr 2 , obtenemos 

m x a^dr x = F x -dr x + F u -dr v 

y 

m^-dr, = F 2 >dr 2 + F n -dr r 

Sumando dichas ecuaciones y recordando que F^ = — F 2V obtenemos 

m x a^dr x + m^4r % = F x *dr x + F 2 -dr 2 + F 12 idr x — drj. (9.27) 

Ahora, dado que drjdt = v x y v x *dv x = v x dv v obtenemos que a x *dr x = (dvjdt)* 
*dr x = dv x *(dr x jdt) = v x dv v An&logamente, a 2 *dr 2 =v z dv 2r Tambien dr x — dr % = 
= d(r x — rg) = dr X2r Por consiguiente la ec. (9.27) se transforma en 

m 1 u 1 du 1 + m 2 v 2 dv 2 = F x *dr x + F 2 *dr 2 + F n *dr 12 . 

Integrando a partir de un tiempo inicial / hasta un tiempo arbitrario U obtenemos 

i x v x dv x + m 2 v 2 dv % = (F r dr x + F 2 -dr 2 ) + 

+ i* F l2 *dr 12 , (9.28) 

donde A y B son simbolos usados para designar la position de ambas particulas 
en los tiempos t y L Puesto que JS # v dv = \iP — ty^ obtenemos, para el miem-; 
bro izquierdo de la ec. (9.28), 

Q™A — i*v4) + (i m A — i"Vlo) 

= (± m A + W>S) — & m Ao + W&) 

= E k — E kt0 , 
donde 

E k = ±m x u\ + ±m^ (9.29) 

es la energia cinetica total del sistema de dos particulas en el instante /, y E^ 
la energia cinetica total en el instante * relativa al sistema de referencia del 
observador* El primer termino en el miembro derecho de la ec. (9.28) da el tr* 
bajo total W ext hecho por las fuerzas exteriores durante el mismo intervalo d< 
tiempo. Vale decir, 

Wext = f B ( F i- dr i + P * mdr & 

Finalmente el ultimo termino de la ec. (9.28) da el trabajo Wj nt hecho por lai 
fuerzas interiores. Esto es, 

W int = f F n -dr 12 , 



-J/» 



gg) Conservacidn de la energla de un sistema de partlculas 257 

Sustituyendo estas notaciones en la ec. (9.28) obtenemos 

E k - E K0 = Wext + Wtat, (9.30) 

lo que se puede expresar diciendo que 

el cambio de energla cinetica de un sistema de partlculas es igual al 
trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores. 

Esta es la extensi6n natural de nuestro resultado previo para una particula dado 
en la ecuaci6n (8*13), y es v&lido para un sistema compuesto por cualquier nu- 
mero de partlculas. 

9M Conservacidn de la energla de un sistema de partlculas 

Supongamos ahora que las fuerzas internas son conservativas, yque por tanto 
existe una funcidn E Pin dependiente de las coordenadas de m x y m^ tal que 



W 



int 



rB 
= I F n *dr^ = £p,i2,o ~ E P,n ( 9 - 31 ) 



donde E PtU se refiere al instante / y -E Ptl2 ,o a * instante f Q . Llamaremos a E PM la 
energla potencial interna del sistema. Si las fuerzas interiores actiian a lo largo 
de la linea r n que unen las dos partlculas, entonces la energia potencial interna 
depende solamente de la distancia r n , por la misma raz6n que la energia poten- 
cial debida a una fuerza central depende solamente de la distancia r (secci6n 8.10). 
En este caso la energla potencial interna es independiente del sistema de refe- 
renda ya que contiene s61o la distancia entre las dos partlculas, situaci6n que 
representa razonablemente bien la mayoria de las interacciones que se encuentran 
en la naturaleza. Sustituyendo la ec. (9.31) en la ec. (9,30), obtenemos E k — E ki0 = 
= Wext + E Ptl2tQ — E PMt o sea 

(E k + E Paa ) - (E k + E Ptia ) - Wext- (9.32) 

La cantidad 

U = E k + E p , 12 = \m x v\ + ±ny| + E p>n (9.33) 

ser£ llamada la energia propia del sistema, Esta es igual a la suma de las energias 
cineticas de las particulas relativas a un observador inercial y su energla potencial 
interna, la cual, como lo mostramos antes, es (bajo nuestra suposici6n) indepen- 
diente del sistema de referenda. 



Si en vez de dos particulas tenemos varias, la energia propia es 
U = E k + E p , int = ytmti + 2 £ /MJ> 

Todas las Todo: 

partlculas pares 



las Todos los ^ * * 



258 Dindmica de un sistema de particulas (9.6 

donde 



Todas las 



particulas 



^p.int — ^ ^P,0' - ^P,12 "T ^P,13 ~T ♦ • • + ^P,23 + • * •• 
Todos los 
pares 

N6tese que la primera suma, correspondiente a la energia cinetica, tiene un t6r- 
mino para cada particula. Notese tambien que la segunda suma, correspondiente 
a la energia potencial interna, tiene un termino para cada par de particulas, ya 
que se refiere solamente a la interaction entre dos particulas. Si no hay fuerzas 
interiores, toda la energia propia es cinetica. 

Sustituyendo la definition (9.33) de energia propia en la ec. (9.32), obtenemos 

U-U =Wt Xt , (9.35) 

1© que establece que \ 

i 
el cambio de la energia propia de un sistema de particulas es igual\ 
al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas. j 

Este importante enunciado se llama la ley de conservacion de la energia. Hastaj 
ahora la ley ha aparecido como una consecuencia del principio de la conservaci6n: 
del momentum y la suposicion de que las fuerzas interiores son conservativas.: 
Sin embargo, esta ley parece ser verdadera en todos los procesos que observamos| 
en el universo, y por tanto se le concede validez general, mas alia de las supo-j 
siciones especiales bajo las cuales la hemos derivado. La ec. (9.8) expresa la] 
interacci6n del sistema con el mundo exterior por medio de su cambio de mo- 
mentum. La ec. (9.35) expresa la misma interaccion por medio del cambio de ener- 
gia del sistema. 

Consideremos ahora un sistema aislado en el cual W ext = 0, ya que no hay 
fuerzas exteriores. Entonces U — U = o sea 17 = t/ . Esto es, 

.1 

la energia propia de un sistema aislado de particulas permanecel 

constante, 

bajo la suposicion de que las fuerzas internas son conservativas. Si la energia 
cinetica de un sistema aislado aumenta, su energia potencial interna debe dis- 
minuir en la misma cantidad de manera que la suma permanezca igual. Por' 
ejemplo, en una molecula de hidrogeno aislada, la suma de la energia cineticai 
relativa a algiin sistema de referencia inercial y la energia potencial interna de; 
dos protones y de dos electrones permanece constante. 

El principio de conservacion del momentum, junto con las leyes de conser-j 
vacion de la energia y del momentum angular, son reglas fundamentals que. 
segiin parece gobiernan todos los procesos que pueden ocurrir en la naturaleza. 

Puede suceder que las fuerzas externas actuantes sobre un sistema sean tambien! 
conservativas de modo que W ex t se puede escribir como W ext = E PiexttQ — i?p,«xt t: 



g$) Conservation de la energia de un sislema de particulas 259 

donde £ P ,ext,o y -Ep.ext son los valores de la energia potencial asociada con las 
fuerzas externas en los estados inicial y final. Entonces la ec. (9.35) se trans- 
forma en 

U — U = £p f ext,o ~ -Ep,ext 

o sea 

U + £ p>e xt = U + £p,ext,o- 

La cantidad 

E = U + £ Pj ext = E k + E Pt int + £p,ext (9.36) 

se llama la energia total del sistema. Permanece constante durante el movimiento 
del sistema bajo fuerzas conservativas internas y externas. Este resultado es 
similar a la ec. (8.29) para una sola particula. 

Por ejemplo, un atomo de hidrogeno, compuesto de un electron y de un proton, 
tiene una energia propia igual a la suma de las energias cineticas de electr6n y 
proton y la energia potencial interna debida a su interaccion electrica. Si el 
atomo est& aislado, la suma de dichas energias es constante. Pero si el atomo 
esta en un campo externo su energia total debe incluir, ademas, la energia poten- 
cial debida al campo externo, y esta energia es entonces la que permanece constante. 

Como otro ejemplo, consideremos las dos masas m x y m 2 unidas a un resorte 
cuya constante elastica es k. Si el sistema se lanza al aire, la energia cinetica es 
^m x v\ + %m 2 v% la energia potencial interna, debida a la extension o compresion 
del resorte, es igual a ^/cx 2 , donde x es la deformation del resorte, y la energia po- 
tencial externa (debida a la atraccion gravitatoria de la tierra) es rn 1 gy 1 + ni z gy 2 , 
donde y r e y 2 son las alturas de las particulas sobre la superficie terrestre. La 
energia propia del sistema es entonces U = ^m-^vf + \m 2 v\ + ^kx 2 y, si no hay 
otras fuerzas actuantes sobre el sistema, la energia total es 



E = %m x v\ + %m 2 v\ + ^kx* + m 1 gy 1 + m$y 29 



y esta energia debe permanecer constante durante el movimiento. 

Dado que la energia cinetica depende de la velocidad, el valor de la energia 
cinetica depende del sistema de referenda usado para discutir el movimiento 
del sistema. Llamaremos energia cinetica interna Ejt.CM a la energia cinetica refe- 
rida al centro de masa. La energia potencial interna que depende unicamente 
de la distancia entre las particulas, tiene el mismo valor en todos los sistemas de 
referenda (como se explico antes) y, por tanto, defmiremos la energia interna 
del sistema como la suma de las energias cinetica y potencial internas. 

t^int — Eji.CM + £p,int- (9.37) 

En el futuro, al tratar de la energia de un sistema de particulas, nos referiremos 
p& general solamente a la energia interna, aun cuando no escribamos el sub- 
todice cm. 

La energia potencial interna de algunos sistemas es en circunstancias espe- 
c iales, despreciable comparada con la energia cinetica interna. Ello se cumple, 



260 Dindmica de un sistema de parttculas (9.6 

por ejemplo, en el caso de un gas a alta temperatura. En esta circunstancia la 
energia interna puede considerarse totalmente cinetica, y el principio de con- 
servaci6n de la energia se reduce a la conservaci6n de la energia cinetica. 

EJEMPLO 9*8. Relaci6n entre la energia cinetica de un sistema de particulas re- 
lativa al laboratorio o sistema-L y la energia cinetica interna relativa al centro de 
masa o sistema- C. 

Solucidn: Consideremos por sitnplicidad dos particulas de masas m x y m^ con velo- 
cidades v x y t? a en el sistema-L, y velocidades v{ y vi en el sistema- C, Los dos con- 
juntos de velocidades estan relacionados por t^ = v[ + vcm y v 2 = vi + *>cm, 
donde «?CM es la velocidad del centro de masa relativa al sistema-L. 

E k = im^l + %m % v\ = imi(v{ + vcm) 2 + \mjiv' t + t?CM) 2 . 

Podemos reescribir este enunciado como 

Ek = \m x v[ 2 + im 2 ui 2 + %(m x + m z )u 2 cM + (m^i + in a vi) -vgm. 

La cantidad m x v{ + m 2 v' 2 es el momentum total del sistema referido al centro de 
masa, y por la ec. (9.4), debe ser cero. {Ver tambiSn ejemplo 9.4). La energia ci- 
netica interna £*,cm referida al sistema-C es £*,cm = itfyji** + im 2 y 2 a - Por con- 
siguiente la energia cinetica Ek del sistema, referida al sistema del laboratorio, 
puede ser escrita como 

Etc = E k ,CM + i(™i + ™a)"CM = E k ,CM + iMv 2 CM . (9.38) 

El primer termino, Ek,CM, es la energia cinetica interna. El segundo t£rmino en 
la derecha es la energia cin6tica de una particula de masa M — m x + m z movi&ndose 
con el centro de masa, Se le llama la energia cin&ica de traslacidn del sistema.. 
Aunque la ec. (9.38) ha sido probada para dos particulas, vale tattibien para un? 
sistema compuesto de un numero arbitrario de particulas. 

Notamos una vez m&s que podemos separar el movimiento del sistema en dos, 
partes, cada una con una energia cinetica bien definida. Una es el movimiento de" 
traslaci6n con la velocidad del centro de masa, y la otra es el movimiento interno 
relativo al centro de masa. 

Consideremos nuevamente el caso de un lanzador tirando una bola en rotaci6n. 
La energia cinetica total de la bola relativa al suelo es la suma de su energia ci- 
netica interna relativa al centro de masa, que corresponde a la energia cinetica 
de rotacidn, y su energia cinetica de traslaci6n relativa al suelo, que es ±m wqm* 
Una situaci6n similar es la de una mol6cula. En general, es en el movimiento in-j 
terno en el que estamos interesados y por tal raz6n, se prefiere el uso del sistema-C^ 
para describir muchos procesos. ) 

Como hemos dicho antes, la energia potencial interna E P , 1Z depende solamentej 
de la distancia entre m x y m 2 , y es la misma en los sistemas Cyl. Sumando E p #^ 
en ambos lados de la ec. (9.38) y usando la ec. (9.33), podemos escribir 

U = Uint + 1Md£m, 

donde Uint = ^*,cm + E p , n . Esta ecuaci6n relaciona la energia interna Uint y 
la energia propia U medida en los sistemas de referenda CyL Ndtese que para 
un sistema aislado vcm es constante y por consiguiente, si U es constante, Uint tam- 
bi6n lo es. Esto es, cuando la energia es conservada en un sistema inercial L 9 
tambten es conservada en el sistema del centro de masa C, y reciprocamente. 

ejemplo 9.9. Expresar la energia cinetica interna de dos particulas en t^rminos 
de su masa reducida y su velocidad relativa. 



9$) Conservation de la energia de un sistema de parttculas 261 

Solucidn: La energia cinetica interna es Z?*,cm — im x vl % -f \nw£* Usando los re- 
sultados del ejemplo 9.4, esto es, 



obtenemos 



™2*?12 „> m \ v \* 

Vl _ ^ __ ^ t? 2 — ■ , 

m x + /n a m 1 -\- m 9 

£i , CM = imi l-^-f + im, l-^-X - ^i, 



Encontramos asi, como lo hicimos antes para el momentum angular en el ejem- 
plo 9.5, que la energia cinetica interna de un sistema de dos particulas es equiva- 
lente a la de una particula de masa igual a la masa reducida moviendose con la 
velocidad relativa t? 12 . Por ejemplo, la energia interna de un atomo de hidr6geno 
es Uint = iM-ep^ep + Ep(rtp), donde los subindices se refieren al electr6n y al prot6n. 
Los resultados que hemos derivado en 6ste y los ejemplos anteriores son de gran 
importancia por sus numerosas aplicaciones, especialmente en la fisica at6mica y 
nuclear. 

La tabla 9-1 muestra las relaciones mas importantes que hemos derivado hasta 
el momento en este capftulo, relaciones usadas en muchas aplicaciones. 

TABLA 9-1 



Relaci6n Niimero de la 

ecuaci6n 



Relaciones cinematicas 



P = Mvcm (Pcm = 0) (9,3) 

L — LCM + MrcM * *?CM (9,23) 

Text = TCM + rCM * *ext (9,24) 

Ek = Et,CM + iMvhu (9,38) 



Relaciones din arnicas 



dP/dt = Fext (9,8) 

o Mocm = Fext (9,9) 

dL/dt = Text (9,21) 

o dLcM/dt = tcm (9.25) 

Ex — E k , = Wext + Wint (9,30) 

U — U = Wext (9,35) 



Deflniciones de energia 



Energia propia, U — Ek + E P ,int (9,33) 

Energia interna, Uint = Ek.CM + E p ,fat (9,37) 
Energia total E = Ex + Epjm + E Pt ^x (9,36) 



262 Dindmica de un sistema de parttculas 



(9.7 



9.7 Colisiones 




Fig. 9-11. Conservaci6n de la ener- 
gia y del momentum en una colisi6n. 



Cuando dos particulas se aproximan entre si, su interaction mutua altera su 
movimiento, produciendo un intercambio de momentum y energia, Decimos 
entonces que ha habido una colision (podemos decir lo mismo cuando tenemos 
dos sistemas en liigar de dos particulas). Esto no significa necesariamente que 
las dos particulas (o sistemas) hayan estado fisicamente en contacto, en un sen- 
tido microscopico, como sucede en el caso de la colision macrosc6pic& entre dos 
bolas de billar o dos carros. Significa, en general, que ha ocurrido una interaction 

cuando las dos particulas estaban proximas 
una de la otra, como sucede en la regi6n 
sombreada de la Fig. 9-11, produciendo un 
cambio medible en sus movimientos en un 
intervalo de tiempo relativamente peque- 
no. Por ejemplo, si un electron o un pro- 
ton se aproximan a un Atomo, las fuerzas 
electricas empiezan a actuar, produciendo 
una perturbation notable en los movimien- 
tos de las particulas. La curvatura de la 
trayectoria de un cometa cuando se apro- 
xima al sistema solar es tambien un choque. 
Algunas veces se utiliza el termino dispersion 
para referirse a choques en que las particulas (o sistemas) finales son las mismas 
que las initiates. 

En algunos choques, sin embargo, las particulas o sistemas finales no son ne- 
cesariamente identicas a las iniciales. Por ejemplo, en un choque entre un atomo A 
y una molecula BC, el resultado final puede ser la molecula AB y el atomo C. 
De hecho, esta es la forma en que ocurren muchas reacciones quimicas. 

En un experimento de laboratorio sobre choques, uno generalmente conocej 
exactamente el movimiento de las particulas antes del choque, ya que dicho' 
movimiento depende de como se ha preparado el experimento, Por ejemplo, unaj 
de las particulas puede ser un proton o un electron acelerado por un acelerador 
electrostatico y la otra particula puede ser un atomo practicamente en reposo' 
en el laboratorio. Entonces se observa el estado final; esto es, el movimiento; 
de las particulas ya muy lejos de la region de donde chocaron. Si conocemoa 
las fuerzas entre las particulas, podemos computar el estado final, siempre y 
cuando conozcamos el estado initial. EI analisis de tales experimentos nos pro-; 
porciona information valiosa acerca de la interaction entre las particulas quel 
chocan. Esta es una de las razones por las cuales los experimentos de choque soul 
tan interesantes para el fisico. 1 

Ya que solo fuerzas internas entran en action durante un choque, tanto el 
momentum como la energia totales son conservadas. Sean p ± y p 2 momenta de 
las particulas antes del' choque y p[ y p'% momenta despues del choque* La! 
conservation del momentum requiere que 



Pi + V% = Pi + P2 



(9.39)1 



9.7) Colisiones 263 

La energia potential interna antes del choque es E Ptl2 . Despues del choque, debido 
a que puede haber reagrupaciones internas, dicha energia puede ser diferente, 
digamos £p 12 * Analogamente, las masas no tienen porque ser las mismas. Por 
ejemplo, un deuteron es un nucleo compuesto de un neutr6n y un prot6n; al 
pasar cerca a otro nucleo, el neutron puede ser capturado por el segundo nucleo, 
de manera que el proton continua separadamente y las particulas finales consis- 
tiran de un prot6n y un nucleo con un neutron extra. 
La conservation de la energia, de acuerdo a la ec. (9*35), es entonces 

E k + Ep,i2 = E 'k + Ep,w 
donde, recordando la ec. (8.12), tenemos 



(9.40) 



E k = 


= \m x v\ + \m 2 v\ = 


. a +- 

2m 1 


2m 2 ' 


E' k = 


= WA 2 + i m 2 y 2 2 


2m[ 


P'i 
2m' 2 


Introduzcamos una 


cantidad Q 9 definida por 




= 


&k &k == ^P t ]2 " 


— E' 





(9.41) 

y por consiguiente igual a la diferencia entre las energias cineticas inicial y final 
o entre las energias potenciales internas. Cuando Q — 0, no hay cambio en la 
energia cinetica y la colision se llama eldstica. Si no es asi, es ineldslica. Cuando 
Q < 0, hay disminucion en la energia cinetica con un correspondiente aumento 
en la energia potencial interna, y decimos entonces que hay una colision ineldstica 
de primera close (o endoergica). Cuando Q > 0, hay aumento en la energia cinetica 
a expensas de la energia potencial interna, y tenemos entonces una colision ine- 
ldstica de segunda clase (o exoergica). 
Usando la ec. (9.40) en la ec, (9,41), podemos escribir 

d' 2 d' 2 d 2 n 2 

-^T + ^T = -^ + ^+Q- (9-42) 

2m[ 2m % 2m x 2m 2 

Las ecs. (9.39) y (9.42) son suficientes para resolver el problema del choque com- 
pletamente. 

Si referimos los choques al centro de masa, el momentum total es cero de acuerdo 
a la ec. (9.4), de mode que p x = — p 2 y p[ = — p' v Podemos entonces sim- 
plificar la ec. (9.42) para Ilegar a 

<(J r + JA >? _±(± + _L) p . + c 

°» usando la ec. (9.15), que define la masa reducida, podemos obtener 



'2 



Pi Pi 



2\x 2\l 



+ Q (en el sistema-C de referenda). (9.43) 



264 Dinamica de un sistema de partlcutas 



(9.7 



N6tese que usamos la misma Q porque, en virtud de su defmicidn (9.41), es in- 
dependiente del sistema de referenda. En un choque, hay siempre intercambio 
de momentum entre las dos particulas, pero no necesariamente intercambio de 
energla cinetica entre ellas* Por ejemplo, si el choque es el&stico (Q = 0) y las 
particulas finales son las mismas que las iniciales fa = \l% la ec, (9,43) da p x = p' x 
y por consiguiente p' 2 = p 2 , Asi en el sistema del centro de masa, los momenta 
despues del choque elistico tienen las mismas magnitudes que antes y las par- 
ticulas retienen sus energias cineticas, de modo que no se intercambia energia 
cinetica entre ellas con relation al centro de masa. Sin embargo ha habido un 
intercambio de momentum ya que las direcciones de sus movimientos han sido 
cambiadas. 

i 

EJEMPLO 9.10. Obtener el valor Q para una reaccWn de captura, ■ 

i 
Solucidn: Un ejemplo interesante de choque ineldstico ocurre cuando despuSs dtf 
una colisi6n, las dos particulas contintian moviSndose juntas. En fisica nuclea ' 
este proceso se llama reaccidn de captura. Ocurre, por ejemplo, cuando un neutr6i 
chocando con el prot6n de un atomo de hidrdgeno es capturado para formar ui 
micleo de deuterio. Otra colisi6n que puede ser de este tipo es el choque entre do 
cuerpos plasticos. En este caso, las dos particulas despues de la colisidn, se muevei* 
juntas con la velocidad del centro de masa. Esto es, recordando el ejemplo 9A\ 



»CM = 



m^ + m 2 v s 



La Q de la reaccidn es entonces 






1 



2 m v + m a 



(i?j — r 2 ) a = — iiivl 



i*> 



y por tanto Q depende completainente de las velocidades relativas antes del choqw 
^Puede el estudiante dar significado al valor obtenido para Q 9 en vista del resulta< 
del ejemplo 9,9? 






Y 



Pi 







m 2 



p 2 = Q 



Antes 

(a) 




Despues 
(b) 



Fig. 9-12. Relacion entre los momentos relativos al sistema-L antes y despu4 
del choque. 



EJEMPLO 9.11. Obtener Q en t£rminos de la energia cinetica de las partici 
antes y despues del choque, suponiendo que inicialmente nil tiene un momentum 



9.7) 



Colisiones 265 





(a) 



(b) 



Fig. 9-13. (a) Choque de dos bolas de billar iguales. (b) Choque entre dos particulas 
a (nucleos de helio). En ambos casos, una de las particulas estaba inicialmente en 
reposo en el sistema-L, y los momenta de las particulas son perpendiculares entre si 
en el sistema L despues del choque. La flgura (a) es cortesia de Educational Services 
Inc. ' 



y que m 2 esta en reposo (p 2 = 0) (ver la Fig. 9-12). Suponer tambien que las masas 
de las particulas despues del choque son m[ y mj. 

Solucidn: La conservation del momentum da p' + p' = Pl o »« = », — »' Por 

consiguiente 

Ps a = (Pi — P[y = Pl + pj« — 2p lP| ' cos 6. 
Usando la deflnici6n (9.41) para Q tenemos 



Q 



Pi 2 , Pa 8 



2m{ 2m' i 



PL. = Pi" 



Pl 



+ 



2m' 2 



o sea 



2m x 2mi 2m l 

(Pl +P?— 2p 1 p 1 'cos6) 



Recordando que E k = p 2 /2/n, podemos expresar el resultado anterior como 

Este resultado, conocido como la ecuacidn Q es de mucha aplicaci6n en fisica 
nuclear. 

Cuando la co!isi6n es elastica (Q = 0) y todas las particulas son identicas (m x = 
-m 1 =, m% = mi), la conservaci6n de la energia da p(* + p^ = pf, mientras que la 
conservacion del momentum da P 1 =Pi+p / 2t permitiendonos obtener p? + p? + 
+ ^Pi*pJ = p}. Combinando estos resultados obtenemos pf*p; = o seaquep{es 
Perpendicular a pj. Por tanto, en el sistema L, las dos particulas se mueven en angulo 
ecto despu6s de la colisidn. Esto puede apreciarse en la fotografia de la Fig. 9-13 (a), 
que Uustra la colisi6n de dos bolas de billar, una inicialmente en reposo. La Fig, 9-13 
l fi ) muestra la colisi6n de dos nucleos de helio en una c£mara de niebla; el niicleo de 



266 



Dindmica de un sistema de particulas 



(9.7 



helio incidente es una partlcula a proveniente de una sustancia radioactiva y el 
micleo de helio que es bianco, pertenece al gas de la camara. En ambos casos las 
dos particulas se mueven en angulo recto despues del choque. 



EJEMPLO 9.12. Una granada en reposo en el sistema-L explota en dos frag- 
mentos. Hallar las energias de Ios fragmentos en terminos de Q. 

Soluci6n: Como la granada estaba inicialmente en reposo, el momentum total es 
cero. Despues de la explosi6n los dos fragmentos se separan en direcciones opues- 
tas con momenta p x y j» 2 de tal modo que p x + p a = 0, o en magnitud p x = p a . 
Entonces, a partir de la ec. (9.41), con E' k — pt/2m + pl/2m y E k = 0, obtenemos 

\ (— + — ) p\ = Q y Pi = P 2 = tfiiQ) 1 '". I 



Las energias cin^ticas de los fragmentos son 



Ek,i — 



Pi 

2m 1 



m v + m a 



Ek, 



n 2 

P2 



m t Q 



2m, 



mj + m 2 




Fig. 9-14. Fotografla, en camara de niebla, de las trayectorias de dos fragment* 
producto de la fisi<5n de un niicleo de uranio [Boggild, Brostrom y Lauritsen, Pity 
Rev. 59, 275 (1941)]. Inicialmente el nucleo de uranio se hallaba en reposo sobre 1 
delgada placa metalica horizontal al centro de la fotografla. Los dos fragmento 
se mueven en direcciones opuestas. Por el analisis de las trayectorias puede estimate 
las energias de los fragmentos, las que a su vez (usando la relaci6n derivada en 
ejemplo 9.12) nos permiten obtener la raz6n de sus masas, Se desprecia el efecto d 
los neutrones liberados. 



9.7) 



Colisiones 267 



y son inversamente proportionates a sus masas. Este analisis se aplica igualmente 
al retroceso de un artna de fuego (recordar el ejemplo 7.1) t a la fisidn de un nu- 
cleo en dos fragmentos, ilustrada en la Fig. 9-14, o a la disociaci6n de una molecula 
diat6mica. 

Si hay tres fragmentos en vez de dos, son posibles varias soluciones, ya que 
estan en juego tres momenta, pero solo dos condiciones fisicas : conservacitfn de 
la energia y del momentum. Por ejemplo, si solamente son observadas dos partlculas 
en una reacci6n y la energia y el momentum de ellas no son conservados, el fisico 
sospecha la presencia de una tercera particula que no es observada (ya sea porque 
no tiene carga electrica, o por alguna otra razon). Puede haber tambien considera- 
ciones teoricas que le permitan reconocer que hay tres partlculas en el proceso (ver 
el problema 9,70). El fisico asigna entonces un cierto momentum y una cierta energia 
a su particula hipotetica, de modo de respetar las leyes de conservacidn. Este pro- 
cedimiento hasta la fecha ha dado siempre resultados consistentes tanto con la 
teoria como con el experiment©. 

EJEMPLO 9.13. Discutir la retardaci6n (o moderaci6n) de neutrones que chocan 
elasticamente al moverse a traves de un material cuyos atomos pueden ser consi- 
derados en reposo. {El material se llama moderador). En los reactores nucleares, 
los neutrones rapidos producidos por la fisi6n del uranio son retardados al moverse 
a traves de un moderador. 



Neutron 



*>i 



Atomo 

m 2 



v 2 = Q 



(L) 




If to 

Atomo 



m. 



v\ y 2 



m-2 
* — • (C) 




i — **£T Neutr6n 

(c: 



Atomo 

Antes Despu^s 

(a) (b) 

Fig. 9-15. Gomparacion de datos relativos a los sistemas L y C en un choque. 



Soluci6n: En este caso las partlculas son las mismas antes y despues del choque 
y m x = m[, /7i 2 = i7ij. Tambien p a = y Q = 0. El calculo es mas facil si traba- 
jamos en el sistema de referenda C (Fig. 9-15). Llamaremos A = mjm^ la raz6n 
de las masas de los atomos del moderador con las del neutr6n, v x la velocidad del 
neutrdn, y v 2 ( = 0) la velocidad del atomo. Antes de la colisi6n la velocidad 
del centro de masa de acuerdo a la ec. (9.1) es 



ttCM 



m^ 



m 1 + m 2 * 1 + A 

La velocidad de cada particula en el sistema del centro de masa antes de la coli- 
si6n es 

Av x 



F, = Vl 



VCM = 



F, = 



v, 



t?CM = 



(9.44) 



1 + A ' ' " 1 + A 

Dado que estamos tratando de una colisidn elastica en la que las partlculas retienen 
s u identidad, tenemos, de acuerdo a la explicaci6n inmediatamente posterior a la 



268 Dindmica de un sistema de paritculas 



(9.7 



ec. (9.42), que p l — p[ en el sistema del centro de masa, y que por consiguiente 
tambien V x = V( ; esto es, la velocldad de m x tiene la misma magnitud en el sis- 
tetna-G antes y despu6s de la colisi6n. Analogamente V 2 = V' 2 . Sin embargo, las 
direcciones del movimiento despues de la colisi6n pueden ser diferentes en el sistema 
del centro de masa (ver la Fig. 9-15). La velocidad^ del neutrtfn despues del choque, 
relativa al sistema-L, es entonces 

v[ = V[ + t?CM, 

de modo que, de acuerdo con la Fig. 9-16, 

v? = V{" = DfcM + 2F 1 '-i>cm 
= v i* + v hu + 2 V[vcm cos O. 

Usando las ec. (9.44) y recordando que V[ — V lt obtenemoa 

a A 2 + 2AcosO + 1 




z?;* = m 



Figura 9-16 



(A + l) 2 






La relaci6n entre la energia cinetica de m 1 despues y antes 
de la colisidn en el sistema-L es entonces 

v? A 2 + 2A cos O + 1 



v\ 



(A + 1)« 



Para = (esto es, para un choque sin cambio en la direcci6n) E" kll = I?* f1 y no 
hay perdida de energia cinetica. Para $ = tt, choque central, hay una perdida ma- 
xima de energia dando como resultado 



E* 



2A + 



(A + 1)* 



1_ = / A — 1 V 
~ \A +1/ 



La perdida de energia por unidad de energia es en este caso 



E* — E' k 
E k 



4A 



(A + 1) 



La perdida de energia es mayor cuanto mas cerca este A de la unidad. Este re-j 
sultado es importante al escoger el material moderador para retardar rapidament* 
los neutrones, como debe ser en los reactores nucleares. Los atomos con los valoi 
res mas pequenos de A son los del hidr6geno (A ^ 1), y por esta razdn es di 
esperar que el hidr6geno puro sea el mejor moderador. Sin embargo, a la temperatun 
ambiente, el hidr6geno puro es gaseoso de manera que el niimero de atomos d 
hidrdgeno por unidad de volumen es relativamente pequeno. Por consiguient 
se usa mas bien el agua. El agua no solamente tiene la ventaja de ser abundant! 
y barata, sino que ademascontiene por unidad de volumen alrededor de 10 3 vece| 
m&s atomos de hidrdgeno que el hidr6geno gaseoso. Infortunadamente, los atomosl 
de hidr6geno tienden a capturar neutrones para formar deuterio. Por otra parte* 
como los atomos de deuterio tienen relativamente poca tendencia de capturaiS 
neutrones, algunos reactores nucleares usan agua pesada, cuyas moleculas estaflj 
formadas por deuterio (en vez de hidr6geno) y oxigeno. (En este caso A = 2Xj 
Otro moderador comtin es el carbdn (A == 12), usado en la forma de grafito. ] 



9.8) Sistemas de muchas particulas: temperaturas 269 

11. SISTEMAS CON UN GRAN NUMERO DE PARTICULAS 

9.8 Sistemas de muchas particulas: temperatura 

El resultado expresado por la ec. (9.35) o su equivalente, la ley de conservaci6n 
de la energia, al ser aplicado a un sistema compuesto de un numero pequeiio de 
particulas, tal como nuestro sistema planetario o un £tomo con pocos electrones, 
requiere el c6mputo de varios terminos que forman la energia interna, de acuerdo 
con la ec. (9.34). Sin embargo, cuando el numero de particulas es muy grande, 
tal como en un atomo de muchos electrones o un gas compuesto de millones de 
moleculas, el problema resulta demasiado complicado matematicamente. Debe- 
mos entonces usar ciertos metodos estadisticos para computar valores promedio 
de las cantidades din&micas en vez de valores individuates precisos para cada 
componente del sistema, Adem&s, en los sistemas complejos no estamos intere- 
sados en el comportamiento de cada componente individual (ya que dicho com- 
portamiento no es observable en general) sino en el comportamiento del sistema 
como un todo. La tecnica matematica para tratar esos sistemas constituyen lo 
que se llama la mecdnica estadistica. Si nos olvidamos por un momento de la 
estructura interna del sistema y simplemente aplicamos la ec. (9.35), usando 
valores medidos experimentalmente para U y W, estamos empleando otra rama 
de la fisica, la lermodindmica. En el presente capitulo nos limitaremos a efectuar 
una adaptation de la ec. (9.35) para los sistemas compuestos de muchas particulas 
sin entrar a discutir los metodos de la mecdnica estadistica o los de la termo- 
dinamica. Tambien expresaremos, a menos que se especifique lo contrario, todas 
las cantidades dindmicas con relaci6n al sistema-C para el caso considerado, 
Definamos primero la temperatura T del sistema como una cantidad relacionada 
con la energia cin&ica promedio de las particulas en el sistema-C. Por tanto la 
temperatura es definida independientemente del movimiento del sistema relativo 
al observador. La energia cinetica promedio de una particula es 

E kt = -L (Zftnfl), (9.45) 

donde N es el numero total de particulas y V( es la velocidad de la particula en 
el sistema-C. Si todas las particulas tienen la misma masa, entonces 



E k9 = -L Z&mv\ = \m (-L S $ j = im (^) = \ 



miW 



donde Vr^^ se llama la "velocidad media cuadr&tica de las particulas**, definida 
como 

No necesitamos indicar aqui la relaci6n precisa entre la temperatura y la energia 
cinetica promedio. Es suflciente por el momento suponer que, dada la energia ci- 
netica promedio en un sistema, podemos computar la temperatura del sistema, 
y reciprocamente. En este sentido hablamos de la temperatura de un s61ido, 
de un gas, y aiin de un niicleo complejo. 



270 Dindmica de un sistema de parttculas {9.9 

El hecho de que estemos refiriendo los movimientos al centro de masa para 
definir la temperatura es importante. Supongamos que tenemos una esfera me- 
tdlica "caliente" en reposo en nuestro laboratorio y una esfera metalica "fria" 
moviendose muy rapido con relacion a nuestro laboratorio. La bola "caliente" 
tiene una temperatura alta, lo que significa una gran energia cinetica relativa 
al centro de masa, el que en este caso est& en reposo con relacion al laboratorio. 
Por otra parte, la bola "fria" tiene una temperatura baja, lo que significa una 
energia cinetica pequena con relacion al centro de masa, que en nuestro caso est& 
en movimiento con relacion al observador. La bola "fria" moviendose rapida- 
mente puede tener una energia cinetica total con relacion al laboratorio que sea 
mayor que la de la bola "caliente" lenta, pero la mayor parte de ella es energia 
cinetica de traslacion y por tanto no entra en el calculo de la temperatura. 

Un sistema que tiene la misma temperatura a traves de todas sus partes, de 
modo que la energia cinetica promedio de las particulas en cualquier region del 
sistema es la misma, se dice que esta en equilibrio termico. En un sistema aislado, 
cuya energia interna es constante, la temperatura puede cambiar si la energia 
cinetica interna cambia, debido a un cambio en la energia potencial interna. 
Por ejemplo, una masa de gas en el espacio interestelar puede estarse condensando 
debido a fuerzas atractivas muy fuertes, que determinan una disminucion de 
energia potencial interna y un correspondiente aumento de la energia cinetica. 
Como resultado de ello, la temperatura deberia aumentar. Si, por otra parte, el 
sistema se esta expandiendo, su energia potencial interna aumenta (si las fuerzas 
son atractivas), produciendo una disminuci6n en la energia cinetica y, por tanto, 
una disminucion en la temperatura. Pero si la energia potencial interna de un sis- 
tema aislado permanece constante, que es el caso de un gas contenido en una 
caja rigida, entonces la energia cinetica promedio del sistema permaneceria cons- 
tante; esto es, su temperatura no cambiara. Cuando el sistema no est£ aislado, 
puede intercambiar energia con el resto del universo, lo que puede resultar en- 
un cambio de su energia cinetica interna y, por tanto, de su temperatura. 

La temperatura debiera ser expresada en joules por particula. Sin embargo, 
es costumbre expresarla en grados. La escala de temperatura usada en fisica es la 
escala absoluta. La unidad se llama Kelvin, y se denota por K. En esta escala, 
la temperatura de fusion del hielo a presi6n atmosf erica normal es 273,15 K y la 
temperatura de ebullition del agua a presion atmosf erica normal es 373,15 K.* 
Por tanto la diferencia entre esas dos temperaturas es 100 K. La temperatura 
en grados centigrado o Celsius, designado por °C se define de acuerdo a 6 C = 
= T — 273,15 K. Un Kelvin corresponde a aproximadamente 1,38 x 10~ 23 J 
(6 8,61 x 10- 4 eV) por particula. 



9.9 Sistemas de muchas particulas: trabajo 

El intercambio de energia de un sistema con el mundo exterior es representado 
por el trabajo externo W ex t en la ec. (9.35). Esto es, 

U — U = W e * t . 



9.9) 



Sistemas tie muchas particulas: trabajo 271 



irm-TTTm 






\ \ \\ n Pi 



n 



AV 



LJ 



dx 



Fig, y-17. Trabajo hecho en una 
expansidn gaseosa. 



Si el trabajo es hecho en el sistema (W ex t 
positivo), su energia interna aumenta, pero 
si el trabajo es hecho por el sistema (W ex t 
negativo), su energia interna disminuye. 
Este trabajo externo es la suma de los tra- 
bajos externos individuals hechos en cada 
una de las particulas del sistema, pero a ve- 
ces puede ser facilmente computado esta- 
disticamente. 

Consideremos, por ejemplo, un gas dentro 
de un cilindro, una de cuyas paredes es un 
piston movible (Fig. 9-17). El gas puede in- 
teftambiar energia y momentum con las 

vecindades a traves de los choques e interacciones de sus moleculas con las 
moleculas de las paredes. El intercambio del momentum esti representado 
por una fuerza ejercida por cada molecula en el punto de colisi6n con la pared* 
Esas fuerzas individuales fluctuan en cada punto, pero debido a que hay un gran 
mimero de colisiones sobre un area grande, el efecto total puede ser representado 
por una fuerza F actuante sobre la totalidad del area- Si A es el Area y p la pre- 
sion del gas, definida como la fuerza promedio por unidad del area (recordar el 
ejemplo 9.2), entonces 

p =F/A 6 F = pA. (9.46) 

Si una de las paredes del recipiente es movible, tal como el pist6n de la Fig. 9-17, 
la fuerza ejercida por el gas puede producir un desplazamiento dx de la pared. 
El intercambio de energia del sistema con el mundo exterior puede entonces ser 
expresado como el trabajo hecho por esta fuerza durante el desplazamiento. Ya 
que este es trabajo hecho por el sistema y no trabajo hecho en el sistema, pode- 
mos considerarlo negativo. Por consiguiente 

dWext =~Fdx =—pAdx = — pdV, (9.47) 

donde dV = A dx es el cambio de volumen del gas* Entonces si el volumen Gam- 
bia de V a V, el trabajo externo hecho en el sistema sera 



W ext 



[ v p dV. 

J vo 



(9.48) 



Para computar esta integral, debemos conocer la relacion entre p y V. Esta rela- 
ci6n ha sido estudiada para gases y otras sustancias en gran detalle. 

Muy a menudo, especialmente al tratar de maquinas termicas, es preferible 
computar el trabajo exterior hecho por el sistema, denotado por W S j S t» en vez 
del trabajo externo hecho sobre el sistema, W e xt« Ya que ambos trabajos corres- 
ponden al mismo desplazamiento, pero a fuerzas iguales y opuestas, son iguales 
entre si en magnitud pero tienen signos opuestos; esto es, W S j St = — W e xi> En- 
tonces, por ejemplo, el trabajo de expansi6n hecho por un gas, usando la ec. (9.48), es 



I 



= |- pdV. 
vo 



(9.49) 



272 Dindmica de un sistema de parttculas (9.11 

Indicaremos ahora alguna de las unidades m£s comunes en que se expresa li 
presi6n. Notemos priraero que la presion debe ser expresada como una unidac 
de fuerza dividida por una unidad de &rea. Por tanto en el sistema MKSC h 
presi6n se mide en newtons por metro cuadrado, o N m -2 . Otras unidades frecuen. 
temente usadas son las dinas por centimetro cuadrado, o din cm- 2 , y kilogramo* 
fuerza por centimetro cuadrado (kgf cm -2 ). Otra unidad muy util, usada prin. 
cipalmente para expresar la presi6n de los gases, es la atmosfera, que se abrevia 
atm, definida de acuerdo a las equivalencias 

1 atm = 1,013 x 10 5 N m~ 2 = 1,033 kgf cm- 2 . 

Una atm6sfera es, aproximadamente, la presi6n normal ejercida por la atmdsferc 
de la tierra sobre los cuerpos al nivel del mar. 

EJEMPLO 0.24. Un gas ocupa un volumen de 0,30 m 3 , ejerciendo una presidn At 
2 x 10 5 Nm-V A una presidn constante, el volumen se expande hasta 0,45 m 1 ; 
Hallar el trabajo hecho por el gas. 

Soluddn: Usando la ec. (9.49), cuando la presi6n p permanece constante, 

i 

WW = f pdV = p f dV = p(V— V ). (9.509 

Este resultado es completamente general y se aplica a cualquier sistema cuyo 
lumen caxnbia bajo presWn constante. Entonces, sustituyendo los valores numgrii 
obtenemos Watt = 3 X 10* J. 

EJEMPLO 9.15. Un gas se expande de modo de respetar la relacidn pV 
(constante). Esta relation [ver la ec. (9.62) y el Problema 9.67] requiere que 
temperatura del gas permanezca constante, y constituye la ley de Boyle, Hj 
el trabajo efectuado cuando el volumen se expande de V, a V,. 

Solucidn: Usando la ec. (9.49), obtenemos 

Wd* = I pdV = I — — - = Cln—f-. 

Por tanto el trabajo hecho depende de la raz6n V t /V t entre los dos voliimen^ 
(llamada la razdn de expan$i6n). En el diseno de motores de combustion inte: 
la razdn de compresi6n (o expansidn) es uno de los factores determinantes de 
potencia del motor. 



9.10 Sistemas de muchas parttculas: calor 

i 

A 

Es importante recordar que la ec. (9.48) expresa un promedio macroscopico qiiflj 
suma todos los intercambios individuales de energia entre las moleculas del gafj 
y las moleculas del pistdn. Pero, £c6mo se puede computar el intercambio d<j 
energia que ocurre debido a la interacci6n de las moleculas de gas con las paredejj 
que permanecen fijas? En este caso, el metodo usado para evaluar W para d 
pist6n no puedc aplicarse, ya que, aunque definamos todavla la fuerza promedi<| 
sobre la pared, no podemos definir un desplazamiento promedio de la pare<K 



gjO) Sistemas de muchas particulas: calor 273 

En cada interaction individual entre las moleculas del gas y la pared, se ejerce 
una pequena fuerza y se produce un pequeno desplazamiento de las moleculas 
en la pared. Si pudieramos computar cada una de esas cantidades infmitesimales 
de trabajo y sumarlas, tendriamos el trabajo exterior correspondiente hecho por 
el sistema. Sin embargo, esta tecnica es obviamente casi imposible debido al 
gran numero de factores que intervienen. Por consiguiente, defmiremos un nuevo 
concepto macrosc6pico o estadistico Uamado calor. 

El valor promedio del trabajo externo o la energia intercambiada entre un 
sistema y el medio que lo rodea debido a intercambios individuales de energia 
que ocurren como resultado de choques entre moleculas del sistema y moleculas 
del medio que lo rodea se llama calor, Q, siempre que no pueda expresarse macros- 
cdpicamente como fuerza por distancia. Por consiguiente, Q estd compuesta de 
una suma de un gran numero de trabajos externos individuales muy pequenos, 
tales que no pueden ser expresados colectivamente como una fuerza promedio 
por una distancia promedio. 

El calor Q se considers positivo cuando corresponde a un trabajo externo 
neto hecho sobre el sistema y negativo cuando es equivalente a un trabajo ex- 
terno neto hecho por el sistema. En el primer caso decimos que el calor es absor- 
bido por el sistema y en el segundo caso decimos que el calor es perdido por el 
sistema, 

Ya que el calor corresponde a un trabajo, debe expresarse en joules. Sin em- 
bargo, el calor se expresa algunas veces en una unidad Uamada caloria, cuya 
definici6n fue adoptada en 1948 como 1 caloria = 4,1840 J, La caloria fue intro- 
ducida originalmente como unidad de calor cuando la naturaleza de este era 
desconocida. Pero la caloria es simplemente otra unidad para medir trabajo y 
energia, y no solamente calor. 

Este es el momento de prevenir al estudiante a fin de que no considere el calor 
como una nueva o diferente forma de energia. Es simplemente, el nombre dado 
a una transferencia de trabajo y energia de tipo especial, en la cual participan 
un gran numero de particulas. Antes de que los conceptos de interacci6n y de la 
estructura atomica de la materia fueran claramente comprendidos, los fisicos 
clasificaron la energia en dos grupos: energia mecdnica correspondiente a las 
energias cinetica y potencial gravitatoria, y energia no mecdnica, dividida en 
calor, energia quimica, energia electrica, radiaci6n, etc. Esta division ya no se 
justifica, Ahora los fisicos reconocen solamente energia cinetica y potencial, 
denotando la energia potencial con una diferente expresi6n segiin la naturaleza 
de la interaction fisica correspondiente, y denotando con calor y radiaci6n dos 
mecanismos de transferencia de energia. La energia quimica es simplemente un 
termino macroscopico para describir la energia asociada con las interacciones 
electricas en los Atomos y las moleculas, energia que se manifiesta en procesos 
quimicos; esto es, en redistribuciones at6micas dentro de las moleculas. 

Cuando no hay intercambio de energia (en la forma de calor) entre dos sis- 
temas, decimos que est&n en equilibrio termico. Este es un concepto estadistico, 
ya que las moleculas individuales pueden intercambiar energia, pero, en pro- 
medio, la misma cantidad de energia se intercambia en una direcci6n que en la 
otra. Para que exista equilibrio termico entre dos sistemas, las energias ciniticas 



274 Dindmica de un sistema de particulas 



(9.11 



mokculares promedio en los dos sistemas interactuantes deben ser las mismas, de 
modo que no sea posible un intercambio neto de energia cinetica por colision mo- 
lecular. Por consiguiente, en vista de nuestra definition preliminar de tempe- 
ratura dada en la section 9,8 podemos decir que 

dos sistemas en equilibrio termico deben estar a la misma temperatura. 

Podemos tambien concluir que la energia se intercambia como calor solamente 
cuando la temperatura de los dos sistemas es diferente. 



9.11 Reformulation del principio de conservaci6n de la energia 
para los sistemas de muchas particulas 

En las dos secciones previas hemos visto que, al tratar de sistemas compuestos 
por un gran numero de particulas, deberiamos expresar el trabajo total externo 
como la suma de dos partes: Q + W e xt* Aqui W ex t expresa el trabajo externo 
que puede ser computado ccmo el producto de una fuerza promedio por una 
distancia, tal como se discutio en la section 9.9, y Q representa el trabajo externo 
cuando debe ser expresado como calor, segiin la discusion de la section 9.10, 
La ec. (9.35) para el principio de la conservation de la energia debe serentonces 
escrita en la siguiente forma 



U-U = Q + W e * t , 



(9.52> 





(a) (b) 

Fig. 9-18. Relaci6n entre el calor, el trabajo y la energia interna. 



lo cual puede ser expresado en palabras asi: 

el cambio de energia interna de un sistema es igual al calor absorbido 
mas el trabajo externo efectuado sobre el sistema. 

La ec. (9.52) puede ser representada graficamente por la Fig. 9-18(a): El calor Q 
es absorbido por el sistema mientras el trabajo W ex t es efectuado sobre el siste- 
ma. Su suma Q + W e xt es almacenada como energia interna U~U del sistema. 
Algunas veces, especialmente en aplicaciones de ingenieria, en lugar de escribir 
el trabajo externo W ex t hecho sobre el sistema, se escribe el trabajo externo W a i»t 
hecho por el sistema, el cual, como se explico anteriormente, tiene signo opuesto 
al del trabajo hecho sobre el sistema. Haciendo W ex t = — W S i S ti tenemos, en 
vez de la ec. (9.52), 

U — U = Q — Wdst. (9.53) 



gj2) Teorema del uirial para muchas particulas Z75 

La ec. (9.53) esta ilustrada en la Fig. 9-1 8(b): el calor Q es absorbido por el sis- 
tema, el trabajo W S ist es hecho por el sistema, y la diferencia Q — W siat es alma- 
cenada corao energia interna U — U del sistema. 

Los enunciados relativos a las ecs. (9.52) y (9.53) constituyen lo que se llama 
la primera ley de la termodindmica, que es simplemente la ley de conservaei6n 
de la energia aplicada a sistemas de gran mimero de particulas, con el trabajo 
externo convenientemente dividido en dos terminos estadisticos, uno de ellos 
todavia llamado trabajo y el otro llamado calor. Lo que se ha dicho es suficiente 
para que el estudiante comprenda el significado de los conceptos de calor y tem- 
peratura tal como se usar£n en los capitulos siguientes y por ello no proseguiremos 
por el momento con estos asuntos termodinamicos. (Ver el tercer volumen de 
esta serie). 



9.12 Teorema del virial para muchas partlcuhis 

En esta section extenderemos el teorema del virial, introducido en la secci6n 8.13 
para el caso de una sola particula, a un sistema de muchas particulas. En su 
nueva forma es aplicable a la discusion de las propiedades estadisticas o promedio 
de sistemas compuestos por muchas particulas, especialmente los gases.* 

Consideremos primero, por simplicidad, un sistema compuesto de dos par- 
ticulas, m 1 y m z . Definimos la cantidad escalar 

que es simplemente una extension de la cantidad A definida para una sola par- 
ticula. Tomando la derivada temporal de A, tenemos 

dA dv, , dr r dv t dr a 

^ = m ^ r > +m ^^t + m >~dT' r * + "WIT' 

o, dado que v x = drjdt, v 2 = dr z /di f a x = dvjdt ya 2 - dvjdt, entonces 

dA 

= (m^-r! + m 2 a^r 2 ) + (m^ + ny>£). 



dt 

El ultimo termino de la derecha, de acuerdo a la ec, (9,29), es el doble de la energia 
cinetica, E k , del sistema, Podemos entonces escribir 

dA 

— - = 2E k + KOi-f! + m 2 a 2 -r 2 ). 
dt 



* Para una aplicacidn elemental del teorema del virial a problemas quimicos, ver B. H. Mahan t 
Quimica, Curso universitario, Bogota, Colombia: Fondo Educativo Interamericano, S. A t , 
1968, pag. 412. 



276 Dindmica de un sistema de parttculas (9.13 

Usando la ec. (9.26) y recordando que F u = — F 21 yr 1 — r 2 = r 12 , vemos que 

m^.n + nufo.rz = (F 1 + F 12 ). ri + (F 2 + F 2 J-r 2 

= F l -r 1 + F 2 .r 2 + F l2 .(r 1 -r 2 ) 

= F 1 .r 1 + F 2 .r 2 + F l2 -r 12 . 

Por tanto nuestra ecuaci6n se transforma ahora en 

dA „ ,_ „ 

— = 2E k + (F r r ± + F 2 -r 2 + F^r 12 ) = 2E* + £, 

donde, para simplificar la escritura, hemos Uamado B a la expresi6n dentro dell 
parentesis. Tomando el pro medio temporal de esta ecuaci6n tenemos 1 



dA 



dt 



= 2E k< + B. (9.55) | 

Recordando la definition del promedio temporal dada en la secci6n 8.13 y elf 
resultado obtenido en la ec. (8.46), tenemos nuevamente 



dA 
~dT 



A-A 



Si el tiempo x es muy largo y A no aumenta indefinidamente con el tiempo, la 
cantidad (A — A )/t puede llegar a ser tan pequeiia que se considere cero. Ello 
ocurre si el sistema esta limitado, como en el caso de un gas en un recipiente, 
porque entonces ri y r 2 , y tambien v 1 y v 2 , en la ec. (9.54) no pueden aumentar 
indefinidamente. Por tanto, poniendo (dAjdt) = en la ec. (9.55), encontramos^ 



I 



2E kr =-B=- (F^r, + F 2 -r 2 + F a -r^. 
Si en vez de dos particulas tenemos muchas, la ecuaci6n puede generalizarse 




tfrt-,+ 2 F ir rA (9.56); 

i las Todos los pares / 

:ulas de particulas ' 

donde la primera suma en el lado derecho se refiere a las fuerzas exteriores ac-i 
tuantes sobre cada partfcula y la segunda suma se refiere a las fuerzas interiores^ 
entre pares de particulas. La ec. (9.56) se llama el teorema del virial para un sis-, 
tema de particulas, mientras que la cantidad en el lado derecho se llama el vividly 



del sistema. 



9.13 Ecuacidn de estado de un gas 



Una de las aplicaciones mas interesantes del teorema del virial es la derivaci6n ; 
de la ecuaci6n de estado de un gas. Por ecuacion de estado entendemos una ecua- 
cidn que describe la relaci6n entre cantidades macrosc6picas tales como presi6n f ; 



9JS) 



Ecuacion de estado de un gas 277 



volumen, y temperatura, que especifican el estado de un sistema. Por supuesto, 
esas magnitudes macroscopicas o estadisticas son el resultado directo de la es- 
tructura interna del sistema y, bajo hip6tesis apropiadas, debieramos ser capa- 
ces de establecer una correlation entre la estructura interna y el comportamiento 
macroscopico. 

Supongamos que un gas esU compues- 
to de moleculas sujetas a interacciones 
mutuas y a interacciones con las pare- 
des del recipiente, Supongamos tambien, 
por simplicidad, que el recipiente es un 
cubo de lado A (la prueba m&s general 
no requiere de esta limitaci6n) como se 
muestra en la Fig. 9.19. 

Evaluemos la ec. (9.56) empezando 
con la primera suma, correspondiente a 
las fuerzas exteriores. Una molecula ex- 
perimenta una fuerza exterior solamente 
cuando choca con las paredes y rebota. 
Podemos suponer que dicha fuerza es 
perpendicular a la pared, una hipotesis 
que es solo estadisticamente correcta. 
En la pared OEGH, con x = en todos 
los puntos de la misma, una molecula 

que llegue al punto P, por ejemplo, sufre una fuerza F t = u x F t . Por tanto 
p rTi ^ p iX . = o, y la pared OEGH no contribuye al virial, ya que nuestra 
selection de origen hace que x t = 0. El mismo resultado se obtiene con las pa- 
redes OBCE y OHAB. 

Considerando ahora la pared ABCD, una particula que llegue a Q, por ejemplo, 
siente una fuerza paralela, pero de direction opuesta a OX; esto es, F ( - — — u x F u 
y, todas las particulas que choquen con esta pared tienen x { = a. Por consiguiente 
F v n= — Fia. La suma ZiFrVi para la pared considerada es — -T^a = 
= — (Z i F i )a= — Fa=—pa\ donde, usando la ec. (9.46), F^pa* es la fuerza 
total ejercida por el gas sobre la pared de Area A = a 2 , y p es la presi6n del gas. 
Se obtiene un resultado similar para las paredes CDGE y ADGH, obteniendo 
una contribuci6n total al virial para las seis paredes igual a: 




Figura 9-19 



Z t F r n = — 3P0 3 = — 3p V, 

donde V = a 3 es el volumen ocupado por el gas. La ec. (9.56) se transforma 
entonces en 



E k =^pY-^ u F ir Tii) 



pV^SE^ + iiZijFirrij). 



(9.57) 



278 Dindmica de un sistema de palilalias tgj$ 

La energia cinetica promedio de una molecula es Wms» y la energia promedio 
de todas las moleculas en el gas es E k = NQmv? m ) t donde N es el mimero total 
de moleculas. Sustituyendo en la ec, (9.57), tenemos 



P V = tNmi&n + 1[ 2 *trrti) , (9,58) 

* I Todos los / x ' 

Spares / 

que relaciona la presion p y el volumen V con propiedades moleculares tales 
como m, Vnns y Fy. Definimos la temperatura absoluta T del gas como directamente 
proporcional a la energia cinetica promedio de una molecula, expresandola por 
la relation 

$kT = i/n^ ms 6 kT = imi&nt, (9.59) 

donde k es una constante universal llamada constante de Boltzmann, y cuyo valor 
experimental (ver nota sobre la medicion de la temperatura en la pag. 279) es 

k = 1,38045 x 10-^ j o K _ lt (9 60) 

Entonces la ec. (9.58) se transforma en 



pV = NkT + ±t£ F ir rA. (9.61) 



Todos los 
spares 



Hemos llegado a la ecuacion de estado de un gas. No esta aun en su forma ! 
final porque no hemos evaluado el ultimo termino, que depende de las fuerzas i. 
intermoleculares. Para evaluarlo debemos hacer alguna hip6tesis sobre la natu-1 
raleza de las fuerzas intermoleculares. \ 

Por el momenta, postulemos un gas "ideal" que puede considerarse como un 
modelo muy simplificado. Un gas ideal es aquel en el que las fuerzas intermo- 
leculares son consideradas nulas. Entonces el ultimo termino de la ec. (9.61) 
desaparece, y la ecuacion de estado para un gas ideal es 

pV = NkT. ( 9. 6 2) 

Esta ecuaci6n es obedecida con sorprendente buena aproximacion por muchos 
gases, lo cual indica que las fuerzas intermoleculares son despreciables, excepto 
cuando las moleculas se encuentran muy proximas o la temperatura es muy baja. 
La caracteristica interesante de la ec. (9.61) es que expresa claramente el efecto 
de las fuerzas moleculares en la presion del gas. Por ejemplo, vemos que si las 
fuerzas intermoleculares son atractivas, los productos F ir r f/ son todos negativos, 
de modo que el miembro derecho de la ec. (9.61) sera menor que para un gas 
ideal, dando como resultado una presion menor, resultado que esta de acuerdo 
con nuestra intuition fisica. 

ejemplo 9.16. Obtener la ecuacidn de estado de un gas ideal computando direc- 
tamente la presi6n ejercida por el gas sobre las paredes del recipients 



gjS) Ecuacion de estado de un gas 279 

Solucidn: El estudiante puede recordar del ejemplo 9.2 que la presWn de un chorro 
de gas sobre el area A de la pared es 

F 2Anmv* cos 2 6 „ 2 9Q 
p = — = = 2nmv 2 cos 2 9, 

A. A 

donde v cos es la componente de la velocidad molecular a lo largo de la normal 
a la pared. Ello da la presi6n debida a las molSculas que se mueven en una direc- 
ci6n que hace un angulo 6 con la normal a la pared. Por tanto en este caso n no es 
el numero total de moteculas por unidad de volutoien sino solamente el numero 
de aquellas que se mueven en tal direccidn. Por consiguiente debigramos empezar 
por hallar qu6 fracci6n de mol6cu!as se mueven en un angulo 6 con la normal y 
sumar (en realidad integrar) sus contribuciones para todas las direcciones. En cam- 
bio, procederemos en una forma mas simple e intuitiva que esencialmente conduce 
al mismo resultado. 

Podemos, sin peligro, suponer que estadlsticamente, en un instante particular, 
una mitad de las moteculas tienen una componente de su velocidad dirigida hacia 
la pared y la otra mitad esta ale j an dose de la pared. Debemos entonces reemplazar n 
por in, ya que solamente in van a chocar con la pared. Por otra parte, si la pared 
es A BCD en la Fig. 9.19, entonces v cos 8 es la componente v x de la velocidad a lo 
largo del eje X que es normal a la pared escogida. Haciendo esos cambios en la ex- 
presi6n anterior para p t tenemos 

p = 2(in)mi£. 

La magnitud de la velocidad es v* = v% + Vy + v\. En realidad debemos usar el 
valor promedio ul.rms y por tanto »?ms ^i&rms + tfj.rms + t>2,rms. Pero podemos su- 
poner que si el gas es homog£neo, las direcciones de las velocidades moleculares es- 
tan distribuidas isotrdpicamente : Asi vl t nxa = w£,rms = w|,rms y por tanto i>*,rms = 
= ivhns. Haciendo esas sustituciones en la expresi<Jn de p> tenemos 

p = 2(in)m(ivrm*) = inmvfms = — — mvrms, 

ya que n = N/V f donde N es el numero total de moISculas y V es el volumen, 
Por consiguiente 

pV = iN mVrm*. 

Este resultado coincide con la ec. (9.58), excepto que falta el Urmino correspon- 
diente a las fuerzas interiores y por tanto la ecuaci6n corresponde a un gas ideal. 
La ventaja del m6todo del virial es que muestra claramente c6mo tomar en cuenta 
las fuerzas intertnoleculares. ^Puede imaginar el estudiante alguna forma de incor- 
porar las fuerzas intermoleculares dentro del contexto de este ejemplo? 

Nota sobre to mediddn de to temperature En la seccidn 9,8 asociamos la tem- 
peratura de un sistema de particulas con la energia cin6tica promedio de una 
particula en el sistema de referenda del centro de masa. En la ec. (9.59), que es 
ikT = i/nuJms, fuimos mds especlflcos en lo que se reflere a la relaci6n entre la 
temperatura de un gas y la energia cinStica promedio de las mol6culas del gas. 
Sin embargo, consideraremos ahora dos importantes aspectos : Primero, al deflnir 
la ec. (9.59) introdujimos dos nuevas cantidades, T (la temperatura absoluta) y k 
(la constante de Boltzmann), debemos decidir c<Smo se pueden medir independien- 
tetnente, Segundo, el estudiante tiene un concepto intuitivo de la temperatura 
basado en la experiencia sensorial, y reflejado en sus sensaciones de caliente y frfo. 
Est4 acostumbrado a medir la temperatura en ttrminos de un niimero dado por un 
artefacto Uamado termdmetro. Por consiguiente, es necesario correlacionar nuestra 
deflnicidn de temperatura con esta nocidn intuitiva. 



280 Dinamica de un sistema de particulas (9.14 

Consideremos una masa M de gas que contiene N moleculas. Si despreciamos el 
efecto de las fuerzas intermoleculares, la ecuaci6n de estado esta dada por la ec. (9.62); 
esto es pV — kNT. Supongatnos que llevamos el gas al equilibrio termico con 
algun otro sistema flsico que podemos suponer se mantiene a una temperatura flja. 
Este sistema puede ser una mezcla de agua y hielo en su punto de congelamiento 
y a la presidn normal de una atmtisfera. Medimos la presidn y el volumen del gas 
a esta temperatura, y obtenemos los valores p y V , respectivamente. Decidimos 
luego asignar un valor conveniente (pero arbitrario) T a la temperatura fija, 
la cual es tatnbien la temperatura del gas. Por consiguiente, podemos escribir 
Po v o = kNT. Esto fija automaticamente el valor de la constante de Boltzmann, 
k — p V /NT donde N puede obtenerse si conocemos la masa de cada molecula. 

Para determinar la temperatura del gas cuando su presidn es p y su volumen 
es V, de modo que pV = kNT, simplemente eliminamos el factor kN, usando los 
valores patrdn, y obtenemos 

T= T (pV/p Q V ) y 

lo que da T en tenninos de nuestro patrdn de temperatura T y de otras canti- 
dades medibles. En esta forma nuestra masa de gas se ha convertido en un iermd- 
metro de gas. En vez de un gas podemos usar otras sustancias como termdmetros, 
tales como un liquido, o una varilla metalica cuyas dimensiones (volumen o lon- 
gitud) cambian con la temperatura. Puesto que la ecuacidn de estado de esas sus- 
tancias es mas complicada, en la practica calibramos esos termdmetros usando un 
termdmetro de gas. En este caso el termdmetro coincide con el termdmetro de gas 
solamente en los puntos de calibracidn. Ya que la propiedad escogida puede no va- 
riar linealmente con la temperatura, pueden existir pequenas discrepancias en las 
temperaturas intermedias. 

Podemos escoger el valor de T ft de acuerdo con varios criterios. Por ejemplo, 
podemos escoger otro proceso que concebiblemente ocurra a una temperatura fija, 
tal como la ebullici6n del agua a cierta temperatura y a la presi6n normal de una 
atmdsfera. Podemos entonces decidir que la temperatura de este segundo punto 
de referenda este a 100 unidades o grados encima de T . Si p x y V l son la presidn \ 
y volumen del gas a esta nueva temperatura, tendremos que p 1 V x = kN(T + 100). 
Obteniendo kN de la ecuacidn p V = kNT , y sustituyendo este valor en la ecua- \ 
cidn anterior, encontramos que 

r = ioo Po y /(p 1 y 1 - Po y ), | 

de la cual podemos obtener un valor nume>ico para T . El valor obtenido para T \ 

como resultado de este tipo de experimento (y muchos otros experimentos usando .] 
otras tunicas) es T = 273,15. Cada una de estas unidades se llama Kelvin, y se 

designa por K. ■ 

Es importante darse cuenta que nuestra tecnica para medir temperaturas est£ J 

basada en la aproximactfn del gas ideal. Si usamos diferentes gases, los resultados \ 

obtenidos seran direrentes porque el efecto de las fuerzas intermoleculares, tal como < 

aparece en la ec. (9.61), es diferente para cada gas. Generalmente se usa el hidr6- \ 

geno o el helio. Es sumamente conveniente poder establecer una escala de tempe- \ 

ratura independiente de la sustancia usada, asunto que es discutido en termo- j 

dinamica y que no sera tratado aquf. i 



9.14 Movimiento de un fluido 



Los principios generates que hemos discutido en este capitulo para sistemas de j 
particulas pueden ser fAcilmente aplicados a la discusi6n del movimiento de un ] 
fluido. Consideremos, por simplicidad, un fluido (esto es, un liquido o un gas) ] 



9Ji) 



Movimiento de un fluido 281 



moviendose a lo largo de un tubo cilindrico de secci6n A (Fig. 9-20). El tubo 
puede estar orientado en cualquier direction, y, por tanto, se puede tomar el 
eje X en coincidencia con su eje. Nos concentraremos en un elemento de volumen 
de espesor dx y volumen A dx. Aunque este volumen es pequeno, contiene todavla 
un gran niimero de moleculas. Podemos discutir su movimiento, usando la ec. (9.9) 
con la masa M reemplazada por p(A dx) 9 donde p es la densidad del fluido. El 
centro de masa puede suponerse que coincide con el centro de volumen, si el 
fluido es homogeneo, y vqm. se llama la velocidad del fluido en tal punto. En 
nuestro caso es paralela al eje X, 




Fi&ura 9-20 



Debemos ahora determinar la fuerza exterior resultante que actiia sobre el 
volumen del fluido. Sean p y p' los valores de la presidn a la izquierda y a la 
derecha del volumen. El fluido a la izquierda produce una fuerza pA sobre el 
elemento de volumen, dirigida hacia la derecha* y el fluido a la derecha produce 
una fuerza p'A dirigida hacia la izquierda. Por tanto la componente X de la 
fuerza exterior resultante sobre el elemento de volumen debida a la presion es 

dF x = — p'A +pA = — (p'—p)A. 

Pero p' — p es la diferencia de presion entre dos puntos separados por una dis- 
tancia dx\ por tanto p' — p = dp. Luego 

dF x = — (dp)A = — ^P-(A dx). 

dx 

Dado que A dx es el volumen, concluimos que la fuerza por unidad de volumen 
a lo largo del eje X debida a la presion es 



f P = - 



dx 



(9.63) 



Este resultado, al compararlo con la ec. (8.23), sugiere que podemos considerar 
la presi6n como energia por unidad de volumen. Podemos ver que esto es di- 



282 Dindmica de un sistema de particulas (9.14 

mensionalmente correcto, ya que p se expresa en N m~ 2 , lo que es lo mismo 
que (N m)m -3 o J m^ 3 , 

Ademas de la presi6n puede haber otras fuerzas exteriores (tales como la gra- 
vedad o un campo electrico o magnetico externo) actuando sobre el fluido dentro 
del elemento de volumen. Digamos que f e es cualquier fuerza por unidad de vo- 
lumen (por ejemplo el peso por unidad de volumen); la fuerza resultante externa 
sobre el fluido dentro del elemento del volumen es (f p +f e )A dx=( — dpfdx+f e )A dx. 
(Las fuerzas entre las moleculas dentro del elemento del volumen son fuerzas 
internas, y no deben ser tomadas en cuenta). Por consiguiente, la ecuaci6n del 
movimiento de acuerdo a la ec. (9.9) (y aqui dejamos de poner el subindice cm 
en la velocidad), es 



<*«>±-{-£+u)** 



o, cancelando el factor comiin A dx, tenemos 
dv do 

'«"— £- + '* (964 > 

Si la fuerza f e es conservativa, tenemos que f e = — dE p /dx, donde e p es la ener- 
gia potencial correspondiente por unidad de volumen. Entonces 

Antes de proseguir, debemos ser m£s especificos acerca de la naturaleza del 
movimiento de un fluido. El movimiento de un fluido se dice que es estacionario 
cuando la forma del movimiento no cambia con el tiempo. Esto significa que, 
aunque la velocidad de un elemento de fluido puede cambiar cuando el elemento 
de fluido cambie de posici6n, la velocidad del fluido en cada punto del espacio 
permanece la misma. Para ser mas precisos, si seguimos a un elemento de fluido 
en particular a lo largo de su trayectoria (Fig. 9-21) podemos encontrar que cuando 
est& en A su velocidad es v y cuando esta en A' su velocidad es v\ Pero si el mo- 
vimiento es estacionario, todos los elementos de fluido tendran la velocidad V 
cuando pasen por A y la velocidad v r cuando pasen por A\ De esta forma, la 
velocidad del fluido puede ser considerada como una funcidn de posici6n en vez 
de una funci6n de tiempo. Cuando el movimiento no es estacionario, las veloci- 
dades en cada posicion pueden cambiar con el tiempo. Por ejemplo, si en un 
cierto instante la velocidad del fluido en A es v, en un instante posterior la velo- 
cidad, en general, senk diferente. En lo que sigue consideraremos solamente el 
movimiento estacionario. 

En el caso del movimiento estacionario, si dt es el tiempo requerido por el 
elemento de fluido para moverse una distancia dx 9 podemos escribir que 

dv ^ dv dx ^ dv _ d . ^ 
~dt'~~dx~di~' V lx'~~dx^^ 



9.14) 



Movimiento de un fluido 283 




Fig. 9-21, Fluido en movimiento es- 
tacionario. Las lineas mostradas se 
llaman lineas de corriente. 



Velocidad mayors 

Presion menor 




Fuerza 

resultante- 



._P 2 - 2 — 



Velocidad menor, 
Presion mayor 

Fig. 9-22, Empuje del aire sobre el 
ala de un aeroplane 



Sustituyendo esto en la ec. (9*65), tenemos 
P — (i" 2 ) = — -r- (P + e p)* 



dx 



dx 



Suponemos que el fluido es incompresible (esto es, que su densidad es constante); 
por consiguiente el miembro izquierdo de la ecuacion se transforma en d{\pv 2 )fdx, 
y podemos escribir la ecuacion en la forma 

&PV* + p + E P ) = 



o sea 



dx 



%pvP + P + E p — const. 



(9.66) 



Este resultado, conocido como el teorema de Bernoulli, expresa la conservation 
de la energia en el fluido- El primer termino es la energia cinetica por unidad 
de volumen; el segundo es interpretado como la energia potencial por unidad de 
volumen asociada con la presion, y el tercer termino es la energia potencial por 
la unidad de volumen debida a todas las otras fuerzas exteriores. Por consiguiente 
si todas las fuerzas que actiian sobre el fluido son conservativas, y seguimos el 
movimiento de un pequeno volumen del fluido, encontraremos que la energia 
total por unidad de volumen permanece constante. 

En el caso particular en que la fuerza exterior actuante es la gravedad, e p = pgz 
y la ec. (9.66) se transforma en 



\pv^ + p -\- pgz = const. 



(9.67) 



Consideremos dos casos importantes. Cuando el fluido se mueve en la direction 
horizontal solamente, el termino pgz permanece constante y la ec. (9-67) se reduce a 



\pifi + p = const. 



(9.68) 



Asi, en un tubo horizontal, a mayor velocidad, menor presion, e inversamen- 
te. Este efecto se usa para producir la elevation o empuje de un aeroplano 
(Pig. 9-22). El perfil del ala esta disenado de tal modo que el aire tenga mayor 



284 Dindmica de un sistema de parttculas 



{9.14 



velocidad encima del ala que debajo de ella, lo que produce una mayor presi6n 
por debajo. Esto produce una fuerza resultante total hacia arriba. Si A es el 
&rea del ala, la fuerza hacia arriba es F — A(p x — p 2 ) = %Ap{v\ — uf) donde los 
subindices 1 y 2 se refieren a las condiciones por debajo y por encima del ala. 
Dado que 

podemos decir, con suficiente aproximaci6n, que v = \{v 2 + v x ) es igual a la velo- 
cidad del avi6n f relativa al aire. Entonces la fuerza resultante neta hacia arriba, 
o empuje, es 

F =Apv(v 2 — v x ). 

Como segundo ejemplo, consideremos un fluido en reposo o moviendose con 
velocidad constante dentro de un tubo. Bajo tales circunstancias, el termino 
■J/w 2 puede ser omitido en la ec. (9,67), la que entonces se reduce a p+/Kjz=const. 
Designando la constante por p , tendremos entonces que la presi6n en un fluido 
compresible en equilibrio estd dada por 



P = Po — W- 



(9.69) 



Obviamente, p es el valor de la presi6n en z = 0. 

Nuestra discusi6n puede ser extendida a los casos en que el fluido es compre* 
sible o las fuerzas no son conservativas. (Esta ultima situaci6n se presenta, por| 
ejemplo, cuando el fluido hace trabajo externo al impulsar cierto mecanismo^l 
tal como una turbina en una instalacidn hidroeiectrica, o cuando intercambitt 
calor con los alrededores, como en una planta quimica industrial). Omitiremoa- 

dichas consideraciones aqui, sin embarl 
go, ya que ellas pertenecen a cursos mis 
especializados. & 

Un ultimo principio que es muy impong 
tante para discutir el movimiento de 
fluido es la ecuacion de continuidad, qu< 
expresa la conservaci6n de la masa d 
fluido. Consideremos el fluido moviendo 
dentro de un tubo como se muestra 
la Fig. 9-23 bajo condiciones estacio^ 
narias, de modo que no se anade ni se< 
pierde masa en ningun punto. Sean A 
y A a dos secciones del tubo. El volum 
del fluido que pasa por A i por unida 
de tiempo corresponde a un cilindro d 
base A x y longitud v v con un volumen A t v v y por tanto la masa de fluido qu< 
ha pasado a traves de A x en la unidad de tiempo es PiA ± v v An&Iogamente ten 
mos que p^A 2 v 2 es la cantidad de fluido que pasa por A 2 por unidad de tiempo-l 
La conservaci6n de la masa, bajo las condiciones enunciadas, requiere que ambaft 
masas sean iguales entre si, o sea | 

Pl A x v x = frA 2 v 2 , (9.70^ 




Flgura 9-23 



Bibliografia 285 



<?i 



p\\j 


r p2 C 




mwmmkw/////zm^ 


^f^///////////^^^^^ 




~~* <£< *@fe > *->> ,,,,,,, 


^f/J^ 




~--^^////////a W///////^^ 










» 7T- *■ 








" ^^^^^^%^ 


i^^W^^^ -'-' -<«i^^%^m^ 


Ai 
Figura 9-24 





la cual se llama ecuaci6n de continuidad. Si el fluido es incompresible, la densidad 
permanece la misma y la ec. (9.70) se reduce a 

Aft = Aft, (9.71) 

indicando que la velocidad del fluido es inversamente proporcional a la secci6n 
del tubo, resultado que est£ de acuerdo con nuestra intuici6n fisica. 

EJEMPLO 9.17. Para determinar la velocidad de un fluido en un tubo se puede 
u&ar un medidor de Venturis ilustrado en la Fig. 9.24. Dos medidores de presidn 
G a y G a miden la presi6n en el tubo y en una constricci6n de 61. Obtener la veloci- 
dad p, en terminos de la diferencia de preskm p x — p v 

Solucidn: Para obtener la expresi6n de la velocidad, notamos que si v x y v % son las 
velocidades en ambas secciones, de dreas A x y A„ respectivamente, la ecuacidn 
de continuidad (9.71) da A{p x = A t u t 6 p, = (Ax/A,)^. Por otra parte si el tubo 
es horizontal, el teorema de Bernoulli en la forma de la ec. (9.68) da 

*P»I + Pi = i9»\ + Pr 

Insert an do el valor de v t obtenido previatnente y despejando v l9 obtenemos fl- 
nalmente 



„=u 



2(Pi — Pi) 



pKAJA^-1] 

La cantidad de fluido que pasa a trav6s de cualquier secctfn del tubo por unidad 
de tiempo es 

P«) 



V = Aft = A ± A t iGS 

r p(A x 



A\) 



= Ky Pl — Pt , 



donde K es una constante que depende del tubo y de la naturaleza del fluido. 



Bibliografia 

1. "A Sketch for a History of the Kinetic Theory of Gases," E. Mendoza, Physics 
Today, marzo de 1961, p&g. 36 

2. "Development of the Kinetic Theory of Gases, V : The Equation of State," 
S. Brush, Am. J. Phys. 29, 593 (1961) 



286 Dindmica de un sistema de parttculas 

3. Mechanics (segunda edicidn), por K. Symon. Reading. Mass. : Addison-Wesley, 
1964, cap. 4, sees. 5-11, 8-6 a 8-9 

4. Physical Mechanics (tercera edici6n), por R. B. Lindsay. Princeton, N. J, ; 
Van Nostrand, 1963, cap. 6, sees. 11-1 a 11-5 

5. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison- Wesley, 1961, sees. 13-1, 19-3, 19-5, 21-1 

6. Vector Mechanics, by D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, sees. 6.6, 
7.3, 7.8, 7.14, 22.1 a 22.6 

7. The Fegnman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y 
M. Sands. Reading, Mass. : Addison- Wesley, 1963, cap. 39 

8. Source Book in Physics, por W. F, Magie. Cambridge, Mass. ; Harvard University I 
Press, 1963, pag. 73, Pascal ; pag. 196, Mayer ; pag. 212, Helmholtz ; pag. 247>j 
Bernoulli ; pag. 255, Joule ; pag. 257, Maxwell "I 

9. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller. ! 
Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap. 25 j 

10. Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases, and Statiscal Mechanics (segundi 
edici6n), por Francis W. Sears. Reading, Mass, : Addison-Wesley, 1953, cap. t| 



Probletnas 



9.1 Un sistema esta compuesto de tres 
partlculas con masas de 3, 2 y 5 kg. 
La primera particula tiene una velocidad 
de U|/(6) m s- 1 . La segunda se mueve 
con una velocidad de 8 m s _1 . En una 
direccidn que hace un angulo de —30° 
con el eje X. Hallar la velocidad de la 
tercera particula de modo que el centro 
de masa permanezca en reposo con rela- 
ci6n al observador. 



(des- 7 
t'i " l J pues) 




9.2 En un determinado instante, tr 
particulas se mueven como se mues 
en la Fig, 9-25. Estan sujetas unicamen 
a sus interacciones mutuas, de modo! 
que no hay fuerzas exteriores. DespuSi 
de un cierto tiempo, son observadas d 
nuevo y se encuentra que m 1 se muevi 
en la forma que se muestra, mientraf 
m 2 esta en reposo. Hallar la velocida* 
de m 3 . Suponer que m t = 2 kg, /n a = 




Figura 9-25 



Figura 9-26 



Frobtemas 



287 



= 0,5 kg, m 3 = 1 kg, v x = 1 m s-\ v t = 
= 2 m s- 1 , v 3 = 4 m s- 1 y pj = 3 m s _1 . 
Hallar la velocidad del cm del sistema 
en los dos instantes mencionados en el 
problema. En cierto momento las posi- 
ciones de las mas as son m t ( — 0,8 m, 
—1,1 m) f m 8 (0,8 m, — 1,1 m), m 3 (1,4 m, 
0,8 m). Dibujar una linea que muestre 
la trayectoria del centro de masa del 
sistema. 

9.3 Las masas m l — 10 kg y m 8 = 6 kg 
estan unidas por una barra rlgida de 
masa despreciable (Fig. 9-26). Estando 
inicialmente en reposo, se hallan bajo 
la accidn de las fuerzas F t = u x (8) N 
y F a = « y (6) N, como se muestra, 
(a) Hallar las coordenadas de su centro 
de masa como funcidn del tiempo, (b) 
Expresar el momentum total como fun- 
cidn del tiempo. 

9.4 Las masas en la Fig. 9-27 estan 
inicialmente en reposo* Suponiendo que 
m l > m 2 , hallar la velocidad y acelera- 
ci6n de sus cm en el instante L 





mi 



rrt2 



Ffgura 9-27 



9.5 Un chorro de llquido, dlrigido en un 
angulo 8, choca con una superflcie plana 
(Fig. 9-28). El liquido, despuSs de hacer 
impacto en la superflcie se extiende 
sobre ella. Hallar la presidn sobre la 
superflcie. La densidad del liquido es p 
y su velocidad es v. 

9-6 Determinar la position del cm y la 
masa reducida de los siguientes siste- 
wias : (a) tierra-luna, (b) sol-tierra, Usar 
los datos dados en la tabla 13-1. En- 
contrar tambi£n el momentum angular 
taterno de cada sistema. Repetir el mismo 
problema para las moteculas CO y HCL 
La longitud del enlace de la mol£cula CO 




Figura 9-28 



esl,13 x 10- 10 myladelamol6culaHCl 
es 1,27 x 10- 10 m. 

9.7 Dos particulas de masas 2 kg y 
3 kg se mueven, con relaci6n a un obser- 
vador, con velocidades de 10 m s* 1 , a lo 
largo del eje X,y8m s- 1 en un &ngulo 
de 120° con el eje X, respectivamente, 
(a) Expresar cada velocidad en forma 
vectorial, (b) Hallar la velocidad del cm. 

(c) Expresar la velocidad de cada par- 
ticula respecto del centro de masa. 

(d) Hallar el momentum de cada par- 
ticula en el sistema cm, (e) Hallar la 
velocidad relativa de las particulas. (f) 
Calcular la masa reducida del sistema* 
(g) Verificar las relaciones dadas en el 
ejemplo 9.4. 

9.8 Determinar la energia cinetica total 
de las particulas del Problema 9.7, con 
relacidn al laboratorio y con relaci6n 
a su cm. Usar dos m£todos diferentes 
para el segundo calculo. Verificar las 
relaciones dadas en el ejemplo 9.8. 

9.9 Suponer que las particulas del Pro- 
blema 9.7 est&n en los puntos (0,1,1) 
y ( — 1,0,2), respectivamente. (a) Hallar 
la posici6n del cm. (b) Determinar el 
momentum angular del sistema con rela- 
ci6n a su cm. (c) Obtener el momentum 
angular con relaci6n al origen. Usar m6- 
todos diferentes para (b) y (c), 

9.10 Un nucleo de U 8 ** en reposo se 
divide en dos fragmentos, con masas 
de 140 amu y 90 amu. La Q de la reacci6n 
es 190 MeV. Hallar las energtas y velo- 
cidades de los dos fragmentos. 

9.11 Un nucleo U** 8 en reposo se des- 
integra, emitiendo una particula alfa 
(m = 4 amu) y dejando un nucleo resi- 



288 Dindmica de un sistema de parttculas 



dual de Th 234 (M « 234 amu). La energla 
total disponible es 4,18 MeV. Encontrar 
(a) la energia cinfetica de la particula alfa 
y del niicleo residual, (b) sus momenta, 
y (c) sus velocidades. 

9.12 Un niicleo, originalmente en re- 
poso, se desintegra emitiendo un electron 
de momentum 9,22 x 10~ 21 m kg S" 1 
y, en £ngulo recto a la direccidn del 
electr6n, un neutrino con momentum 
5,33 x 10- 21 m kg s- 1 . (a) En qu6 direc- 
cidn retrocede el nucleo residual? (b) 
£Cu&l es su momentum? (c) Suponiendo 
que la masa del nucleo residual es 
3,90 x lO^kg, ^cuales son su velocidad 
y su energia cinetica? 

9.13 Una granada de masa m explota 
en varios fragmentos. La explosi6n tiene 
un valor Q positive (a) Demostrar que 
si la granada explota en dos fragmentos, 
ellos se mueven en direcciones opuestas 
en el sistema C de referenda, (b) De- 
mostrar que si la granada explota en 
tres fragmentos, sus momenta y veloci- 
dades, relativos todos al sistema C de 
referenda, se encuentran en un solo 
piano, (c) Si el numero de fragmentos 
es mayor que 3, £hay alguna condici6n 
especial que tenga que ser satisfecha 
por los momenta de los fragmentos rela- 
tivos al sistema C de referenda? (d) 
Demostrar que si la granada se divide 
en dos fragmentos iguales, sus momenta 
y velocidades en el sistema C de refe- 
renda son iguales a (mQ/2) l/a y (2Q/m) l/a , 
respectivamente. (e) Demostrar que si 
la granada se divide en tres fragmentos 
iguales emitidos simetricamente en el 
sistema- C, sus momenta y velocidades 
en este sistema son 4(2mG) l/2 y i(2Q/m) 1/B , 
respectivamente. (f) Repetir (e), supo- 
niendo que dos fragmentos son emitidos 
con la misma velocidad relativa al sis- 
tema- C pero en direcciones que hacen 
un angulo de 90° entre si. (g) ^C6mo 
aprecia los resultados de (d) y (e) un 
observador en el sistema-L , si, en el 
momento de la explosi6n la granada se 
esta moviendo con una velocidad 
i(2Q/m) l/2 relativa al sistema-L, y en 
la misma direcci6n que tomara uno de 
los fragmentos resultantes? 

9.14 Se dispara un proyectil en un 
angulo de 60° con la horizontal con una 
velocidad de salida de 400 m s _1 . En 



el punto mas alto de su trayectoria ex- 
plota en dos fragmentos de igual masa, 
uno de los cuales cae verticalmente. 
(a) iCuan lejos del punto de disparo 
choca el otro fragmento con el suelo, 
si es que el terreno esta nivelado? (b) 
iCusl fue la energia liberada en la ex- 
plosi6n? 

9.15 Una granada de masa M est4 
cayendo con una velocidad u 09 y se halla 
a una altura h 9 cuando explota en dos 
fragmentos iguales que inicialmente se 
mueven horizontalmente en el sistema-C. 
La explosi6n tiene un valor Q igual a 
Mz?J. Determinar los puntos donde lo» 
fragmentos chocaran con el suelo corai 
relaci6n al punto directamente debajQ 
de la granada en el momento de la exN 
plosi6n. 1 

9.16 Repetir el Problema 9.15 para until 
granada que se mueve horizontalmentnj 
en el instante de la explosi6n, J 

9.17 Una bola, con masa de 4 kg 4 
velocidad de 1,2 m s~ l , choca frontaK 
mente con otra bola de masa 5 kg m<H 
vidndose a 0,6 m s" 1 en la misma direct 
ci6n, Encontrar (a) las velocidades des^ 
pu6s del choque (suponiendo que es elds^ 
tico), (b) el cambio en el momentunjj 
de cada bola. i 

9.18 Repetir el problema anterior, su| 
poniendo que la segunda bola se mue 1 
en direcci6n opuesta. 

9.19 Repetir los dos problemas an 
siores si las dos bolas continuan m 
viendose juntas. 

9.20 Una particula de masa 0,2 k 
moviSndose a 0,40 m s _l choca con oit 
particula de masa 0,3 kg, que esta el 
reposo. Despu6s del choque la primel 
particula se mueve a 0,20 m s _1 en ufl 
direccidn que hace un angulo de 40 
con la direcci6n original. Hallar la velc 
cidad de la segunda particula y la ! 
del proceso. 

9.21 La Fig. 9-29 ilustra un pindul 
baltstico. Se usa para determinar la veM 
cidad de una bala midiendo la altura A 
la que el bloque se eleva despues de quel 
bala se ha incrustado en 61. Demostri 
que la velocidad de la bala est£ dada p 1 



]/2gh {m 1 + m 2 )/m u 



Problemas 



289 




Figura 9-29 



donde nix es la masa de la bala y m 2 la 
masa del bloque. 

9.22 Una bala de masa m y velocidad v 
pasa a trav6s de la esfera de un pSndulo 
de masa M saliendo con una velocidad v/2 
(Fig. 9*30). La esfera pendular cuelga 
del extremo de la cuerda de longitud /. 
^Cual es el menor valor de v para el cual 
el pendulo completara una circunferencia 
entera? 



\ 







Figura 9-30 



9.23 Una particula de 5 kg de masa 
movtendose a 2 m s" 1 , choca con una 
particula de 8 kg de masa inicialmente 
en reposo. Si el choque es el£stico, 
hallar la velocidad de cada particula 
despues del choque (a) si el choque es 
frontal, (b) si la primera particula se 
desvia 50° de su direcciOn original de 
ttiovimiento. Expresar todas las direc- 
ciones en relaciOn a la de la particula 
incidente. 



9.24 Una particula de masa m r movten- 
dose con velocidad v t choca el&stica y 
frontalmente con otra particula de 
masa M mayor que m teniendo (a) un 
momento igual pero opuesto, (b) la 
misma energia cin6tica, pero movtendose 
en la direction opuesta. Computar en 
cada caso la velocidad de la primera 
particula despu6s de la colisi6n. (c) De- 
mostrar que si M esta en reposo y es 
mucho mayor que m 9 el cambio en la 
energia cin6tica de m es 

AE*/£* k — 4(/n/M). 

9.25 Se ha encontrado experimental- 
mente que una colisi6n frontal (o central) 
de dos esferas sdlidas, tales como dos 
bolas de billar, las velocidades despuOs 
del choque estan relacionadas con las 
velocidades antes del choque por la ex- 
presi6n v{ — v' 2 — — e(v x — v%) donde e 
es el coeflciente de restitution y tiene 
un valor entre cero y uno. Esta relacidn 
fue propuesta por Newton y tiene validez 
solamente aproximada. Aparte de todo 
ello, se conserva el momentum en el 
choque. Probar lo siguiente : (a) las 
velocidades despu6s del choque estan 
dadas por 



in = 



u- = 



PiQki — ™- % e) + Pi*n 2 (l + e) 
i^/n^l + e) + y a (m a — m t e) 



m 1 + m 2 
(b) La Q de la colisi6n es 



1(1 - e*) 



nijma 



nt% + m s 



("i — ^a) 2 - 



(c) £Cual deberia ser el valor de e para 
que la colisidn fuera el£stica? 

9.26 En una colisidn pldstica los dos 
cuerpos se mueven juntos despu6s del 
choque. (a) ^Cual es el valor del coefi- 
ciente de restitution el (b) Computar 
la Q de la reacciOn directamente, y tam- 
bi6n mediante el resultado del Problema 
9.25 con el valor apropiado de e. 

9.27 Si las masas de las bolas n^ y m 3 
en la Fig. 9-31 son 0,1 kg y 0,2 kg, res- 
pectivamente, y si m 1 es soltada cuando 
d — 0,2 m, hallar las alturas a las que 
regresaran despuSs de chocar si la coli- 



290 



Dindmica de un sistema de particulas 



wmsmmzmm^mmmmmmmt 




mo 
FIgura 9-31 

siOn es (a) elastica, (b) inelastica con un 
coeficiente de restitution = 0,9, (c) plas- 
tica (e = 0). Resolver el problema tam- 
bien para el caso en que la masa m 2 es 
elevada y soltada contra la masa esta- 
cionaria m^ 

9.28 Discutir los resultados fisicos de 
un choque en que el valor de e es (a) ne- 
gativo, (b) mayor que uno. ^Concluye 
Ud. entonces que esos valores de e son 
permitidos para un choque entre dos 
esferas s61idas? 

9*29 Suponiendo que el segundo cuerpo 
en el Problema 9.25 esta en reposo y 
que su masa es muy grande comparada 
con la del primero, hallar la velocidad 
de cada cuerpo despues de la colisiOn, 
y tambien encontrar el valor de Q. 
Aplicar este resultado a la determination 
de la altura del rebote, para un cuerpo 
soltado desde una altura h sobre el suelo. 
Efectiie el experiniento por si mismo 
y estime el correspondiente valor de e. 

9.30 Probar que el tiempo necesario 
para que la bola del P roble ma 9.29 
termine de rebotar es t — V 2h/g (1 + e)/ 
(1 - e). 

9.31 Demostrar que si la bola del Pro- 
blema 9.29 choca con el suelo bajo un 
angulo a con la vertical, rebota en un 
angulo p, dado por tg p = (1/e) tg «, 
con una velocidad v' = tf|/e 2 cos 2 a + sen 2 a. 
Usar dicho resultado para discutir el 
movimiento de una bola soltada desde 
una mesa con una velocidad horizontal 
initial v . Bosquejar la trayectoria, supo- 
niendo que rebota varias veces en el 
suelo. 

9.32 Probar directamente que si la 
energia y el momentum se conservan en 



un choque elastico, entonces 

«'K — »i) =— U*(tt x — i> 2 ), 

donde w es un vector unitario en 1 
direction en la cual el momentum d 
una de las particulas ha cambiado. Est 
resultado significa que en la colisiOn 1 
componente de la velocidad relativa i 
lo largo de la direcci6n del intercatnbi 
de momentum ha cambiado de sentidc 
Aplicar esto al caso de una colisWi 
frontal. Comparar con los resultados de 
Problema 9.25 tomando e — 1. Suge 
rencia: Escribir las leyes de conserva 
ci6n, poniendo todos los terminos corres 
pondientes a cada particula en un ladi 
de cada ecuaciOn. 

9.33 Un neutrOn, con energia de 1 MeV 
se mueve a trav£s de (a) deuterio i 
(b) carbOn. Estimar para cada materia 
el numero de colisiones frontales reque 
ridas para reducir la energia del neutrOi 
a un valor termal de aproximadament< 
0,025 eV. La probabilidad relativa di 
captura del neutrOn por parte de esoi 
materiales es 1 : 10. £En cual de estoj 
materiales hay mayor probabilidad di 
que el neutr6n sea capturado antes d< 
ser frenado? 

9.34 Probar que en una colisi6n de unfi 
particula de masa m lt moviendose coi 
velocidad v x en el sistema-Z, con uiu 
particula de masa m 2 en reposo en e] 
sistema-L, los angulos bajo los cuales 
la primera particula se mueve despu6s 
de la colisi6n con relaciOn a su velocidad 
initial estan dados por tg = sen fa 
(cos £ + 1/A), donde A = mjm x y loa 
angulos 6 y <j> se refieren a los sistemaa 
L y C, respectivamente. 

9.35 Veriflcar, para las particulas del 
problema anterior, que si m x — m % en- 
tonces = i <f>. ^Cual es el maximo 
valor de 0? 

9.36 Refiriendose al Problema 9.34, de^ 
mostrar que el valor maximo de para 
A arbitraria esta dado por tg = 
=A/y 1 — A 2 . Discutir la situation cuan- 
do A es mayor que uno y cuando es me^ 
nor que uno. 

9.37 AZ analizar la deflectiOn de paiS 
ticulas alfa que se mueven a traves del 
hidrOgeno, los fisicos han encontrado 
experimentalmente que la maxima de- 



Problemas 291 



flecci6n de una particula alfa en el sis- 
tema-Z, vale alrededor de 16°. Usando 
los resultados del Problema 9.36, estimar 
la masa de la particula alfa relativa 
a la del hidr6geno. Comprobar su res- 
puesta con los valores experiment ales 
obtenidos por medio de otras tScnicas. 

9.38 Probar que si la energia cinetica 
interna de un sistema de dos particulas 
es Ek 3 cm, las magnitudes de las veloci- 
dades de las particulas relativas al 
cm son : 

u t = [2m t Ekjcu/m l (m L + /n 2 )] l/2 



v % = [2m 1 Ek l ci&lm i {m 1 + m 2 )] l/2 . 

9.39 Para las dos particulas en la Fig. 
9-32, sabemos que mj = 4 kg, m 2 = 6 kg, 
v y = «*(2) m s- 1 y v % = u tf (3) m s- 1 . 
(a) Determinar el momento angular total 
del sistema relativo a y relativo al cm 
y verificar la relaci6n entre ambos valo- 
res. (b) Determinar la energia cinetica 
total relativa a O y relativa al cm y 
verificar la relation entre ambas. 



Y 



Or* 



3 m 







\ 



N 



N 



S 



\ 



\ 



\ 



N 



\ 



X 



\ 



S 



v 2 



— 4 m 



^s 



FIgura 9-32 



9.40 Suponer que las particulas del 
problema anterior estan unidas por un 
resorte elastico, de constante 2 x 10 -3 
N m^ 1 , inicialmente sin estirar. (a) ^C6mo 
afectara esto al movimiento del cm del 
sistema? (b) ^Gual es la energia interna 
total del sistema? ^Permanecera cons- 
tante? (c) En cierto instante, el resorte 
esta comprimido en 4 cqi. Hallar las 
energias internas cinetica y potencial 
de las particulas. (d) Determinar las 
magnitudes de las velocidades relativas 



al cm (ipuede Ud. tambiSn determinar 
sus direcciones?). Asimismo determi- 
nar (e) la magnitud de su velocidad rela- 
tiva, (f) el momento angular del sistema 
con relacidn a y con relacidn a cm. 

9,41 Dos masas conectadas por una 
varilla ligera, como se muestra en la 
Fig. 9-33, estan en reposo sobre una su- 
perficie horizontal sin fricci6n. Una ter- 
cera particula de masa 0,5 kg se aproxima 
al sistema con Velocidad v y choca con 
la masa de 2 kg. £Cual es el movimiento 
resultante del cm de las dos particulas 
si la masa de 0,5 kg rebota con una velo- 
cidad vf tal como se muestra? 




Figura 9-33 



9.42 La energia potencial debida a la 
interacci6n entre un prottfn y un atomo 
de deuterio es J? Pl int = 2.3 x lO -28 /*" J, 
donde r es la separaci6n entre los dos, 
expresada en metros. En un instante 
particular, un prot6n de energia 0,5 MeV 
esta a 2 x 10" 12 m de un atomo de 
deuterio en reposo, referidos todos al 
sistema-L. (a) Hallar la energia cinetica 
del sistema en los sistemas de referencia 
L y C, asl como la energia potencial in- 
terna (/nproton — 1,0076 amu, JTldeuteron ~ 
= 2,0147 amu). (b) Despu6s de un cierto 
tiempo el prot6n esta a 10 -15 m del 
atomo de deuterio. Hallar la energia 
cinetica del sistema en los sistemas L 
y C, asl como su energia potencial. 
(c) Hallar la magnitud de la velocidad 
del cm en ambos casos. 

9.43 Designando la tierra, la luna, y el 
sol, con subindices T, L, y S, respectiva- 
mente, escribir en extenso la ec. (9.34) 
para sistemas que consisten de (a) la 



292 Dindmica de un sistema de parttculas 



tierra y la luna, (b) la tierra, la luna 
y el sol. 

9.44 Se mantiene un gas a presi6n de 
20 atm, mientras que se expande de un 
volumen de 5 x 10-* m* a otro de 
9 x 10-* m*. iQu6 cantidad de energia 
en fortna de calor debe ser proporcio- 
nada (a) para mantener su energia in- 
terna constante? (b) para aumentar su 
energia interna en una cantidad igual 
a la del trabajo externo hecho. Expresar 
sus resultados en calorias y en joules. 

9.45 Un gas se expande de tal modo 
que en cada momento la relaci6n entre 
su presi6n y su volumen es pV r = C, 
donde y es una constante apropiada. 
Demostrar que el trabajo efectuado al 
expandirse del volumen V u al volumen V 8 
es 

W = (p 1 V 1 -p 1 y 2 )/( Y -l). 

9.46 Recordamos (Problema 2.8) que 
un mol de una sustancia es una cantidad 
(expresada en gramos) igual a su masa 
molecular (o atdmica) expresada en amu. 
En un mol de cualquier sustancia hay 
siempre el mismo mimero de moteculas, 
llamado nilmero de Avogadro, dado por 
Na = 6,0225 x 10 ffl mol- 1 . Demostrar 
que si N es el mimero de moles, la ec. 
(9,62) puede ser escrita en la forma 

pV = nJJT, 

donde R = IcNa, es Uamada la constante 
de los gases. Demostrar que R = 8,3143 
J K- 1 mol- 1 . 

9.47 Demostrar que el resultado del 
Problema 9.46 tambiSn puede ser escrito 
bajo la forma p = p(RT/M) f donde p 
es la densidad del gas y M es la masa 
molecular (expresada en kg). 

9.48 Hallar el volumen de un mol de 
cualquier gas en condiciones normales ; 
esto es, a temperatura de 0° C y presi6n 
de una atm6sfera. Demostrar tambten 
que el numero de moleculas de cualquier 
gas por centimetro cubico en condiciones 
normales es 2,687 x 10 1 *. Este es el nil- 
mero de Loschmidt. 

9,49, iCuai es la energia cin6tica pro- 
medio de una molScula de gas a la tem- 
peratura de 25° C? Expresarla en joules 
y en eV. ^Cudl es la velocidad media 
cuadratica correspondiente si el gas es 



(a) hidr6geno, (b) oxigeno, (c) nitr6geno? 
Notar que las moleculas de dichos gases 
son diat6micas. Hacer lo mismo para 
el helio (monoat6mico) y el dtoxido de 
carbono, 

9.50 Hallar la energia interna de un 
mol de un gas ideal a 0° C (273 K). 
^Depende ella de la naturaleza del gas? 
&Por qu£? 

9.51 Hallar el cambio en la energia 
interna de un mol de un gas ideal cuando 
su temperatura cambia de 0° C a 100°C, 
tTenemos tambi6n que especiflcar c6mo 
cambian la presidn y el volumen? 

9.52 El proceso mencionado en el pro-* 
blema anterior tiene lugar a volumen; 
constante. (a) ^Cual es el trabajo hecho ; 
por el gas? (b) &Cual es el calor absor- 
bido? } 

9.53 Repetir el problema anterior si esj 
que el proceso mencionado en el Pro-J 
blema 9.51 ocurre a presi6n constante?] 

9. 54 Identificar la constante C que '\ 
aparece en la ec. (9,51) para el trabajo. 
de expansion de un gas a temperatura; 
constante. (a) Computar el trabajo hechftj 
por el mol de un gas ideal al duplicarj 
su volumen a temperatura constante 
igual a 0° C. (b) Computar el cambty; 
en la energia interna y el calor absorbido. 

9.55 Demostrar que si la energia pa? 
tencial para la interacci6n entre dos par*; 
ticulas es E P = — Cr^ 9 entonces r^ 
- m 12 = nEpn (Sugerencia: Escoger la pais 
tlcula 1 como origen de coordenadas^ 
y recordar la secci6n 8,13). 

9.56 Usar el resultado del problem 
anterior para reescribir el teorema d< 
virial, ec. (9.56), en la forma 



Ek, = —i[ZtFt>r t + nE P ], 

donde E v corresponde a la energia po- 
tencial interna del sistema. Notar qui 
si el sistema esta aislado (esto es, no 
actuando^ nin guna fue rza externa) en- 
tonces E*> = — inEp. Comparar est* 
ultimo resultado con la ec, (8.49). j 

9.57 Suponer que las fuerzas gravita^ 
torias son atractivas y siguen la lej 
del inverso del cuadrado de la distanci* 
(capitulo 13) de modo que la energt 
potencial total es negativa y que n = 1* 
Usando el resultado del Problema 9.56j 



Probtemas 



293 



probar (a) que la energla total de un 
sistema aislado es negativa, (b) que si 
el sistema pierde energla (usualmente 
por radiacidn), la energla potencial debe 
disminuir, (c) que esto requiere que la 
energla cin6tica del sistema aumente, 
dando como resultado correspondiente 
un aumento de la temperature del sis- 
tema. (Estos resultados son de gran im- 
portancia en astroffsica.) 

9,58 Discutir la aplicacidn del teorema 
del virial a un sistema en el que las 
fuerzas internas son repulsivas. Suponer 
que la energla potencial entre dos par- 
ticulas es E p = + Cr^f* 

9*59 Un cuerpo cuya masa es 10 kg 
y que tiene una velocidad de 3 m s* 1 
resbala sobre una superflcie horizontal 
hasta que la friccitin lo detiene. Deter- 
mine la cantidad de energla convertida 
en movimiento molecular interno en el 
cuerpo y en la superficie. Expresarla 
en joules y en calorfas. iPodria Ud. decir 
que esta energla ha sido transformada 
en calor? 

9.60 Las masas de los bloques A y B 
en la Fig, 9-34 son m t y m s . Entre A y B 
hay una fuerza de fricci6n de magni- 
tud F, pero B puede resbalar sin fric- 
cidn sobre la superflcie horizontal. Ini- 
cialmente A se mueve con velocidad v 9 
mientras que B estd en reposo. Si no 
actua ninguna fuerza sobre el sistema, 
A se ir& parando y B aumentar& su 
velocidad hasta que los dos bloques se 
muevan con la mistna velocidad v. (a) 
&Cuales son las distancias recorridas por 
A y B antes de que ello suceda, tnedidas 
con relacidn a la superflcie horizontal? 
(b) £Cu&l es el cambio en la energla 
cin6tica del sistema, en tGrminos de la 
distancia recorrida por A con relacidn 
a ^? ( c ) &Q U ^ ** a pasado con el momen- 
tum total? 




F teura 9-84 



9.61 Un tubo horizontal tiene una sec- 
ci6n transversal de 10 cm 1 en una region 
y de 5 cm* en otra. La velocidad del agua 
en la primera es 5 m s~* y la presi<Jn 
en la segunda es 2 x 10* N m- 1 , En- 
contrar (a) la velocidad del agua en la 
segunda regi6n y la prestfn del agua 
en la primera, (b) la cantidad de agua 
que cruza cualquier seccidn por minuto, 
(c) la energla total por kilogramo de agua, 

9.62 Repetir el problema anterior para 
el caso en que el tubo est6 inclinado y la 
segunda secci6n est6 2 m por encima 
de la primera. 

9*63 Verificar que la ecuaci6n del mo- 
vimiento de un fluido en forma vectorial 
es p dv/dt = — grad p + /«. 

9.64 Demostrar que si hay un orificio 
en la pared de un recipiente y que si la 
superflcie del llquido dentro del reci- 
piente est6 a una altura h sobre el ori- 
ficio, la velocid ad d el liquido que sale 
por 61 es v — \2gh. Considerar un reci- 
piente cillndrico con un di&metro de 
0,10 m y una altura de 0,20 m. Hay un 
orificio de 1 cm 1 de secci6n en su base. 
El recipiente se llena de agua a una velo- 
cidad de 1,4 x 10-* m* s- 1 . (a) Deter- 
minar hasta qu6 altura sube el nivel del 
agua en el recipiente. (b) Despu6s de 
haber alcanzado aquella altura se de- 
tiene el flu jo de agua al recipiente. Hallar 
el tiempo necesario para que el reci- 
piente se vacie. 

9.65 Usando la ecuacWn del movi- 
miento derivada en el Problema 9.63, 
demostrar, para un fluido compresible, 
que el teorema de Bernoulli adopta la 
forma (±i>| + gz t ) — (ivf + gz x ) + 
/} dp/p = W, donde W es el trabajo 
por unidad de masa hecho sobre el fluido 
por otras fuerzas fuera de la gravitacidn. 
[Sugerencia: Separar la fuerza externa 
por unidad de volumen /«t en el peso 
— pff«* y cualquier otra fuerza que acttie 
sobre el fluido, y entonces dividir la 
ecuacidn resultante por p y multiplicarla 
escalarmente por v dt = dr 9 notando que 
(grad p)*dr — dp.] 

9.66 Un cilindro de altura h y secci6n A 
flota verticalmente en un fluido de den- 
sidad p/. La presi6n del fluido est& dada 
por p = p© — 9fgz, de acuerdo a la 
ec. (9.69). Demostrar que la fuerza total 



294 Dindmica de un sistema de particulas 



hacia arriba sobre el cilindro debida a 
la presitfn del fluido es Vp/g> donde V 
es el volumen del cilindro. Extender este 
resultado a un cuerpo de forma arbi- 
traria dividtendolo en pequefios cilindros 
verticales. (Este resultado constituye el 
principio de Arquimedes, y la fuerza es 
conocida con el nombre de empuje de 
flotacidn.) 

9.67 Partiendo de la ec. (9,62), demos- 
trar que si la temperatura de un gas 
ideal es constante, entonces pV = const 
6 PiV x = p 2 y^ resultado conocido como 
la ley de Boyle. Demostrar tambien que 
si la presi6n es constante, entonces V/T = 
= const 6 VJT X — V 2 /T 2t resultado cono- 
cido como la ley de Charles. Finalmente, 
demostrar que si el volumen es cons- 
tante entonces p/T = const o p 1 /T 1 = 
—pJT %i resultado conocido como la ley de 
Gay-Lussac. Dichas leyes fueron encon- 
tradas experimentalmente mucho antes 
de ser sintetizadas en la ec. (9.62). 

9.68 Considerar un sistema compuesto 
de N particulas identicas, cada una de 
masa m (tal como ocurre en un gas). 
Demostrar que la energia cin6tica de una 
particula relativa a un observador que 
ve mo verse el centro de masa con u a 
velocidad i>cm es igual a la energia cin6- 
tica media de las particulas en relaci6n 
al sistema- C de referenda mas imv&u. 
[Sugerencia: Usar la relacitfn dada por 
la ec. (9,38)], 

9.69 La presidn de un gas esta rela- 
cionada con su densidad por medio de 
la ecuaci6n p = p(i?r/M), donde M es 
la masa molecular en la escala at6mica 
(ver el Problema 9.47). (a) Usando el 
resultado de la secci6n 9.13, demostrar 
que si un gas esta en equilibrio, su pre- 
sidn debe canibiar con la altura de 
acuerdo con 

p = p e^ M *' RT )\ 

Esta se llama a veces la ecuacidn baromi- 
trica, y puede ser usada para estimar la 
variaci6n de la presi6n atmosferica con 



la altura. (b) Demostrar que para pe 
quefias alturas dicha ecuaci6n toma e 
valor dado al final de la secci6n 9.1^ 
para un fluido incompresible. 

9.70 Una bomba explota en tres frag 
mentos de igual masa m. La explosi6r 
libera una energia Q. En este caso las 
leyes de conservaci6n de energia y mo- 
mentum no determinan linicamente la 
energia y momentum de cada fragmento, 
Refiriendonos al proceso en el sistema- C, 
demostrar que (a) las energias cineticas 
de los fragmentos pueden ser represent 
tadas por las distancias desde un punto P 
a los lados de un triangulo equilaterc 
de altura Q. (b) Demostrar tambien que 
la ley de conservacidn del momentum 
requiere que el punto P est6 dentro del 
cfrculo (con radio $Q) inscrito en e] 
triangulo. Esta representation se llama 
el diagrama de Dalitz (Fig. 9-35) y es muy 




Figura 9-35 



usada para analizar la desintegraci6n de 
una particula fundamental en tres frag- 
mentos iguales. [Sugerencia : para la 
prueba de (b) s notar que en el sistema-C 
el momentum total es 0, y que por tanto 
Pi + Pa ^ P3- Las tres energias pueden 
ser tambien expresadas como Et tl = 
= PN = i Q + r cos (t — 2tu/3), E k , 2 = 
= PM = iQ + r cos (^ + 2tc/3) y E* t3 = 
= PL = iQ + r cos *.] 



10 

DINAMICA DE UN 
CUERPO RIGIDO 



10.1 Introduction 

10.2 Momentum angular de un cuerpo rigido 

10.3 Cdlculo del momento de inertia 

10A Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido 

10.5 Energia cinetica de rotation 
10.6 Movimiento giroscopico 



296 Dindmica de un cuerpo rlgido 



(10.1 





(a) 



(b) 



Fig. 10-1. (a) Movimiento de traslaci6n de un cuerpo rigido. (b) Movimiento de 
rotation de un cuerpo rigido. 



10*1 Introduction 



Rotacion 



Un cuerpo rigido es un caso especial e importante de los sistemas constituidos por 
muchas particulas, esto es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus 
componentes permanecen constantes bajo la aplicacion de una fuerza o momento. 
Un cuerpo rigido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento. 
Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rigido. El movi- 
miento es de traslacion cuando todas las particulas describen trayectorias para- 
lelas de modo que las lineas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo per- 
manecen siempre paralelas a su posicion inicial (Fig. 10-1 a). El movimiento es 
de rotacion alrededor de un eje cuando todas las particulas describen trayectorias 
circulares alrededor de una linea denominada eje de rotaci6n (Fig. 10-lb), El eje 

puede estar fijo o puede estar cambiando su di- 
reccion relativa con respecto al cuerpo durante 
el movimiento. 

El movimiento mas general de un cuerpo ri- 
gido puede siempre considerarse como una com- 
binaci6n de una rotaci6n y una traslaci6n. Esto 
significa que siempre es posible encontrar un sis- 
tema de referenda en traslaci6n pero no rotante 
en el cual el movimiento del cuerpo parezca so- 
lamente de rotaci6n. Por ejemplo, el movimiento 
del cuerpo en la Fig. 10-2 que pasa de la posicion 
1 a la posicion 2 puede considerarse como uno de 
traslaci6n representado por el desplazamiento CC\ 
que une las dos posiciones del centro de masa, y 
uno de rotaci6n alrededor de un eje a traves del 
centro de masa C. 
De acuerdo a la ec. (9.9), M dvcu/dt = F e xt» el movimiento del centro de masa 
es identico al movimiento de una particula cuya masa es igual a la masa del 




Fig. 10-2. Movimiento gene- 
ral de un cuerpo rigido. 



10.2) 



Momentum angular de un cuerpo rigido 297 





Trayectoria parabolica 
del centro de masa 




^^m^^^^^m^mm^m^^^^m^mm^mmm^m^^mm^^m^m^mm^, 



Fig* 10-3* Movimiento de an cuerpo rigido bajo la acci6n de la gravedad. El 
centro de masa describe la trayectoria parab61ica correspondiente a una particula 
de masa M bajo una fuerza Mg, mientras el cuerpo rota alrededor del cm. Gomo 
el peso est£ aplicado en el cm, su momento alrededor de dicho punto es cero y el 
momentum angular del cuerpo respecto del cm permanece constante durante 
el movimiento. 

cuerpo y sobre la cual actiia una fuerza igual a la suma de todas las fuerzas ex- 
ternas aplicadas al cuerpo. Este movimiento puede analizarse de acuerdo a los 
m&odos explicados en el capitulo 7 sobre la dinimica de una particula, y por 
lo tanto no requiere de tecnicas especiales. En este capitulo examinaremos el 
movimiento de rotaci6n de un cuerpo rigido alrededor de un eje que pasa ya 
sea a traves de un punto fijo en un sistema inercial o a traves del centro de masa 
del cuerpo. En el primer caso, se utiliza para discutir el movimiento la ec. (9,19), 
dLfdt = t (donde L y r se calculan ambos con respecto al punto fijo), mientras 
que en el segundo caso, debe utilizarse la ec. (9.25) dLcysJdt — t C m- 



10.2 Momentum angular de un cuerpo rigido 

Consideremos un cuerpo rigido que rota alrededor de un eje Z con velocidad angular 
eo (Fig. 10-4). Cada una de sus particulas des- 
cribe una 6rbita circular con centro en el eje 
Z. Por ejemplo, la particula A ( describe un 
circulo de radio R ( — A t Bi con una velocidad 
V\ = €0 x r i9 siendo r t el vector de posici6n 
con respecto al origen (que se escogera como 
un punto fijo de un sistema inercial o el centro 
de masa del cuerpo). La magnitud de la veloci- 
dad es V( = (ori sen fy = toRu en concordancia 
con la ec. (5.48). N6tese que escribimos co y no 
o>i ya que la velocidad angular es igual para 
todas las particulas de un cuerpo rigido. El 
momentum angular de una particula At con 

respecto al origen es 

Fig. 10-4. Momentum angular 
L( = mpi x V{. de un cuerpo rigido rotante. 




298 Dindmica de un cuerpo rigido 



(10.2 



Su direcci6n es perpendicular al piano determinado por los vectores r,- y V{ y estd 
situado en el piano determinado por r t y el eje Z. Por consiguiente hace un an- 
gulo 7r/2 — Q t con el eje de rotaci6n Z. La magnitud de Li es mffiVt, y su compo- 
nente paralela al eje Z es 

L i2 = (mirtVi) cos (n/2 — 6,) 

= /njfo sen 8j)(a>j{j) = mtR*a) f 

resultado que es equivalente a la ec. (7,33) para una particula que se desplaza 
en un circulo. La componente del momentum angular total del cuerpo rotante 
a lo largo del eje de rotaci6n Z es 



Lz — L\x ~\~ L%z H~ L& +...== 27 t -Lf z 



= (m^l + m^Rl + /V?| + . . > = (SmBfta). 



La cantidad 



I = mjRl + m 2 fl§ + mjRI + . . . = Z t m t iq 



(10.1) 



(10.2) 



se denomina el momento de inertia de un cuerpo con respecto al eje de rotation Z. 
Dicho momento se obtiene sumando, para cada particula, el producto de su masa 
multiplicado por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia es una 
cantidad muy importante que aparece en muchas expresiones relacionadas con la 
rotaci6n de un cuerpo rigido, Podemos, por lo tanto escribir la ec. (10.1) en 
la forma 

L z = Ia>. (10.3) 

El momentum angular total del cuerpo es igual a 

L = L t + L t + L3+ ... — £(Li 9 

y en general no es paralelo al eje de rotacion, ya que hemos indicado que los mo- 
menta angulares individuales Li que aparecen en la suma no son paralelos al eje. 
El estudiante se preguntari si para cada cuerpo hay algiin eje de rotacion 
para el cual el momentum angular total sea paralelo al eje. La respuesta es 
aflrmativa. Puede demostrarse que para cada cuerpo, sin importar su forma, 






Fig. 10-5. Ejes principales de cuerpos simetricos. 



10.2) 



Momentum angular de un cuerpo rtgido 299 



hay (por lo menos) tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales 
el momentum angular es paralelo al eje de rotation. Estos ejes se denominan 
ejes principals de inertia, y los momentos correspondientes de inertia, se llaman 
momentos principals de inertia, designados por I v I 2 e J 3 . Design emos los ejes 
principals, X Y Z ; ellos constituyen un sistema de referencia fljo en el cuerpo, 
y, en general, rotan con respecto al observador, Cuando el cuerpo tiene alguna 
clase de simetria, los ejes principales coinciden con algiin eje de simetria. Por 
ejemplo, en una esfera, cualquier eje que pasa a traves de su centro es un eje 
principal. Para un cilindro y, en general, para cualquier cuerpo con simetria cilin- 
drica, el eje de simetria, asi como cualquier eje perpendicular a el, son ejes prin- 
cipales. Para un bloque rectangular los tres ejes principales son perpendiculares 
a las superficies y pasan a traves del centro del bloque. Estos ejes se ilustran 
en la Fig. 10-5. 

Cuando el cuerpo rota alrededor de un eje principal de inertia, el momentum 
angular total L es paralelo a la velocidad angular ©, que se encuentra siempre 
a lo largo del eje de rotacidn, y en lugar de la ecuaci6n escalar (10.3), la cual 
es v£lida para la componente Z a lo largo del eje de rotation, podemos escribir 
la relation vectorial 



L = Jo, 



(10.4) 



en la cual / es el momento principal de inercia correspondiente. Debemos insistir 
que esta relation vectorial es vdlida solamente para la rotaci6n alrededor de un 
eje principal de inercia. 

En el caso m£s general de rotation de un cuerpo rigido alrededor de un eje 
arbitrario, el momentum angular L puede expresarse con relation a los ejes prin- 
cipales de inertia en movimiento X Y Z (Fig. 10-6) 
por la expresi6n 

L = Uxq^coxq + u m I 2 (o m + Wzo/gCOjo, (10.5) 

en la cual Uxq 9 u y0 y u z0 son los vectores unitarios 
a lo largo de X , Y y Z y o>^, co^ y co z0 son las 
componentes de to con respecto a los mismos ejes. 
En este caso, L y o tienen diferentes direcciones 
como lo expresamos anteriormente. La ventaja de 
utilizar esta expresi6n para L es que I v I % e J 3 son 
cantidades fijas que pueden evaluarse para cada 
cuerpo. Sin embargo, ya que los vectores unitarios 
u *g» M vo y w *o r °tan con el cuerpo, &stos no tienen 
necesariamente una direction constante. El estudian- 
te puede verificar que la ec. (10.5) se reduce a la ec. 
(10.4) en el caso de la rotation alrededor de un eje 
principal (dos de las componentes son riulas). 




Fig. 10-6. Ejes fijos en el 
cuerpo y ejes fijos en el 
laboratorio. 



&JEMPLO 10.1. Calcular el momentum angular del sistema ilustrado dela Fig, 10-7, 
©1 cual consiste de dos esferas iguales de masa m montadas sobre brazos conectados 
ft una chumacera y que rotan alrededor del eje Z. Despreciar la masa de los brazos. 



300 Dindmica de un cuerpo rigido 

Zq z 



(10.3 




S 

/ 
/ 



/*0 







.*'*r 



i? sen ^W y 



I 
(b) 



Figura 10-7 



Soluci6n: En la Fig. 10-7 (a) tenemos un caso en el cual los dos brazos son perpen- 
diculares al eje de rotaci6n Z. Cada esfera describe un cfrculo de radio R con velo- 
cidad v = <*R. El momentum angular de cada esfera con respecto a es por con- 
siguiente mR 2 a, y esta dirigido a lo largo del eje Z (recordar la Fig. 7-22). Por ello 
el momentum angular total del sistema es L = 2mR 2 o> y tiene su direcci6n a lo 
largo del eje Z, de modo que podemos escribir en forma vectorial L = 2mR*co, 
indicando asi que el sistema esta rotando alrededor de un eje principal. En realidad, 
los ejes principales X Y Z son como se muestra en la flgura, y Z D coincide con 
Z.* Ntftese que / = 2mR* es el momento principal de inercia alrededor del eje Z , 
y por ello la relaci6n L = Ia> se cumple en este caso. 

En la Fig. 10-7 (b) tenemos el caso en el cual los dos brazos forman un angulo ^ 
con el eje de rotacitfn Z, de modo que a> no es paralela a un eje principal. El radio 
del clrculo descrito por cada esfera es R sen ^, de modo que la magnitud de sus ve- 
locidades es, (jR sen ^)o>. El momentum angular de cada esfera con respecto a 
es por consiguiente mR(Ra sen 4) y esta dirigido perpendicularmente a la linea 
que une las dos esferas y en el piano determinado por los ejes Z y X . El momentum 
angular total es la suma de los dos resultados ; esto es L = (2mR 2 sen £)w, y forma 
un Angulo 7r/2 — ^ con el eje de rotaci6n. En consecuencia, en este caso el sistema 
no esta rotando con respecto a un eje principal como puede verse tambi&i de la 
simetria del sistema. N6tese que el vector L esta rotando (o, como se dice algunas 
veces, precesando) alrededor del eje Z a la misma velocidad del sistema. 

La componente de 1 a lo largo del eje de rotacidn es 



Lr = L cos (tc/2 — <f>) = (2mR 2 sen 2 ^) 



w, 



en concordancia con la ec, (10.3), ya que J = 2m(R sen ^) a es el momento de iner- 
cia del sistema con respecto al eje Z. 



10.3 Cdlculo del momento de inercia 

Discutiremos ahora las ttenicas para calcular el momento de inercia, ya que esta 
cantidad se utilizard muy a menudo en este capitulo. En primer lugar notamos 



* Debido a la simetria del sistema en consideraci6n, cualquier eje perpendicular a X es un eje 
principal. 



10.3) 



Cdlculo del momento de inercia 



301 



que un cuerpo rigido est& compuesto de un nii- 
mero muy grande de particulas, de modo que 
la suma en la ec. (10.2) debe reemplazarse por 
una integral, / = ZtiriiRf = jR 2 dm; o, si p es la 
densidad del cuerpo, dm = pdV de acuerdo con 
la ec. (2.2), y 



-if 



dV. 



(10.6) 



Si el cuerpo es homogeneo, su densidad es cons- 
tante, y en lugar de la ec. (10.6) podemos escri- 
bir I = pf R 2 dV. La integral se reduce asi a un 
factor geometrico, igual para todos los cuerpos con 
la misma forma y tamano. Notamos de la Fig. 10-8 
que J? 2 = x 2 + y 2 t y f por consiguiente, el momento 
de inercia con respecto al eje Z es 



iz = jp(*? + y*)dv. 



\ 



^dm = 



pdV 




v -"--^i, 




Fiffura 10-8 



(10.7) 



(Sugerimos que el estudiante escriba las relaciones correspondientes para I x e I y .) 
Si el cuerpo es una placa delgada, como se muestra en la Fig. 10-9, notamos 
que los momentos de inercia con respecto a los ejes X e Y pueden escribirse como 
I x = J py 2 dV e I y = jpx 2 dV ya que la coordenada Z es esencialmente cero. 
La comparaci6n con la ec, (10,7) muestra que en este caso 

/* - Ix + Iy, 

resultado que es vilido solamente para placas delgadas. 




Figura 10-9 





9 

s 


1 


'c 












X« 




\ 




X 




\ _ 






^ 
N 


\Rc 






N 


y 


9 




X 




/ * x > 




K / 


v . \ i ^ 


s 


s v \/ x 


X C 


P' 


Figura 


10-10 







Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos est&n relacionados por 
una f6rmula muy simple. Sea Z un eje arbitrario y Zq un eje paralelo que pasa 
a traves del centro de masa del cuerpo (Fig. 10-10). Si a es la separaci6n entre 



302 Dindmica de un cuerpo rlgido ng o 

los dos ejes, la siguiente relation, denominada Teorema de Steiner, tiene lugar: 
I =I C + Ma\ (lag) 

donde I e I c son los momentos de inertia del cuerpo con respecto a Z y Z Ci res- 
pectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para probar esta relaci6n, escojamos 
los ejes XqYqZc de modo que su origen se encuentre en el centro de masa C y 
el eje Y c se encuentre en el piano determinado por Z y Z c . Los ejes XYZ se 
escogen de modo que Y coincide con Y c . El punto P es un punto arbitrario del 
cuerpo M. Entonces, notando de la Fig. 10-10 que P'A es perpendicular a Y c 
y P'A = x, CA = y 9 y OC = a, tenemos 

R*=x* + (y + a)* 

= x 2 + y* + 2ya + a 2 
- R 2 C + 2ya + a\ 
Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es 
J = ZmR 2 = Zm(R 2 c + 2ya + a 2 ) 
= ZmR % c + 2a(Imy) + cPZm. 

El primer termino es justamente el momento de inercia I c con respecto al eje Z c , 
y en el ultimo termino Em = M, es la masa total del cuerpo. Por consiguiente 

I =I C + 2almy + Ma 2 . (10.9) 

Para evaluar el termino central recordamos de la ec (4.21) que la posici6n del 
centro de masa esta dada por y CM = ZmyJZm. Pero en nuestro caso j/ CM = 
ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema X C Y C Z C . Luego 
Smy = 0, y la ec. (10.9) se reduce a la ec. (10.8), la cual queda asi demostrada. 

El momento de inercia debe expresarse como el producto de una unidad de 
masa y el cuadrado de una unidad de distancia. Asi en el sistema MKSC el mo- 
mento de inercia se expresa en m 2 kg. 

El radio de giro de un cuerpo es una cantidad K defmida de modo que se cumpla 
la siguiente relation, 

/ - MK* 6 K = 1/7/M, (10,10) 

en la cual / es el momento de inercia y M la masa del cuerpo. El radio de giro 
representa la distancia del eje a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo 
sin variar su momento de inercia. Es una cantidad util ya que puede determinarse, 
para cuerpos homogeneos, enteramente por su geometria. Puede evaluarse fdcil- 
mente y nos ayuda en el calculo de los momentos de inertia.* La tabla 10-1 nos 
presenta los cuadrados de los radios de giro de varias flguras geometricas. 

* Para la t^cnica de calculo de momentos de inercia, ver cualquier libro de calculo ; por ejemplo, 
G. B. Thomas, Calculo infinitesimal y geometria analitica, tercera edition. Madrid: Aeui- 
lar, S. A., 1964, sec, 15.3. * 



10.3) 



Calculo del momento de inertia 303 



TABLA 10-1 Radio de giro de algunos simples 



K'' 



R* 
2 



R* L 2 



4 12 



a* + b* 



12 



a* + b 2 



12 



*1 
12 



Eje 



Cilindro 




Paralelepipedo 




Plaea rectangular 




K* 



12 



R* 
2 



4 



R' 



2R 



Eje 



Varilla delgada 





Disco 




Anillo 



Esfera 




EJEMPLO 10.2. Galcular el momento de inercia de una varilla delgada homo- 
g6nea con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a traves de (a) 
un extremo, y (b) al centro. 

Solucidn; (a) Llamemos L la longitud de la varilla AB (Fig. 10-11) ySsu secci6n 
recta, que supondretnos muy pequena. Dividiendo la varilla en pequenos segmentos 
de longitud dx, encontramos que el volumen de cada segmento es dV = S dx y 
la distancia de cada elettiento al eje Y es R = x. Por lo tanto, usando la ec. (10.6) 
con la densidad p constante, tenemos 

I a = [ L px\S dx) = pS f x 2 dx = ipSi 3 . 
J o •'o 

Pero SL es el volumen de la varilla y pSL es su masa. Por consiguiente 
Ia = iML\ 



304 Dindmica de an cuerpo rtgido 

Y y 




(10.3 




Fl&ura 10-11 



Comparandola con la ec. (10.10) nos da el radio de giro K* = JL 2 . 

(b) Para calcular el momento de inercia con respecto al eje Fc que pasa a traves 
del centro de masa C, podemos proceder de tres maneras diferentes. Una manera 
muy simple es suponer que la varilla esta dividida en dos, cada una de masa $M 
y longitud \L> con sus extremos tocandose en C, y usar el resultado anterior para 
cada varilla. Luego 

Ic = 2(t)(iM)(iL)* = &ML*. 

Otro m&odo seria proceder como antes para el extremo A, pero integrar de — ±L a 
+ iL, ya que el origen se encuentra ahora en el centro de la varilla. Dejamos esta 
soluci6n para el estudiante. Un tercer m6todo es aplicar el teorema de Steiner 
ec. (10,8), como sigue 7 A = 7c + M{\L)\ ya que a = iL. Por ello 

Ic = Ia — iML* = &MLK 

EJEMPLO 10.3. Calcular el momento de inercia de un disco homogfrieo con res- 
pecto a (a) un eje perpendicular que pasa por su centro, y (b) un eje que coincida 
con un diametro. 

Soluci&n: (a) De la Fig, 10-12 vemos que Ia simetria del problema sugiere que usemos, 
como elemento de volumen, un anillo de radio r y espesor dr. Asf si llamamos h el 
espesor del disco, el volumen del anillo es dV = (2:rr) (dr)h = 2nhr dr. Todos los 
puntos del anillo se encuentran a una distancia r del eje Z. Por consiguiente, usando 
la ec. (10.5), obtenemos 



I = J pr*(2nhr dr) = 2itph J r z dr = ixphR*. 




Figura 10-12 



Pero Tri? 2 /i es el volumen del disco yM = 
= p(TzR 2 h) es la masa total del disco. Por ello 

7 = iMR\ 

de modo que el radio de giro es K 2 = ftf 2 . 
(b) Para obtener los momentos de inercia 
con respecto a los ejes X e Y, podemos pro- 
ceder por integration directa (se sugiere que 
se utilicen como elementos de volumen pla- 
cas paralelas o perpendiculares a los ejes de 
coordenadas), pero la simetria del problema 
permite un procedimiento mas simple. Obvia- 
mente J* = ly en este caso, y por consi- 
guiente, de la f6rmula para las placas delga- 
das, tenemos h = h + h = 27* y 

I x = ±l t = \MRK 



20.4) Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido 305 

10.4 Ecuacidn de movimiento de la rotacidn de un cuerpo rigido 

En la ec, (9.21) establecimos una relaci6n entre el momentum angular total de un 
sistema de particulas y el torque total de las fuerzas aplicadas a las particulas 
cuando tanto el torque como el momentum angular se calculan con respecto a 
un punto en reposo en un sistema inercial. Esto es, 

^-t, (io.il) 

dt 

donde L = £iL x es el momentum angular total yt= Sflt es el torque total 
debido a las fuerzas extemas. Obviamente esta ecuaci6n se cumple tambtenpara 
un cuerpo rigido, el cual es un caso especial de un sistema de particulas. La 
ec* (10.11) constituye asi la ecuaci6n bisica para discutir el movimiento de rota- 
ci6n de un cuerpo rigido. La aplicaremos primero al caso de un cuerpo rigido 
que rota alrededor de un eje principal que tiene un punto fijo en un sistema 
inercial. Por ello, de acuerdo a la ec. (10.4), L = /©. El torque externo % debe ser 
el torque con respecto al punto fijo sobre el eje principal. Luego la ec. (10.11) 
se transforma en 

d ( Ia >) = T (10.12) 

dt 

Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rigido, el momento de inercia 
permanece constante. Entonces 

/i e0 -=t 6 J« = t, (10.13) 

dt 

donde « = dmjdt es la aceleraci6n angular del cuerpo rigido. La comparaci6n de 
las ecs. (10.12) y (10.13) con las ecs. (7.14) y (7.15) sugiere una gran similaridad 
entre la rotaci6n de un cuerpo rigido con respecto a un eje principal y el movi- 
miento de una particula. La masa m es reemplazada por el momento de inercia /, 
la velocidad v por la velocidad angular a, la aceleraci6n a por la aceleraci6n 
angular a, y la fuerza F por el torque t. 

Por ejemplo, si t = 0, entonces la ec. (10.12) indica que lea = const, y si el 
momento de inercia es constante, luego to es tambien constante. Esto es, un 
cuerpo rigido que rota alrededor de un eje principal se mueve con velocidad angular 
constante cuando no se aplican torques exlernos. Esto puede considerarse como la 
ley de inercia para el movimiento de rotaci6n. [Cuando el momento de inercia 
es variable, en el caso de que el cuerpo no sea rigido, la condicion fat = constante 
requiere que si / aumenta (disminuye) entonces to disminuye (aumenta), un 
hecho que tiene varias aplicaciones.] 

En el caso de un cuerpo que no este rotando alrededor de un eje principal, 
tenemos aun de la ec. (10.3) que dL z jdt = t x o, si la orientaci6n del eje es fija 
con respecto al cuerpo de modo que / sea constante, 

I da} _ - (10.14) 



10.4) 



Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rtgido 307 



Ya que el centro de masa C esti fijo, su aceleraci6n es cero y debemos tener 
2F' — Mg— F = 6 F' =102,9N. 

EJEMPLO 10.5. Encontrar la aceleraci6n angular del sistema ilustrado en la fi- 
gura 10-14 para un cuerpo cuya masa es de 1 kg. Los datos para el disco son los 
mismos que en el ejemplo 10.4. El eje ZZ' esta fijo y es un eje principal. 

Solucidn: Ya que la masa del cuerpo es de 1 kg, su peso es de mg = 9,8 N, el cual 
tiene el mismo valor que la fuerza F de la Fig. 10-13. Por ello uno estarfa tentado 
de considerar este caso como idGntico al anterior y suponer que los resultados son 
los mismos. Sin embargo, esto no es ciertol La masa m, al caer, ejerce una fuerza F 
hacia abajo sobre el disco, y por la ley de acci6n y reacci6n el disco ejerce una fuerza 
igual F pero hacia arriba sobre la masa m. Como la masa m est& cayendo con mo- 
vimiento acelerado, la fuerza total sobre ella no puede ser cero. Por ello F no es 
igual a mg, sino menor. Por consiguiente, el disco est£ sometido a un torque menor. 
La ecuaci6n de movimiento de la masa m es 



mg — F = ma — rnita, 

donde se ha utilizado la relaci6n a = i?a. La ecuacWn de movimiento del disco 
es Itx = FR 6 (ya que J = \MR}) F = iAffia. Eliminando F de estas ecua- 
ciones, encontramos que la aceleracidn angular es 



a = 



mg 



= 1,80 rad s~*, 



(m + \M)R 
la cual es menor que en nuestro resultado anterior. La aceleracidn hacia abajo 



de m es 



a = Rol = 



mg 



0,90 m s-\ 



m + ±M 

la cual es menor que g = 9,8 m s**, el valor de calda libre. La fuerza F* en los 
soportes puede calcularse como en el ejemplo anterior. 

EJEMPLO 10.6. Determinar la aceleraci6n angular del disco de la Fig. 10-15, asf 
como la aceleraci6n hacia abajo de su centro de masa. Suponer los mismos datos 
que para el disco del ejemplo 10.4. 

Solucidn: El eje de rotaci6n es el eje principal 
Z Zi. Sin embargo, este problema diflere de los 
ejemplo s previos, en que el centro de masa del 
disco no est£ fijo, ya que el movimiento del dis- 
co es similar a aquel de un yo-yo, y por consi- 
guiente ahora debe utilizarse la ec. (10.15). La 
rotaci6n del disco con respecto al eje Z Z4 est& 
dada por la ecuaci6n 1% = FR, ya que el tor- 
que del peso de Mg con respecto a C es cero, 
Luego, con / = ±MR % , podemos escribir (des- 
pu£s de cancelar el factor comiin ft), F= iMRx. 
El movimiento hacia abajo del centro de 
masa tiene una aceleracidn a — fta, y si toma- 
mos en cuenta el hecho de que la fuerza resul- 
tante externa es Mg — F, tenemos, usando la 
ec. (9.9), 

Mg— F = Ma = M fta. 




Ffgura 10-51 



308 Dindmica de un cuerpo rtgido 



{10.4 



Eliminando la fuerza F entre esta ecuacidn y la precedente v notando m,» i 
masa M se cancela, obtenemos de la ecuacidn resultant = Zg'/n T^U Z s ? 
La aceleraci6n hacia abajo de su centro de masa es a = R« = iq J 6 i 53 m 

y det LTdel Zo] a aCeIerad6n ^ -^ librC ' * CS '""^ ™££ 

S^^^J1^£3Si^ para que el sistema de la Fig - 10 - 7 *> 

Tvolt UntTLT la V t° C i dad ^^ " T rCSpect0 al e J e fi J° Z no c ^Wa, 
y por jo tanto do/dt = 0. Se derivan dos conclusiones inmediatas. Primero sahp 

mos que el momentum angular total L = (2mfl* sen *) „ perma™ constant: 

en magnitud, y que la componente a lo largo del eie Z L - UmW ,21 ** 

n n^'t CCS * Primera Vista estaria ™s tentados en decir, que no se requTert 

ningun torque para mantener el sistema en movimiento. Sin embargo esto To es 
Z™ ™ m ° men ; um an 8 ular L ™ta con el sistema con respect™ al e?e Z (esto se 
denomma preceszdn, como se mencion6 al final del ejemplo 10.1), y se reauiere un 
torque para producir este cambio en la direccion de L La situac on es eSSnt 
SSXL' ^ ♦ 4 encontrada en el movimiento circular uniforme : la veSad 
S n C ° nStante e " magnitUd Per ° Se reqUiere una fuerza Para camiia 'u 




Fig. 10-16. Rotaci6n de un cuerpo 
alrededor de un eje arbitrario. 




Fig. 10-17. Precesi6n del momentum an- 
gular del cuerpo ilustrado en la Fig. 10-16, 



pendicuirar^o" ff" A T *■ ^T *?' 7& qUC T < = °" Debe ser tambie " P* 
penaicular al piano Z Z, determmado por la direcci6n de L (o el eie Z„) v el eie Z 

Figs. 10-16 y 10-17), y debe tener la direcci6n del eje Y . Esto piede verse en la 

S a elo7 f re^itoT a 5t (I °-i 1) ' dL = Tdt > iia W ^ P y fsonTecSrS 
iw ™J , ° . Sentld0 que dvyF son Paralelos en el caso de una particula) 

Pen, como L es constante en magnitud, dL es perpendicular a el, y lo es tam- 
bien t. Como el vector L mantiene un angulo constante */2 - 6 con el eie zTu 
extremo se mueve sobre un cfrculo de radio AB = L sen \ ln/2 — 1 - r ™ T 
ir dL es tangente al circulo. Esto implica a su vez que dL es perpendicular afpfano Z i 



306 Dindmica de un cuerpo rigido 



(10.4 



un resultado que difiere de la ec. (10.13) en que x z se refiere a la componente de 
torque externo total alrededor del eje de rotaci6n y no al torque total. En adici6n 
a la componente t z del torque, pueden haber otros torques que se requieran para 
mantener el cuerpo en una position fija con respecto al eje de rotacion fver 
ejemplo 10.7). V 

Cuando el eje de rotaci6n no tiene un punto fijo en un sistema inercial, no 
podemos usar la ec. (10.11) y debemos calcular el momentum angular y el torque 
con respecto al centro de masa del cuerpo. Asi debemos usar la ec. (9.25), la cual es 



dt 



~ *CM- 



(10.15) 



Si la rotacion es alrededor de un eje principal, esta ecuaci6n se vuelve I c (dmtdf) = 
tcm- Si t C m =0, que es el caso cuando la unica fuerza externa aplicada al cuerpo es 
su peso, entonces a> es constante (ver la Fig. 10-3). 

EJEMPLO 10.4. Un disco de 0,5 m de radio y 20 kg de masa puede rotar libre- 
mente alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro. Se aplica una 
fuerza F de 9,8 N tirando de una cuerda atada alrededor del borde del disco En- 
contrar la aceleracion angular del disco y su velocidad angular despues de 2 s. 

Solucidn: De la Fig. 10-13 vemos que las linicas fuerzas externas sobre el disco son 
su peso Mg, la fuerza hacia abajo F, y las fuerzas F' en los soportes. El eje ZZ' 
es un eje principal. Calculando los torques con respecto al centro de masa C en- 
contramos que el torque del peso es cero. El torque combinado de las fuerzas F' 

tfp^^™ ' ^ = FR - A P licand0 la ec - (!0-4) con 7 = ^MR*, tenemos que 
fit = ($MR*)<x. 6 F = IMRx, dando una aceleraci6n angular de 



2F 2(9,8 N) 



MR (20 kg) (0,5 m) 



= 1,96 rad s-*. 



E>e acuerdo a la ec. (5.54), la velocidad angular despues de 2 s si el disco partiera 
del reposo es 

<o = at = (1,96 rad s-») (2 s) = 3,92 rad s-\ 




* F \Mg 




Figure 10-18 



Figura 10-14 



10.4) Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido 309 

(o paralelo a Y ), lo cual signiflca que r lo sea tambten. Para encontrar la magnitud 
de dh notamos de la Fig. 10-17 que 

\dL\ = ABdQ = (L cos $)u> dt t 

ya que <* — dd/dt. Igualando esto a t dt e introduciendo el valor de L, encontramos que 

t = (2mR* sen 4 cos ^)<o*. 

Es instructivo ver la necesidad fisica de este torque, De la Fig. 10-16 notamos que 
las esferas, cada una de masa m, tienen movimiento circular uniforme y cada una 
requiere una fuerza centripeta Fn = m<a*R sen 4> para describir el circulo de radio 
R sen £. Estas dos fuerzas forman un par, cuyo brazo es 2R cos <j>. Luego el torque 
del par es t = (mflw* sen <f>) (2R cos *), que coincide con nuestro resultado previo. 
Asi, se necesita el torque para mantener las esferas en sus posiciones fijas con 
respecto al eje de rotaci6n. 

:h Dejamos al estudiante la verificaci6n de que, en el caso senalado Mg. 1U.7 (a), 
donde la rotaci6n es con respecto a un eje principal y a una velocidad angular 
constants este torque no es necesario. Por esta raz<Jn, para eyitar torques trans- 
versales como los del ejemplo anterior, las partes rotantes de cualquier mecamsmo 
deben montarse en ejes principales. 

Un m6todo alterno de solucidn del problema seria encontrar las componentes de 
L paralelas a los ejes fijos XYZ y obtener las componentes de t mediante la apli- 
cacWn directa de la ec. (10.11). Esto se'deja como ejercicio para el estudiante 
(Problema 10.50). 

EJEMPLO 10.8. Analizar el movimiento general de un cuerpo rigido no sc-netido 
a torques externos. 

Solucitin: En este ejemplo examinaremos el movimiento general de un cuerpo ri- 
gido cuando no se le aplican torques externos ; esto es, t = 0. Luego la ec. (10.11) 
da dL/dt =0 6 L constante. Por consiguiente, el momentum angular permanece 
constante en magnitud y direccidn con respecto al sistema inei ial XYZ utilizando 
por el observador. 

Considerando que los torques de las fuerzas y los momentums angulares son 
siempre calculados con respecto a un punto, debemos precisar con respecto a que 
punto el torque es cero. Hay dos posibilidades : una existe cuando el punto esta 
fljo en un sistema inercial ; luego el momentum angular se calcula con respecto 
a este punto. El otro caso ocurre cuando el torque con respecto al centro de masa 
es cero. Este es, por ejemplo, el caso de una pelota pateada por un futbolista. Una 
vez que la bola se encuentra en el aire, la linica fuerza externa sobre ella es su peso 
actuando en el centro de masa, y por consiguiente, no hay torque con respecto 
al centro de masa. En esta situaci6n es el momentum angular con respecto al 
centro de masa el que permanece constante. El movimiento del centro de masa 
no nos concierne, ya que se debe a la fuerza resultante externa y el movimiento 
prosigue de acuerdo a la ec. (9.9). Es la rotacidn con respecto al centro de masa 

la que nos interesa. 

En este ejemplo, utilizaremos L para designar el momentum angular ya sea con 
respecto a un punto fljo o con respecto al centro de masa, y la discusi6n se apnea 
por consiguiente a ambos casos. Supongamos primero que el cuerpo estd rotando 
con respecto a un eje principal. Luego, se puede aplicar la ec. (10.4) y L — Jo. 
Por ello, si L = constante, entonces o es tambten constante. Esto signiflca que el 
cuerpo rota con velocidad angular constante con respecto a un eje fljo respecto 
tanto al cuerpo como al observador. 

Supongamos que el cuerpo no esU rotando con respecto a un eje principal. Luego 
se puede aplicar la ec. (10.5) y el hecho de que L sea constante no irnplica que & 
sea constante. Asi la velocidad angular del cuerpo est& variando y el eje de rotaci6n 



310 Dindmica de un cuerpo rigido 



(10.4 



no permanece fljo con respecto al observador quien ve que to precesa alrededor de L 
eJ Ln r0taC1<in fl COn respecto al cuerpo no se encuentra tampoco fljo. La ecus' 
cidn (10.5), que refiere L a los ejes principals X Y Z da 

L% = J f«io + /fo>2o + IfaU = const 

cuando L = constants Esto expresa la condici6n que deben cumplir las comDo 
nentes de to con respecto a los ejes principals X o Y Z . Como los coeficientes /» 
/, e 7 3 son positives y constantes, esta es la ecuaci6n de un elipsoide, si o>* ft J' 
y co, se consideran como las coordenadas de un punto. As* el extremo del vector 

?J? e * qUe K^ Cn 6Ste eHpSOide (Fig " 1(M8 >- Durante el movimiento; el vector cJ 
cambia tambi^n en magnitud y direcci6n con respecto al cuerpo y por ello el ev 

l ™ d *\ Y ect ? r descr £ c una trayectoria sobre la elipsoide, la cual se denomina 
polhode (del gnego: pdlos, polo; hodos, trayectoria). 

El movimiento que acabamos de describir se encuentra en muchas situaciones 
de importance. Por ejemplo, las fuerzas ejercidas por el sol, la luna y los plane- 
tas sobre la tierra esttn practicamente aplicadas en el centre de masa y por ello 
el torque con respecto al centro de masa es esencialmente cero (realmente hay un 
pequeno torque ; ver ejemplo 10.10). La tierra no es exactamente una esfera/sinS 
que tiene ligeramente la forma de una pera, y no est* rotando actualmente con 
respecto a un eje principal. Por consiguiente, su eje de rotacWn no est* fljo a la tierra 




Elipsoide 



FI&. 10-18. Descripci6n 
del movimiento rigido. 
La trayectoria descrita 
por el extremo del vec- 
tor velocidad angular, 
con respecto a ejes fljos 
en el cuerpo, es el pol- 
hode. 



~0",2U 



-O^.JO 



(K',00 



+ 0",10 



+ // ,20 




+ 0",20 + ()",m ()",{M) -0",I<) -{)ȣ[) 

Pig. 10-19. Polhode del eje de rotaci6n de la tierra 
en el periodo 1931-1935, 



En la Fig. 10-19 se ilustra el polhode del eje de rotacbtn de la tierra, el cual roues- 
tra la trayectoria seguida por la interseccidn norte del eje de rotaci6n durante el 
periodo de 1931 a 1935. Debido a que intervienen otros factores, la forma de la 
curva es algo irregular, pero el diametro de la curva nunca excede los 15 m y el 
periodo de revolucidn del eje es de aproximadamente 427 dias. 

El movimiento de rotaci6n de una pelota de balompte despute de haber sido 
golpeada es otro ejemplo del cambio en el eje de rotacidn de un cuerpo rigido libre 
de torques, ya que, en la mayor parte de los casos, el momentum angular de la pe- 
lota no sfe encuentra a lo largo de uno de sus ejes principales. 



20 g\ Energia cinetica de rotation 311 

10.5 Energia cin&tica de rotucion 

En la section 9.5 definimos la energia cinetica de un sistema de particulas como 
E k - Z&miv\. 

Hemos visto en la section 10.2 que, en el caso de un cuerpo rigido rotando con 
respecto a un eje con velocidad angular a>, la velocidad de cada particula es 
Vi = coR if donde R ( es la distancia de la particula al eje de rotation. Luego 

E k = £&miv\ = I^mtRy = i^mR^ 

o, recordando la definition (10,2) del momento de inertia 

E k =±Ito*. (10- 16 ) 

La expresion (10.16) es correcta para cualquier eje aun si no fuera principal, ya 
que la magnitud de la velocidad es siempre v t = a>R u como puede inferirse de 
la discusi6n de la section 10.2. Cuando la rotation es con respecto a un eje prin- 
cipal, podemos utilizar la ec. (10.4) y escribir 

E k = ^-. (W.17) 

Podemos obtener otra expresion mas general que (10.17) de la energia cinetica 
utilizando las componentes de m a lo largo de los ejes principales X Y Z . El 
resultado, que no derivaremos, es 

Ek = Wi<*&o + Wo + V4)- 

UtUizando las componentes de L a lo largo de X Y Z de acuerdo con la ec. (10.5), 
podemos escribir 

1 / L% Lgp L xo \ 

expresi6n que se reduce a la ec. (10.17) para la rotation con respecto a un eje 
principal. De especial interes, particularmente en la discusion de las rotaciones 
moleculares, es el caso cuando el cuerpo tiene simetria de revoluci6n, digamos 
con respecto a Z , de modo que I x = I % . Luego 



k 2 






que puede escribirse en la forma alterna 

L 2 






312 Dindmica de un cuerpo rigido /™ , 

Consideremos ahora el caso general en el cual el cuerpo rigido rota con respecto 
a un eje que pasa a traves del centro de masa y al mismo tiempo tiene un mo- 
vimiento relativo de traslacion con respecto al observador. Como demostramos 
en el ejemplo 9.8, la energia cinetica de un cuerpo en un sistema inercial de refe- 
renda es E k = \Mv\ M + E km , en donde M es la masa total, » CM es la velo- 
cidad del centro de masa, y E kXM es la energia interna respecto al centro de masa 
En el caso de un cuerpo rigido, iMi£ M es justamente la energia cinetica de tras- 
lacion, y por consiguiente, E k>CM debe ser la energia cinetica de rotacion con 
respecto al centro de masa, calculada con la ayuda de la ec. (10.16). Esto es cierto 
ya que, en un cuerpo rigido, el centro de masa esta fijo en el cuerpo, y el unico 
movimiento que el cuerpo puede tener con respecto a su centro de masa es de 
rotaci6n. Por consiguiente, podemos escribir 



Ek = W»lu + Vco>\ 



(10.18) 



en la cual I c es el momento de inercia con respecto al eje de rotacion que pasa 
a traves del centro de masa. 

Ya que la distancia entre las particulas de un cuerpo rigido no cambia durante 
el movimiento, podemos suponer que su energia potencial interna E p m , perma- 
nece constante y, por consiguiente, no tenemos que considerarla cuando explica- 
mos el intercambio de energia del cuerpo con sus alrededores. En concordancia, 
la conservaci6n de la energia expresada por la ec. (9.35) de un sistema de parti- 
culas se reduce, en el caso de un cuerpo rigido, simplemente a 

E k — Ek, = WW, (1 0. 1 9) 

donde W ext es el trabajo de las fuerzas externas. Si las fuerzas externas son con- 
servativas, tenemos 

W ext = (E Pt0 — E p ) exu (10.20) 

dondeE P)ext es la energia potencial asociada con las fuerzas externas, y la ec. (10.19) 
se convierte en (dejando de lado el subindice "ext" de la energia potencial), 

E k + E p = (E k + E p ) . (10.21) 

Este resultado es similar a aquel de una particula expresado por la ec. (8.29), 
y es una situation especial de la ec. (9.36) para el caso en el cual la energia poten- 
cial interna no cambia. (Debe recordarse que hemos expresado que esta falta de 
cambio tiene siempre lugar cuando se trata de un cuerpo rigido). Asi Uamamos 
E = E k + E p la energia total de un cuerpo rigido. Cuando utilizamos la ec. (10.18) 
para E k , la ec. (10.21) para la energia total del cuerpo rigido toma la forma 

E = ±M»lm + i W + E p = const. 

Por ejemplo, si el cuerpo esta cayendo bajo la accion de la gravedad, E p - Mgy, 
en la cual y se refiere a la altura del cm del cuerpo con respecto a un piano hori- 
zontal de referenda, y la energia total es 

E = W»m + \la& + Mgy = const. (10.22) 



10.5) 



Energta cinitica de rotation 313 



Si algunas de las fuerzas no son conservativas (en el sentido discutido en la sec- 
ci6n 8.12), debemos escribir, en lugar de la ec. (10*20), 



Wext = E 



p,o 



E p + W\ 



donde W es el trabajo de las fuerzas externas no conservativas. La ec. (10.21) 
se expresa ahora como 



(E k + E p )-(E k + E p ) = W. 



(10.23) 



Esta expresi6n debe usarse, por ejemplo, cuando actuan fuerzas de fricci6n ade- 
m£s de las fuerzas de gravitaci6n. 



EJEMPLO 10J&* Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio ruedan 
hacia abajo sobre un piano inclinado partiendo de una altura y . Encontrar en cada 
caso la velocidad con la que llegan a la base del piano* 

Soluddn: La flgura 10-20 muestra las fuerzas que actuan sobre el cuerpo rodante, 
Ellas son el peso Mg, la reaccidn N del piano, y la fuerza de fricci6n F en el punto 
de contacto con el piano. Podrfamos aplicar el mismo m6todo utilizado en el ejem- 
plo 10.5 (y recomendamos que el alumno lo haga). En su lugar, ilustraremos la 
soluci6n aplicando el principio de conservation de la energia, expresado por 
la ec. (10.22). 

En el punto de partida J5, cuando el cuerpo se encuentra en reposo a una altura y , 
su energia total es E = Mgy . En cualquier posicidn intermedia, el centro de masa 
se mueve con una velocidad de traslaci6n v y el cuerpo rota con respecto al centro 
de masa con velocidad angular <* t estando ambas relacionadas en este caso por 
v = Rta* La energia total es por consiguiente 

E = iMp* + iJco>* + Mgy = ±Mv* + HIc/R^v* + Mgy. 

Escribiendo el momento de inercia como Ic = MK* y donde K es el radio de giro 
de acuerdo con la definici6n (10.10), podemos expresar la energia total como 



E = ±M(l + ~y* + Mgy. 



Igualando esta expresidn de la energia a la energia inicial E = Mgy > obtenemos 
la siguiente expresi6n 



a — 



2g(tfo — y) 

1 + (K*/R*) 



Si, en lugar de un cuerpo rigido rodante, 
tuvi£ramos un cuerpo que resbalara sobre el 
piano, no tendriamos que incluir la energia 
rotational, y el resultado seria v 1 = 2y(y — y), 
igual que para una particula simple. Vemos 
asi que el movimiento de rotaci6n hace que 
el movimiento de traslacidn sea m&s lento. 
Podemos entender esto si comprendemos que 
en un cuerpo rodante la energia potential 
inicial debe utilizarse para producir tanto 
energia cin6tica de rotation como de tras- 
lacidn. Por el contrario, cuando el cuerpo se 







\M^ 


1 




W^' 


jfff- 


ff/j •■'' 


.w ff 




1 


f 



IJ\\ 



Fig, 10-20. Rodamiento de 
cuerpo a lo largo de un piano 



un 



314 Dindmica de un cuerpo rigido 



(10.6 



desliza sobre el piano, toda la energfa potencial inicial se transforma en energia 
cinetica de traslacitin. 

Refiriendonos a la tabla 10-1, vemos que K 2 /R* es igual a £ para la esfera, ± 
para el disco y 1 para el aro* Por consiguiente, encontramos que v 2 es igual a ^ g 
(y—Uo) Para la esfera, ig(y^y ) par a el cilindro y g(y — y ) para el aro. En otras 
palabras, la esfera es la mas veloz, luego le sigue el cilindro y flnalmente el aro. 
Examinando la geometria de los cuerpos, ^podria el estudiante haber adivinado 
este resultado? 

Un resultado interesante derivado de la expresitin de v 2 es que la velocidad de 
un cuerpo que desciende sobre una pendiente no depende de la masa o de las di^ 
mensiones del cuerpo, sino solamente de la forma. 



10.6 Movitniento giroscdpico 



Como se indico en la section 10.4 la ecuacion dLjdt = t implica que en la ausencia 
de un torque externo t, el momentum angular L del cuerpo permanece constante. 
Si el cuerpo est A rotando con respecto a un eje principal L = Ia> y, como se 
explico antes, el cuerpo seguird rotando con respecto a dicho eje con velocidad 
angular constante. 

Este hecho se ilustra mejor por el giroscopo (Fig. 10-21), el cual es un instrumento 
que permite montar una rueda giratoria de modo que el eje puede cambiar libre- 
mente de direccion. La rueda G esta montada sobre la varilla horizontal AB y 
es balanceada por un peso W de modo que el torque total alrededor de es cero. 
La varilla AB puede moverse libremente, tanto con respecto al eje X como al 
eje Z , y la rueda esta rotando (o girando) rapidamente alrededor del eje Y ; 
estos son los ejes principales del giroscopio. Por consiguiente, el momentum 
angular del sistema es paralelo al eje Y cuando este eje esta fijo en el espacio. 
Si desplazamos el giroscopio alrededor del laboratorio notamos que AB siempre 





Fig. 10-21. Girdscopo no sometido a 
ningun torque. 



Fig. 10-22. El eje de rotaci6n de un gi- 
rdscopo no sometido a torques permanece 
fijo en el espacio, y por consiguiente, rota 
con respecto a la tierra. 



10.6) 



Movimienlo giroscopico 315 





tig. 10-28. Girtiscopo sujeto a un tor- 
que externo. 



Fig. 10-24. Precesi6n del eje del gi- 
r6scopo. 



senala en la misma direction. Colocando el eje del giroscopio de modo que AB 
sea horizontal y senale en la direction este-oeste (position 1 de la Fig, 10-22, 
donde N representa el polo norte de la tierra y la flecha indica la velocidad angu- 
lar de la rueda), observaremos que AB gira gradualmente de modo que despues 
de 6 horas se encuentra en una position vertical (position 4 de la Fig. 10-22). 
Esta rotation aparente de AB se debe en realidad a la rotation de la tierra, y 
mientras que nuestro laboratorio se desplaza del 1 al 4, la orientation de AB 
permanece fija en el espacio. 

Si el torque aplicado al giroscopo no es cero, el momentum angular experimenta 
un cambio en el tiempo dt dado por 

dL = t dt (10.24) 

En otras palabras, el cambio en el momentum angular tiene siempre la direccidn 
del torque (en la misma manera que el cambio de la cantidad de movimiento 
de una particula tiene la direction de la iuerza), una situation que ya hemos 
encontrado en el ejemplo 10.7* De hecho, la v discusion que a continuation sigue 
guarda una gran semejanza con aquella del ejemplo 10.7, pero hay una diferencia 
fundamental: aqui el momentum angular proviene principalmente del espin del 
girdscopo, mientras que en el sistema de la Fig, 10-16 el momentum angular 
provino de la rotation alrededor del eje Z, sin ningun espin. 

Si el torque es perpendicular al momentum angular L t el cambio dL es tambien 
perpendicular alyel momentum angular cambia de direcci6n pero no de mag- 
nitud. Esto es, el eje de rotaci6n cambia de direction pero la magnitud del mo- 
mentum angular permanece constants Como dijimos en el ejemplo 10,7, esta 
situaci6n es similar al caso del movimiento circular bajo una fuerza centripeta, 
en la cual la fuerza es perpendicular a la velocidad y la velocidad cambia de 
direction pero no en magnitud. El movimiento del eje de rotation alrededor 
de un eje fijo debido a un torque externo se llama precesion, como se indic6 pre- 
viamente en el ejemplo 10.7. 



316 Dindmica de un cuerpo rtgido 



(10.6 



Esta situaci6n se encuentra, por ejemplo, en el trompo comiin, un juguete 
que es una especie de giroscopio (Fig. 10-23). N6tese que para el trompo el eje 
principal X se ha tornado en el piano XY, y por ello Y queda en el piano de- 
terminado por Z y Z . Debido a la simetria cilindrica del trompo, los ejes prin- 
cipals X Y Z no e&tan girando con velocidad angular o>. El origen de ambos 
sistemas de coordenadas se ha escogido en el punto 0, el cual esU fijo en un sis- 
tema inercial de referenda. Por ello, tanto L como t deben calcularse con respecto 
a 0. Cuando el trompo rota .alrededor de su eje de simetria OZ con velocidad 
angular a>, su momentum angular L es tambien paralelo a OZ . El torque ex- 
terno % se debe aljpeso Mg que actua en el centro de masa C y es igual al pro- 
ducto vectorial (OC) x (Mg). El torque r es, por consiguiente, perpendicular 
al piano Z OZ 9 y por lo tanto tambien perpendicular a L. En magnitud, 



x — Mgb sen <f>, 



(10.25) 



donde <f> es el dngulo entre el eje de simetria Z y el eje vertical Z, y b = OC da 
la posicion del centro de masa. 

Como se indico en la Fig, 10-24, en un pequeno intervalo dt el vector L cambia 
de la posici6n OA a la posicion OB, siendo su cambio AB = dL, paralelo a t. 
El extremo del vector L describe un circulo alrededor de Z de radio AD = OA 
sen <f> = L sen <£, y en un tiempo dt el radio AD se desplaza en un 6ngulo d9 a 
la posici6n BD. La velocidad angular de precesion Q se define como la veloci- 
dad a la cual el eje del cuerpo OZ rota alrededor del eje OZ fijo en el labora- 
torio; esto es, 



a = 



*1 

dt 



(10.26) 



y esta representado por un vector paralelo a OZ. La magnitud de dL es 

\dL\ =ADdB = (L sen <f>) (Q. df), 



Precesidn 




Pero de la ec. (10.24) tenemos que \dL\ = x dt. 
Luego, igualando ambos resultados, podemos 
escribir 



Nutaci6n 

X 



£IL sen <f> = r 



(10.27) 



Trayectoria de Z 



o, usando la ec. (10.25) para el torque, obte- 
nemos 



ft = 



t Mgb 

L sen ^ Iq) 



(10.28) 



Notando la orientacidn relativa de los vecto- 
res O, L y r en la Fig, 10-24, vemos que la ec. 
(10.27) puede escribirse en la forma vectorial 



Fig, 10-25. Precesitin y nuta 
ci6n del eje del girdscopo. 



Qx L = 



T, 



(10.29) 



10.6) Movimiento giroscopico 317 

la cual es una expresion muy util. Debia compararse con la expresi6n similar 
c^x p —F para el movimiento circular, dada por la ec. (7,30), ya que ambas 
representan la misma relaci6n matematica entre los vectores involucrados. 

Los resultados (10,27) y (10.28) son aproximados. Son validos si co es muy 
grande en comparacion H, una situation compatible con la ec, (10,28), La razon 
es que si el cuerpo est£ precesando alrededor de OZ tiene tambien un momentum 
angular alrededor de dicho eje y, por consiguiente, su momentum angular no 
es I(D> como supusimos, sino que la velocidad angular resultante es <o + Q. Sin 
embargo, si la precesi6n es muy lenta (esto es si n es muy pequena comparada 
con co), el momentum angular con respecto a OZ puede despreciarse, como im- 
plicitamente lo hicimos en nuestros c&lculos. Nuestra derivaci6n es entonces 
aplicable. 

Una discusion mas detallada indica que en general el 6ngulo <j> no permanece 
cwistante, sino que oscila entre dos valores fijos, de modo que el extremo de L, 
al mismo tiempo que precesa alrededor de Z, oscila entre los dos circulos C y C 
(Fig. 10-25), describiendo la trayectoria indicada. Este movimiento oscilatorio del 
eje Z' se denomina nutation. La nutacion, al igual que la precesion, contribuye 
al momentum angular total, pero en general, su contribuci6n es aun menor que 
la de la precesi6n, 

Los fen6menos giroscopicos tienen amplia aplicaci6n. La tendencia de un 
gir6scopo a mantener ei eje de rotation fijo en el espacio es un principio el cual 
es utilizado en la estabilizacion a bordo de los barcos y en los pilotos autom&- 
ticos de los r,viones. Otro ejemplo interesante del movimiento giroscopico es la 
precesion de los equinoccios, como se discuti6 en la secci6n 2,3. El piano del Ecua- 
dor hace un angulo de 23° 27' con el piano de la orbita terrestre o ecllptica. La 
intersection de los dps pianos es la llnea de los equinoccios. La tierra es un giros- 
copio gigante cuyo eje de rotacion es esencialmente la linea que pasa a traves de 
los polos norte y sur. Este eje est& precesando alrededor de la normal al piano 
de la ecliptica en la direccidn este-oeste, como se indica en la Fig. 10-26, con un 
periodo de 27,725 anos o con una velocidad angular de precesi6n alrededor de 
50,27" de arco por ano, 6 7,19 x 10- n rad s -1 . Esta precesion del eje de la tierra 
da lugar a un cambio igual en la direction de la linea de los equinoccios, un efecto 
que fue descubierto alrededor del ano 135 A.C. por Hiparco. 

La precesion de los equinoccios se debe al torque ejercido sobre la tierra por 
el sol y la luna. La tierra no es una esfera pero se aproxima a un elipsoide, con el 
diametro mayor en el piano ecuatorial (realmente la tierra tiene la forma de 
una pera). CAlculos detallados han mostrado que esta forma geometrica, com- 
binada con la inclination del eje de la tierra respecto a la ecliptica, dan como 
resultado que las fuerzas ejercidas por el sol y la luna sobre la tierra tengan un 
torque resultante respecto al centro de masa de la tierra. La direction del torque 
es perpendicular al eje de la tierra. El eje de rotacion de la tierra debe entonces 
de precesar bajo la action de este torque. En el capitulo 15 veremos que un efecto 
similar (aunque las razones fisicas son diferentes) esti presente cuando una par- 
ticula cargada, tal como un electron o un prot6n, se mueve en un campo magne- 
tico. El eje de la tierra experimenta tambien una nutacion con una amplitud 
de 9,2" y un periodo de oscilacion de 19 anos. 



318 Dindmica de un cuerpo rigido 



(10.6 



Precesitfn del eje 
de la tierra ( 



Normal a la ecliptica ^ 

— '—• -. ^/S^ e de r °tacion 
^ de la tierra 




23°27 / 

Linea de los 
equinoccios 



Piano de la 
ecliptica 



Piano del ecuador 



Fig. 10-26. Precesi6n del eje de rotation de la tierra. 



<&^ 



Otra aplicacion del movimiento giroscopico, tambien asociada al movimiento 
de la tierra, es el compds giroscopico. Supongamos que tenemos un giroscopo en 
la posici6n G de la Fig. 10-27, donde la flecha 1 indica el sentido de rotaci6n de la 

tierra. El giroscopo est& situado de modo 
que su eje debe conservarse en la posi- 
ci6n horizontal. Esto puede lograrse si el 
giroscopo flota en un liquido. Supon- 
gamos que inicialmente el eje del giros- 
copo senala en la direction E-W. Cuando 
la tierra rota el piano horizontal y la di- 
rection E-W rotan de la misma manera. 
Por consiguiente, si el eje del giroscopo 
fuera mantenido en la direction E-W, 
el eje tendria que rotar como lo indica 
la flecha 2. Pero ello es equivalente a 
aplicar un torque en la direction sur- 
norte. Por lo tanto, el eje del gir6scopo, 
bajo la acci6n de este torque girara aire- 
dedor de la vertical hasta que senale el 
norte, como indica la flecha 3. La brii- 
jula giroscopica tiene la ventaja especial 
de sefialar hacia el norte verdadero, ya 
que no esta sujeta a anomalias magne- 
ticas locales. 




Fig, 10-27. Brujula giroscdpica, 



EJEMPLO 10.10. Estimar la magnitud del torque que debe ejercerse sobre la 
tierra a fin de producir la precesi6n observada de los equinoccios. 



Bibliografia 319 

Sotucidn; Utilizando la ec. (10.27) tenemos que t = ClL sen $, donde 

* = 23° 27' y O = 7,19 x 10" 11 rad s- 1 

es la velocidad angular de precesuin de la tierra. Debemos primero calcular el 
momentum angular de la tierra. Ya que el eje de rotacton de la tierra se desvfa lige- 
ramente de un eje principal, podemos utilizar la relaci6n L = Jw. El valor de <o 
fue dado en el ejemplo 5.11 como 7,29 x 10 -5 rad s _1 . El moment© de inercia de 
la tierra, de la tabla 10-1, suponiendo que la tierra es esf£rica, es 

/ = $MR* = 1(5,98 x 10 M kg) (6,38 x 10« m)» 
= 9,72 x 10» 7 m* kg. 

Luego t = 2,76 x 10 a7 N m* 

TABLA 10-2 Comparactfn entre las dln&micas de traslacltfn y rotaeltfn 



Traslaci6n 


Rotation 


Momentum lineal 


p = mv 


Momentum angular 


L = 


IG>* 


Fuerza 


F = dp/dt 


Torque 


T = 


dL/dt 


Cuerpo de masa 
constante 


F = ma 


Cuerpo de momento de 
inercia constante 


T = 


I** 


Fuerza perpendicular 
al momentum 


F = W x p 


Torque perpendicular 
al momentum angular 


T = 


q*l 


Energia cin£tica 


Ek = imv* 


Energia cin6tica 


it* = 


= ilw* 


Potencia 


P — F«u 


Potencia 


P = 


: f.O 



* Las f6rmulas marcadas con un asterisco son v&lidas solamente para la rotaci6n 
alrededor de un eje principal. 



Bibliografia 

1. "Moments of Inertia of Solid Rectangular Parallelepipeds, Cubes, and Twin 
Cubes, and Two Other Regular Polyhedra", J. Satterly, Am. J. Phys. 25, 70 

(1957) 

"Moments of Inertia of Plane Triangles", J. Satterly, Am. J. Phys. 26, 452 (1958) 

"Elementary Analysis of the Gyroscope", E. Barker, Am. J. Phys. 28, 808 (1960) 

"Resource Letter CAf-1 on the Teaching of Angular Momentum and Rigid Body 
Motion", John I. Shonle, Am. J, Phys. 83, 879 (1965) 

5. Mechanics (segunda edicidn), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison- Wesley, 
1964, caps. 6 y 11 

6. Physical Mechanics (tercera edicidn), por R. B. Lindsay. Princeton, N.J,: Van 
Nostrand, 1963, cap. 7 



320 



Dindmica de un cuerpo rigido 



7. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. : 
Addison-Wesley, 1961, sees. 10-1, 10-2, 10-3, caps. 12 y 13 

8. Vector Mechanics, por D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps. 13, 
15 y 16 

9. A Source Book of Physics, por W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard Uni- 
versity Press, 1963 ; pag. 65, Poinsot 

10. The Feijnman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y 
M. Sands. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 18, 19 y 20 



Problemas 



10.1 Una varilla delgada de 1 m de 
largo tiene una masa despreciable, Se 
colocan 5 cuerpos a lo largo de ella 
cada uno con una masa de 1,00 kg, 
y situados a cm, 25 cm, 50 cm, 75 cm 
y 100 cm de uno de sus extremos. Calcu- 
lar el momento de inercia del sistema 
con respecto a un eje perpendicular a la 
varilla, el cual pasa a trav6s de (a) un 
extremo, (b) la segunda masa, (c) el 
centro de masa. Calcular el radio de giro 
en cada caso, Verificar el teorema de 
Steiner. 

10.2 Resolver el problema anterior ; 
esta vez cuando la masa de la varilla 
es de 0,20 kg. 

10.3 Tres masas, cada una de 2 kg, 
estan situadas en los vertices de un 
triangulo equilatero cuyos lados miden 
cada uno 10 cm. Calcular el momento 
de inercia del sistema y su radio de giro 
con respecto a un eje perpendicular al 
piano determinado por el triangulo y que 
pase a traves (a) de un vdrtice, (b) del 
punto medio de un lado, (c) del centro 
de masa. 

10.4 Demostrar que el momento de 
inercia de un sistema constituido por 
dos masas m lf y m 2f separadas por una 
distancia r con respecto a un eje que 
pasa a trav6s de su centro de masa y 
perpendicular a la linea que une las dos 
masas, es \ir 2 , siendo [l la masa reducida 
del sistema. Aplicarlo a la mol^cula de 
CO (r = 1,13 X 10- 10 m) y a la motecula 
de HC1 (r = 1,27 x 10~ 10 m). 

10.5 Encontrar el momento de inercia 
de la molecula de C0 2 con respecto a 
un eje que pasa a traves del centro de 




Figura 10-28 



masa y es perpendicular al eje. La mo- 
lecula es lineal y el atomo de C se en- 
cuentra en el centro. La distancia C — O 
es de 1,13 x 10- 10 m. 

10.6 En la molecula de H a O, la dis- 
tancia H — O es de 0,91 x 10" 10 m y el 
angulo entre las uniones H — O es de 105°. 
Determinar los momentos de inercia de 
la molecula respecto a los tres ejes prin- 
cipals mostrados en la Fig. 10-28, y que 
pasan a trav6s del centro de masa. Ex- 
presar el momentum angular y la energia 
cin6tica de la mol6cula respecto a los 
ejes principales cuando la molecula est A 
rotando con respecto a un eje arbitrario. 

10.7 La molecula de NH 3 (Fig. 10-29) 
es una piramide con el atomo de N en el 
v£rtice y los tres atomos de H en la base. 
La longitud de la uni6n N — H es de 
1,01 x 10" 10 m y el Angulo entre dichas 
uniones es de 108°. Encontrar los tres 
momentos principales de inercia con 
respecto a los ejes que pasan por el 
centro de masa. (Los tres ejes estan 
orientados como sigue ; Z es perpendicu- 



Problemas 321 




Piano de los 
dtomos de H 



Fiffura 10-21+ 



lar a la base, X se encuentra en el piano 
oteterminado por una uni6n N — H y el 
eje Z Q e Y es paralelo a la linea que 
une los otros dos atomos de H). 

10.8 Dos ninos, cada uno con una masa 
de 25 kg estan sentados en extremos 
opuestos de una plancha horizontal de 
2,6 m de largo y una masa de 10 kg. 
La plancha esta rotando a 5 rpm con 
respecto a un eje que pasa por su centro. 
&CuaI sera la velocidad angular si cada 
nino se mueve 60 cm hacia el centro 
de la plancha sin tocar el piso? ^Cual 
es el cambio en la energia cinetica de 
rotaci6n del sistema? 

10.9 Refiriendose al problema anterior, 
suponer que, cuando los ninos se en- 
cuentran en la posici6n inicial, se aplica 
una fuerza de 120 N perpendicular a la 
plancha a una distancia de 1 m del eje. 
Encontrar la aceleracI6n angular del 
sistetna. 

10. 10 El momento de inercia de una 
rueda es de 1000 lb pie 2 . En un cierto 
instante su velocidad angular es de 
10 rad s _1 . Despues que rota 100 
radianes, su velocidad angular es de 
100 rad s _1 . Calcular el torque aplicado 
a la rueda y el aumento en la energia 
cinetica. 

10.11 Una rueda que rota esta some- 
tida a un torque de 10 N m debido a la 
fricci6n en su eje. El radio de la rueda 
es de 0,6 m, su masa es de 100 kg, y 
esta rotando a 175 rad s -1 . ^Cuanto 
demorara la rueda en detenerse? ^Cuan- 
tas revoluciones dara antes de detenerse? 

10.12 Un cilindro de 20 kg de masa 
y 0,25 m de radio esta rotando a 1200 



rpm con respecto a un eje que pasa por 
su centro. <,Cual es la fuerza tangencial 
necesaria para detenerla despues de 
1800 revoluciones? 

10.13 Un disco con una masa de 50 kg 
y un radio de 1,80 m puede girar con 
respecto a su eje. Se ejerce una fuerza 
constante de 19,6 N en el borde del 
disco. Calcular (a) su aceleraci6n angular, 
(b) el angulo que describe, (c) su mo- 
mentum angular, y (d) su energia cinetica 
despues de 5 s. 

10.14 La velocidad de un automtivil 
aumenta de 5 km hr~ l a 50 km hr - " 1 
en 8 s. El radio de sus llantas es de 45 cm. 
<,Cual es su aceleraci6n angular? La masa 
de cada llanta es de 30 kg y su radio 
de giro de 0,3 m. ^Cual es el momentum 
angular inicial y cual el final de cada 
llanta? 

10.15 La volante de una maquina de 
vapor tiene una masa de 200 kg y un 
radio de giro de 2 m. Cuando rota a 
120 rpm la valvula de entrada del vapor 
se cierra. Suponiendo que la volante se 
detiene en 5 min, ^cual es el torque 
debido a la friccidn en el eje de la vo- 
lante? <,Cual es el trabajo realizado por 
el torque durante este tiempo? 

10.16 Una carreta con una masa de 
2000 g tiene cuatro ruedas, cada una 
de 6 cm de radio y 150 g de masa. 
Calcular la aceleraci6n lineal de la carreta 
cuando se ejerce sobre ella una fuerza 
de 0,6 N. 

10.17 Las partes rotantes de una ma- 
quina tienen una masa de 15 kg y un 
radio de giro de 15 cm. Calcular el mo- 
mentum angular y la energia cinetica 
cuando rotan a 1800 rpm. &Que torque 
y que potencia son necesarios para al- 
canzar esta velocidad en 5 s? 

10.18 El radio de una moneda de 5 cen- 
tavos es de 5 cm y su masa es de 5 g. 
Rueda sobre un piano inclinado a 6 rps. 
Encontrar (a) su energia cinetica de 
rotacitfn, (b) su energia cinetica de tras- 
laci6n y (c) su energia cinetica total, 
iCual es la distancia vertical de la cual 
tendria que caer a fin de adquirir energia 
cinetica? 

10.19 Repetir el ejemplo 8.9, supo- 
niendo que la bola tiene un radio r y 



322 Dindmica de an cuerpo rtgido 



que rueda a lo largo del riel en lugar 
de resbalar. 

10.20 El automtfvil del Problema 10.14 
tiene una masa de 1600 kg, y su velo- 
cidad aumenta en 8 $ como se describe. 
Calcular (a) las energias cin6tica de rota- 
cidn inicial y final de cada rueda, (b) la 
energla cin£tica total inicial y final de 
cada rueda, y (c) la energla cin^tica total 
final del automdvil. 

10.21 Un camidn con una masa de 
10 toneladas se inueve con una velocidad 
de 6,6 m s- 1 . El radio de cada Uanta 
es de 0,45 m, su masa de 100 kg, y su 
radio de giro es de 30 cm. Calcular la 
energla cin£tica total del camtfn. 

10.22 Un anillo de hierro cuyos radios 
miden 0,60 m y de 0,50 m tiene una 
masa de 18 kg. Rueda sobre un piano 
inclinado, llegando a la base con una 
velocidad de 3,6 m s^ 1 . Calcular la ener- 
gla cin£tica total y la altura vertical 
de la cual cae. 




Flgura 10*30 



10.23 La varilla de la Fig. 10-30, cuya 
longitud es L y cuya masa es m 9 puede 
rotar libremente en uri piano vertical 
alrededor de su extremo A. Inicialmente 
se coloca en una positidn horizontal y 
luego se suelta. Cuando hace un angulo a 
con la vertical, calcular (a) su acelera- 
cidn angular, (b) su velocidad angular, 
y (c) las fuerzas en el lugar de suspension. 

10.24 Una variUa uniforme, que cuelga 
verticabnente de un pivote tiene una lon- 
gitud de 1,0 m y 2,5 kg de masa. Se le 
golpea en la base con una fuerza hori- 
zontal de 100 N.Ia que actua durante 
bo s. (a) Encontrar el momentum angular 
adquirido por la varilla. (b) £Adquirir£ 
la varilla una posicidn vertical con el 
extremo libre sobre el pivote? 




%fw/Mw/wwwmm 



Flgura 10-81 



10.25 Una escalera AB de 3 m de lon- 
gitud y 20 kg de masa reposa sobre una 
pared sin fricci6n (Fig. 10-31). El piso 
es liso y, para prevenir el deslizamiento, 
se le coloca la cuerda OA, Un hombre 
cuya masa es de 60 kg est& parado a 
dos tercios de la base de la escalera. 
La soga se rompe repentinamente. Calcu- 
lar (a) la aceleracidn inicial del centro 
de masa del sistema escalera-hombre 
y (b) la aceleracidn angular inicial alre- 
dedor del centro de masa. lAyuda: Notar 
que la velocidad angular inicial de la 
escalera es cero.J 

10,26. La varilla horizontal AB de 
la Fig. 10-32, sostenida por cojinetes sin 
friccWn en sus extremos, puede girar 
libremente alrededor de su eje horizontal. 
Dos masas iguales se colocan como se 
muestra, mediante varillas de masas des- 
preciables, $im6tricamente situadas con 
respecto al centro de la varilla. Encon- 
trar (a) el momentum angular del sistema 
respecto al centro de masa cuando el 
sistema gira con velocidad angular «, 
y (b) las fuerzas sobre los cojinetes. 



© 



\M 



■b— 






77 



© 



B 



L- 



Ffgura 10-32 



Problemas 323 



m 



L 



Ffg?ra 10-88 



10.27 Una varilla de longitud L y 
rtfasa M (Fig, 10-33) puede rotar libre- 
mente alrededor de un pivote en A. 
Una bala de masa m y velocidad v golpea 
la varilla a una distancia a de A y se 
incrusta en ella. (a) Encontrar el mo- 
mentum angular del sistema con respecto 
a A inmediatamente antes y despues 
de que la bala de contra la varilla. (b) 
Determinar el momentum del sistema 
inmediatamente antes y despues de la co- 
lisi6n. Explicar cuidadosamente su res- 
puesta. (c) ^Bajo que condiciones se con- 
servara el momentum? &Cual es el Q de 
la colisi6n? 




Figura 10-84 



10.28 Una varilla de longitud L y 
masa m reposa sobre un piano horizontal 
sin fricci6n (Fig. 10-34). Durante un in- 
tervalo muy corto Af, una fuerza F que 
actua sobre aquella produce un impul- 
se /. La fuerza actua en un punto P si- 
tuado a una distancia a del centro de 
inasa. Encontrar (a) la velocidad del 
centro de masa, y (b) la velocidad an- 
gular con respecto al centro de masa. 
(c) Determinar el punto Q que inicial- 
mente permanece en reposo en el sis- 
tema L, demostrando que b — K z /a 9 
siendo K el radio de giro con respecto 
al centro de masa. El punto Q se denomi- 
na centro de percusidn (por ejemplo, un 



jugador de beisbol debe sostener el bate 
en el centro de percusidn para evitar 
sentir una sensaci6n de dolor cuando 
el golpea la pelota.) Demostrar tam- 
bi£n que si la fuerza da en Q> el centro 
de percusWn se encuentra en P. 




Figura 10-85 



10.29 La rueda de la Fig. 10-35, que 
tiene un radio de 0,5 y una masa de 
25 kg, puede girar con respecto a un 
eje horizontal. Una cuerda enrollada 
alrededor del eje tiene una masa de 
10 kg que cuelga de su extremo libre. 
Calcular (a) la aceleraci6n angular de la 
rueda, (b) la aceleraci6n lineal del cuerpo, 
y (c) la tensidn en la cuerda. 




Figura 10-36 



10.30. Calcular la aceleraci6n del sis- 
tema de la Fig. 10-36 si el radio de la 
polea es i?, su masa es m, y esta girando 
debido a la fricci6n sobre la cuerda. 
En este caso m x = 50 kg, m 2 = 200 kg, 
M = 15 kg y R = 10 cm. 
10.31 Una cuerda esta enrollada alre- 
dedor del pequeno cilindro de la Fig. 
10-37. Suponiendo que tiramos con una 
fuerza F, calcular la aceleraci6n del 
cilindro. Determinar el sentido del movi- 



324 Dindmica de un cuerpo rigido 



miento. En este caso r = 3 cm, R = 5 cm, 
F = 0,1 kgf y m = 1 kg. 




W/MW/l. 



Flgura 10-37 



10.32 En el sistema representado en 
la Fig. 10-38, M = 1,0 kg, m = 0,2 kg, 
r = 0,2 m. Calcular la aceleracidn lineal 
de m, la aceleracidn angular del cilin- 
dro M 9 y la tensitin en la cuerda. Des- 
preciar el efecto de la pequena polea. 




Flgura 10-38 



10,33 Detemninar, para el sistema de 
la Fig. 10-39 la velocidad angular del 
disco y la velocidad lineal demy m\ 
Calcular la tension en cada cuerda. Su- 
poner que m = 600 g, m' = 500 g, 
M = 800 g, R = 8 cm y r = 6 cm. 




Fi?ura 10-40 



10.34 Para el sistema ae ia Fig, 10-40, 
calcular la aceleracidn de m y la tension 
en la cuerda, suponiendo que el momento 
de inercia del pequeno disco de radio r 
es despreciable. En este caso r = 4 cm, 
R = 12 cm, M = 4 kg, y m = 2 kg. 

10.35 En la Fig. 10-41, M = 6 kg, 
m = 4 kg, m' = 3 kg y R = 0,40 m. 
Calcular (a) la energia cindtica total 
ganada por el sistema despues de 5 s 
y (b) la tensitin en la cuerda. 



Figura 10-41 





Flgura 10-39 



10.36 Los discos de la Fig. 10-42 tienen 
iguales masas m y radios R. El disco 
superior puede girar libremente alre- 
dedor de un eje horizontal a trav£s de 
su centro, Una cuerda estfi enrollada 
alrededor de ambos discos y el disco 
inferior se deja caer. Encontrar (a) la 
aceleracidn del centro de masa del disco 
inferior, (b) la tensidn en la cuerda y 
(c) la aceleracidn angular de cada disco 
con respecto a su centro de masa. 

10.37 La masa del girtiscopo de la Fig* 
10-43 es de 0,10 kg. El disco, que esta 



Problemas 



325 



'/,-///,//.■,,,,./. 




Flgura 10-42 



situado a 10 cm del eje ZZ\ tiene un 
radio de 5-cm y esta girando alrededor 
del eje YY f con una velocidad angular 
de 100 rad s- 1 . <,Cual es la velocidad 
angular de precesi6n? 



Y f ^. 




-K 



Ftgura 10-43 



10.38 Para una demostracton en clase, 
un gir6scopo consiste de un anillo de me- 
tal de 0,35 m de radio, 5 kg de masa, el 
cual esta unido por radios a un eje que 
sobresale 20 cm a cada lado. El demos- 
trador sostiene el eje en una posici6n 
horizontal mientras que el anillo gira 
a 300 rpm. Encontrar la magnitud y la 
direcci6n de la fuerza ejercida por cada 
una de las manos del demostrador sobre 
el eje en los casos siguientes : (a) el eje se 
tnueve paralelo a si mismo ; (b) el eje 
rota con respecto a su centro en un 
piano horizontal a 2 rpm ; (c) el eje rota 
con respecto a su centro en un piano 
vertical a 2 rpm, Calcular tambien cual 



debe ser la velocidad angular del anillo 
a fin de que su eje permanezca horizontal 
si el girdscopo fuera sostenido solamente 
por una tnano, 

10.39 Demostrar que, para un cuerpo 
rigido dEk/dt = ©*t. Esta ecuaci6n de- 
muestra que o-t es la potencia rota- 
cional. [Ayuda: N6tese que v = m * r 
para un cuerpo rotante. En primer lugar 
obtener la ecuaci6n para una particula, 
utilizando la ec. (8.10), y luego sumar 
los resultados para obtener la ecuacidn 
para todas las particulas del cuerpo 
rigido.] 

10.40 N6tese que cuando un cuerpo se 
mueve sin que actue sobre 61 ningiin 
torque, no s61o el momentum angular 
se mantiene constante sino tambi&i la 
energia cinetica de rotacidn. Obtener la 
ecuacidn de la polhodia (ejemplo 10.8) 
encontrando la interseccidn de los elip- 
soides correspondientes aL ! y Ek, Ana- 
lizar el resultado obtenido. 

10.41 Demostrar que el momento de 
inercia de un cuerpo rigido con respecto 
a un eje que hace angulos a, y y con 
los tres ejes principals es 

/ = l y cos 2 a + 7 a cos 2 {J + I 3 cos 2 y. 

10.42 Un bloque s61ido de lados 0,20 m, 
0,30 m, y 0,40 m y masa 4 kg esta 
rotando con respecto a un eje que pasa 
a traves de la diagonal mayor a 120 rpm, 
(a) Encontrar el momentum angular con 
referencia a los ejes principales. (b) De- 
terminar el angulo entre el momentum 
angular y el eje de rotacidn. (c) Encon- 
trar la energia cinetica de rotaci6n. 
[Ayuda: Utilizar el resultado del Pro- 
blema 10.41 para obtener el momento 
de inercia.] 

10.43 En el bloque del problema ante- 
rior, suponer que la velocidad angular es 
constante. Determinar (a) el torque 
aplicado al bloque con respecto a los 
ejes principales, y (b) el angulo entre el 
torque y el eje de rotaci6n. 

10.44 Una particula de masa m se 
mueve alrededor de un eje con una velo- 
cidad angular to de modo que su ve- 
locidad es v = o * r, de acuerdo a la 
ec. (5.48). Demostrar que las componen- 



326 Dindmica de un cuerpo rigido 



tes de su momentum angular son 
Lx = /n[w»(y a + z 2 ) — o> v yx — o>izx], 

Ly = m[ toxXy + COir(z 2 + X a ) MzZtj], 

Lt = m[ — 6>a=xz — <x> y yz + w r (x 2 + y 2 )]. 

10.45 Extender el resultado del pro- 
blema precedente al caso de un cuerpo 
rigido para obtener 

Ltx — /jW* Izyttiy Izx<&Z) 

L*y = Ixyt&x -j- -/ytOy /yzCOi, 

Lit = lzx<&x Iyz<X>y -\- Itit>z t 

en las cuales 

lx = Zm(y* + z 2 ), 
I y = Em{z* + x 2 ), 
h = £m(x 2 + y 2 ) 

son los momentos de inercia con refe- 
renda a los tres ejes de coordenadas, 
de acuerdo a la ec. (10.7) y 

hy = Emxy, 
hz = Zmyz, 
ltx = Emzx 

se denominan los productos de inercia. 
Comparando estos resultados con la ec. 
(10.5), el estudiante puede reconocer 
que los ejes principales son aquellos para 
los cuales los tres productos de inercia 
valen cero, N6tese tambiSn que el com- 
portatniento rotacional de un cuerpo 
rigido estd determinado por seis canti- 
dades : los tres momentos de inercia 
y los tres productos de inercia. 

10.46 Determinar los tres momentos 
de inercia y los tres productos de inercia 
del cuerpo de la Fig, 10-16 con respecto 
a (a) los ejes X -, Y -, y Z - (b) los ejes 



X- t Y - y Z , y (c) los ejes X'-, V - y 2. 
iSon siempre constantes estas canti- 
dades? 

10.47 Galcular los productos de inercia 
de las moleculas de H a O y NH 3 con 
respecto a los ejes ilustrados en los Pro- 
blemas 10.6 y 10.7, y verificar que los 
ejes son principales. 

10.48 Verificar la relation vectorial 
(A x fl)-(C x D) 

= (A - C) (B • D) — (A • !>)( (B • C) t 

Utilizarla para demostrar que en el 
cuerpo rigido del Problettia 10.44, v z = 
= (co x r) 2 = o> 2 r 2 — (r*r) a . Luego escribir 
su energia cinStica en la forma 

Eu = im[<»l(y* + z 2 ) + ^(z 2 + x 2 ) 
-f <*l{x* + y 2 ) — 2<o*6>j,xy 
— 2toyco 2 yz — 2o) 2 cozxz]. 

10.49 Extender el resultado del pro- 
blema anterior para expresar la energia 
cinetica de un cuerpo rigido rotante en 
la forma 

Ek = i[/iCOx + /ytoy + htoz 

2 ixy COzOy 2ijrt<*)yG}* 

27«iCOaO>j;]. 

N6tese que se reduce a los valores dados 
en la secci6n 10.5 para el caso de los 
ejes principales cuando los productos 
de inercia son cero. 

10.50 Resolver el ejemplo 10.7 encon- 
trando primero los componentes de ^ 
paralelas a los ejes XYZ y calculando 
luego las componentes de t mediante la 
aplicaci6n directa de la ec. (10.11). Con- 
siderar tambien el caso de rotaci6n acele- 
rada (dv/dt ^ 0). 



11 

DINAMICA DE ALTA ENERGIA 



//./ Introduction 

11.2 Principio cldsico de relatividad 

1L3 Principio especial de relatividad 

11 A Momentum 

11.5 Fuerza 

11.6 Energia 

11.7 Transformation de energia y momentum 

11.8 Transformation de fuerza 

11.9 Sistemas de particulas 

11 JO Colisiones de alta energia 



328 Dindmica de alta energta (11.2 

11.1 Introduction 

En los capitulos anteriores hemos desarrollado una teoria llamada mecanica 
cldsica o newloniana para describir el movimiento de cuerpos que observamos a 
nuestro alrededor. La teoria se basa en varias suposiciones. Por ejemplo, hemos 
visto que el momentum puede expresarse como p — mv f donde la masa m es 
un coeficiente caracteristico de la particula o del sistema; hemos considerado 
siempre esta masa m como un coeficiente invariante de cada particula o sistema. 
Siempre que la magnitud de las velocidades que observamos no sea muy grande, 
esta suposicion sobre la masa parece ser valida y compatible con nuestra expe- 
riencia. Pero existe la posibilidad de que experimentando con velocidades muy 
grandes esta suposicion no permanezca correcta. De hecho, se encuentran dis- 
crepancias al estudiar el movimiento de particulas muy energeticas, tales como 
los electrones interiores de los atomos o las particulas halladas en los rayos cosmi- 
cos o producidas en los aceleradores de alta energia. El proposito de este capitulo 
es desarrollar una teoria general del movimiento valida para particulas tanto de 
baja como de alta energia. Apoyaremos el desarrollo de esta teoria en la trans- 
formation de Lorentz, ya discutida en la seccion 6.6, y en el principio de relaii- 
vidad. Por esta razon la nueva teoria se llama tambien mecanica relativista. 



11,2 Principio cldsico de la relatividad 

En el capitulo 6 discutimos la naturaleza relativa del movimiento y derivamos 
expresiones para las velocidades y aceleraciones tal como son medidas por dos 
observadores en movimiento relativo. En particular, en la seccion 6.3, derivamos 
la transformacion galileana para dos observadores en movimiento traslacional 
uniforme relativo. 

En el capitulo 7 enfatizamos el hecho de que las leyes del movimiento tienen 
que ser consideradas como referidas, o relativas, a un observador inercial. Ahora 
supondremos que dos observadores inerciales diferentes, moviendose con velo- 
cidad constante relativa, correlacionaran por la transformacion de Galileo sus 
respectivas observaciones del mismo fenomeno. Debemos ahora observar critica- 
mente este asunto, veriflcando que si las leyes de la dinamica son validas para 
un observador inercial, tambien lo son para todos los observadores inerciales. 
Es necesario veriflcar este enunciado solo para el principio de conservation del 
momentum y para la definition de fuerza, ya que todas las otras leyes de la di- 
ndmica se derivan de esas dos. La hipotesis de que todas las leyes de la dindmica 
ieben ser las mismas para todos los observadores inerciales, que se mueven con veto- 
zidad constante unos con respedo a otros, es lo que constituye el principio cldsico 
ie relatividad. 

Consideremos dos particulas, de masas m 1 y m 2 , y llamemos v x y v 2 sus veloci- 
iades medidas por un observador inercial 0. Si no hay fuerzas externas que 
ictuen sobre las particulas, el principio de conservation del momentum requiere que 

mjPj + m 2 v% — const. (11.1) 



11*2) Principle cldsico de la relatividad 329 

Para otro observador inercial 0\ que se mueve relativamente a Ocon la velocidad 
constitute t\ las velocidades de m x y m^ son v[ = v x — v y v' 2 = v 2 — t?, de 
acuerdo con la ec. (6.9), derivada de la transformaci6n de Galileo. Sustituyendo 
tales valores en la ec. (11.1) tenemos 

m \(v'i + *?) + m 2 (t?2 + v) = const, 
6 

m x t)[ + m 2 t?2 = const — (n^ + m^v = const. (U-2) 

Notemos que el nuevo resultado es constante s61o si v es tambien constante; 
esto es, si 0' es otro observador inercial La ec, (11.2) es completamente similar 
a la ec. (11.1) y, por consiguiente, ambos observadores inerciales verifican el 
mismo principio de conservaci6n del momentum. 

Discutamos en seguida la relaci6n entre la fuerza medida por dos observadores 
y 0' moviendose con una velocidad relativa constante v. Supongamos que 
y 0' miden ambos la misma masa para una particula que observan en movi- 
miento, una suposici6n basada en la experiencia, por lo menos siempre que la 
velocidad relativa v sea pequena comparada con la velocidad de la luz. Si V y V 
son los valores respectivos de la velocidad de la particula con respecto a los dos 
observadores, ellas estan relacionadas por la ec, (6,9), V = V + v. Ya que v 
es constante, dvjdt = 0, y tenemos que 

dV dV 

■dT— *- " - = "• (n ' 3) 

Esto es, ambos observadores miden la misma aceleraci6n (recordar la ec. 6.13). 
Segiin la definition de fuerza dada.en la ec. (7.12), tenemos que la fuerza medida 
por cada observador es 

v dp dV _, dp' dV' 

En vista de que a = a', concluimos que 

F = F\ (11.4) 

Por consiguiente ambos observadores inerciales miden la misma fuerza sobre la 
particula cuando tales observadores comparan sus medidas usando la transfor- 
maci6n de Galileo. 

Dejamos al estudiante la tarea de verificar que si la energia se conserva con 

respecto al observador inercial 0, esto es, que si 

E = ^m&l + im^ + E Ptl2 = const, 
ftntonces, tambien se conserva con relation al observador inercial 0' f y 
E' = inytf + \m&? + E' Pat = const, 



330 Dindmica de alia energia (11.3 

donde E' pa2 — E Pa2 si la energia potencial depende linicamente de la distancia 
entre las parti culas. (Para la relation entre E' y E, ver el problema 11.1). Por 
consiguiente, en lo que concierne a las leyes fundamentales de la dindmica, la 
description del movimiento es la misma para ambos observadores inerciales, 

EJEMPLO ll.l. Discutir la forma de la ecuaci6n del movimiento cuando es usada 
con referenda a un observador no inercial* 

Solucidn: Si un observador O' es no inercial, ello significa que su velocidad t>, rela- 
tiva a un observador inercial 0, no es constante en el tiempo. Por tanto dv/dt ^ 0. 
Entonces, dado que v = V -f v, tenemos que 

dV dV dv , dv 

+ — ^- y a = a' + 



dt dt dt dt ' 

La fuerza medida por el observador inercial es F = ma. Entonces, si el observador 
no inercial 0' utiliza la misma definici6n de fuerza debe escribir F' = ma'. Por 
tanto, en vista de la relation entre a y a'. 

dv 
F'= F — m~. (H.5) 

De esa man era el observador no inercial mide una fuerza diferente de la que mide 
el observador inercial. En otras palabras, el observador no inercial considera que, 
ademas de la fuerza F medida por el observador inercial (que incluye todas las 
interacciones a las que esta sujeta la particula), hay otra fuerza F" actuando sobre 
la particula, 

F" = —mdv/dt t , (11.6) 

de modo que la fuerza resultante sobre la particula es F + F". Esta fuerza ficticia 
se llama fuerza inercial. 

Cuando deseamos describir el movimiento de una particula con relation a la 
tierra (que no es un sistema inercial de referenda) usamos este tipo de 16gica. En 
este caso dv/dt es la aceleracion centripeta o * (a> * r) (recordar la ec. 6.25). Por 
consiguiente la fuerza inercial es F" = — met) x (o x r ) y corresponde a una fuerza 
centrifuga actuante sobre la particula ademas del peso. 



11.3 Principio especial de relatividad 

En 1905, el fisico aleman Albert Einstein (1879-1955) dio un paso mas adelante 
y propuso el principio especial de relatividad, enunciando que 

todas las leyes de la naturaleza (no solamente de la dindmica) deben 
ser las mismas para todos los observadores inerciales moviendose con 
velocidad constante unos con respecto a otros. 

Este principio nuevo, o especial, de relatividad tiene importantes consecuencias, 
porque si lo aceptamos, debemos expresar todas las leyes fisicas de tal modo 
que no cambien al pasar de un observador inercial a otro, hecho que acabamos 
de verificar para las leyes de la dindmica, usando la transformation galileana. 
El resultado de esta exigencia es la restriction impuesta sobre la expresion ma- 
tematica de dichas leyes. Entre las leyes que deben permanecer invariantes para 



22.3} Principio especial de relatividad 331 

todos los observadores inerciales estan aquellas que describen los fenomenos 
electromagneticos; ellas seran discutidas en detalle en capitulos posteriores. 

Pero podemos adelantar que dichas leyes, al ser expresadas con relaci6n a un 
observador inercial, incluyen una velocidad c, esto es, la velocidad de la luz. 
Por consiguiente, el principio especial de relatividad, tal como fue formulado por 
Einstein, tequiere que la velocidad de la luz sea la misma para todos los obser- 
vadores inerciales. 

La suposicion de Einstein fue motivada en parte por la memorable serie de 
experiments empezados alrededor de 1880 por Michelson y Morley, quienes 
midieron la velocidad de la luz en diferentes direccionfes, tratando de ver como 
era afectada por el movimiento de la tierra. Discutimos este experimento en 
el capitulo 6 (particularmente en el ejemplo 6.7). Los resultados, como se indico 
en el capitulo 6, han sido siempre negativos, indicando que la magnitud de la 
velocidad de la luz es independiente del movimiento del observador. 

Ahora, de acuerdo a la ec. (6.9), la velocidad de un objeto nunca es la misma 
para dos observadores en movimiento relativo si sus observaciones estan relacio- 
nadas por una transformacion Galileana. Por otra parte, la velocidad de la luz 
es la misma para todos los observadores inerciales si sus medidas se relacionan 
entre si por medio de la transformaci6n de Lorentz, como se discutio en la sec- 
ci6n 6.6. Por consiguiente, para satisfacer el nuevo principio de relatividad, 
debemos usar la transformacion de Lorentz en vez de la transformacion de Ga- 
lileo. Consecuentemente, volveremos a enunciar el principio de relatividad en la 
siguiente forma: 

Los observadores inerciales deben correlacionar sus observaciones por 
medio de la transformacion de Lorentz, y todas las magnitudes flsicas 
deben transformarse de un sistema inercial a otro de tal modo que 
la expresion de las leges flsicas sea la misma para todos los obser- 
vadores inerciales, 

Lo que resta de este capitulo serd dedicado a una discusion de como esta nueva 
formulation del principio de relatividad afecta las cantidades din&micas deflnidas 
previamente. Desde un punto de vista practico, la teoria que desarrollaremos es 
importante solamente para velocidades comparables a la de la luz, y, por consi- 
guiente, debe ser usada cuando las particulas tienen una energia muy alta. Para 
particulas con energias bajas, la transformacion Galileana es una aproximacion 
muy buena para relacionar magnitudes fisicas en los sistemas inerciales, y la 
mecanica newtoniana proporciona un formalismo satisfactorio para describir 
dichos fenomenos. La teoria por desarrollar se llama la teoria especial de la rela- 
tividad porque se aplica solamente a los observadores inerciales. Cuando los 
observadores no son inerciales, empleamos la teoria general de relatividad, la 
cual discutiremos brevemente al final del capitulo 13. 

Aun si, desde un punto de vista practico, podemos ignorar la teoria especial 
de la relatividad en muchos casos, desde un punto de vista conceptual esta teoria 
ha producido una modification profunda en nuestros metodos te6ricos para ana- 
lizar los fenomenos fisicos. 



332 Dindmica de alia energta 
11 A Momentum 



{U.4 



En el capitulo 7 definimos el momentum de una particula por p = mv y supu- 
simos que la masa m era independiente de la velocidad. .Sin embargo, como resul- 
tado de muchos experimentos con particulas de alta energia, tales como protones 
y electrones r£pidos producidos por los aceleradores modernos, o encontrados en 
los rayos c6smicos, se ha hallado que esta suposicion ya no es v&lida. Recordemos 
que la fuerza aplicada sobre una particula ha sido definida como F = dp/dt, 
y que ejerciendo f uerzas conocidas en particulas veloces podemos determinar expe- 
rimentalmente la correspondiente expresion para p. [Podemos, por ejemplo, 
observar el movimiento de electrones (u otras particulas cargadas) en campos 
magneticos y electricos conocidos]* El resultado de esos experimentos ha sido que 
la masa de la particula moviendose con una velocidad v relativa al observador 
parece estar dada por 



m t 



m — 



]/ 1 — ^/C 2 



— km, 



(11.7) 



Aqui se define k como en la ec. (6.32) y m es una constante caracteristica de 
cada particula Uamada masa en reposo, ya que es el valor de m cuando u = 0, 
esto es, cuando la particula esta en reposo con respecto al observador. La pre- 
sencia del factor ]/ 1 — v*jc 2 que encontramos antes en el capitulo 6 al tratar 
de la transformacion de Lorentz, no es sorprendente, ya que nuestro nuevo prin- 
cipio de relatividad basado en esta transformacion puede requerir su uso. 



m 







o 



t) 0,1 0,2 0,3 0,4 



0,5 0,6 

v/c 



0,7 0,8 



0,9 



1,0 



Fig, 11-1. Confirmacion experimental de la variacion de la masa con la velocidad. 
La linea es una curva basada en la ec. (11.7). Los datos experimentales de W. Kauf- 
mann (1901) se indican con circulos abiertos, los de A. Bucherer (1909) con circulos 
negros, y los de C. Guye y C. Lavanchy (1915) con cruces. 



12,i) Momentum 333 

La variacidn de la masa con la velocidad segun la ec. (11.7) est& ilustrada en 
la Fig. 11-1. Esta figura es esencialmente identica a la Fig. 6-15 ya que ambas 
dan k en terminos de u/c. Puede verse que solamente a muy altas velocidades 
hay un aumento notable en la masa de la particula. Por ejemplo, aun para 
v = 0,5c, m/zHfl — 1.15, o sea solamente hay un 15 % de aumento en la masa. 

El momentum de una particula que se mueve con velocidad t> relativa a un 
observador debe por consiguiente ser expresada por; 

p = mr = ^ = knuv. (11.8) 

^ y 1 _ p2/c2 

Para pequenas velocidades (v ^ c), k puede igualarse a 1, y esta nueva expre- 
si6n viene a ser identica a la usada en capitulos anteriores. 
* Tenemos aiin que verificar que esta expresi6n para el momentum satisface los 
principios de relatividad. Esto es, debemos verificar que, si el movimiento de 
la particula estd referido a un observador inercial diferente, respecto al cual la 
particula se mueve con velocidad v\ el momentum p' queda expresado al reem- 
plazar v por v' en la ec. (11.8), y que las dos expresiones para el momentum son 
compatibles con la transformacidn de Lorentz que relaciona a los dos observadores. 
Tenemos tambien que verificar que esta nueva definici6n del momentum es com- 
patible con la invariancia del principio de conservaci6n del momentum para 
todos los observadores inerciales. Este asunto serd pospuesto hasta las seccio- 
nes 11.7 y 11.9. 

EJEMPLO lia. Comparar el aumento relativo en velocidad con el aumento 
relativo en nomentum. 

Sohtctetu El aumento relativo en momentum se define como dp/p, y el aumento 
relativo en velocidad como du/v. El momentum y la velocidad est&n relacionados 
por la ec. (11.8), cuya forma escalar es 

P ~ (1 — pV*") 1 " " 

La deflnici6n del aumento relativo en velocidad sugiere que primero tomemos el 
logaritmo de esta expresi6n. Esto es. 

In p = in m + In v — iln II ^-j. 

Diferenciando, obtenemos 

dp _ dv_ (v/c % ) dv = 1 dv _ k t dv 

p ~ v 1 — &/t % 1 — v % /c % v v 

Vemos entonces que a bajas velocidades, cuando v % /c* es despreciable, tenemos 
que dp/p = du/v t y los aumentos relativos en momentum y velocidad son iguales, 
de acuerdo a nuestra experiencia diaria, Sin embargo, a mayores velocidades, corn- 
parables, con c, el factor que multiplica a dv/v es muy grande, y asi es posible pro- 
ducir un aumento relativamente grande en el momentum con un aumento relativa- 
mente pequeflo en la velocidad. Por ejemplo, para v = 0,7 c, tenemos que dp/p * 
« 2{dv/v) y y para v = 0,99c, obtenemos dp/p « bQ(dv/u). 



334 Dindmica de alta energta (11.5 

11.5 Fuerza 

En el capitulo 7 definimos la fuerza sobre una particula por medio de la ec. (7,12), 
la que fue obtenida del principio de conservacidn del momentum. Esta definition 
sera mantenida en la mecanica relativistica. Por ello redefinimos la ftferza como 

v - d P - d 



m « ^ ~ « { YT=m) ' ( > 

Al tratar del mouimiento rectilineo consideramos solamente las magnitudes y por 
tanto podemos escribir 



dt 



m Q v 



(I — i^/c 2 ) 1 ' 2 



m^dvldf) _ m dv 

(1— i^/c 2 ) 3 ' 2 ' 1 ~v 2 lc* dt ' { * 



En la ec. (11.10) m tiene el valor dado por la ec. (11.7). Ya que dvjdi es la 
aceleracion, concluimos que para una particula de alta energia la ecuacion 
F = ma no es respetada en el movimiento rectilineo. Por otra parte, en el caso 
del movimiento circular uni forme, la velocidad permanece constante en magnitud 
pero no en direction y la ec. (11.9) se transforma en 



p _ "h dv _ dv 



(1— i^/c 2 ) 1 ' 2 dt dt 

Pero dvjdt es entonces la aceleracion normal o centripeta cuya magnitud es v 2 jR, 
donde R es el radio de la circunferencia de acuerdo con la ec. (5.44). Por tanto 
la magnitud de la fuerza normal o centripeta viene a ser 

„ m v z i* 2 pv 

Fn= d-^yi^ =m li = lf < lul > 

Observamos que la relation F = ma se satisface en el caso del movimiento 
circular uniforme si usamos para la masa la expresion relativistica (11.7). En el 
caso general del movimiento curvilineo, notando que dvjdt es la aceleracion tan- 
gential y que v 2 jR la aceleracion normal (de acuerdo a la ec. 5.44), concluimos 
de las ecs. (11.10) y (11.11) que las componentes de la fuerza a lo largo de la 
tangente y la normal a la trayectoria son, usando la ec. (11.7), 

(11.12) 

Fjv = ( i_,; /cr2 %=™v 

Una conclusion inmediata es que la fuerza no es paralela a la aceleracion 
(Fig. 11-2) porque los coeficientes multiplicadores de a T -y a N son diferentes. Por 
tanto, una relation vectorial del tipo F-mano existe para particulas que tienen 
alta energia, a menos que el cuerpo se mueva con movimiento circular uniforme. 



AiiiBlsxiOD bzjotij Biin ofBq ooiis].\nr[OJ oouj[ip^ oiuaiuiiAojv '8-TT *^K1 

n 







/ — 






/ ^~ — 




- p = 




/ jS 




/ 


// 






/- 


/f 






/ / 


/ 










40]BA. ~7> 


' I 








1 






// 


t 






s/ 


/ 






// 


/ 0l« 

'*7 


Z _ 


X 




I 









*h(*u*/d)+ l A 



o = a 



inb sourexniooua 'pBppopA bi opuBfadsaa 



'M 



rt°i// 



S0UI9U91 £ (0 = A '0 = ? * J13d 3nI> ^) 

31uh;suoo sa ^ anb ap oqoaq p B;uano ua opuBiuoi 'upisaadxa B^sa opusagaiui 



B/l(^/* fl — t) 



rt°U/ 



;p 



= d 



-38JTP BI U0 SOtqtUBO £Bq OU IL B}39J B9UJI U3 S3 O1U9IUIIA0UI p 9tlb Bi£ ( 3^U3UIJBIE3S3 
B^U3S3 (6'IT)'«9P«n09 BI UOO S0UIBZ3dlU9 B3T;S]AI1Bpj B0IUB03UI Ug '3;UB^SU03 
U9PBI9P3B Bl S3 *ltf/rf = V 3pU0p 'gjtff = £ A JP = fl 3Tlb JBflBTl BIEd (n*Q) X (OI'S) 

sauopBnoa sbi JBsn soaiapod 'asjaAoux b pzaduia BinoftiBd b[ apuop o^und p apsap 
o;uaixuBZBidsap p & oduraii p souiipgui is *jsv 'aiuBisuoo uppBiapo* uoo oiuaiw 

-IAOUI IB apUOdsaJJOD 'BarjSJAllBpi OU B0IUB3dUl U9 'O^UaiUITAOUI 9^sa mpfSmfOST 

•BOTlSJAllBpJ 

BoruiBuip ua 3^ubisuo3 Bzaanj Bun ofeq oauurpaa o^uaixuiAO]^ *8'IT Oldwarst 

•U9PBJ9P3B -BpOHIBd B T 9 P BSBUI 

bi b BpiBJBd sa ou Bzianj bi bj buba 'Bpuanoasuoo ouioo 'uaiquiBi anb ouis 
'peppopA b^b v 'S-TI *%U peppopA b{ ap pn^iugBUi bj BiquiBo a^uauiBios 

on iBpuague; Bzianj B[ oaaj 'bsbui bj oaoduiB^ 
jBiquiBO up o^ub^ Jpd A 'pn^iugBui ns JBiquiBO 

UtS pBppO(3A BI 9p UOp03Jtp Bl 31U3UIB{0S BiqUIB3 

[Buuou Bzaanj bi atibiod apaons o;sa * N j ibxu 
-jou a^uauoduioo bi 9nb ioXbui sa ^j (BpuaS 
-ub; a^uauoduioD bi 'aiuauifBuopiodoid 'anb 

S3 9^UBS3J9^UI 0q33ll OJ^O 'BZJ9HJ ap UQldlUljdp 

BJ^sanu sa snbiod *Bpii?A utib asauBuiiad jp/dp 
— g [B^uauiBpunj sbui uopspj bi 'ogiBquia ujs 




9££ 



vz.im K >j 



(971 



11.5) 



Fuerza 



335 



Sin embargo, la relation mas fundamental F — 
dpjdl permanece aiin v£lida, porque es nuestra 
definition de fuerza. Otro hecho interesante es 
que, proporcionalmente, la componente tan- 
gential Ft es mayor que la componente nor- 
mal jF^, Esto sucede porque la fuerza normal 
cambia solamente la direction de la velocidad sin 
cambiar su magnitud, y por tanto sin cambiar 
tampoco la masa. Pero la fuerza tangential no 
solamente cambia la magnitud de la velocidad 
sino que tambien, como consecuencia, varia la 
masa de la particula. 




Fig. 11-2. A alta velocidad, 
la fuerza no es paralela a la 
aceleraci6n. 



JZJEMPLO 11.3* Movimiento rectilineo bajo una fuerza constante en dinamica 
relativistica. 

Soluci6n; Este movimiento, en mecanica no relativistica, corresponde al movi- 
miento con aceleracidn constante. Asi, si medimos el tiempo y el desplazamiento 
desde el punto donde la particula empez6 a moverse, podemos usar las ecuaciones 
(5.10) y (5.11) para hallar que v = at y x = ±at\ donde a = F/m es la aceleracidn 
constante. En mecanica relativistica empezamos con la ecuaci6n (11.9) escrita 
escalarmente, ya que el movimiento es en linea recta y no hay cambios en la direc- 
cidn. Por tanto 

d 



F = 



dt 



m v 



(1 — v 2 /c*) 



2//.S\l/2 



Integrando esta expresidn, tomando en cuenta el hecho de que F es constante 
(y que para t — 0, v = 0), tenemos 



m^v 



Ft 



]/ 1 _ v */ c * 

Despejando la velocidad, encontramos que 

(F/m,c)t 



v = c 



Vl +(F/m c)H* 





Fig. 11-3. Movimiento rectilineo reiativistico bajo una fuerza constante. 



336 Dindmica de alta energla /jl t 6 

Para muy pequenos valores de t (esto es, cuando la medicidn tiene Iugaral comienzo 
del movimiento), el segundo tfrmino del denominador puede despreciarse y 
v « (F/m )t, que es la expresi6n no relativista, ya que en este caso a = F/m 
Para valores grandes de / (esto es, cuando la medicion es hecha despuGs que la par- 
ticula ha sido acelerada por un largo tiempo), el 1 en el denominador puede ser 
despreciado en comparaci6n con el segundo termino, y v « c. Por tanto, en vez 
de aumentar indeflnidaniente, la velocidad se aproxima al valor llmite c, que es 
la velocidad de la luz. Esta variation de velocidad con el tiempo es indicada por la 
linea solida de la Fig. 11-3 (a). El momentum, sin embargo, esta dado por p = Ft 
y aumenta indeflnidaniente. Para obtener el desplazamiento de la particula recor- 
damos que v = dx/dt. Por tanto 

— - c (F/™*)t 
di J/1 +(F/m#)V 

Integrando (poniendo x = cuando t = 0), tenemos 



m n c 



-r + (^)' 



t* — 1 



Usando la expansion binomial (M.28) con n = y* la ecuaci6n se reduce a x = i 
(F/m )t* para valores pequenos de t ; este es el valor no relativista. Para valores 
grandes de *, tenemos i*c/- (m^/F), que corresponde al movimiento uniforme 
con velocidad c. Por tanto, la distancia es menor que si las expresiones no relati- 
vists fueran v£lidas a todas las velocidades. Ello se indica por la linea sflida en 
la Fig. 11-3 (b). Este problema es de interns en muchos aspectos ; por ejemplo, 
en el movimiento de una particula cargada en un acelerador lineal, 

US Energla 

Para computar la energia cinetica de una particula usando la nueva definition 
de momentum, usamos el mismo procedimiento que en la secci6n 8.5 donde 
habldbamos de mecinica newtoniana. Esto es, recordando que v = dsfdi, % ob- 
tenemos 

E k = I F T ds = — (mv) ds= I v d(mv). 

Integrando por partes (ver ec. M.41) y usando la expresi6n relativista (11.7) 
para la masa, tenemos 

E k =m*- \" m odu= "^ C m ^ dv 

Jo ]/ 1 — b2/c 2 J J/ 1 — i^/c 2 

Combinando los dos primeros terminos del lado derecho en uno solo, obtenemos 
ftnalmente la energia cinetica de una particula que se mueve con velocidad v 
relativa a un observador 

k= fY=^~ m ^ =={m ~ m * ) *' (1U3) 



U.6) Energia 337 

donde la ec. (11.7) ha sido usada para escribir la ultima parte. El resultado (11.13) 
es muy sugestivo. Indica que la ganancia en energia cinetica puede ser conside- 
rada como una ganancia en masa como resultado de la dependencia de la masa 
con la velocidad, de acuerdo a la ec. (11.7). Esta interpretaci6n puede ser exten- 
dida para asociar un cambio en la masa Am a cualquier cambio en la energia AE 
del sistema. Ambos cambios estan relacionados por la expresi6n 

A£ = (A/n)c 2 , (11.14) 

la cual es una extension de la ec. (11.13)* Por ejemplo, la conservaci6n de la 
energia de un sistema aislado requiere que (E k + E p ) 2 = (E k + E p \ = const, 
o E]# — E kl = Ej^ — E P2 . Pero, segun la ecuacion (11.13), E k2 —E kl = (m 2 — mjc 2 . 
Por consiguiente: 

(m 2 — m^c* = E P1 — E„ (11.15) 

La ec. (11.15) significa que cualquier cambio en la energia potencial interna del 
sistema, debido a una redistribution interna, puede ser expresado como el cambio 
en la masa del sistema como resultado de un cambio en la energia cinetica interna. 
Debido al factor c 2 , los cambios de masa son apreciables solamente si los cambios 
en energia son muy grandes. Por esta razon el cambio en la masa resultante de 
transformaciones de energia es apreciable s61o para interacciones nucleares o en 
fisica de alta energia, y es practicamente despreciable en reacciones quimicas. 
*La magnitud m^? que aparece en la ec. (11.13) se llama energia en reposo de 
la particula, y la cantidad 

E = E h + mJ> = /n ° c2 = m<? (11.16) 

y i _ „2/ C 2 

es la energia total de la particula. La energia total de la particula, tal como est& 
defmida aqui, incluye la energia cinetica y la energia en reposo, pero no la energia 
potencial. 

Combinando la ec. (11-8) con la ec. (11.16), vemos que v = c 2 pjE. Esta expre- 
si6n da la velocidad en termino del momentum y la energia* Ya que t> y p tienen 
la misma direcci6n s esta expresi6n es tambien v&lida para los vectores, y podemos 
escribir 

v=^. (11.17) 

E 

La ec. (11.16) es equivalente a 

£ = c]/m§c 2 + p 2 , (H.18) 

como podemos ver reemplazando p por su expresi6n (11.8) y veriflcando que la 
ec, (11.18) se transforma en la ec. (11.16). 

A primera vista, la ec. (11.13) para la energia cinetica relativista puede parecer 
muy distinta de la ec. (8,12) para la energia cinetica newtoniana (esto es, E k =%mtf). 



338 Dindmica de alta energta 



(ltd 



Sin embargo, no es asi. Cuando v es pequena comparada con c, podemos desarro- 
liar el denominador en la ec. (11.7), usando el teorema binominal (M.22): 



m = m 






Sustituyendo en la ec. (11,13), encontramos que 



£ fc =im y 2 + fm - v + . 



(11.19) 



El primer termino es la energia cinetica ya conocida de la ec. (8.12). El segundo, 
y los siguientes terminos, son despreciables si v <| c. En esta forma verificamos 
nuevamente que la mecanica newtoniana es s61o una aproximacion de la mecanica 
relativista, valida para pequefias velocidades o energias y usando para la masa 
su valor de reposo. Por otra parte, a muy altas velocidades podemos reemplazar 
v por c en el numerador de la ec. (11.8) para el momentum, escribiendo p = mc. 
Entonces la energia cinetica dada por la ec. (11.13) va a ser 



E k =pc — m c 2 = c(p — m c)> 



(11.20) 



En la Fig, 11-4, la variaci6n de la energia cinetica E k dada por la ec* (11.13) 
ha sido indicada por la curva a, y la energia cinetica newtoniana E k =\m v* 
por la curva b. Esta figura nos muestra claramente que, a igualdad de veloci- 
dades, la energia relativista es mayor que la newtoniana. En la Fig. 11-5 la 
energia cinetica ha sido representada en terminos del momentum. Puede verse, 
que, para momenta iguales, la energia relativista (curva a) es menor que la ener- 
gia newtoniana (curva b). La curva relativista se aproxima asintoticamente al va- 
lor dado por la ec. (11.20). 



E k 



* 






















3 












































? 










































/ 


1 


















ay 


f— 
























n 














--- 




~b" 





0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 

v/c 

Fig. 11-4. Variaci6n de la energia con la velocidad; (a) relativista, (b) newtoniana. 



11.6) 



Energia 339 



E k 



2,2 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
1,2 























/ 






















/ 
























/ 






















V 


























a 


S / 

t 




















• 




















. r 1 




















s 
s 






















/ / Ek = c{p-m c) 
















• 
• 












M^^^M 










f ■ 















m o c 1,0 
0,8 
0,6 
0,4 
0,2 

°0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 

V 

Fig. 11-5- Variaci6n de la energia cinetica con el momentum; (a) relativista, 
(b) newtoniana. 



Debemos notar que las razones mjm y E k jm c 2 son las mismas para todas las 
parttculas que tienen la misma velocidad. Por tanto, dado que la masa del prot6n 
es alrededor de 1850 veces la masa del electr6n, los efectos relativistas en el movi- 
miento de los protones son percibidos solamente en energias 1850 veces mayores. 
Por esta raz6n el movimiento de protones y neutrones en los nucleos at6micos 
puede tratarse en muchos casos sin hacer consideraciones relativistas, mientras 
que el movimiento de los electrones requiere, en la mayoria de los casos, un tra- 
tamiento relativista. 

Ocurre un caso especial interesante cuando la particula no tiene masa en reposo 
(m = 0). Entonces la ec. (11.18) se transforma en 

E=cp 6 p=Ejc. (11.21) 

Y por consiguiente, por la ec. (11.17), encontramos que la velocidad de la par- 
ticula es v = c> En consecuencia, una particula con masa en reposo nula puede 
moverse solamente con la velocidad de la luz y nunca puede estar en reposo en 
un sistema inercial. Este es el caso del fot6n, y parece ser tambien el del neutrino, 
como veremos en capitulos posteriores. La relaci6n (11.21) tambien es valida 
cuando una particula, con masa m no necesariamente cero, se mueve a velocidad 
comparable con la de la luz, de modo que su momentum p sea grande comparado 
con m c. Esto se puede ver ya que, cuando en la ec. (11.18) despreciamos el ter- 
mino m c en comparaci6n con p 9 la ecuaci6n se reduce a la ec. (11.21). 

EJEMPLO HA. Gomparar el autnento relativo en la velocidad y el momentum 
con el aumento relativo en la energia. 



340 Dindmica de alta energta /jj g 

Solucidn: Resolviendo la ec. (11,18) para v f tenemos 

Cuando la velocidad de una particula aumenta en la cantidad dv y su energia en 
la cantidad dE, el aumento relativo en la velocidad esta dado por dv/v y el au 
mento relativo en la energia por dE/E. Esto sugiere, como en el ejemplo 11 2 gue 
debemos tomar el logaritmo de la expresidn anterior antes de diferenciarla. Esto es, 

ln» = lnc + Jln(l-^-). 

Diferenciando, obtenemos 

dv _ mlc 1 dE 
v E* — mte* E * 

Si la energfa de la particula es muy alta comparada con su masa de reposo, de modo 
que E p m c* f podemos despreciar mjc 4 en el denominador, obteniendo 

dv __ mfc 4 dE 
v ~~ E* E ' 

El coeflciente que multiplica el aumento relativo en energia es siempre menor que 
la umdad porque, a alta energia, E es mucho mayor que /n c 2 . Por consiguiente 
a altas energfas dv/o es muy pequena comparada con dE/E. En otras palabras a 
energias altas es posible aumentar la energia de la particula sin que apreciabletnente 
aumente su velocidad. Esta caracteristica es de gran importancia en el diseiio de 
aceleradores de alta energfa, tanto lineales como circulares. Sugerimos que el estu- 
diante repita el mismo calculo, usando la mecanica newtoniana, y compare los re- 
sultados. * 

Por otra parte, en lo que se refiere al momentum p, tenemos de la ecuaci6n ttl 18) 
que v f 

In E = In c + i In (mtc 2 + p a ) 
y> diferenciando, obtenemos 

dE = p 8 dp 

E m*c* + p* p " 

A altas energfas, cuando p es mucho mayor que m c, obtenemos dE/E * dpjp, 
y el momentum aumenta en la misma proporcidn que la energfa* 

EJEMPLO 11.5. Movimiento curvilineo bajo fuerza constante en dinimica rela- 
tivista. 

Solucidn; En mecanica no relaUvista este movimiento corresponde a una trayec- 
tona parab61ica, tal como sucede con un proyectil (recordar la secci6n 5 7) Para 
resolver este problema en mecdnica relativista, es mas facil usar las relaciones de 
energia y de momentum. Supongamos que para t = la particula esta en (Fig 11-6), 
moviendose a lo largo del eje X con momentum p , mientras que la fuerza F es 
perpendicular a el (o a lo largo del eje Y). La ecuactfn del movimiento F = dp/dt, 
expresada en tenninos de sus componentes a lo largo de los ejes X e Y viene a ser 

dt "' dt 



11.7) 



Transformation de energta y momentum 341 



Integrando cada una de esas expresiones, 
obtenemos p x = p (const), p* = Ft Por 
tanto el momentum total despu6s del tiem- 
po t, cuando la particula ha alcanzado el 
punto A y es 



Trayectoria 
de la particula 



P ^Vpi + pi= Vp3+ fh* 9 

y la energia total, usando la ec. (11.18), es 
E = c fmfc* pi + FH* = ^E\ + c*FH\ 




donde E Q = c V/n}c* + p% es la energia total 
para t — 0. Por consiguiente, las componentes 
de la velocidad, usando la relaci6n vecto- 
rial t? = c*p/E, son 



Fig. 11-6. Movimiento relativista 
curvilineo bajo fuerza constante. 



v% 



c*px 



c*Po 



VEl + c*F*t* 



Vy = 



c*p v 



C*Ft 



VE* + c*F*V 



de donde puede obtenerse la magnitud de la velocidad, Integrando estas expresiones, 
las coordenadas x e y de la particula pueden ser expresadas como funci6n del tiempo. 
La trayectoria se obtiene de esas ecuaciones. Dejamos al estudiante el dar estos 
ultimos pasos y comparar la trayectoria con la par&bola no relativista (ver Pro- 
blema 11.11). 



11.7 Transforrnacidn de energia y momentum 

De acuerdo al principio de relatividad, la ec. (11.18) que relaciona la energia y 
el momentum debe ser la misma para todos los observadores inerciales. Es por 
tanto importante comparar esas magnitudes medidas por dos observadores en 
movimiento relativo. Para el observador 0, la ec. (11.18) puede ser escrita 
en la forma 



E 2 



(11.22) 



Recordemos que p es una magnitud vectorial con componentes p x , p„ y Pr P° r 
tanto p 2 = pi + pi + pi y la ec. (11.22) viene a ser 



pl + p\ + P\ — -j = — mjc 2 . 



(11.23) 



Para ser consistente con la suposici6n del principio de relatividad, esta expre- 
8i6n debe permanecer invariante para todos los observadores inerciales. Esto es, 
en otro sistema de referenda (observador 0') moviendose con velocidad v relativa 
al sistema original con respecto al cual se escribe la ec. (11.23), debemos tener 



P? + p? + Pi' 



'2 



E"' 



= — mgc 2 , 



(11.24) 



342 Dindmica de alta energta rjl 7 

donde m permanece la misma ya que corresponde a la masa en reposo. En otras 
palabras, debemos tener 

Pl + Pl + P 2 *-§=p2+P$ + P?-~. (11.25) 

La estructura de las ecs. (11.23), (11.24) y (11.25) es similar a la de las ecs. (6.30) 
y (6.31) si hacemos la correspondencia 

Px^x t p y ^g t p 2 ->z, y d->Elc 

Por tanto, la invariancia de la ec. (11.23) requiere una transformacidn entre sus 
elementos igual a la transformation de Lorentz para x. y f z y L Esto conduce a 

, Px — vE/c* 

Px' = : , 

J/1— ^/C* 

Py'^Py (11.26) 

Pz> = Pz, 

E — vp x 



E 



yi — i^/c 2 



Este resultado, junto con la correspondiente expresi6n para la energia, prueba 
c6mo nuestra deflnici6n de momentum dada ep la ec. (11.8), satisface el primer 
requisito del principio especial de relatividad; vale decir, el momentum se trans- 
forma apropiadamente bajo una transformaci6n de Lorentz. 

N6tese que hemos hallado dos conjuntos de cantidades asociadas, esto es x, y, 
z > rf y Px> P y , Pz, Ejc 9 que parecen transformarse entre si siguiendo las reglas 
de la transformaci6n de Lorentz. Indudablemente podemos esperar que otras 
cantidades fisicas se transformen de manera similar. Una caracteristica comiin 
de todos estos conjuntos de cantidades es que tienen cuatro "componentes"; 
esto es, son expresadas por cuatro numeros. Por tal raz6n se llaman cuadrivec- 
tores, y pueden imaginativamente ser representadas en un espacio cuadridimen- 
sional. Un metodo para adaptar las leyes fisicas a los requisites de invariancia 
del principio de relatividad consiste en escrtbirfas como relaciones entre escalares, 
cuadrivectores y otras cantidades parecidas (tensores). No nos detendremos en 
este asunto, ya que pertenece a una discusi6n mds extensa de la teoria de la 
relatividad, m£s alii de la intenci6n y alcance de este Iibro. 

EJEMPLO 11.6. Expresar las relaciones inversas entre la energia y el momentum 
correspondientes a las ec. (11.26). Esto es, dar los valores medidos por en Ur- 
minos de los valores medidos por 0'. 

Soluci6n; Referimos al estudiante al ejemplo 6.4, que corresponde al problema 
equivalente para las coordenadas x,y,zy el tiempo /. Podemos asf llegar al resul- 



HJf\ Transformation de energia y momentum 343 

tado deseado cambiando simplemente el signo de v e intercambiando las cantr 
dades con prima y sin prima en las ecuaciones (11.26), obteniendo 

p' x > + vE'/c 2 

p x = — -» 

Yl _ v z/ c * 



Pv = Pv\ 
Pz = p.', 

E' + wpi 



(11.27) 



E = 



fl — P 2 /c 2 



EJEMPLO 11.7. Aplicar los resultados del ejemplo anterior al caso en que la 
partlcula esta en reposo con relaci6n a 0'. 

Solution: En este caso pi' - pi' = /* = y £' = m c\ Por consiguiente las ecua- 
ciones de transformaci6n dan 

Las tres primeras ecuaciones dan el momentum y la ultima la energia tales como 
son medidos por 0. La comparacitfn con la ec. (11.8) para el momentum y con la 
ec. (11.16) para la energia muestra que ellas corresponden exactamente al momen- 
tum y la energia de una particula moviendose a lo largo del eje X con velocidad v. 
Este es justamente el caso, ya que la particula, estando en reposo con relaci6n a 0\ 
debe parecer moverse con velocidad v respecto de 0. El merito de este ejemplo 
esta en que las relaciones (11.26), y sus inversas (11.27), derivadas en forma algo 
intuitiva usando el principio de invariancia relativista, son compatibles con las 
expresiones anteriores para la energia y el momentum derivadas usando un punto 
de partida diferente. Este ejemplo muestra asi la consistencia de nuestra 16gica. 

EJEMPLO 11.8. Discutir la transformacitfn de energia y momentum para una 
particula con masa de reposo nula. Por simplicidad suponer que el movimiento 
de la particula tiene lugar a lo largo de la direccidn del movimiento relativo de los 
observadores. 

Soluci6n: Ya que m = 0, podemos suponer que la relaci6n E = cp, de acuerdo 
con la ec. (11.21), es satisfactoria para el observador 0. Entonces, usando las 
ec, (11.26), con pi' = p'yp,-p, ya que el movimiento es a lo largo del eje X, 
y usando E — cp, tenemos para el observador O', 

p — v(cp)/c 2 _ 1 — v/c 



Usando este resultado para p', obtenemos para la energia 

E> = CP ~ VP = V 1 ~ V/C = CP'- 

Por consiguiente la relacidn E' = cp' tambien vale para el observador O'. Este 
ejemplo, como el anterior, indica al estudiante la consistencia de la teoria. Se su- 
giere que el estudiante repita el problema suponiendo que la particula se mueve 
en una direcci6n arbitraria. 



344 Dindmica de alta energla yj s 

11.8 Transformation de la fuerza 

La fuerza que actua sobre la particula medida por los observadores y 0' es 
respectivaraente, 

F- d P v v d P' 

tal como se requiere por el principio de relatividad, ya que ambos observadores 
deben usar las mismas ecuaciones del movimiento. La relaci6n entre F y V en 
general es algo complicada, pues no podemos usar un razonamiento tan simple 
como 1 el usado para la energia y el momentum. Por tanto, computaremos esta 
relaci6n s61o para el caso especial en que la particula esta momentdneamente en 
reposo en el sistema 0'. Entonces F' se llama la fuerza propia. 
Usando las ec. (11.26), obtenemos 

F' ^ ^k. - dt d ( p* — vE I^ \ 
* dt' irdt\yr—*j*' 

_dt 1 ldp x f^dE\ 

dt yi_„2 /c 2 \ dt c 2 ~dt ) • (lh29 > 

Ahora de la transformaci6n inversa de Lorentz (ver la ultima ecuaci6n en el 
ejemplo 6.4), tenemos que 



t = 



/' + vx'jc* 



yi — t?i<* 

y ya que dx'ldt'= 0, porque la particula esta en reposo con respecto a 0', 

dt _ 1 

dv ~yv=^- 01-30) 

Por otra parte, de acuerdo a la definicidn de fuerza, dp x fdt = F x . De las defi- 
niciones de la energia E y de la energia cin&ica E k = E — m^, como tambien 
del hecho de que el trabajo FJbc debe ser igual a dE k , tenemos que 

dE dE k F x dx 

"of ■" ~dT = ~dT = F * v > ( n - 31 > 

ya que en este caso dx/dt = v. Haciendo todas estas sustituciones en la ec. (11.29) 
obtenemos 

F *= F *- (11.32) 

Para la componente paralela al eje Y, considerando que F g = dp„ldt, obtenemos 

dp' g , dt dp„ F„ 

F '--dT = -d7-dT = ^r^p = kF r au?> 



11.9) 



Sistemas de partimlas 345 



An£logamente, para la componente Z, con 
F z = dp z ldt, tenemos 



F' y = kF 



F' z > = 



d& 

dt' 



yi — z^/c 2 



kF, 



(11.34) 





Fi = F x 



Fig. 11-7. Transformacidn de Lo- 
rentz de las componentes de una 
fuerza. 



donde k se define como en la ec. (6.32). Las 
ec. (11.32), (11.33) y (11,34) relacionan la 
fuerza F t medida por un observador en un 
sistema inercial y arbitrario de referenda, 
con la fuerza F' medida por un observador 
en un sistema inercial en el que la particu- 
la esta momentaneamente en reposo. El 
hecho de que la ley de transformaci6n para 

la fuerza es diferente que para las magnitudes cuadrivectoriales momentum y 
energia, la coloca en una categoria diferente de ellas, ya que la fuerza no es 
parte de un cuadrivector. Tambien la convierte en un concepto menos util, en 
la teoria de la relatividad, que los de momentum y energia. Consecuentemente se 
ha propuesto una diferente definici6n de fuerza. No la discutiremos aqui, excepto 
para decir que tiene la ventaja de transformarse como un cuadrivector. Sin embar- 
go, aun si la fuerza se transforma de manera diferente al momentum y energia, 
su transformaci6n garantiza que la ecuacion del movimiento, F = dpfdt, sea in- 
variante para todos los observadores inerciales, lo cual constituye nuestro requi- 
sito fundamental. La relation entre las fuerzas F y F r ha sido indicada en la 
Fig. 11-7. 



11.9 Sistemas de partlculas 



Consideremos un sistema de particulas, cada una de momentum p,- y energia E^ 
Despreciando sus interacciones, podemos escribir el momentum total del sistema 
como P = Zipi y la energia total como 

E = ZtEt = Em** = M&. 

Por tanto, usando la ec. (11.17), podemos dsociar al sistema una velocidad defi- 
nida por 

(?P P 

t>c = 



E 



M 



(11.35) 



Recordando la secci6n 9.2, podriamos decir que esa es la velocidad del centro 
de masa del sistema y considerar que el sistema se comporta como un cuerpo de 
masa M moviendose con velocidad v& Recordamos al estudiante, sin embargo, 
que (por las razones dadas en la secci6n 9.2) cuando la masa depende de la velo- 
cidad no podemos definir el centro de masa. Por tanto, llamaremos a la velocidad 
dada por la ec, (11.35) la velocidad del sistema. 



346 Dindmica de alia energla ni.9 

Supongamos que tenemos dos observadores inerciales diferentes, cada uno exa- 
minando el sistema de particular Respecto al observador el momentum y la 
energia total sou P = Z t p t y E = EiE t . Con relation a 0', tales magnitudes son 
P' = Zip'i y E' = EiE'i. Si la velocidad de 0' relativa a es v f a lo largo del 
eje X, cada E t y p ( se transforma en E[ y p\ de acuerdo a las ecs. (11.26). Es 
claro que sus sumas se transforman de la misma manera, y podemos asi escribir 



K- 


P x - 


- vEjc 2 




yi- 


-J^/C 2 


Pu- 


= Py> 




P's 


= P» 




E' -. 


E- 


-vP x 



(11.36) 



V 1 — y 2 /c 2 



Ahora si, con relation a 0, el momentum y la energia se conservan, P = const, 
y E = const, y entonces las transformations anteriores implican P' = const y 
E' = const, y las dos leyes de conservaci6n son tambien satisfactorias para 0'. 
Hemos verificado, por consiguiente, el segundo requisito exigido por nuestra 
teoria, tal como se indico al final de la section 11.4. Notamos tambien que, 
debido a la estructura de las ecuaciones de transformaci6n, las dos leyes de 
conservaci6n deben ser satisfechas simultaneamente; en otras palabras, no pue- 
den ser independientes una de la otra. Esta situation no ocurre en el caso no 
relativista. 

- Consideremos ahora el caso especial en que la velocidad relativa de los dos 
observadores es paralela al momentum total P. Entonces P x = P, P y = P z = 0, 
y la primera de las ec. (11.36) se reduce a 



P* = 



P — vE/c' 



y i — y a /c 2 

Por analogia con los sistemas de referencia LyC introducidos en el capitulo 9. 

definimos el sistema-C en mecdnica relativista como el sistema de 
referencia en el que el momentum total del sistema es cero. 

Por tanto, si el observador 0' esta en reposo con relation al sistema-C, el mo- 
mentum P' es cero. Si ponemos P' = en la expresion anterior, la velocidad 
de 0' relativa a (que usa el sistema de referenda L), es v = c 2 P)E. La compa- 
ction con la ec. (11.35) muestra que el sistema-C se mueve con la velocidad del 
sistema v c relativa al sistema-L, Este es el mismo resultado obtenido en la situa- 
tion no relativista del capitulo 9. 

Indicamos al comienzo de esta section que est&bamos despreciando interac- 
tions entre las particulas del sistema. La consideration de las interactions 
que dependen de la position relativa de las particulas introduce serias dificultades 
en la teoria de la relatividad. Por ejemplo, vimos en el capitulo 6 que el con- 



11.9) Sistemas de particulas 347 

cepto de la simultaneidad en la position de dos particulas, que es requerido para 
definir una interaction, no es un concepto invariante. Por tanto la velocidad de 
trasmision de la interaction debe ser tomada en cuenta. Por tal razon, se necesita 
tecnicas especiales para discutir las interacciones en una forma consistente con 
la teoria de la relatividad. 

EJEMPLO 11.9* Discutir el sistema de referenda C para dos particulas identicas 
que se mueven en la misma direcci6n. 

Solucidn: Las propiedades del sistema-C pueden ser facilmente discutidas para el 
caso de dos particulas. Consideremos un sistema de dos particulas identicas que, 
con respecto al observador 0, parece que se mueven a lo largo del eje X en el 
sistema-L (usado por O) con velocidades v x y v 2 . Sus respectivas masas con mi y m 2t 
computadas de acuerdo a la ec, (11.7), con el mismo valor de m para ambas. El 
momentum total en el sistema-L es 

P = Pi + Pi = m i v \ + m 2 y a- (11.37) 

Con relaci6n al sistema-C el momentum total del sistema es cero. Por tanto, 

P' = Pi + Ps = 0. 

Ello requiere que el momentum de las dos particulas en el sistema-C sea el mismo 
en magnitud, pero que las particulas se muevan en direcciones opuestas. Enton- 
ces la ec. (11.8) requiere que las magnitudes de las velocidades en el sistema-C sean 
las mismas. Por tanto, las particulas parecen estar moviendose con velocidades 
v' y — v\ Designando las velocidades del sistema-C relativa al sistema-L por vc 
y usando la ecuacidn (6.38) para la transformaci6n de velocidades, con v reempla- 
zada por i? c » tenemos 

v' + vc _ — v' -f Vc 



1 + V'Vc/C* ' 1 — V'Dc/C* 

que pueden ser escritas en las formas alternativas : 

, D'(l — »J/C») V'(l — V%/C*) 

Podemos obtener el momentum total en el sistema-L sustituyendo dichos valores 
en la ec. (11.37), Ello da 

(11.38) 

Reemplazando m 1 y m 2 en el ultimo termino por sus valores de acuerdo con la ecua- 
ci6n (11.7), obtenemos 



m 



v'(l vl/c*) (^ 1 _ v , /c2 (1 + y/yc/c2) y t _ v1/q2 {1 _ ^ Vc/et) } 



Usando las identidades del Problema 6.38, podemos simplificar ca da termino dentr o 
del parentesis. Puede verse que ambos terminos son iguales a 1/V (1 — v c /c 2 )(l — tf' 2 /c s ) 
y, por tanto, que su diferencia es cero. Por consiguiente, el ultimo termino en la ec 
(11.38) desaparece, y P se reduce a 

p = (/jii + m 2 )vc y vc = P/M. 



348 Dindmica de alta energta (11.10 

Esta es justamente la ec. (11.35) adaptada al caso particular de dos particulas 
movtendose en la misma direccidn. Por consiguiente, verificamos que en la teoria 
de la relatividad, tanto como en la teoria clasica, el sistema-C (relativo al cual el 
momentum total del sistema es cero) esta movi6ndose con respecto al sistema-L 
con una velocidad v c dada por la ec. (11.35). 



11.10 Colisiones de alta energia 

Los principios de conservaci6n de la energia y el momentum deben ser satisfechos 
por cualquier colision, no importando la energia de las particulas. En la sec- 
ci6n 9.7 este asunto fue discutido para la region de bajas energias (no relativis- 
ta). Sin embargo, a altas energias, los conceptos y tecnicas desarrollados en el 
presente capitulo deben ser usados. Consideremos, por ejemplo, dos particulas 
cuyas masas en reposo sean m x y m 2 , moviendose antes de la colision con mo- 
menta p x y p 2 relativos a algiin sistema inercial de referenda. La interaction 
entre las particulas es apreciable solamente durante el pequeno intervalo en el 
que las particulas se hallan pr6ximas una de otra (esto corresponde a la zona 
sombreada en la Fig. 9-11). Recordar que en la seccion 9.7 una colision fue definida 
como habiendo ocurrido si es que la interaction produce cambios medibles en 
un tiempo relativamente corto y sobre una distancia relativamente pequena. 
Supongamos que despues de la colision, cuando la interacci6n es nuevamente 
despreciable, las particulas resultantes tengan masas de reposo m 3 y m A y se 
muevan con momenta p 3 y p A con respecto al sistema inercial de referenda ori- 
ginal. La conservation del momentum y de la energia esta expresada por 

Pi+P2=Pz + Pi y ^i + E* = E d + £ 4 , (11.39) 

o, usando la ec. (11.18), tenemos 

c l/ml<? + p\ + c \^TpI = c V my? + pi + c ]/ m Jc» + p\. 

(11.40) 

La colision descrita por las ec. (11.39) y (11.40) puede ser indicada esquemsitica- 
mente por 1 + 2 -*3 + 4. La aplicacion de las ecs. (11.39) y (11.40) es en general 
complicada algebraicamente por la presencia de los radicales en la ec. (11.40), 
y por tal razon ilustraremos su uso solamente en algunos casos simples pero 
importantes. 

EJEMPLO 11.10. Discutir una colisidn 
relativista cuando la particula 1 (llamada 
la particula incidente) tiene masa de re- 
poso nula y es id£ntica a la particula 3, 
y la particula 2 estd en reposo. en el siste- 
ma-I y es identica a la particula 4. 

Solueidn; El proceso esta mostrado en la 
Fig. 11-8. Usando las ec. (11.18) y (11.21), 





Pi = E/c 


P2 = 0^' 


P3 = EVCf> 

■"V 


1 
Fie. 


11-8. 


2 ~*-- 
Golisi6n de 


alta energia, 



11.10) Colisiones de alia energia 349 

obtenemos los valores de la energia y del momentum relativos al observador 

P! = E/c 9 p 2 = 0, p 3 = EVc, p 4j 
E x = E 9 E 2 = m c\ E z = E\ £ 4 = c V mV -f p 2 . 

La conservacitin del momentum es 

Pi = Ps + P*> (1141) 

y la conservaci6n de la energia es 



E + m Q c* = E* + cymfc* + p{. (11.42) 

Supongamos que estemos interesados en la energia E^ de la particula incidente 
despues del choque. Debemos entonces eliminar p 4 de las ecuaciones anteriores. 
Despejando p 4 de la ec. (11,41), obtenemos p 4 = p t — p 3 . Elevando al cuadrado, 
tenemos 

Pi = Pi + Pi — 2p,'l>.v 
Usando los valores correspondientes de los momenta, tenemos 

E 2 E ta 2EE* 

pi = ^— + — cos 8. 

Despejando p\ de la ec. (11.42) 

p\ = \ (E + m c 2 — £t)i _ m j c a 

_ _^!_ , J^ , 2(E ~ E^) m^ 2EE*< 



Igualando ambos resultados para pj, obtenemos 

2(£ — Et)mtfi % 2EE* 2EE* 

— i '- — ? . — = — — COS 6 

c a c 2 c 2 

o sea 

£ _ £t = ±L±L- (i _ C os 6). 
/n c 2 

Dividiendo ambos lados por EE^ se obtiene 

1 1 1 



£t £ m„c a 



(1 — cos 6), (11.43) 



Esta expresi6n da Z?t en tGrminos de i? y el angulo de dispersi6n 8 de la particula 3, 
N6tese que siempre E > E\ y que por tanto la particula incidente pierde energia, 
como deberia ser, ya que la otra particula, inicialmente en reposo, esta en movi- 
miento despues de la colisi6n. 

El resultado (11.43) es muy irhportante en la discusi6n de la dispersidn de la luz 
(fotones) debida a electrones libres — el llamado efecto Gompton — que sera dis- 
cutido con gran detalle en el capitulo 19 del segundo volumen. N6tese que la 
ec. (11.43) no puede ser satisfecha por i? 1 " = para ning6n angulo de dispersi6n* 
Por consiguiente, es imposible que la energia de la particula incidente sea com'ple- 
tamente absorbida por una particula libre. 

EJEMPLO 11.11. En la mayoria de los experimentos de alta energia, una particula 
incidente muy rapida choca con otra en reposo en el sistema-L. Deseamos conocer 
la energia umbral; esto es, la energia cinetica minima de la particula en el labora- 



350 Dindmica de alia energia * (11.10 

torio o sistema-L que es necesaria para producir cierta reacci6n. Obtener la ecua- 
ci6n para la energia umbral necesaria para la creaci6n de un par prot6n-antiprot6n 
en un choque protdn-protdn. 

Solucitin: En este momento es suficiente decir que un antiprotdn es una particula 
de masa igual a la del protdn y cuya carga electrica es igual, en valor absoluto, 
a la del protdn, pero negativa. Designamos el prot6n por p + y el antiprot6n por p-\ 
Parte de la energia cinetica del prot6n rapido que choca con otro protdn en reposo 
en el laboratorio es usada para producir un par protdn-antiprotdn, par p + , p-, 
Podemos representar el proceso esquematicamente asi 

p+ _|_ p+-^p+ + p + + p + + p-. 

Los dos protones a la izquierda y los primeros dos a la derecha de la ecuacidn re- 
presentan los protones incidente y bianco. Los dos ultimos corresponden al resul- 
tado del choque : el par protdn-antiprotdn. (Ndtese que aunque el nuhiero de par- 
ticulas ha cambiado, la carga total pesmanece igual. Como veremos despues, este 
es un ejemplo de otro principio de conservaci6n : el principio de conservation de 
la carga). Inicialmente uno de los protones esta en reposo (momentum cero) en el 
sistema-L y el otro esta moviendose hacia el con momentum p r 

Antes de la colisidn, el moment um total relativo al observador en el sistema-L 
es p y la energia total es£ = c V mfc 2 + p 2 + m c\ Despues de la colisidn, el mo- 
mentum total debe ser todavia p y la energia total, E, La energia minima que re- 
quiere la particula incidente es aquella necesaria para que los productos finales 
esten en reposo relativo al sistema-C, el que se esta moviendo con la velocidad del 
sistema relativa a L (ver seccidn 11.9). Los productos no pueden estar en reposo 
relativo al sistema-L a causa de la conservaci6n del momentum. Pero en este caso 
la energia total relativa al sistema-C es £" = 4/n c s 9 y el momentum total es p' = 0. 
Ello significa que las cuatro particulas resultantes vistas desde el sistema-L 
parecen estar moviendose juntas con la misrna velocidad, y para poder garantizar 
la conservacidn del momentum, cada una de ellas d ebe tener u n mo mentum igua l 
a ip. Por tanto, su energia total relativa a es 4c fTngc 2 + (p/4) 2 6 c \ 16/nfc 2 + pK 
Igualando las energlas antes y despues del choque, tenemos 



c V mlc* + p 2 + m c* = cy 16mgc 2 + p 2 , 

Esta es una ecuaci6n algebraica en p cuya solucidn es p = 4 V3/n c, la cual da asi 
el momentum minimo que debe tener el protdn incidente con respecto a para 
que la reacci6n se lleve a cabo. Q,Cual es la velocidad de este p rot6n?). C onsecuen- 
temente, la energia total del protdn incidente relativa aOesc V m%c 2 + p 2 = 7m c 2 
y su energia cinetica sera 6/n c 2 . 

Por tanto, para que la reaccidn que estamos considerando pueda ocurrir en el la- 
boratorio, el prot6n incidente debe ser acelerado hasta que su energia cinetica en 
el sistema-L sea 6/n c 2 . La masa de reposo del prot6n tiene el valor m = 1,67 X 
x 10- 27 kg. Entonces la energia 6/n c 2 es equivalente a 9,0 x lO" 10 J o sea alrededor 
de 5,6 x 10* eV. 

Uno de los principales usos de los aceleradores de alta energia es producir par- 
ticulas rapidas por encima de los umbrales de energia cinetica en el sistema-L 
de tal modo que los cientificos puedan producir en el laboratorio, bajo condiciones 
controladas, algunos de los procesos que se han observado en los rayos c6smicos. 

EJEMPLO 11,12. Obtener la energia de umbral para la reaccitfn 1+2-^3+4, 
en la cual las cuatro particulas son diferentes. 

Solucidn: Ya que las particulas tienen diferentes masas, no podemos usar los prin- 
cipios de simetria empleados implicitamente en nuestro ejemplo anterior. Supon- 



11J0) Colisiones de alta energia 351 

gatnos que la particula 2 esta en reposo en el laboratories de tal modo que p a = 0. 
La energia de cada particula en el sistema-L antes de la colisi6n es entonces 



E t ^ c V m?c a + pi y E % = m t c\ (11.44) 

La energia y el momentum totales del sistema en el laboratorio son 

E = E x + m^c\ P = p v (11.45) 

Las cantidades E y P deben transfortnarse de un sistema inercial de referenda a 
otro de acuerdo con las ec. (11.26) lo que implica que la expresidn P 2 — E 2 /c 2 debe 
permanecer invariants Entonces 

pt _ e*/c* = P' a — E'*/c*. 

Si transformamos al sistema-C debemos tener P' = 0, ya que el momentum total 
es cero en este sistema de referenda. Entonces P a — E % /c* = — E i% fc % o sea que 
la energia total E' en el sistema C, de acuerdo a la ec. (11.45), es 



E' = V E* — c*P* = V(^i + m % c 2 ) 2 — c*pl 
Usando el valor de E x dado por la ec. (11.44), tenemos 



E' = c V (m\ + m\)c 2 + 2E 1 m t . (11.46) 

Recordando de la ec. (11.16) que E x ~ Ek X + tn x c\ donde Ek X es la energia cin6tica 
de la particula 1 en el laboratorio, tenemos 



E' = c V (ml + ml)c 2 + 2(E kl + m x c 2 )m 2 

= c y (m, + m z ) 2 c 2 + 2E kl m 2 . (11.47) 

La energia minima requerida para producir las particulas m 3 y m 4 despuGs de la 
reacci6n es aquella energia para la cual las particulas resultantes estan en reposo en 
el sistema-C. En el sistema-L es imposible para ambas particulas estar en reposo 
al mismo tiempo debido a la conservacidn del momentum. En este caso E z = m^c* 
y E 4 — m A c 2 -y la energia despues del choque es E' = (m z + m 4 )c 2 t Igualando este 
resultado con la ec. (11.47), que da la energia total en el sistema-C antes de la coli- 
si6n, tenemos 

c Y{m x + m 2 )V + 2Et l m t = (m z + m 4 )c 2 
o sea, despejando E kl 

E*! - ~^~ l(m z + m 4 ) a — (m, + m,)»] 
*/n a 

[(m z + m 4 ) — (m t + m a )] [(m 3 + m 4 ) + (m x + /n 2 )]. 



2m t 

El valor-Q de esta reaccidn (recordar la ec. (9,41) para colisiones newtonianas) 
esta definido por 

Q = [(m x + m 2 ) — (m a + m A )]c\ (11.48) 

que es igual a la diferencia entre las energias en reposo inicial y final. Entonces la 
expresi6n para E kl se transform a en 

E kl =— -^- (m x + m 2 + m 3 + m 4 ), (11.49) 

2m 2 

que da el umbral de la energia cinetica para la particula 1 (la particula incidente) 
en el sistema-L. Si Q es positiva, entonces Ek X es negativa y la reaccidn ocurre sin 



352 Dindmica de alia energia 

importar cual sea la energia cinetica de la particula incidents Ello es debido al 
hecho que las particulas iniciales tienen una energia de reposo mayor que la nece- 
saria para producir las particulas finales que tambien estan en reposo. Pero si (> 
es negativa, Ek t es positiva y la particula incidente debe entonces tener una cierta 
energia cinetica minima, ya que las energias en reposo de las particulas incidentes 
no son suficientes para producir las particulas finales. 



Bibliografia 

1. "On the Origins of the Special Theory of Relativity", G. Holton. Am, J Phvs 

28, 627 (1960) 

2. "Henri Poincar6 and the Principle of Relativity", C. Scribner. Am. J Phvs 
32, 672 (1964) * ' 

3. "Speed and Kinetic Energy of Relativists Electrons". W. Bertozzi. Am, J. Phus 
82, 551 (1964) y ' 

4. "Massless Particles", R. Good. Am. J. Phys. 28, 679 (1960) 

5. "An Introduction to the Special Theory of Relativity, R. Katz. Princeton, N. J. : 
Momentum Books, D. Van Nostrand Co., 1964 

6. The Special Theory of Relativity, D. Bohm. New York : W, A. Benjamin, 1964 

7* Introductory Mechanics, E. Taylor. New York : John Wiley & Sons, 1963, caps. 11 
12 y 13 

8. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, R. Feynman, R. Leighton y M. Sands. 
Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 15, 16 y 17 



Probletnas 



11.1 Suponer que E y E r son los valores 
de la energia total de un sistema de dos 
particulas interactuantes medidas por 
dos observadores inerciales O y O' mo- 
viendose con velocidad relativa v t Probar 
que 

E = E' + (m 1 + m 2 ) (v'a&'v + iv 2 ), 

Comparar con los resultados dados en 
el capitulo 9. Suponer que todas las 
energias son suficientemente bajas para 
usar la dinamica newtoniana. 

11.2 Comparar las ecuaciones no rela- 
tivistas del ttiovimiento de una particula 
tal como son determinadas por un obser- 
vador inercial O y por otro O' rotando 
con relaci6n al primero con velocidad 
angular constante. Discutir las fuerzas 
inerciales observadas por 0'. (Sugeren- 
cias : revisar la secci6n 6.4). 



11.3 iA que velocidad el momentum 
de una particula es igual a m^c? ^Cuales 
son la energia total y la energia cinetica 
en este caso? 

11.4 Un electron se mueve en una tra- 
yectoria circular de radio 2 x 10~ 2 m 
de modo que su velocidad es (0,5 + 
+ 0,01 t)c. Hallar el angulo entre la fuerza 
y la aceleraci6n cuando / = 10 s. 

11.5 Una particula con masa en reposo 
m y una velocidad 0,8 c esta sujeta 
a una fuerza que es (a) paralela a la 
velocidad, (b) perpendicular a la velo- 
cidad. Determinar la raz6n de la fuerza 
a la aceleracidn en cada caso, Asimismo 
en el segundo caso, hallar el radio de 
curvatura y compararlo con valores no 
relativist as. 

11*6 La masa de reposo de un electr6n 
es 9,109 x 10" 31 kg y la de un protdn 



Problemas 



353 



1,675 x 10- 87 kg. Computar sus ener- 
glas en joules y en eV. 

11.7 Hall a r el momentum y la velo- 
cidad de salida de uh prot6n del acele- 
rador de Brookhaven si la energia cine- 
tica del protdn es 3 x 10 10 eV, 

11.8 El radio de una trayectoria pro- 
tdnica en el acelerador de Brookhaven 
es 114 m. Hallar la fuerza centripeta 
requerida para mantenerlo en 6rbita 
cuando ha alcanzado su energia cinetica 
final 

11.9 Un electron tiene una velocidad 
de 0,8c. Hallar la velocidad de un prottin 
que tenga (a) el mismo momentum, (b) 
la*misma energia cinetica. 

11.10 Estimar el valor del t&rnino 
correctivo |m v*/c a con respecto al primer 
t6rmino de la ecuacitin (11.19) para (a) 
un electron de un &tomo de hidr6geno 
cuya velocidad es 2,2 x 10 8 m s* 1 , (b) un 
prot6n procedente de un ciclotron con 
una energia cinetica de 30 MeV, (c) pro- 
tones procedentes del acelerador de 
Brookhaven con una energia cinetica 
de 3 x 10 10 eV. 

11.11 Completar el ejemplo 11.5 obte- 
niendo las coordenadas de la particula 
en funci6n del tiempo y com par ar con 
los valores no relativistas. Demostrar 
tambien que la ecuacidn de la trayec- 
toria es 



y = 



— - cosh 



PoC 



11.12 Un acelerador produce protones 
con una velocidad de 0,9c a raz6n de 
3 X 10 18 particulas por segundo en r&fa- 
gas que duran 10^ seg. cada una. Hallar 
la energia total necesaria para acelerar 
todas las particulas en una rafaga. Si 
hay 100 rafagas por segundo, calcular 
la potencia requerida para acelerar las 
particulas. 

11.13 Calcular en eV, la energia reque- 
rida para acelerar un electr6n y un 
prot6n desde (a) el reposo hasta 0,500c, 
(b) 0,500c hasta 0,900c, (c) 0,900c hasta 
0,950c, (d) de 0,950 hasta 0,990c. ^Que 
conclusion general obtiene Ud? 

11.14 La energia cinetica de una cierta 
particula puede ser escrita como pc con 



un error en la energia total no mayor 
de 1 %. £Cu£l es su minima velocidad? 
iCual es la energia cinetica, en eV, de un 
electron y de un prot6n moviendose a 
tal velocidad? 

11.15 iQue velocidad maxima debe 
tener una particula cuya energia cinetica 
es escrita como ±m/v % con un error no 
mayor de 1 %? &Cual es la energia cine- 
tica, en eV, de un electron y un prot6n 
moviendose a tal velocidad? 

11.16 Demostrar que v/c = [l — (ffipC 1 / 
/E)*] 1 '*. Con esta relaci6n, hallar la velo- 
cidad de una particula cuando E es 
(a) igual a su energia de reposo, (b) el 
doble de su energia de reposo, (c) 10 ve- 
ces su energia de reposo y (d) mil veces 
su energia de reposo. Computar las 
correspondientes energias en eV para un 
electron y un protdn, Representar v/c 
versus E/m c 2 t 

11.17 Probar que el momentum de una 
particula puede ser escrito como 

p = (El + 2m*c*E*)*i*lc 

Representar p/m^c como funci6n de 

Ek/m c*. 

11.18 Se aceleran electrones hasta una 
energia cinetica de 10* eV. Hallar (a) 
la razon de su masa a su masa en re- 
poso, (b) la raz6n de su velocidad a la 
velocidad de la luz, (c) la raz6n de su 
energia total a su energia de reposo. 
Repetir el problema para protones de la 
misma energia. 

11.19 Dado que energia/velocidad tiene 
las mismas dimensiones que momentum, 
la unidad MeV/c ha sido introducida 
como una unidad conveniente para me- 
dir el momentum de las particulas ele- 
mentales. Expresar el valor de esta 
unidad en m kg s -1 . Hallar, en terminos 
de esta unidad, el momentum de un 
electr6n con energia total de 5,0 MeV. 
Repetir para un prot6n con energia total 
de 2 x 10 s MeV. 

11.20 Determinar la energia total y la 
velocidad de un electrdn que tiene un 
momentum de 0,60 Me V/c. Repetir para 
un prot6n. 

11.21 Un electron se mueve con una 
velocidad de 0,6c con respecto a un 



354 Dindmica de alia energia 



observador 0. Se le aplica una fuerza 
de 9,109 x 10- 19 N (medida en el sis- 
tema de referenda ligado al electron) 
paralelamente a la velocidad relativa. 
Hallar la aceleraci6n del electr6n con 
respecto a ambos sistemas de referencia. 

11.22 Resolver eJ Problema 11.21 para 
el caso en que Ja fuerza es aplicada 
perpendicularmente a la velocidad rela- 
tiva. 

11.23 Resolver los Problemas 11.21 y 
11.22 para el caso en que el valor de la 
fuerza es el relativo al observador O. 

11.24. Calcular el momentum, energia 
total y energia cinetica de un prot6n 
que se mueve con una velocidad v = 0,99c 
con respecto al laboratorio en los si- 
guientes casos : (a) en el sistema-L, (b) 
en el sistema definido por el prot6n, 
(c) en el sistema-C definido por el prot6n 
y un atomo de helio en reposo en el 
laboratorio. 

11.25. Un protdn con una energia cine- 
tica de 10 10 eV choca con un prot6n en 
reposo. Hallar (a) la velocidad del sis- 
tema, (b) el momentum total y la energia 
total en el sistema-L, (c) la energia cine- 
tica de las dos particulas en el sistema-C. 

11.26 Un electrdn con energia total E e 
choca frontalmente con un proton en 
reposo. Si la energia del electron es muy 
grande comparada con su energia de 
reposo, el electr6n debe ser tratado rela- 
tivlsticamente pero si, por otra parte, 
es pequefia camparada con la energia 
en reposo del prot6n, el prot6n puede ser 
tratado no relativisticamente. Probar 
entonces que (a) el prot6n retrocede con 
una velocidad aproximadamente igual 
a (2E<z/m c z )c, (b) la energia transferida 
del electr6n al prot6n es 2E£/m cK Apli- 
car al caso en que los electrones tienen 
una energia cinetica de 100 MeV T (Suge- 
rencia : Para el electr6n, E = cp, mien- 
tras que para el prot6n Ek — p 2 /2m. 
N6tese tambien que si el proton se mueve 
hacia adelante, el electr6n retrocede, 
de manera que la direccidn de su movi- 
miento se invierte). 

11.27 Un metodo para obtener la ener- 
gia necesaria para una reaccidn nuclear 



consiste en hacer chocar dos particulas 
una contra otra. Cuando las particu- 
las son identicas y sus energias son las 
mismas, el sistema-C coincide con el 
laboratorio. Este metodo es usado en 
GERN donde los protones, acelerados 
hasta una energia de 28 GeV, se man- 
tienen circulando en direcciones opuestas 
en dos « anillos de almacenamiento », 
hasta que en un momento dado se hace 
chocar los dos haces. (a) ^Gual es la 
energia total disponible para una reac- 
ci6n? (b) iCual es la energia cinetica 
de uno de los protones en el sistema de 
referencia en el que otro prot6n esta 
en reposo? Esta es la energia a la que 
deberia ser acelerado un prot6n para 
producir la misma reaction chocando 
con un bianco en reposo en el labora- 
torio. ^Ve Ud. alguna ventaja en la idea 
de los « anillos de almacenamiento »? 

11.28 Obtener la ley relativista (11.26) 
para la transformation del momentum 
y la energ ia escribiendo p f = m V '/ 
/|/1 — V'Vc* y E' = m/cy]/l — V' 2 ]c*, y 
expresando la velocidad V en terminos 
de la velocidad V medida por O y de la 
velocidad relativa v, usando la ec. (6.36). 
[Sugerencia: Usar las relaciones obteni- 
das en el Problema 6.38]. 

11.29 Probar que la ley general para 
la transformation de fuerza cuando la 
particula no esta en reposo relativo 
a O'es 

VI — vVx/c 2 - } 
{ »V*/c* \ F 



F'u = 



Fi 



VJ. 


— v % /c % 


1 - 


-uVx/c* 


i/r 


— v 2 /c 2 


i — 


■vVt/c* 



F 



y* 



F*> 



donde V se refiere a la velocidad de la 
particula con respecto a O. Verificar 
que tales ecuaciones se reducen a las 
ec, (11.32), (11.33) y (11.34) si la par- 
ticula esta en reposo con respecto a O f - 

11.30 Probar que la transformation 
para la energia y el momentum puede 



Problemas 



355 



ser escrita en la forma vectorial 
(p • v)v 



P ' = P 

w 

+ k 

E' = k(E — vp) 



(p • t>)v vE 
V 2 c 2 



11.31 Una partlcula con masa en re- 
poso m lf moviendose con velocidad v x 
en el sistema-L, choca con una partlcula 
con masa en reposo m 2 , inmtfvil en el 
sistema-L. (a) Probar que la velocidad 
en el sistema-C del sistema compuesto 
por las dos particulas es 



v c 



1 + AJ/1— v\lc\ 



donde A — mjm v (b) Probar que en 
el sistema-C la velocidad de m t es 



v x AY\ — v\/c' 



1 — u£/c a + A\fl — vl/c* 

y que la velocidad de m 2 es — V c . (c) 
Computar los valores de las cantidades 
anteriores cuando u 1 es pequena com- 
parada con e, y comparar el resultado con 
el del ejemplo 9.13. 

11.32 Usando las leyes de transforma- 
ci6n de Lorentz para la energia y el 
momentum, probar que si vc = c 2 p/E 
es la velocidad del sistema relativa a 
un observador O mientras que la velo- 
cidad del sistema para otro observa- 



dor 0', en movimiento con respecto a 
con velocidad V a lo largo del eje X f 
es v c = c 2 P'/E' t entonces vc> v c yV 
estan relacionadas por las ec. (6.36) 
para la transformaci6n de velocidades. 
Probar tambien que si v c = (o P'= 0), 
entonces vc = V. Esta fue una de nues- 
tras suposiciones basicas en la Seccidn 
11.9 al deflnir la velocidad del sistema. 
Por tanto vemos que la teoria desarro- 
llada es consistente con la transforma- 
ci6n de Lorentz. 

11.33 Una partlcula con masa en re- 
poso m! y momentum p x choca inelas- 
ticamente con una partlcula de masa m z 
en reposo en el laboratorio. Las dos 
particulas se pegan sin cambiar la masa 
de reposo total. Hallar (a) la velocidad 
de la particula resultante con respecto 
al sistema-L, (b) la Q de la colisi6n. 

11.34 Discutir el Problema 11.33 para 
el caso en que la particula resultante 
tenga una masa en reposo /n 3 diferente 
de la masa en reposo combinada m x + m 2 
de las dos particulas que chocaron. 

11.35 Una particula con masa en re- 
poso m 1 y momentum p! choca inelas- 
ticamente con una partlcula con masa 
en reposo m % estacionaria en el labora- 
torio. Los productos resultantes son una 
particula con masa en reposo m 3 y una 
particula con masa en reposo nula. 
Hallar la energia de la ultima (a) en el 
sistema- C, (b) en ei sistema-L. 



11,36 Suponer que el angulo de rebote de la partlcula de masa m en el ejemplo 11.10 
es ^. Probar que la energia cinetica de la particula despues de la colisi6n es 



E k 



2E(E/m Q c*) cos a <f> 



1 + 2(E/m c*) + (E/m^y sen 8 * 



11.37 Una particula con masa de reposo m x y momentum p t choca elasticamente 
con una particula con masa m 2 en reposo en el sistema-L y se desvia un angulo 9. 
Probar que la energia y el momentum de /j^ despues del choque son 



Pa = Pi 



(m\C* + m 2 E x ) cos 6 + (E t + m 2 c 2 ) Vml — iri} sen 2 8 
(EJc + m 2 c) 2 — p* cos 2 6 



E = (E t + m^)(my + m,^) + c 2 p 2 cos 6 ][m\ — /n?sen a 6 

(EJc +m&)* — p?cos 2 6 

11.38 Refiriendose al Problema 11.37, bajo un angulo <j> con respecto a la 
probar que si la particula m 2 rebota direccion del movimiento de la particula 



356 Dindmica de alta energta 



incidente, su momentum y energia son 

— 2m % (E l + miC*) cos <f> 

P * " Pl (EJc + m t c)* — p\ cos a 4>' 
E 4 = m t c 2 

\ , 2pj cos' j> 

{Sj/c + m 2 c) B — p\ cos a <£ 

11.39 Referirse nuevamente a los Pro- 
blemas 11.37 y 11.38. Suponer que las 
dos partlculas tienen la misma masa en 
reposo. Despu6s del choque la partfcula 
incidente se mueve en el sistema-C de 
referenda bajo un angulo <f> con respecto 
a la direction inicial y que la otra par- 
ticula se mueve en la direcci6n opuesta. 
Probar que los angulos 6 y 6' bajo los 
que se mueven con respecto al sistema-L 
son 

tg = ]fl — p*fc % tg ±* 



tg 6' = Kl — t> 2 /c a cotg ±*. 

Concluir de aqui que + 8' <. in y que 
cuanto mas cercana esta v de c, tanto 
m&s pequeno seri el angulo + 9' entre 
las dos partlculas en el sistema-L. Com- 
parar con los resultados del ejemplo 9.11 
para una colisi6n no relativista. (Suge- 
rencia: Notar que antes de la colisi6n 
las dos partlculas se mueven en el sis- 
tema-C con velocidades v y — v y que 
despu6s de la colisi6n continuan mo- 
viendose en direcciones opuestas con las 
mismas velocidades). 

11.40 Refiriendose al Problem a 11.37, 
verificar que si la particula 1 tiene masa 
de reposo nula, entonces los valores de 
p 3 y E 9 se reducen a los del ejemplo 11.10. 

11.41 Probar que la ecuacitfn del movi- 
miento de un cohete desplazandose a 
velocidades relativistas y no sujeto 
a fuerza externa alguna, es m dv/dm + vi 
(1 — i> s /c s ) = 0, donde m es la masa 
instantanea en reposo del cohete, v su 
velocidad relativa al observador y vl la 
velocidad de escape relativa al cohete. 
Probar tambien, por integration, que la 
velocidad final esta dada por 



v = 



c[l — (m/m Q )2vi/c] 

1 + (m/m*)2vl/c 



11,42 Una particula con masa de re- 
poso mo se divide (o desintegra) en otras 



dos partlculas con masas en reposo m, 
y m t . Probar que en el sistema-C las 
energias de las partlculas resultantes son 

E[ = (m! + m\ — mj)c a /2wi 



E' % = (ml + ml — ml)c*/2m . 
Hallar tambten sus momenta. 

11.43 Resolver el Problema 11.42 para 
el caso de referir el movimiento de las 
partlculas al sistema-L, suponiendo que 
el momentum de la particula mo en este 
sistema es p. Probar tambien que si 
Pi y Pa son l° s momenta de las partlculas 
resultantes y el angulo entre ellas, 

mjc* = (/n, + m t )V + 2E 1 E % 

— 2m 1 m i c* — 2p 1 p s c* cos 6. 

11.44 En una colisi6n entre partlculas 
m x y m t9 m x se mueve con momentum 
Pi y m 2 est& en reposo en el sistema-L. 
Despues de la colisidn, ademas de las 
particulas m x y m a aparecen las partlcu- 
las m 3 , /n 4 > . , , Probar que el umbral 
de energia cin6tica en el sistema-L para 
este proceso es 

Ett = (A/n)c*[l + m x /m t + bm/2m t ], 

donde Am = m s + m 4 + . . .(m x -f m 2 ). 
Aplicar esta ecuaci6n a la creaci6n de 
un par prottfn-antiprotdn, discutido en 
el ejemplo 11.11, 

11.45 Una particula con masa en re- 
poso m lf moviendose con una energia 
total E x extremadamente grande, de 
modo que su velocidad es aproximada- 
mente igual a c, choca con una particula 
con masa en reposo m t que est4 innwWil. 
Demostrar que la velocidad del sistema 
es c(l — m % c 2 /E x ) y que la energia dis- 
ponible en el sistema C es 

(2fi 1 m g c») 1 /» # 

11.46 Considerar una reaction en la 
que una particula con masa en reposo 
nula y energia E x choca con una par- 
ticula con masa en reposo m 3 inm6vil 
en el laboratorio. Los productos finales 
de la reacci6n son dos particulas : una 
con masa en reposo m t y otra con masa 
de reposo /n 3+ Demostrar que el umbral 
de energia E t para la reaccidn es 

E t = /n 3 (l + m z /2m t )c 1 . 



Problemas 



357 



11.47 Detcrminar el valor Q y el umbral 
de energia cinetica en el sistema-L de 
la partlcula incidente (la tt~) para las 
siguientes reacciones : (a) k~ + p + -> 
->n + 7c°; (b) Tr- + p + ->r-->K + . Las 
masas en reposo de dichas particulas son 



Partlcula 


Masa en reposo, kg 


7t~ 


0,2489 x 10-* 7 


7T° 


0,2407 x 10-» 7 


P + 


1,6752 x 10 -« 7 


n 


1,6748 x 10-* 7 


r- 


1,9702 x 10- 17 


K+ 


0,8805 x 10-* 7 



(Sugerencia: Usar los resultados del ejem- 
plo 11.12.) 

11*48 Una partlcula elemental con 
masa en reposo m se desintegra, divi- 
diendose en otras dos particulas elemen- 
tales. El proceso tiene un valor Q no 
nulo. (a) Probar que si la partlcula se 
divide en dos fragmentos iguales, ellos 



deben moverse en el sistema-C en direc- 
ciones opuestas con un momentum 
igual a 

K2moQ — QW 1 * 

(b) Probar que si la partlcula se desin- 
tegra en tres fragmentos iguales emiti- 
dos simetricamente en el sistema-C, el 
momentum de cada partlcula es igual a 

K2/n Q — QVC) 1 /*. 

(c) Veriflcar que los resultados (a) y (b) 
se reducen, respectivamente, a las expre- 
siones no relativistas dadas en las partes 

(d) y (e) del Problema 9.13 cuando Q 
es mucho menor que m^c 1 . (d) Aplicar 
el resultado de la parte (b) a la partlcula 
elemental llamada mesdn-tau (m = 8,8x 

x 10*** kg), que se desintegra en tres 
fragmentos 11am ados mesones-pi (m = 
=2,5 x 10 _M kg), Evaluar la Q del proceso 
y hailar la magnitud de las velocidades 
de los fragmentos en el sistema-C. &Qu6 
tanto por ciento de error se obtiene si 
usamos las expresiones no relativistas 
del Problema 9.13? 



12 
MOVIMIENTO OSCILATORIO 



12.1 Introduction 

122 Cinemdtica del movimiento armonico simple 

12.3 Fuerza y energia en el movimiento armonico simple 

12 A Dindmica del movimiento armonico simple 

12.5 Pendulo simple 

12.6 Pendulo compuesto 

12.7 Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia 

12.8 Superposition de dos MAS: Igual direction, 

diferente frecuencia 

12.9 Superposition de dos MAS: Direcciones perpendiculares 

12.10 Osciladores acoplados 

12.11 Oscilaciones armonicas 

12.12 Oscilaciones amortiguadas 

12 J 3 Oscilaciones forzadas 

12 J 4 Impedancia de un osciladof 

12.15 Andlisis de Fourier del movimiento periodico 



12.2) Cinemdtica del movimiento armonico simple 359 

12.1 Introduccidn 

Uno de los movimientos mas importances observados en la naturaleza es el movi- 
miento oscilatorio (o vibratorio). Una particula oscila cuando se mueve periddi- 
camente con respecto a la position de equilibrio. El movimiento de un pendulo 
es oscilatorio. Un cuerpo en el extremo de un resorte estirado, una vez que se 
suelta, comienza a oscilar. Los atomos de un solido estan vibrando, Similarmente, 
los atomos en una molecula vibran unos con respecto a otros. Los electrones de 
una antena radiante o receptora oscilan rapidamente. Una comprension del mo- 
vimiento vibratorio es tambien esencial en la discusion del fen6meno ondulatorio, 
sobre el cual trataremos en la Parte 3 de este texto. 

De todos los movimientos oscilatorios, el mas importante es el movimiento 
armonico simple (MAS), debido a que, ademas de ser el movimiento mas simple 
de describir matematicamente, constituye una aproximacion muy cercana de 
muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. La mayor parte de nuestras 
discusiones en este capitulo se concentraran en esta clase de movimiento. 



12.2 Cinemdtica del movimiento armdnico simple 

Por definition, decimos que una particula que se mueve a lo largo del eje de las X 
tiene un movimiento armonico simple cuando su desplazamienoo x respecto al 
origen del sistema de coordenadas esta dado en funcion del tiempo por la relation 

x = A sen (wt + a). (12,1) 

La cantidad cot + a se denomina la fase, y por ello a es la fase inicial; esto es, 
su valor cuando / = 0. Aunque hemos defmido el movimiento armonico simple 
en funcion de una expresion senoidal, puede igualmente expresarse en funci6n 
de una expresion cosenoidal, el linico cambio seria una diferencia inicial de fase de 
tt/2 4 Como la funcion seno (o coseno) varia entre — 1 y + 1, el desplazamiento 
de la particula varia entre x = — A y x — + A. El desplazamiento maximo a 
partir del origen, A, se define como la amplitud del movimiento arm6nico simple. 
La funcion seno se repite cada vez que el angulo aumenta en 2tc. Por consiguiente, 
el desplazamiento de la particula se repite despues de un intervalo de tiempo 
de 27u/a). Luego el movimiento armonico simple es periodico, y su periodo es 
P = 2tt/w. La frecuencia v de un movimiento armonico simple es igual al nii- 
mero de oscilaciones completas por unidad de tiempo; asi v = 1/P. La cantidad w, 
denomihada frecuencia angular de la particula oscilante, esta relacionada con la 
frecuencia por una relation similar a la ec. (5.51) del movimiento circular, 

co = ~ = 2tcv, (12.2) 

La velocidad de la particula, que se determina usando la ec. (5.2), es 

dx 

v = = coA cos (cot + a). (12.3) 

dt 



360 Movimiento oscilatorio 



(12.2 



t = _«/ w P/4 P/2 3P/4 P 5P/4 3P/2 7P/4 




Fig. 12*1. Graficos del desplazamiento, la velocidad y la aceleraci6n en funci6n 
del tiempo en el MAS. 



Similarmente, la aceleracion esta dada por 



dv 



a = — - = — ocPA sen (<ot + a) = — a> 2 x, 

dt V ' 



(12.4) 



la cual indica que en el movimiento armonico simple la aceleracion es siempre 
proporcional y opuesta al desplazamiento. En la Fig. 12-1, hemos ilustrado x, v, 
y a en funcion del tiempo. 

El desplazamiento de una particula que se mueve con MAS puede tambien 

considerarse como la componente X de un vector OP\ con OP r = A, que rota 
alrededor de en sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular (o, 
y formando (a cada instante) un angulo cot + a con el eje negativo de las Y, 





(b) 



(c) 



Fig. 12*2. Vector rotante del desplazamiento en el MAS, 



12.2) 



Cinemdtica del movimiento armonico simple 361 



Fig. 12-8, Vectores rotantes del 
desplazamiento, la velocidad y la 
aceleracitin en el MAS* 




medido tambien en sentido contrario del movimiento de las agujas del reloj. 

En la Fig, 12-2 hemos representado el vector OP' en varias posiciones* El estu- 

diante puede verificar que en cualquier instante la componente X de OP' est£ 
dada por x = OP = OP 1 sen (cat + a), en concordancia con la ec« (12.1)* 
La velocidad y la aceleraci6n de la particula pueden tambien representarse 

por los vectores rotantes OV y OA' 9 cuyas longitudes con coA y o?A 9 respecti- 
vamente, y cuyas componentes a Io largo del eje X dan la velocidad v y la ace- 
leraci6n a de la particula que se mueve con MAS. La orientation relativa de estos 

vectores se ilustra en la Fig. 12-3. Puede notarse que OV est£ adelantado tt/2 

y OA* esta adelantado tt, ambos con respecto al vector rotante OP'. 

EJEMPLO 12.1. Determinar si P en el mecanismo Hustrado en la Fig. 12-4 se mueve 
con MAS, En este mecanismo, QQ f es una barra sobre la cual puede deslizarse el ci- 
lindro P ; esta conectada por una varilla L al borde de una rueda de radio R que 
gira con velocidad angular constante co (Este mecanismo, encontrado en muchas 
maquinas de vapor, transfornta el movimiento oscilatorio del pist6n en el movi- 
miento rotacional de la rueda). 



X^ 




VI p. 12-4. El movimiento de P es 
oscilante pero no arm6nico simple. 



362 



Movimietito oscilatorio 



(12.2 



Solucitin: De la figura podemos ver facilmente que P oscila desde una posicitfn a 
una distancia L + R a partir de hasta una posici6n L — R a partir de O. Para 
determinar si el movimiento es armonico simple, debemos encontrar si el despla- 
zamiento de P satisface la ec. (12.1). De la geometrfa de la figura tenemos que 
x = R cos 6 + L cos <f> y L sen 4> = R sen 6, de modo que sen ^ — (R/L) sen 6 



cos 4 = (1 — sen* 
Por consiguiente 



1/2 



(L* — /? 2 sen 2 6) 1 ' 2 , 



x = /? cos 6 + (L* — i? 2 sen 8 6) 1 ' 2 , 
la cual, ya que = o>f, da 

x = R cos «i + (L % — R* sen a <oO I/a . 

Esta expresidn da el desplazamiento de P en funci6n del tiempo, Cuando compa- 
ramos esta ecuaqion con la ec. (12.1), vemos que el primer termino, R cos wf, 
corresponde al movimiento arm6nico simple con a = tt/2, pero el segundo no. Asi, 
aunque el movimiento de P es oscilatorio, no es arm6nico simple 

Un ingeniero mecanico al disenar un mecanismo como el de la Fig. 12-4 tiene 
que pensar c6mo aplicar la fuerza correcta en P de modo que el desplazamiento x 
est6 dado por la ecuaci6n expresada lineas arriba, de modo que la rueda se mueve 
con movimiento circular uniforme. Cuando P esta unido al pist6n de una maxjuina 
de vapor, esto se lleva a cabo regulando la admisi6n de vapor, 

EJEMPLO 12.2. Discutir el movimiento de una particula sobre la cual actiia una 
fuerza oscilante F = F sen w/. 



Solueidn: La ecuacidn de movimiento de la particula es mot 
i » dv/dt. 

dv F 

-— = — — sen w/. 
dt m 

[ntegrando esta ecuaci6n obtenemos 



F sen (x>t 9 o ya que 



v = 2_ cos ^1 + 11 



/n<*> 



0» 



ionde r es una constante de integracidn y no la velocidad inicial la cual se obtiene 
:uando / = 0. Como puede verse, la velocidad inicial es v — F^/nw. Recordando 
jue v = dr/dt e integrando por segunda vez, obtenemos 



r = L sen <o/ -f vj -f r 

m<&* 



Of 



Trayectoria 
de la particula 





Fig. 12-5. Movimiento piano bajo la acci6n de una fuerza armtinica. 



12.3) Fuerza y energta en el movlmiento armonico simple 363 

expresi6n que da la posici6n de la particula en funcitin del tiempo. r es la position 
inicial de la particula. Si suponemos que r = 0, la trayectoria de la particula es 
como se ilustra en la Fig, 12-5. Gonio puede notarse, la particula avanza hatia la 
derecha pero oscila alrededor del eje en la direcci6n dada por F . Esta figura no 
debe confundirse con la Fig. 12-1 (a) que da el desplazamiento como una funcidn 
del tiempo para una particula que se raueve con MAS. La situation fisica que nemos 
ilustrado ocurre, por ejemplo, cuando un electr6n (o cualquier particula cargada) 
se mueve en un campo electrico oscilante. 

Sugerimos que el estudiante considere el caso particular cuando F y v Q son 
paralelos, y que represente el desplazamiento en funcion del tiempo. 



12.3 Fuerza y energia en el movimiento armdnico simple 

De la ec. (12.4) podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre una particula 
de masa m a fin de que oscile con movimiento armonico simple. Aplicando la 
ecuacion de movimiento F = ma, y sustituyendo el resultado de la ec. (12.4), 
la cual nos da la aceleracion, tenemos 

F = — mwPx — — kx 9 (12.5) 

donde hemos defmido 

k = mco 2 6 co = V*//n. (12.6) 

Esto indica que en el movimiento armonico simple la fuerza es proporcional al 
desplazamiento, y opuesta a el Por ello la fuerza esta siempre dirigida hacia el 
origen 0. Este es el punto de equilibrio ya que en el origen F = 0, por ser x = 0. 
Podemos tambien decir que la fuerza F es de atracci6n, siendo el centro de atrac- 
cion el punto 0. La fuerza dada por la ec. (12.5) es el tipo de fuerza que aparece 
cuando uno deforma un cuerpo elastico tal como un resorte; ya vimos varios ejem- 
plos de esta fuerza en el capitulo 8. La constante k = mco 2 f llamada algunas veces 
consiante eldstica, representa la fuerza necesaria para desplazar la particula una 
unidad de distancia. Combinando las ec. (12.2) y (12.6), podemos escribir las 
ecuaciones 

que expresan el periodo y la frecuencia de un movimiento armonico simple en 
funcion de la masa de la particula y la constante elastica de la fuerza aplicada* 
La energia cinetica de la particula es 

E k = imv* = \ma?A* cos 2 (cot + a). (12.8) 

0, ya que cos 2 8^1 — sen 2 8, usando la ec. (12*1) para el desplazamiento, po- 
demos expresar tambien la energia cinetica en funci6n del desplazamiento por 
la relation 

E k = i/nco 2 A 2 [l — sen 2 (<ot + a)] = ±ma,*(A 2 — x 2 ). (12.9) 



364 Movimiento oscilatorio 



(12,4 



Observese que la energia cinetica es un mdximo en el centro (x =0) g cero en los 
extremos de oscilacion (x = ± A). 

Para obtener la energia potencial recordamos la ec. (8.24), F = — dE p jdx. 
Usando la ec. (12.5) para la fuerza, podemos escribir 

dEpjdx = kx. 

Integrando (escogiendo el cero de la energia potencial en el origen o posicion 
de equilibrio) obtenemos 



Jo Jo 



kx dx 



E p = \kx* = imco 2 x*. 



(12.10) 



Por consiguiente, la energia potencial es un mtnimo (cero) en el centro (x = 0) y 
aumenta a medida que la particula se aproxima a tos extremos de la oscilacion 
(x = ±A). Sumando las ec. (12.9) y (12.10) obtenemos la siguiente expresion 
para la energia total del oscilador armonico simple. 

E = E k + E p = ImafiA* = ±AA a , (12.11) 

la cual es una constante. Esto era de esperarse por la ec. (8.29), ya que la fuerza 
es conservativa. Por lo tanto, podemos decir que, durante una oscilaci6n hay 
un intercambio continuo de energias potencial y cinetica. Al alejarse de la posi- 
cion de equilibrio, la energia potencial aumenta a expensas de la energia cinetica; 

lo inverso sucede cuando la particula se 
Ep(*) acerca hacia la posicion de equilibrio. 

La Fig. 1 2-6 muestra la energia potencial, 

E p = ita 2 

representada por una parabola. Para una 
energia total dada E, correspondiente 
a la linea horizontal, los limites de la os- 
cilacion estan determinados por sus inter- 
secciones con la curva de energia poten- 
cial, como se explico en la seccion 8.11. 
(lomo la parabola E p es simetrica, los 
limites de oscilacion se encuentran a 
distancias iguales ± A del origen 0. En 
cualquier punto x la energia cinetica E k 
esta dada por la distancia entre la curva 
E p (x) y la linea E, 




Fig. 12-6. 

el MAS. 



Relaciones de energia en 



12.4 Dindmica del movimiento armonico simple 

En la seccion 12.2 definimos el movimiento arm6nico simple mediante sus pro- 
piedades cinemdticas expresadas por la ec. (12.1). Solo posteriormente discutimos 
la clase de fuerza necesaria para producir tal movimiento (dada por la ec, 12.5). 



12.4) Dindmica del movirniento armdnico simple 366 

Sin embargo, es importante discutir el problema inverso: Demostraremos que, 
dada una fuerza de atraccion proporcional al desplazamiento (esto es, F = — fcc), 
el movirniento resultante es armonico simple. 

Un procedimiento consiste en usar la ecuacion de movirniento, F = ma, con- 
siderando F — — kx 9 y, recordando que en un movirniento rectilineo a — cPxjdP, 
escribir la ecuacion 

<Px . , d?x 

m = — kx o m h kx = 0. 

dP dP 

Haciendo co 2 = kjm 9 podemos escribir 

(Fx 

+ a?x=0. (12.12) 



dP 



Esta es una ecuacion diferencial cuyas soluciones se conocen que son funciones 
senos o cosenos de cot. Sustituyendo en lugar de x el valor de A sen (<ot + a), 
podemos verificar directamente que esta expresion de x, que corresponde al 
movirniento armonico simple, satisface a la ec. (12,12). Por consiguiente, decimos 
que x — A sen (cot + a) es la solucion general de la ec. (12.12) ya que tiene dos 
constantes arbitrarias, la amplitud A y la fase inicial a.* Por lo tanto, verify 
camos el hecho de que una fuerza de atraccion proporcional al desplazamiento 
produce movirniento armonico simple. 

En este punto nos adelantamos a decir al estudiante que esta ecuacion dife- 
rencial (12.12) aparece en muchas situaciones en fisica. Donde se le encuentre 
indica que el fenomeno correspondiente es oscilatorio de acuerdo a la ley A sen 
(a>t + a), ya sea que describa un desplazamiento lineal o angular de una particula, 
una corriente electrica o la concentracion ionica en un plasma, la temperatura 
de un cuerpo, o cualquiera de una multitud de otras situaciones fisicas. 

EJEMPLO 12.3. Discutir la soluci6n de la ec, (12.12) del movirniento arm6nico 
simple en funci6n del desplazamiento inicial x y la velocidad inicial v . 

Sotud6n: Henros indicado que la soluci6n general de la ec. (12,12) es 

x = A sen {mi + a). 
Luego, la velocidad es v = dx/dt = wA cos (of -f- a). Por tanto, para t = 0, tenemos 

x = A sen a, v — <oA cos a. 

Dividiendo obtenemos 

tg a = coxo/y, y A - (xl + » 2 A» 2 ) x/2 . 

Por ejemplo, si la particula se encuentra en la posici6n de equilibrio x — y 
recibe un golpe que le proporciona una velocidad i? , tenemos a = 0yl= v Q /o>. 
El desplazamiento esta dado entonces por x = vju* sen w/. La energia total de 



* La solution general de la ec. (12.12) puede tambiln escribirse en la forma alterna x = a sen 
cot -f b cos out, donde ay b son constantes arbitrarias. Esta solucion es equivalente ax = A sen 
(tot + a) si suponemos que a = A cos a y b = A sen a. 



366 Mouimiento oscilalorio (12.5 

la particula, en concordancia con la ec. (12.11), sera E = \k{vJtA)* = \rnvl, que 
es igual a la energia cinetica initial. 

Por otro lado, si la particula se coloca a la distancia x de la posicidn de equi- 
librio y se suelta, v = 0, y por lo tanto tg a = oo 6 a = tt/2 y A = x . El des- 
plazamiento esta dado por x = x cos o>*. Utilizando la ec. (12.11), obtenemos la 
energia total de la particula como E = ikx z 9 la cual es igual a la energia potential 
initial de la particula. 

BJEMPLO 12.4. Derivar una expresi6n general para el periodo de un movimiento 
oscilatorio, usando el principio de conservaci6n de la energia. 

Soluci6n: Refiriendonos a la discusi6n de la secci6n 8.9 del movimiento rectilineo 
bajo fuerzas conservativas, encontramos que podemos aplicar la ec. (8.34), esto es : 



/ 



dx 

= t. 



-/: 



, # [&/m){E — E p (x))]W 

en la cual E p (x) es la energia potencial del movimiento y E es la energia total. 
De acuerdo a la discusi6n de la section 8.11, la particula oscila, entre las posiciones 
dadas por x x y x 2 obtenidas al resolver la ecuacion Ep(x) = E (recordar la Fig. 8-18). 
Si, en la ecuacion de arriba suponemos que x = x, y x = x 2 , el tiempo / corresponde 
a la mitad de una oscilaci6n y por consiguiente es igual a la mitad del periodo : 
/ = ±P. Por lo tanto, de la ecuaci6n precedente obtenemos 

dx 

* x (2/m)(E-E p y (12 * 13) 

Esta es una ecuacidn general que da el periodo de cualquier movimiento oscilatorio, 
ya sea este MAS o no. N6tese que nos permite calcular el periodo si conocemos la 
energia potencial E v (x) 9 aun sin resolver la ecuaci6n de movimiento para obtener x 
en funci6n de /. Segerimos que el estudiante utilice el valor E v = |Arx * (el cual 
corresponde al movimiento arm<Snico simple), y obtenga P = ttA ^2m/E, haciendo 
*i = — A yx 2 = + A, veriflcando asl que este resultado es identico al de la ec. 
(12.11). 



12.5 Pendulo simple 

Un ejemplo de movimiento armonico simple es el movimiento de un pendulo. 
Un pendulo simple se define como una particula de masa m suspendida del punto 
por una cuerda de longitud / y de masa despreciable (Fig. 12-7). Si la particula se 
lleva a la position B de modo que la cuerda haga un angulo e con la vertical OC, 
y luego se suelta, el pendulo oscilar£ entre B y la posici6n simetrica jB'. 

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, debemos escribir la ecuacion 
de movimiento de la particula. La particula se mueve en un arco de circulo de 
radio I = OA. Las fuerzas que actuan sobre la particula son su peso mg y la ten- 
sion T a lo largo de la cuerda. De la figura, se ve que la componente tangential 
de la fuerza es 

Ft = — mg sen 6, 

donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento s = CA. La ecua- 
cion del movimiento tangencial es F T = maj y, como la particula se mueve a lo 



12.5) 



Pendulo simple 367 




Fig* 12-7* Movimiento oscilalorio de 
un pendulo. 



P_ 



2jt 5tt 

3 6 



Fig. 12-8. Variation del periodo de un 
pendulo en funci6n de la amplitud. 



largo de un circulo de radio I, podemos usar la ec. (5,56) (reemplazando R por I) 
para expresar la aceleracion tangencial. Esto es ax = ItPftjdt 2 . La ecuacion del 
movimiento tangencial es por consiguiente 



ml 



~dP 



— mg sen 6 



— + ^ sen 6 = 0. 
dP I 



(12.14) 



Esta ecuacion no es del mismo tipo que la ec. (12,12) debido a la presencia del 
sen 9. Sin embargo, si el angulo 9 es pequeno, lo cual es cierto si la amplitud 
de las oscilaciones es pequena, podemos usar la ec. (M.30) y escribir sen 9 ~ 9 
en la ec, (12.14) para el movimiento del pendulo, obteniendose 

d 2 6 g 

dp i 

Esta es la ecuacion diferencial identica a la ec, (12.12) si reemplazamos x por 0, 
esta vez refiriendonos al movimiento angular y no al movimiento lineal. Por ello 
podemos llegar a la conclusion que, dentro de nuestra aproximacion, el movi- 
miento angular del pendulo es armonico simple con a>* = gjL El angulo 9 puede 
asi expresarse en la forma 6 = 6 sen (cot + <x). Entonces, usando la ec. (12.2),. 
P = 2tc/o>, el periodo de oscilacion esta dado por la expresion 



-Ti 



(12.15) 



N6tese que el periodo es independiente de la masa del pendulo. Para mayores 
amplitudes, la aproximacion sen G ~ 6 no es v&lida. En tal caso, la formula del 
periodo depende de la amplitud 9 , Si deseamos obtener la formula general 
del periodo, primero expresamos la energia potencial del pendulo como una fun- 



368 Movimiento oscilalorio 



{12.5 



cion del dngulo (ejemplo 8.7) y la sustituimos luego en la expresion de P dada 
por la ec. (12,13). Nosotros omitiremos los detalles matem&ticos, pero indicaremos 
que el resultado puede expresarse por la serie 

P = 2n YVg (1 + i sen* i6 + £ senH^o + ...)• 

La variation con la amplitud 6 del periodo P, expresado en funcion del pe- 
riodo P = 2n ]jljg correspondiente a oscilaciones muy pequenas, se ilustra en 
la Fig. 12-8. Notese que el periodo P difiere apreciablemente de P solamente 
para amplitudes muy grandes. Para pequenas amplitudes es suficiente tomar el 
primer termino correctivo, y aun sustituir £6 por sen ^e , obteniendose 

P = 2ttf7/ff(l+f 6 6^ (12 ,i 6) 

donde 6 se expresa en radianes. Esta es una aproximacion suficiente para la 
mayor parte de las situaciones practical De hecho, el termino eg/16 representa 
menos del 1 % para amplitudes menores de 23°, 

Hay, sin embargo, un diseno especial en el cual el periodo de un pendulo es 
independiente de la amplitud. Este diseno recibe el nombre de pendulo cidoidaL 
Una cicloide es una curva generada por un punto en el borde de un disco que 
rueda sobre un piano, como se muestra en la Fig. 12-9. Si en un piano vertical 
construimos una trayectoria con la forma de una cicloide, y dejamos que la 
masa m oscile bajo la action de la gravedad, la amplitud del movimiento de- 
pendera del punto desde el cual se suelta la particula, pero el periodo siempre 
sera P = 4tc j/ afg, siendo a el radio del circulo que genera la cicloide. 




Cicloide 



Circulo rodante 
Fig, 12-0. Definici6n de la cicloide. 




Cicloide 
Fig. 12-10. Pendulo cicloidal. 



Una manera practica de construir un pendulo cicloidal se ilustra en la Fig. 12-10, 
donde C ± y C 2 son dos contornos cicloidales. Por razonamiento geometrico, puede 
demostrarse que cuando el pendulo esta suspendido entre ellos, su masa describe 
una cicloide, y el periodo de oscilacion es independiente de la amplitud.* 

EJEMPLO 12.5. Calcular la tension en la cuerda de un pendulo en funci6n del 
angulo que hace la cuerda con la vertical. 



* Para mayores detalles sobre la cicloide, ver G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geomeiria 
analitica, tercera edici6n. Madrid: Aguilar, 1964, sec. 12.2. 



12.6) 



Pendulo compuesto 369 



Soluci&n; Para calcular la tensi6n T, primero obtenemos la fuerza centripeta sobre 
la particula, 

F c - T — Fn = T — mg cos 6, 

ya que, de la Fig. 12-7, F& esta dada por trig cos 0. Luego igualando esta expresion 
a la masa multiplicada por la aceleraci6n centripeta mv 2 /l (ntftese que / es el radio) 
de acuerdo a la ec. (7,28), obtenemos 

T — mg cos 6 = mvVL 
Para conseguir la velocidad usamos el resultado del ejemplo 8.7. Esto es, 

u a = 2#Z(cos 8 — cos 6 ), 
y por lo tanto 

T = mg(3 cos 6 — 2 cos 6 ). 

Esta expresi6n es valida para cualquier amplitud, ya que no se ha hecho nin- 
guna aproximaci6n con respecto a 0. 



12.6 Pendulo compuesto 

Un pendulo compuesto (o fisico) es cualquier cuerpo rigido que puede oscilar 
libremente alrededor de un eje horizontal bajo la action de la gravedad. Sea 
ZZ' (Fig. 12-11) el eje horizontal y C el centro de masa del cuerpo. Cuando la 
linea OC hace un angulo 6 con la vertical, la componente Z del torque actuante 
sobre el cuerpo esi 2 = — mgb sen 0, donde b es la distancia OC entre el eje Z 
y el centro de masa C. Si / es el momento de inercia del cuerpo alrededor del 
eje Z, y a =<P§ldP es la aceleraci6n angular, 
la ec. (10.14), U = t w da I d 2 fydP = — mgb 
sen 6. Suponiendo que las oscilaciones son 
de pequena amplitud, podemos suponer que 
sen ~ 6, de modo que la ecuacion del mo- 
vimiento es 



d 2 
~dfi 



d 2 
~dP 



mgb 



+ 



gb_ 

K 2 



= 0. 




Fig. 12-11. Pendulo compuesto. 



Aqui nemos utilizado I = mK* 9 donde K es 
el radio de giro, definido en la ec. (10.10). Po- 
demos comparar esta ecuacion del movi- 

miento con la ec. (12.12), demostrando que el movimiento angular oscilatorio es 
arm6nico simple, con w 2 = gb/K 2 . Por consiguiente, el periodo de las oscilacio- 
nes es 

P=2*YWi$. (12.17) 



370 Movimiento oscilatorio // g 6 

La cantidad / = K?fb se denomina la longitud del pendulo simple equivalents 
ya que un pendulo de tal longitud tiene el mismo periodo que el pendulo com- 
puesto. Notamos que el periodo del pendulo compuesto es independiente de su 
masa, asi como de su forma geometrica, siempre que el radio de giro K y la posi- 
tion del centro de masa, dado por b, permanezcan inalterables. 

EJEMPLO 12.6. Un anillo de 0,10 m de radio esta suspendido de una varilla 
como se ilustra en la Fig. 12-12. Determinar su periodo de oscilaci6n. 

Solucion: Designando el radio del anillo por R, su momento de inertia con respecto 
a un eje que pasa a traves de su centro de masa C es I c - mR 2 (vea la tabla 10-1) 
Entonces, si aplicamos el teorema de Steiner, ec. 10,8, suponiendo a = R, el mo~ 
mento de inertia con respecto a un eje que pasa a traves del punto de suspensi6n es 

I = Ic + mR* = mR* + mR 2 = 2mR\ 

expresitfn que da un radio de giro K* = 2R\ Tambien en nuestro caso b = R 
Entonces, usando la ec. (2.17), obtenemos 



lo cual indica que la longitud equivalente del pendulo simple es 00' = 2R, o sea 
el diametro del anillo. Al reemplazar los valores de R = 0,10 m v a = 9 8 m s~ 2 
obtenemos P = 0,88 s, ' 

EJEMPLO 12.7. Una esfera de radio R esta suspendida desde un punto fijo por 
una cuerda, de ttiodo que la distancia desde el centro de la esfera al punto de sus- 
pensi6n es /. Encontrar el periodo del pendulo. 

Solud6n: A menos que el radio R sea muy pequefio comparado con /, no podemos 
considerar el pendulo como simple, y debemos usar las expresiones que hemos dis- 
cutido en esta secci6n. De la tabla 10.1 tenemos que el momento de inertia de una 
esfera con respecto a un eje que pasa por su centro es fmi* 2 . Por consiguiente, 
cuando aplicamos el Teorema de Steiner para encontrar el momento de inercia con 
respecto al punto de suspensidn, haciendo a - /, obtenemos 

I = trnR* + ml* = /n(/ 2 + f J? 2 ). 

Esta expresitin da como radio de giro K 2 = I* + %R* = l*(i + 0,4i? 2 /' 2 ). Por tanto 
aplicando la ec. (12.7) y notando que en este caso b = I, tenemos 

Considerando que R es pequefio comparado con /, podemos reemplazar (1 + 0,4 
i? 2 // 2 ) 1/a por 1 + 0,2R 2 /l 2 ) usando la aproximacidn del binomio (M.28). Entonces 



-*h («+«-£) 



El primer ttrmino da el periodo, si despreciamos el tamaiio de la esfera. Por 
ej Tn P nn^ S1 l = ltn yR = 0,01 m, tenemos RW = 10"*, y el termino correctivo 
es 1,00002. Asi el tatnano finito de la masa del pendulo aumenta el periodo en 0,002%, 
una cantidad que es despreciable en la mayoria de los casos. 



EJEMPLO 12.8, Pendulo de torsion. 



12.7) 



Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia 371 





Figura 12-12 



Fig. 12-13. Pendulo de torsidn. El centro 
de masa se encuentra en C. 



Solucidn; Otro ejemplo de movimiento armtfnico simple es el pendulo de torsi6n, 
consistente en un cuerpo suspendido por un alambre o fibra (Fig.12-13) de tal ma- 
nera que la linea OC pasa por el centro de masa del cuerpo. Cuando el cuerpo se 
rota un &ngulo 6 a partir de su posici6n de aquilibrio, el alambre se tuerce, ejer- 
ciendo sobre el cuerpo un torque t alrededor de OC que se oponen al desplaza- 
miento 6 y de magnitud proporcional al angulo, t = — kO, donde k es el coeflciente 
de torsi6n del alambre. Si / es el momento de inercia del cuerpo con respecto al 
eje OC, la ecuaci6n del movimiento, usando la ec. (10.14) con a = d 2 ft/dt\ es 



rf 2 
dl* 



— kG 



dt* I 



0, 



Nuevamente encontramos la ecuaci6n diferencial (12.12), de modo que el movi- 
miento angular es armdnico simple, con o> 2 = k/J ; el periodo de oscilacidn es 



P = 2tc V//k. 



(12.18) 



Este resultado es interesante debido a que podemos usarlo experimentalmente 
para determinar el momento de inercia de un cuerpo suspendtendolo de un alambre 
cuyo coeficiente de torsi6n k se conoce, y luego midiendo el periodo P de oscilacidn. 



12.7 Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia 

Consideraremos ahora la superposicion, o interferencia, de dos movimientos ar- 
m6nicos simples que producen un desplazamiento de la particula a lo largo de 
la misma linea. Discutamos primero el caso en que ambos tienen la misma fre- 
cuencia (Fig. 12-14). El desplazamiento de la particula producido por cada mo- 
vimiento arm6nico simple esta dado por: 

x x = OP x = A x sen (cot + a 2 ) 



x % = OP 2 — A 2 sen (cot + o^). 
El desplazamiento resultante de la particula esta dado por 

x — OP = x t + x z = A x sen (cot + <xj) + A 2 sen (cot + o^. 



372 Movimiento oscilatorio 



(12.7 



Demostraremos ahora que x corresponde a un moyimiento arm6nico de la misma 
frecuencia. La componente x del vector suma OP' de los vectores rotantes OP\ 
y OP' 2> es justamente la suma de las components X de OP\ y OP r % (esto es, 
x i + fy)* y P<>r ende es igual a x. Tambien, ya que el angulo entre OP\ y OP' 
tiene el valor fijo 8 = H ~ * v el vector OP' tiene una magnitud constante A 
y rota tambien alrededor de con velocidad angular to. Por consiguiente el vector 
rotante OP' genera un movimiento arm6nico simple de frecuencia angular w , 
y podemos escribir x = OP, 



x = A sen (cot + a). 



(12.19) 



"-M 




ffr-V 



Fig, 12-14. Composici6n de dos 
MAS de la misma frecuencia. 



Calculamos la amplitud A aplicando la ec. (3.3) 
al vector resultante de los dos vectores: 

A - )fA\ + Al + 2A 1 A 2 cos8. (12.20) 

La fase inicial a puede encontrarse proyectan- 
do los tres vectores sobre los ejes OX x y OY 1 
los cuales rotan con velocidad angular co cons- 
tituyendo unjustema de referenda en el cual 
los vectores OP\, OP\ y OP' se encuentran 
en reposo. Luego, teniendo en cuenta la ley 
de adicion de vectores, tenemos 

A cos a = A x COS o^ +.A 2 COS Og 

y 

A sen a = A x sen a x + A 2 sen o^. 
Dividiendo, obtenemos 



tga __ A x sen ^ -+ A 2 sen Og 

A 1 COS a 2 + A % COS a 2 . 



(12.21) 



Consideremos algunos casos importantes especiales. Si a 2 = ol v entonces 8=0, 
y decimos que los dos movimientos estan en fase. Sus vectores rotantes son pa- 
ralelos y las ec. (12.20) y (12.21) dan 



A =A 1 + A< 



a,, 



(12.22) 

Por consiguiente, los dos movimientos arm6nkos simples interfieren constructi- 
vamente ya que sus amplitudes se suman (Fig. 12-15). Si a 2 = a, + n, entonces 
« = 7t, y decimos que los dos movimientos arm6nicos simples estan en oposicion. 
Sus vectores rotantes son antiparalelos y las ec. (12.20) y (12.21) dan si A 1 > A 2 , 



A = A x — A 2 , 



a. = c^, 



(12.23) 



y los dos movimientos armonicos simples interfieren atenuandose ya que sus am- 
pUtudes se sustraen (Fig. 12-16). En particular, si A l = A % , los dos movimien- 
tos armonicos simples se cancelan mutuamente. (iQue sucederia si A, < A,?) 



12.7) 



Superposition de dos MAS: Igual direccidn, igual frecuencia 373 




Fig. 12-15. Composici6n de dos 
MAS en fase. 




Si ojj = otj + tt/2, entonces S = 7c/2, y se dice que los dos movimientos armonicos 
simples estan en cuadratura. Entonces, aplicando la ec. (12.20), obtenemos 



A = yAf + A\. (12.24) 

El estudiante puede verificar con la ec. (12.21) que la expresion de a esta dada por 

A. 



a = a x -\- arctg 



*i 



(12.25) 




Fig* 12-18. Gomposici6n de dos 
MAS en oposicidn. 



Los dos vectores rotantes son, en este caso, perpendiculares. En la Fig, 12-17, se 
ha representado el caso cuando A l — ^3 A 2 de modo que a — a x + n/6 y A =2A 2 . 
El estudiante debe investigar el caso en el cual « 2 — 04 + 3 tt/2. 

EJEMPLO 12,9* Una particula esta sometida, simultaneamente, a dos movimien- 
tos armonicos simples de la misma direccidn y frecuencia. Sus ecuaciones son Xj — 10 
sen (2t + 7t/4> y x* = 6 sen (2f + 2*/3), Encontrar el movimiento resultante. 



374 Movimiento oscilatorio 



(12.8 




Fig. 12-17, Composici6n de dos 
MAS en cuadratura. 




A 

x t — \ 



SolucMn: La diferencia de fase es 8 = a 2 — ai = 2:r/3 — «/4 = ftc/12. Por lo tanto 
como las amplitudes son A l = 10 y A 2 = 6, la amplitud resultante es 

^ = VlO 2 + 6 2 + 2(10X6) cos (5tv/12) = 12,92. 
La fase inicial esta dada por 

10 sen (n/4) + 6 sen (2tv/3) 



tga = 



10 cos (tt/4) + 6 cos (2tt/3) 



6,527, 



de modo que a = 81,3° = 1,42 rad. Por consiguiente, el movimiento resultante es 
descnto por la ecuacion x = 12,92 sen (2t + 1,42). 



12.8 Superposition de dos MAS: Igual direccidn, diferente ire. 
cuencia 

El caso en el cual dos movimientos armonicos simples en la misma direction 
pero con diferente frecuencia interfieren tiene tambien importancia. Consideremos 
por simplicidad, el caso en el cual ^0y^=0; entonces los movimientos 
estan descntos por las ecuaciones x 1 = A t sen toj y x 2 = A 2 sen «y. 

El angulo entre los vectores rotantes OP' z y OP[ (Fig. 12-18)es ahora aj—mj = 
= K— to 2 )/, y no es constante. Por ello, el vector resultante OP' no tiene longitud 
constante y no rota con velocidad angular constante. En consecuencia, el movi- 
miento resultante, x = x x + x % no es armonico simple. Sin embargo, como ob- 
servamos de la Fig. 12-18, la "amplitud" del movimiento es 

A = M? + ^ + 2A 1 A 2 cosK- W2 )/ > (12.26) 

y "oscila" entre los valores A = A t + A 2 [cuando («, — u> 2 )t = 2n *] y A = \Aj-AJi 
[cuando (a^ — <y 2 )f = 2nn + *]. Se dice entonces que la amplitud es modulada. 
La frecuencia de la amplitud de oscilacion se expresa por 

v = («>! — co 2 )/2tc = Vl — v 2 , (12.27) 

y es igual a la diferencia de las frecuencias de los movimientos que interfieren. 



12.8) Superposition de dos MAS: Igual direccidn, diferente frecuencia 375 





Fig. 12-18. Composici6n de dos MAS Fig. 12-19. Fluctuaci6n en amplitud o 
de diferentes frecuencias. pulsaciones. 



La Fig. 12-19 muestra la variation de A con L La situation descrita tiene lugar 
cuando, por ejemplo, dos vibradores de frecuencia muy proximos estan vibrando 
simultaneamente en lugares muy cercanos. Se observa una fluctuation en la 
intensidad de los sonidos, llamadas pulsaciones, que se deben al cambio en 
la amplitud a, como se ilustra en la Fig. 12-19. 

Una situation interesante ocurre cuando A x = A v esto es, cuando las dos am- 
plitudes son iguales. Entonces usando la ec. (M.7) obtenemos 



x = x x + x 2 = A x (sen a^t + sen ca 2 
— 2A X cos i^ — (o 2 )t sen £(«>i + a> 2 )t, 



(12.28) 



indicando que el movimiento es oscilatorio con frecuencia angular £(co x + o> 2 ) y 
amplitud 

A = 2A X cos i( Wl — co 2 )L (12.29) 




Fig. 12-20. Pulsaciones cuando las dos ;miplitudes son iguales. 



Este resultado puede obtenerse directamente de la ec. (12.26) haciendo A 2 = A ± . 
El grafico de x en funcion del tiempo / se ilustra en la Fig. 12-20, en la cual la 
linea punteada muestra la modulation de la amplitud. 



376 Movimiento oscilatorio 



{12.9 



12.9 Superposicidn de dos MAS: direcciones perpendiculares 

Consideremos ahora el caso en el que una particula se mueve en un piano de tal 
modo que sus coordenadas iej oscilan con movimiento armonico simple. Exa- 
minaremos primero el caso en el que los dos movimientos tienen la misma fre- 
cuencia. Escogiendo nuestro origen del tiempo de modo que la fase inicial del 
movimiento a lo largo del eje X sea cero, tenemos para la coordenada x 



(12.30) 



x = A sen cot. 

El movimiento a lo largo del eje Yes descrito por la ecuacion 

y = B sen (cot + 8), (12-31) 

donde 8 es ahora la diferencia de fase entre las oscilaciones x e y. Nosotros nemos 
supuesto que las amplitudes A y B son diferentes. La trayectoria de la particula 
esta obviamente limitada por las lineas x = ±Aey = ±B. 

Consideraremos ahora algunos casos especiales. Si los dos movimientos estan en 
fase, 8 = Oej/=Bsenco/, que pueden combinarse con la ec. (12.30) para dar 

y = (BIA)x. 

Esta es la ecuacion de la linea recta PQ 
en la Fig. 12-21, y el movimiento que 
r esulta es armonico simple, con amplitud 
V A 2 + B 2 , debido a que el desplazamiento 
a lo largo de la linea PQ es 

r = \x* + y* = YA^+B* sen cot. 

(12.32) 




Si los movimientos estan en oposicion, 8 = 
= it e y = — B sen cot. Combinado con la 



Fig. 12-21. Compostcion de dos 

MAS de la misma frecuencia pero ■- - a ~ „ 

en direcciones perpendiculares. La ec. (12.30), esto da 

trayectoria depende de la diferencia 

de fase. B 

y = — — x, 
A 

la cual es la ecuacion de la linea recta RS. El movimiento es nuevamente armonico 
simple con amplitud ]/ A* + B 2 . Entonces decimos que cuando 8 = 6 it, la 
interferencia de los movimientos armonicos simples perpendiculares de la mis'ma 
frecuencia da lugar a una polarization redilinea. 

Cuando 8 = w /2, se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y estan 
en cuadratura; e 

y = B sen (col + it/2) = B cos cot. 
Combinada con la ec. (12.30), da 



*" + V 



A 2 



B 2 



1, 



12.9) 



Superposition de dos MAS: direcciones perpendiculares 377 



que es la ecuacion de la elipse ilustrada en la Fig. 12-21. La elipse es recorrida 
en la direction de las agujas del reloj. Esto puede verificarse encontrando la 
velocidad de la particula en el punto x = + A, en la cual la velocidad es paralela 
al eje Y. En este punto, de la ec. (12.30), debemos tener sen ot = 1. La compo- 
nente Y de la velocidad es v y = dyjdt = — coB sen cot = — a>B. Por ser negativa 
el punto pasa por A moviendose hacia abajo, lo cual corresponde a una rotaci6n 
en el sentido de las agujas del reloj. Se obtiene la misma elipse si S = 3*/2 6 — tc/2, 
pero el movimiento es en sentido contrario a las agujas del reloj (^puede el estu- 
diante verificar esta proposici6n?). Luego, podemos decir, que cuando la dife- 
rencia de fase B es ± tc/2 p la interferencia de dos movimientos armonicos simples 
de la misma frecuencia y direcciones perpendiculares da lugar a polarization 
diptica, con los ejes de la elipse paralelos a las direcciones de los dos movimientos. 
Cuando A = B 9 la elipse se transforma en un circulo y tenemos polarization 
circular. Para un valor arbitrario de la diferencia de fase S, la trayectoria es alin 
una elipse pero sus ejes estdn rotados con respecto a los ejes de coordenadas. 
En la Fig. 12-22 se muestran las trayectorias para ciertas diferencias de fase. 



r 


^ 


V 


) 


5 = 


\ 


V 


L) 



5=] 

( 


20° 

\ 
) 



§s 




5 = 150° S = 180 c 



/ 


s^> 


c 


/ 



3 = 240 c 



5 = 270° 



5 = 30O c 




^ 


\ 


\ 


^ 


5 = 210° 











5 = 330° 



6 = 360 c 



Fig, 12-22. Trayectorias para diferencias de fases selectas, 

De acuerdo con la secci6n 12.33, los movimientos descritos por la ec. (12.30) 
y (12.31) requieren fuerzas a lo largo de los ejes X e Y iguales a F x = — k x y 
F' g = — ky. La fuerza resultante que actiia sobre la particula es por lo tanto 



F = U X F X + UyFy = 

— — kiUxX + u y y) = — kr, 



(12.33) 



siendo r = OP (Fig. 12-23) el vector posici6n de 
la particula. Por tanto el movimiento que hemos 
descrito cinemdticamente en esta secci6n es de- 
bido a una fuerza central atractiva proportional 
al desplazamiento. 

La fuerza da da por la ec. (12*33) produce siem- 
pre un movimiento piano aun si la particula se 
mueve en el espacio, debido a que la fuerza es 



o 




*>' 



/V« .'/) 



"'.'/ 



Fig, 12-23. Fuerza de atrac- 
ci6n proportional al desplaza- 
miento* 



378 Movimiento oscilatorio 



(12.9 



central y, por consiguiente, la trayectoria m&s general bajo tal fuerza es una 
elipse* La energia potencial correspondiente a la fuerza de la ec. (12.33) es (recor- 
dar el ejemplo 8.8): 



E p = }/c(x 2 + z/ 2 ) = ±kr\ 



(12.34) 



2/20 



N,M 




1,9 

' I •Oil . , >°j ±u 






3,11V 
4.12*^ 



-'' Nu 



4>,14 



5.13 



Fig, 12-24. Figuras de Lissajous para 
«*«/«! =!y una diferencia de fase de tt/6. 



Otra situation interesante es la interferencia de dos movimientos oscilatorios 
perpendiculares de frecuencias diferentes. Esto es, 



x — A x sen m x U y = A 2 sen (<w 2 / + 8). 



(12.35) 



La Fig, 12-24 ilustra el caso para el cual ^ = jcu^ y S = tt/6. La trayectoria 
resultante es la linea s61ida. Tal trayectoria depende de la relacion cojo^ y de 
la diferencia de fase S. Estas trayectorias se llaman figuras de Lissajous, y se 
ilustran en la Fig. 12-25 para diferentes valores de la relacion coj^ y varias dife- 
rencias de fase en cada caso. 



12.9) 



Superposition de dos MAS: direcciones perpendiculares 379 




5 







1:2 







1:3 









2:3 



























Fig. 12-26. Figuras de Lissajous. Dependen de la relacitfn coa/toj y de la diferencia 
de fase* 



380 Movimiento oscilatorio 



(12.10 



12.10 Osciladores acoplados 

Una situation encontrada frecuentemente es aquella de dos osciladores acoplados. 
En la Fig. 12-26 se ilustran tres situaciones posibles. En (a) tenemos dos masas 
m x y m^ unidas a dos resortes ^ y A 2 y acopladas por el resorte k, de modo que 
los movimientos de m x y m 2 no son independientes. En (b) tenemos dos pendulos 
acoplados por la cuerda AB. En (c), los cuerpos I x e J 2 unidos a las barras k x y k 2 
est&n acoplados por la barra k f formando dos pendulos de torsibn acoplados. 
Encontraremos una situaci6n similar en la secci6n 17.11 (volumen II) cuando 
estudiemos circuitos electricos oscilantes acoplados. El efecto total del acopla- 
miento de dos osciladores puede describirse como un intercambio de energia 
entre ellos. 



w/ ///////^^^^^^^ 



k] k k 9 




'mw///////, 



(a) (b) 

Fig. 12-26. Varios tipos de osciladores acoplados. 




Para discutir el problema din&micamente, debemos establecer la ecuacidn de 
movimiento de cada oscilador. Consideremos el caso especial de dos masas m 1 
y m 2 unidas a resortes (Fig. 12-27). Llamemos Xj y x 2 los desplazamientos de m ± y 
7% a partir de su posici6n de equilibrio, medidos como positivos cuando est&n a 
la derecha. Luego el resorte k x ejerce una fuerza — k x x t sobre m v y similartnente 
k 2 ejerce una fuerza — k^ sobre n^. El resorte k ha sufrido una elongaci6n x^ — a^ 
jr, por lo tanto, las fuerzas que ejerce sobre cada particula cuando trata de recobrar 



l 



— kyX x ,/ 



Posiciones de equilibrio 

^ i 



*i 



k(x 2 ~x 1 ) 



my 



y 






m 2 



%2 



i 

*2 1 



Fig. 12-27. Osciladores acoplados. 



12.10) Osciladores acoplados 381 

su longitud original son k(x 2 — x x ) sobre m 1 y — k(x 2 — x x ) sobre /n 2 . Entonces 
la ecuacion de movimiento de cada particula [usando la ec. (7.15), m dPxjdP -F] es 

m i-^jt = — k 1 x l + k(x 2 — x 1 ) 



I*h — K2X2 k{X% X x ). 

Combinando terminos similares, podemos escribir 
&x x k x + k _ k 

, - ■ ■■ — -f- Xi Xa 

dP m 1 x m 1 a 



(12.36) 



d 2 *. 



— -j- — fcr ; Xg — X^, 



dP m 2 mg 



Los lados de la izquierda de estas ecuaciones son muy similares a la ec. (12.12), 
excepto que la constante elastica es k x + k y k 2 + k. Esto, en vista de la ec. (12.7), 
es equivalente a un cambio en la frecuencia de oscilaci6n con respecto a las fre- 
cuencias cuando no estan acoplados. Otra diferencia en la ec. (12.36) con respecto 
a la ec. (12.12) es que, en lugar de cero en el miembro de la derecha, tenemos 
un t£rmino que se refiere a cada oscilador. A este termino podemos llamarlo el 
tirmino de acoplamiento. En lugar de intentar obtener la solution general de 
la ec. (12.36) indicaremos los resultados principales, limitdndonos al caso especial 
de dos osciladores identicos de modo que m 1 = m 2 y k x = k r Este caso, aunque 
mis simple, tiene esencialmente todas las caracteristicas del caso general. En- 
tonces las ecs. (12.36) son: 

d% __ k x + k _ k (fir 2 k ± + k __ k 

X} — Xg, -| Xg — Xj* 



dP m 1 x m l * dP m x * m x 

(12.37) 

Puede demostrarse que el movimiento general de dos osciladores acoplados, 
descrito por las ec. (12.37) puede considerarse como la superposici6n de dos 
modos normales de oscilacion. En uno de los modos normales, los dos osciladores 
se mueven en fase con amplitudes iguales. Esto es 

x x — A x sen (a^t + o^), x 2 = A x sen (co x t + a^, (12.38) 

donde 



Esto es, la frecuencia de los osciladores acoplados es la misma frecuencia de 
oscilaci6n que cada masa tendria si no hubiera acoplamiento. Esto es facilmente 
comprensible porque, como los osciladores tienen igual amplitud y estan en fase, 



382 Movimiento oscilatorio 



(12.10 



el resorte central no sufre ningun estiramiento y por lo tanto no ejerce ninguna 
fuerza sobre las masas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas. 
En el segundo modo normal, los dos osciladores se mueven en oposici6n con 
amplitudes iguales. Esto es, 



donde 



x x = A 2 sen (a> 2 t + otg), x 2 = — A 2 sen (co z t + otg), 
oj 2 = V (k ± + 2k)/m v 



(12.40) 
(12.41) 



y entonces la frecuencia es mayor que la frecuencia sin acoplamiento. Esto es 
fccilmente comprensible ya que ahora el resorte central se estira y se comprime, 
y esto equivale a aumentar la constante elastica de cada oscilador. Estos dos mo- 
dos normales de oscilacion estan representados esquematicamente en la Fig. 12-28. 
Los modos normales (12.38) y (12.40) corresponden a una situacion en la cual 
las dos masas se mueven con diferencia de fase constante, la cual es cero en el 
modo (12.38) y tc eji el modo (12.40). Las dos masas pasan simultaneamente a 
traves de su position de equilibrio y alcanzan sus desplazamientos maximos 
simultaneamente. 



i 



x v 



X2 



m 



W 2 



Fig. 12-28. Vibraciones normales de dos osciladores acoplados identicos. 



La solucion general de las ecs. (12.37) es una combination lineal de los modos 
normales de oscilacion. Esto es 



x i = A i sen W + a i) + \ sen (co 2 t + a 2 ) 
x 2 = A x sen (eo^ + Oj) — A 2 sen (co 2 t + a 2 ). 



(12.42) 
(12.43) 



Podemos ver que estas dos ecuaciones expresan la solucion general de la ec. (12.37) 
ya que contienen cuatro constantes arbitrarias; A v a v A 2 y a 2 , como corresponde 
a un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden. Estas 
dos ecuaciones indican que x 1 y x 2 son los resultados de las interacciones de dos 
movimientos armonicos simples en la misma direction pero de frecuencia y fase 
distintas, una situacion ya discutida en la section 12.8. Por lo tanto lo que se 
explico en dicha ocasion se aplica en este caso. 

Para una mejor comprension de la fisica del problema, consideremos el caso 
especial de amplitudes iguales, A x = A 2 , y supongamos que las fases iniciales 
son cero (a x = « 2 = 0). Entonces usando la ec. (M.7), tenemos 

x x = A x sen oj x t -+- A x sen w 2 t = A^sen (o x t + sen ct> 2 /) 
= [2A X cos i^ — <o 2 )t] sen £(0^ + m 2 )t 



12.10) 



Osciladores acoplados 383 



x 2 = A 1 sen a^t — A x sen o^t = ^4 1 (sen a^t — sen wj) 
= [2A X sen ifcoj — o%)t\ cos K<*>i + «*)'• 

Comparando estas expresiones con la ec. (12.29), vemos que la amplitud mo- 
dulada de x x es 2A cos ^(a^ — co 2 )/, pero la amplitud modulada de x 2 es 2A sen 
^(tt>! — (o^t = 2A cos [^((Ox — cwgjf — tt/2], Vemos entonces que las dos ampli- 
tudes moduladas tienen una diferencia de fase de n/2, un cuarto del periodo 
modulante. Las variaciones de x t y x % en funci6n de t se ilustran en la Fig. 12-29. 
Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un inter- 
cambio de energia entre los dos osciladores. Durante un cuarto del periodo modu- 
lante, la amplitud modulante de un oscilador disminuye y la del otro aumenta, 
dando lugar a una transferencia de energia del primero al segundo. Durante el 
siguiente cuarto del periodo, la situaci6n se invierte y la energia fluye en la direc- 
ci6n opuesta* El proceso se repite continuamente. Esto puede observarse usando 
dos pendulos como se indica en la Fig. 12-26(b). 




Fig. 12-29. Osciladores acoplados de igual amplitud. 



Es tambien interesante considerar la energia total del sistema. La energia 
cinetica total es E k = \m x v\ + %m 2 v%. Para obtener la energia potencial aplica- 
mos la ec. (12.10) a cada resorte lo cual da E p = J/^x? + \k^t\ + $k(x t — x^ 2 , ya 
que x v x 2 y Xj — x 2 son las elongaciones de cada resorte, 



e p = k*i + k )A + ±(*2 + *W 



AiViXn» 



La energia total es entonces 

E=E k + E p = [\mtf + K*i + k)x\] 
+ (Wl + i(*a + *K1 — **A- 



(12.44) 



384 Movimiento oscitatorio (12.10 

El termino del primer parentesis depende solamente de i lf y puede Uamarse 
la energia de m^ el termino del segundo parentesis corresponde a la energia de m 2 . 
Pero el ultimo termino contiene tanto x t como x 2 , y se denomina la energia de 
acoplamiento o de interaction. Este termino es el que describe el intercambio de 
energia entre los dos osciladores. En la ausencia de este termino, la energia de cada 
oscilador es constante. Cuando hay un acoplamiento, la energia total es cons- 
tants Este es un resultado general como vimos en el capitulo 9, cuando dos 
sistemas interactiian, dando por resultado un intercambio de energia, la energia 
total del sistema es de la forma 

E = (E k + E p \ + (E k + E p \ + (£ p ) us (12.45) 

donde el ultimo termino representa la interaction. 

Los osciladores acoplados se encuentran en muchas situaciones fisicas, como se 
indico lineas arriba, Un caso importante es la vibration de los Atomos en una 
molecula. Una molecula no es una estructura rigida y los atomos oscilan con 
respecto a su posicion de equilibrio. Sin embargo, la oscilacion de cada Atomo 
afecta su interacci6n con los otros, y entonces forma un sistema de osciladores 
acoplados. 

Consideremos, por ejemplo, el caso de 



0—0 0- 



0^ — — -0 



0' 



una molecula triatomica tal como C0 2 . 
Geometricamente esta molecula tiene el 
(a) ordenamiento 0=0=0, como se indica 

" 2 en la Fig. 12-30, y es similar a los os~ 

ciladores de la Fig. 12-27. El movimiento 
relativo de los tres Atomos puede descri- 
birse en funcion de osciladores normales. 
En la Fig. 12-30(a), los Atomos de oxige- 
^ no oscilan en fase, con el Atomo de car- 
bono moviendose en direcci6n opuesta 
para conservar la posicion del centro de 
(c) T masa. Este modo corresponde a la oscila- 

cion o>j de la Fig. 12-28. En la Fig. 12.30(b) 
Fig. 12-30, Vibraciones normales de i os dos atomos de oxigeno se mueven 
la molecula de C0 2 . -. A . 

2 en direcciones opuestas, con respecto al 

Atomo de carbono, que permanece fijo 
en el centro de masa. Este modo corres- 
ponde a la oscilaci6n to 2 de la Fig. 12-28. La situation de la Fig, 12-30(c) no se ha 
considerado previamente. Corresponde a un movimiento perpendicular a la linea 
que une los Atomos con una frecuencia angular oj 3 , resultando en una flexion de 
la molecula. Para la molecula de C0 2 , los valores de las tres frecuencias angu- 
lares son 

co x = 4,443 x 10 14 s- 1 , co 2 = 2,529 x 10 14 s- 1 , o> 3 = 1,261 x 10 1 * S" 1 . 

Si la molecula no es lineal o tiene mAs de tres Atomos, el analisis de las osci- 
laciones normales se vuelve mAs complicado, pero es esencialmente el mismo. 



12, 11) Oscilaciones anarmonicas 385 

^> ,r\ &w 

(a) (b) (e) 

Pig. 12-31. Vibraciones normales de la molecula de H 2 U. 

Por ejemplo, para la molecula de H 2 0, en la cual el atomo se encuentra a cada 
lado, las vibraciones normales se ilustran en la Fig, 12-31. Sus frecuencias son 
3,017 x 10 14 s- 1 , 6,908 x 10 14 s" 1 y 7,104 x 10 14 S" 1 . 

12.11 Oscilaciones anarmdnicas 

El movimiento armonico simple es generado por una fuerza F = — kx corres- 
pondiente a una energia potencial E p = ^Ax 2 , midiendose x a partir de la posici6n 
de equilibrio 0. Cuando la posicion de equilibrio se encuentra en x en lugar del 
origen como en la Fig, 12-32, entonces debemos escribir 

E p = $k(x — Xq) 2 . 

El grafico de E p es una parabola con su vertice en x . Si la energia total E 
intersecta E p en A y en B, la particula oscila entre las posiciones x x y x 2 , que 
estan colocadas simetricamente con respecto a x . Notando que 

dEp/dx = k(x — x ) y <PE P ldx 2 = k, 

podemos escribir para la frecuencia angular 



to = ykfm = Y (d*E P ldx 2 )lm. (12.46) 

Consideremos ahora el caso en que la energia potencial no es una parabola 
pero tiene un minimo bien definido, como se indica en la Fig. 12-33. Esta es la 
situaci6n encontrada mas a menudo en sistemas fisicos y da como resultado un 
movimiento oscilatorio anarmonico. Si la energia total de la particula es E, la par- 
ticula oscilara entre las posiciones x x y x 2 las cuales son asimetricas con respecto 
a la posicion de equilibrio x . La frecuencia de las oscilaciones depende ahora de 
la energia. Para obtener un estimado de la frecuencia se procede como sigue. 

Dada una funci6n f(x) 9 el teorema de Taylor* (ver ec. M.31) nos permite expre- 
sarla como una serie de potencias, 

f(x) = f(x ) + (dfldx) (x ~ x ) + ±(<Pfldx%(x ~ x f 

+ &<Pfld 3 ?) (x-x o y+ .... 



* Ver G. B. Thomas, C&lculo infinitesimal y geometrla analltica> tercera edicidn. Madrid : Agui- 
l*u\ 1961, pag. 720. 



12*12) Oscilaciones amortiguadas 387 

El primer termino es la fuerza armonica simple y Ios otros son Ios terminos 
anarm6nicos. 

EJEMPLO 12.10. Obtener la frecuencia de oscilaci6n correspondiente al potencial 
intermolecular dado en el ejemplo 8.11. 

Soluci&n: El potencial intermolecular es 



^--M'&r-fryi- 



donde r es la separaci6n de equilibria Asf 
d*E r / - 6 



dr* 
Poniendo r = r 0) obtenemos 



--^o(84^-156^-) 



( d*E P \ 
\ dr* L 



72 2 - 

o r$ 

Entonces, usando la ec» (12,48), e ncontramos que la frecuencia de oscilaci6n es 
aproximadamente 6i = ^12E Pl Jmrl. 

En esta f6rmula m es la masa reducida, ya que estamos discutiendo el movimiento 
relativo de dos moteculas. Si calculamos r por algun m^todo independiente y ob- 
servamos o experimentalmente, podemos determinar la energia E P90 de la interac- 
ci6n molecular. Al resolver este problema hemos supuesto que el oscilador es lineal, 
de modo que el potencial centrffugo (secci6n 8.10) no interviene en el problema. 

12.12 Oscilaciones amortiguadas 

La discusidn del movimiento armonico simple en las secciones previas indica 
que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia, 
sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un pendulo, 
con una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el 
movimiento oscilatorio es amortiguado. 

Para explicar din&micamente el amortiguamiento podemos suponer que, en 
adicion a la fuerza elastica F = — kx, actiia otra fuerza, opuesta a la velocidad. 
En la secci6n 7.10 consideramos una fuerza de esta clase, debida a la viscosidad 
del medio en el cual el movimiento tiene lugar. Siguiendo la logica de la sec- 
ci6n 7.10, escribiremos esta fuerza como F' = — Xu 9 donde x es una constante y 
v es la velocidad. El signo negativo se debe al hecho que F' se opone a v. N6tese 
que otros tipos de fuerzas de amortiguamiento — proporcionales a potencias 
mayores de la velocidad, o con otras relaciones fisicas diferentes — pueden pre- 
sentarse en varias situaciones fisicas. La fuerza resultante sobre el cuerpo es 
F + F\ y su ecuacion de movimiento es 

ma = — kx — \v 9 * (12.50) 

o, recordando que v = dxfdt y que a = d 2 x/dP tenemos 

d?x dx 

+ x— + /rx=0. (12.51) 



m 



dP di 



388 Movimiento oscilatorio 



(12.12 



Esta ecuaci6n se escribe usualmente en la forma 



dP 



dt 



(12.52) 



donde 2y = V m y ^o = ^/ m es ^ a frecuencia angular sin amortiguamiento. 
Esta es una ecuacion diferencial que difiere de la ec. (12.12) del movimiento 
armonico simple, en que contiene el termino adicional 2y dxjdt Su solucion puede 
obtenerse mediante la aplicacion de tecnicas aprendidas en el curso de calculo.* 
En lugar de intentar resolverla de una manera formal, escribamos su solucion 
para el caso de pequeno amortiguamiento, cuando y < <*v La soluci6n es entonces 



x = Ae-f 1 sen (cot + a), 



(12.53) 



donde A y a son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iniciales 
(como se explic6 en el ejemplo 12.3 para el caso de movimiento armonico simple), y 



co = y co% — r 2 = ]/kfm — X 2 /4/n 2 . 



(12.54) 



El estudiante puede verificar por sustitucion directa que la ec. (12.53) es una 
soluci6n de la ec. (12.52). Como contiene dos constantes arbitrarias es la solucion 
general de la ecuacion diferencial. La ec. (12.54) indica que el efecto -del amorti- 
guamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones. 

La amplitud de las oscilaciones no es constante y esta dada por Ae~^ 1 . Debido 
al exponente negative la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta, 
resultando un movimiento amortiguado. La fig. 12-34 muestra la variation de x 
en funcion de /. 




-4<r* 



Fig. 12-34. Oscilaciones amortiguadas. 



Si el amortiguamiento es muy grande, y puede ser mayor que oj q y o>, dada por 
la ec. (12.54), se vuelve imaginaria. En este caso no hay oscilaciones y la particula 
si se la desplaza y se la deja libre, se aproxima gradualmente a la position de 



* Ver por ejemplo, Cdlculo infinitesimal y geometria analittca, tercera edici6n > por G. B. Thomas. 
Madrid; Aguilar, 1964, sec. 18,9, 



12.13) Oscilaciones forzadas 389 

equilibrio sin pasarla, o a lo m£s pasindola una sola vez. La energia perdida por 
la particula en oscilaciones amortiguadas es absorbida por el medio que la rodea. 

EJEMPLO 12*11. Un p&idulo consiste de una esfera de aluminio de 0,005 m de 
radio suspendida de una cuerda de 1 m de largo. Determinar c6mo la viscosidad 
del aire afecta su amplitud y su periodo, 

Soluci6n: De la secci6n 7,10 sabemos que la fuerza viscosa que actua sobre una 
esfera de radio R que se mueve en un fluido con velocidad v es F = — 6*7)/fc>. 
Asi podemos encontrar la ecuaci6n del movimiento tangencial del pfridulo agre- 
gando — a la fuerza Ft = — mg sen 9 as — mgb obtenida en la secci6n 12.5 para 
pequenas amplitudes - la fuerza viscosa, con v = ds/dt = I dQ/dt f donde I es la 
longitud del p£ndulo. Por consiguiente 

dt* * ' dt dP m -4t I 

la cual es una ecuaci6n diferencial matematicamente identica a la ec. (12.52). 
Poniendo m — (4nR*/3)p, donde p es la densidad de la esfera de aluminio, igual 
a 2,65 x 10 s kgm -3 , llegamos a la conclusion que 



2(4Tci? 3 /3) P 4R*p 

La viscosidad del aire, suponiendo una temperatura de 20*C, es 1,78 x 10" 1 
m^kgs- 1 . Asi y = 6,43 x 10~ 4 s _I . Por tanto la amplitud decrece de acuerdo 
a la ley Ae -0 * 000643 *. El tiempo necesario para que la amplitud se reduzca al 10 % 
se obtiene igualando el exponente a 0,9 6 — 6,43 x 10-*/ = In 0,9. El tiempo es 
de 1,64 x 10 a s, o alrededor de 27 minutos. 

Para ver cdmo la viscosidad del aire afecta la frecuencia (o el periodo) de las 
oscilaciones usamos la ec. (12.54), notando que o>J = g/L Asi o> = \ g/l — y 1 . Pero 
g/l = 9,8 s - ", mientras que y a en nuestro caso es del orden de 4 x 10~ 7 s~\ des- 
preciable comparada con g/L Asi, llegamos a la conclusion que la viscosidad del aire 
practicamente no afecta la frecuencia o periodo del p£nduIo considerado en este 
ejemplo, aunque afecta su amplitud. 



12,13 Oscilaciones forzadas 

Otro problema de gran importancia es aquel de las vibraciones de un oscilador, 
esto es, las vibraciones que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria 
externa a una particula sometida a una fuerza elastica, Esto sucede, por ejemplo, 
cuando colocamos un vibrador en una caja resonante y forzamos las paredes 
de la caja (y el aire dentro), a oscilar, o cuando las ondas electromagneticas, 
absorbidas por una antena, actuan sobre el circuito electrico de nuestro radio 
o nuestra television, produciendo oscilaciones electricas forzadas. 

Sea F = F cos <Oft la fuerza oscilante aplicada, siendo su frecuencia angu- 
lar o)f. Suponiendo que la particula est£ sometida a una fuerza elastica — kx y a 
una fuerza de amortiguamiento — x#, su ecuaci6n de movimiento es ma = 
= — kx — \v + F cos WfU Realizando las sustituciones v = dxjdt, a — cPx/dP, 
tenemos 

(Px dx 

m — _|_ x \- kx = F a cos o)ft f (12.55) 

dP dt o ft v / 



390 



Movimiento oscilatorio 



(12.13 



la cual, si suponemos 2y = ~h.jm y a>\ = kjm, puede escribirse en la forma 



— - - + 2y — - + <ygx = — ^ cos a»/<. 
car at m 



(12.56) 



Esta es una ecuacion diferencial similar a la ec. (12.52), difiriendo solamente 
en que el miembro de la derecha no es cero. Podriamos resolverla por metodos 
matem&ticos normales; en lugar de ello usemos nuestra intuition fisica como guia, 
Parece logico que en este caso la particula no oscilara con su frecuencia angular 
no amortiguada co Q ni con la frecuencia angular amortiguada ]/ aft — y 2 . En su 
lugar, la particula serd forzada a oscilar con la frecuencia angular a)f de la fuerza 

aplicada. Luego supondremos como posible solu- 
A cion de la ec, (12*56), una expresion de la forma 




x = A sen (coft — a), 



(12.57) 



donde, por conveniencia, se ha dado un signo 
negativo a la fase inicial a. La sustitucion direc- 
ta en la ecuacion demuestra que sera satisfac- 
toria si la amplitud estd dada por* 



A = 



F fm 



Fig. 12-35. Variation de la 
amplitud con la frecuencia de 
fuerza aplicada. 



y la fase inicial del desplazamiento por 



(12.58) 



tga 



ft)? — a>§ 
2yco/ 



(12.59) 



Notese que tanto la amplitud A como la fase inicial a no son ya constantes arbi- 
trarias, sino cantidades fijas que dependen de la frecuencia &>/ de la fuerza apli- 
cada. Matem&ticamente esta significa que hemos obtenido una solucion "par- 
ticular" de la ecuaci6n diferenciaL La ec. (12.57) indica que las oscilaciones for- 
zadas no estan amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual 
a aquella de la fuerza aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a las 
fuerzas de amortiguamiento, y proporciona la energia necesaria para mantener 
las oscilaciones. 

En la Fig. 12-35 la amplitud A esta representada en funcion de la frecuencia aif 
para un valor dado de x. La amplitud tiene un maximo pronunciado cuando el 
denominador de la ec. (12.58) tiene su valor minimo. Esto ocurre para la fre- 
cuencia coa* dada por 

co A = y<4 — 2y 2 = J/ kjm ~ X 2 /2m 2 . (12.60) 



* Para verificar esto, desarr611ese primero sen (ojft — a) y sustittiyase el resultado en la ec. (12.56). 
Luego, igualense los coeficientes de sen a>/f y cos a>/f, respectivamente, en ambos lados de la ecua- 
ci6n. De las dos ecuaciones asf obtenidas, encu£ntrense las ec, (12.58) y (12.59) inmediata- 
mente. 

Se demuestra en la teorfa de ecuaciones diferenciales que la solucion general de la ec. (12.56) 
se obtiene sumando a la ec. (12.53), que es soluci6n de la ec. (12.52), la ec. (12.57). Sin embargo, 
ya que la ec. (12.53) corresponde a una oscilacion amortiguada, se hace despreciable rapida- 
mente y puede ignorarse. Por esta razon se le denomina usualmente el ttrmino transitorio. 



12JS) 



Oscilaciones forzadas 391 



Cuando la frecuencia (o f de la fuerza aplicada es igual a o> A% se dice que hay 
resonancia en la amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento mis pronunciada 
es la resonancia, y cuan do X es cero, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre 
para coa = <*>o — ¥ fym. La Fig. 12-36 muestra la variaci6n de la amplitud A en 
funci6n de la frecuencia a> f para diferentes valores del amortiguamiento x. 

La velocidad del oscilador forzado es 



v = 



dx 
If 



= (Of A COS (toft — a), 



(12.61) 



Comparando con la expresi6n F = F 
cos (Oft de la fuerza aplicada, vemos que 
a representa el desfasaje de la velocidad 
con respecto a la fuerza. La amplitud de 



la velocidad v Q es 



v =(o f A = 



(OfFJm 



la cual puede escribirse tambien en la forma 




"o = 



y(m(Of~klo) f f + x 2 



(12.62) 



Fig. 12-36. Variaci6n de la ampli- 
tud de las oscilaciones forzadas (en 
la figura, X a es mayor que X,). 



La cantidad v varia con <*>/, como se indica en la Fig. 12-37, y adquiere su 
mdximo valor cuando la cantidad dentro del parentesis del denominador es cero, 
m(Of — kjo>f = 0, 6 



(Of = y kjm = 



ct>. 



(12.63) 



A esta frecuencia de la fuerza aplicada, la velocidad e igualmente la energia 
cinetica de las oscilaciones son mdximas, y se dice que hay resonancia en la energta. 
N6tese que la ec. (12.63), cuando se sustituye en la ec. (12.59), da a = 0. Es 
decir la resonancia en la energia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada 
es igual a la frecuencia natural del oscilador sin amortiguamiento, y en este caso 
la velocidad se encuentra en fase con la fuerza aplicada. Estas son las condiciones 
mds favorables para transferencia de energia al oscilador, ya que la variaci6n 
con respecto al tiempo del trabajo hecho sobre el oscilador por la fuerza aplicada 
es Fv, y esta cantidad es siempre positiva cuando F y v estdn en fase. Por con- 
siguiente 

cuando hay resonancia en la energta la transferencia de energia de 
la fuerza aplicada al oscilador forzado esta al mdximo. 

Cuando el amortiguamiento es muy pequeno no hay gran diferencia entre las 
frecuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia en 
la energia. 



392 Movimiento oscilatorio 



(12.13 



La resonancia puede ilustrarse con un experimento muy simple. Si de una 
misma cuerda, suspendemos varios pendulos como se indica en la Fig. 12-38, y 
ponemos el pendulo P en movimiento, los otros comenzaran tambien a oscilar de- 
bido a su acoplamiento. Sin embargo, de los cinco pendulos forzados a oscilar, 
aquel que oscila con la mayor amplitud es el niimero 3, el cual tiene la misma 
longitud que P y por consiguiente la misma frecuencia natural, ya que el amor- 
tiguamiento es despreciable y no hay distincion entre las resonancias en la am- 
plitud y en la energia en este caso. 

A a 




Fig. 12-37. .VariacUm de la ampli- 
tud de la velocidad de la oscilaci6n 
forzada con la frecuencia de la 
fuerza aplicada. 



15 



4 



Fig, 12-38. Resonancia en la 
amplitud en el movimiento 
pendular. 



El fenomeno de resonancia se encuentra en casi todas las ramas de la fisica. 
Se observa siempre que un sistema es sometido a una action externa que varia 
periodicamente con el tiempo. Por ejemplo, si un gas esta colocado en una region 
en la cual existe un campo electrico oscilatorio tal como una onda electromag- 
netica, se induction oscilaciones forzadas en los atomos que forman las moleculas 
del gas, Considerando que, como se explico al final de la section 12.10, las mo- 
leculas tienen frecuencia naturales de vibracion definidas, la energia de absorcion 
sera un maximo cuando la frecuencia del campo electrico aplicado coincida con 
una de las frecuencias naturales de vibracion de las moleculas. Por medio de este 
principio podemos obtener el espedro vibrational de las moleculas. Similarmente, 
podemos considerar los electrones en un atomo como osciladores que tienen 
ciertas frecuencias naturales. La energia que absorbe un atomo de un campo 
electrico oscilante es maxima cuando la frecuencia del campo coincide con una 
de las frecuencias. naturales del atomo. Algunos cristales, tales como el cloruro 
de sodio, estan compuestos de particulas positivas y negativas (llamadas iones). 
Si el cristal es sometido a un campo electrico oscilante externo, los iones posi- 
tivos oscilan relativamente con respecto a los iones negativos. La energia de 
absorcion por el cristal est& al m£ximo cuando la frecuencia del campo electrico 
coincide con la frecuencia natural de la oscilacion relativa de los iones, la cual 
en el caso de cristales de cloruro de sodio es aproximadamente de 5 x 10 12 Hz. 

Quizes el ejemplo m£s familiar de resonancia sea lo que sucede cuando sinto- 
nizamos una radio a una estacion radioemisora. Todas las estaciones radioemisoras 



12.14) 



Impedancia de an oscilador 393 



est£n produciendo todo el tiempo oscilaciones forzadas en el circuito del receptor. 
Pero, para cada position del sintonizador, corresponde una frecuencia natural 
de oscilacion del circuito electrico del receptor. Cuando esta frecuencia coincide 
con aquella de la radio emisora, la energia de absorcion esta al maximo, y por ello 
es la unica estacion que podemos oir. Si dos estaciones tienen frecuencias muy 
proximas, algunas veces las oimos simultaneamente, lo que da lugar a un efecto 
de interferencia. 

Podemos extender el concepto de resonancia a muchos procesos en los cuales 
hay consideraciones favorables para la transferencia de energia de un sistema a 
otro, aun si no podemos describir el proceso en funcion de oscilaciones forzadas. 
En este sentido es posible hablar de resonancias en reacciones nucleares y en 
procesos que tienen lugar entre particulas fundamentals. Asi considerado el 
concepto de resonancia en la energia juega un papel importante en la description 
de muchos fen6menos. 



12.14 Impedancia de un oscilador 



Un oscilador amortiguado se caracteriza por tres cantidades: su masa m, la cons- 
tante etestica k, y la constante de amortiguamiento X. En las formulas de la 
secci6n 12.13, estas cantidades siempre aparecen en combinaciones especiales con 
frecuencia a*f de la fuerza aplicada. 

La cantidad que aparece en el denominador de la ec. (12.62) se denomina la 
impedancia del oscilador, y se designa por la letra Z. Luego 



Z =y (mo)/ — k[o) f y + x 2 . 
Similarmente, la readancia X y la resistencia R se definen por 

X = ma>f — k/a>f t R = X. 
Por consiguiente 

Z = V X 2 + fl 2 . 



(12.64) 



(12.65) 



(12.66) 



Z = VX 2 +R 2 




X = mwf 



R=\ 




Fig. 12-39. Relaci6n entre impedancia, Fig. 12-40. Helaci6n entre los vectores 
resistencia, y reactancia en oscilaciones rotantes fuerza y velocidad en oscila- 
forzadas. ciones forzadas. 



394 Mouimiento oscilatorio 

Sustituyendo en la ec. (12.59) obtenemos 
tg a = Xj R. 



(12.14 



(12.67) 



La relaci6n entre Z, X y R se indica en la Fig. 12-39, la cual ayuda a recordar 
las f6rmulas precedentes. 
De la ec. (12.62) vemos que v Q = FJZ, y la velocidad en cualquier instante es 



p 

V = — - cos (co f t — a). 



(12.68) 



Esto signiflca que la fuerza y la velocidad pueden representarse por vectores 
rotantes, como se indica en la Fig. 12-40. Notar que si a es positiva el vector ro- 

tante v se atrasa con respecto al vector rotante F , y si a es negativa, el vector 

rotante i> Q se adelanta a F . Cuando hay resonancia a = 0, y v y F tienen la 
misma direction. La potencia transferida al oscilador es 



P = Fo 



PI 



COS (Oft COS (toft — a), 



Desarrollando el segundo coseno y multiplic£ndolo por el primero, tenemos 

Ft 



P = ^- (cos 2 (Oft cos a — cos (o f t sen o)ft sen a). 

Zi 



(12.69) 



Nosotros estamos m&s interesados en la potencia promedio, P, ya que esto es 
lo que importa cuando calculamos la energia absorbida por el oscilador en un 
cierto tiempo. Ahora, de acuerdo a las ec. (M.13) y (M.14), 



cos 2 (Oft = i(l + cos 2eo f f) 



cos G)ft sen (o f t = \ sen 2a>/f. 



Pero (cos 2<o f t) — (sen 2fOft) = 0, ya que las curvas seno y coseno son positivas 
la mitad del tiempo y negativas la otra mitad, pero en la misma medida. Por 
consiguiente (cos 2 (Oft) = \ y (cos ay sen (ofi) = 0, lo que da por resultado final 



P/(P): 




F l lc . FIR 

2Z ° 0S * = * ° y ° C0S a = 2& 



= « 
(12.70) 



Esto comprueba que la maxima transferencia 
de energia tiene lugar cuando v Q es un maxi- 
mo ya que R es fijo. Cuando se tiene reso- 
nancia de energia, a=0yZ=fl, resultando 



p2 

(P)re* = ° 



2R 



(12.71) 



Fig. 12-41. Relation entre Pe 
y (PEjrcs. 



La relaci6n entre P y (P) res se ilustra en la 
Fig. 12-41. 



12.15) 



Andlisis de Fourier del movimiento periodico 395 



La teoria concerniente a osciladores amortiguados y forzados que hemos formu- 
lado en las ultimas tres secciones, aunque referidas especialmente a una particula 
oscilante se aplica a cualquier situacidn fisica descrita por una ecuacion como 
la ec. (12.52) o la ec. (12.56). En particular, como veremos en el capitulo 17, 
este es precisamente el caso de los circuitos electricos. 



12.15 Andlisis de Fourier del movimiento periddico 

Al comienzo de este capitulo explicamos que el movimiento arm6nico simple es 
justamente un caso especifico del movimiento periddico u oscilatorio, Pero un 
movimiento peri6dico general P est& descrito por 



x = f(0, 



(12.72) 



donde la funci6n f(f) es peri6dica y tiene la propiedad f(t) = f(i + P), como se 
muestra en la Fig. 12-42. La grdfica de f(t) se repite a intervalos iguales de P. 
Este movimiento general oscilatorio puede expresarse como una combinaci6n de 
movimientos arm6nicos simples. 



i 


x = 


M 




.r = 


=f(t + P) 








1 






/ ° 






— P 







Fig. 12-42. Una funci6n peri6dica del tiempo. 



Consideremos, como ejemplo, el movimiento cuyo desplazamiento est£ des- 
crito por 

x = A sen wt + B sen 2cot. (12.73) 

Esta expresi6n representa la superposition de dos movimientos armonicos simples 
de frecuencias angulares co y 2a> o periodos P y £P. Obviamente x es tambien 
periddica, y su periodo ser6 P. Esto puede verse en el gr&fico de la Fig. 12-43, 
en el cual la curva (a) corresponde a sen mt y la curva (b) a sen 2tot. Aunque z 
es peri6dica, no es armonica simple. 

Si sumamos a la ec* (12.73) terminos de la forma sen 3a>f, sen iwt, . . . , 
sen not, . . . de frecuencias angulares 3<u, 4o>, . . .>na) y periodos Pj3, P/4, , « M 
P/n, . . ., o si sumamos funciones cosenoidales de las mismas frecuencias, obten- 
dremos un desplazamiento x que es periddico con periodo P. Su forma exacta 
depende del numero de funciones seno y coseno que sumemos, y de sus amplitudes 
relativas. 



396 Movimiento oscilatorio 
x 



(12.15 




Fig. 12-43* Superposicidn de dos MAS de frecuencia w y 2w. 



Asi vemos que sumando movimientos armonicos simples cuyas frecuencias son 
multiples de una frecuencia fundamental y cuyas amplitudes se^n seleccionadas 
correctamente, podemos obtener casi cualquier funcion peri6dica arbitraria. Lo 
inverso es tambien valedero, y constituye el teorema de Fourier, demostrado en 




9 
10 
11. 




Fig. 12-44. Analisis de Fourier de una funci6n peri6dica. 



12.15) Andlisis de Fourier del movimiento periodico 397 

textos de matem&ticas* El teorema de Fourier establece que una funcion peri6- 
dica f(t) de periodo P = 2kJo> puede expresarse como la suma 

x = f(t) =a + a x cos a>t + 0% cos 2mt + ... + a n cos no>i 

+ . . . + b x sen cat + b % sen 2a>/ + . . . + b n sen na)t + * « . 

(12.74) 

que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia g> se denomina frecuencia fun- 
damental y las frecuencias 2<w, 3ct>, .... n<u, ... son las armonicas o sobretonos, 

Noia sobre los coeficientes de Fourier: Los coeficientes a n y ta se obtienen me- 
diante las expresiones 

a ° = y f m dt ' an = "p r /(0 cos nco ' d '* 

ft n = A f /(f) sennorf df, (12.75) 

que se derivan en textos de matematicas pero que el estudiante puede facilmente 
obtener. Por ejemplo para obtener a n , multiplicamos ambos lados de la ec. (12.74) 
por cos nt*t e integramos, todos los terminos dan cero excepto a fl . Para b n , usaraos 
sen n<at (Consultar G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analttica, ter- 
cera edicidn. Madrid : Aguilar, 1964, pag. 821). 

El teorema de Fourier nos da aun otra razon del por que de la importancia 
del movimiento armonico simple. Aplicando el teorema de Fourier, cualquier 
clase de movimiento periodico puede considerarse como la superposition de mo- 
vimientos arm6nicos simples. En la Fig. 12-44 el movimiento periodico correspon- 
diente a la curva mostrada esta analizado en sus componentes de Fourier, indi- 
c&ndose las primeras doce armbnicas. El teorema de Fourier tambien explica la 
cualidad diferente del sonido producido por diferentes instrumentos musicales. 
La misma nota o torio musical producido por un piano, una guitarra, y un oboe 
suenan diferente a nuestros oidos a pesar del hecho de que los tonos tienen la 
misma frecuencia fundamental. La diferencia es debida a la presencia de los 
armdnicos o sobretonos con diferentes amplitudes relativas. En otras palabras, 
el andlisis de Fourier del sonido es diferente para cada instrumento. 

El metodo de Fourier es util no s61o para analizar curvas periodicas, sino tam- 
bten para analizar curvas no periodicas. En el caso no peri6dico la curva se ex- 
tiende desde — oo a + oo, y podemos suponer que este intervalo cubre un pe- 
riodo. La diferencia esencial entre este caso y el explicado previamente es que 
en lugar de analizar la curva en funcion de un espectro discrete de frecuencias 
Q) y 2o>, 3g>, . . ., no), . . ., debemos analizarlo en funcion de un espectro continuo 
de frecuencias. La amplitud correspondiente a cada frecuencia esti dada por 
una funci6n llamada la transformada de Fourier de la curva analizada. Ilustraremos 
un ejemplo, sin entrar en detalles matem&ticos, 

Supongamos que una curva es descrita por la ecuacion x — A sen m Q t en el 
intervalo de tiempo de t ± a / 2 , siendo cero en todo el resto del tiempo, como se 
indica en la Fig. 12-45. Fisicamente esto corresponde a la situation en la cual 



398 Movimiento oscilatorio 



(12.15 



x = A sen o) t 




Pulso oscilante li- 



un cuerpo se hace oscilar subitamente en t = t x 
y se detiene subitamente en / = t r Esto se de- 
nomina algunas veces un pulso. 

Si la curva se hubiera extendido desde — oo 
a + oo, no hubieramos tenido que hacer nin- 
gun analisis de Fourier ya que la curva hu- 
biera sido una funci6n armdnica de frecuencia 
"V Pe ro para anular la curva para i < t t 6 
t > / 2 , debemos anadir otras frecuencias, de 
modo que la serie resultante de Fourier sea cero en aquellas regiones. Luego un 
pulso finito es la composici6n de muchas frecuencias, aun si la fuente vibrante 
tiene s61o una frecuencia bien definida. Puede demostrarse que el perfll de la 
amplitud como una funcidn de a> (o la transformada de Fourier) correspondiente 
al pulso est& dada por la funcidn 



Fig. 12-45, 
mitado. 



F(a>) = ±A/A 



sen i(o> — a> ) Af 



i(« — oL) A/ 



donde M =^t t — t v Este perfil de la amplitud se ilustra en la Fig. 12-46. Para 
co = tt> 0> tenemos F(a> ) = J A/A. Debido a que el numerador de la fracci6n dentro 
del parentesis no es nunca mayor que uno f cuando la diferencia o> — a> Q aumenta 
en valor absoluto, el valor de F(w) disminuye en una forma oscilatoria. El rango 
de los valores de a> para los cuales F(a>) es mayor que el 50 % de su valor para 
o> = co corresponde aproximadamente a la condicidn 



|i(o> — <y ) A/| < 



M 



<o> — q} a < 



M 



Asi si llamamos Aa> = 2*1 A/, llegamos a la conclusidn de que las unicas frecuencias 
cuyas amplitudes son apreciables son aquellas en el rango Aw alrededor de <o Q , 
dado por 

Ao> Af ~2k. (12.76) 

Esto indica que cuanto mas corto es el intervalo de tiempo, mayor es el rango 
de frecuencias requeridas para representar exactamente el pulso. 




Fig. 12-46. Analisis (o transformada) del pulso de la Fig. 12-45, 



Probtemas 



399 



Bibliografla 

1. "Restless Harmonic Oscillator", M. Hane, Am. J. Phys. 80, 84 (1962) 

2. "An Unusual Method of Solving the Harmonic Oscillator Problem", R. Wein- 
stock ; Am. J. Phys. 29, 830 (1961) 

3. "Precision Measurement of Period vs. Amplitude for a Pendulum", M. Smith ; 
Am. J. Phys. 82, 632 (1964) 

4. "Exact Normal Modes of Oscillation of a Linear Chain of Identical Particles", 
J. Louch ; Am. J. Phys. 80, 585 (1962) 

5. Waves and Oscillations, R. Waldron. Princeton, N. J. : Van Nostrand, Momen- 
tum Books, 1964 

6. Mechanics, segunda edicidn, Keit R. Symon. Reading, Mass. : Addison- Wesley, 
1960, sees. 2.7 hasta 2.11, 3.10 y 4.10 

7. Physical Mechanics, tercera edici6n, por R. B. Lindsay. Princeton, N. J. : Van 
Nostrand, 1963, cap. 9 

8. Introduction to Engineering Mechanics, J. Huddleston. Reading, Mass. : Addison- 
Wesley, 1961, cap. 14 

9. Vector Mechanics, D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps. 8, 19 y 20 

10. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, R, Feynman, R. Leighton y M. Sands. 
Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 21 hasta el 25, 49 y 50 

11. Source Book in Physic, W. F. Magie, Cambridge, Mass. : Harvard University 
Press, 1963, pag. 1, Galileo ; pag. 93, Hooke ; pag. 95, Young 



Probtemas 



12.1 Una rueda de 30 cm de radio tiene 
una marugueta en su horde. La rueda 
gira a 0,5 rev s _1 con su eje en posicidn 
horizontal. Sunoniendo que los rayos del 
sol incidan verticalmente sobre la tierra, 
la sombra de la manigueta esta animada 
de movimiento arm6nico simple. En- 
contrar (a) el periodo de oscilaci6n de 
la sombra, (b) su frecuencia y (c) su 
amplitud. (d) Escribir las ecuaciones que 
expresan su desplazamiento en funcidn 
del tiempo. Suponer la fase inicial cero. 

12.2 Una particula se mueve con movi- 
miento armdnico simple de amplitud 
0,10 m ; y periodo 2 s. Hacer una tabla 
indicando los valores de la elongaci6n, 
la velocidad y la aceleraci6n para los 
tiempos siguientes : / = 0, P/8, 3P/8, 
P/2, 5P/8, 3P/4, 7P/8, y P. Representar 
las curvas de elongaci6n, velocidad y 
aceleracidn, en funcidn del tiempo. 



12.3 Un oscilador armdnico simple es 
descrito por la ecuaei6n 

x = 4 sen (0,1* + 0,5) 

donde todas las cantidades se expresan 
en unidades MKS. Encontrar (a) la 
amplitud, el periodo, la frecuencia, y la 
fase inicial del movimiento, (b) la velo- 
cidad y la aceleraci6n, c) las condiciones 
iniciales, (d) la posici6n, velocidad y 
aceleraci6n para t = 5 s. Hacer un gra- 
flco de la posici6n, velocidad, y acelera- 
cidn en funci6n del tiempo. 

12.4 Una particula esta situada en el 
extremo de un vibrador que pasa por su 
posicidn de equilibrio con una velocidad 
de 2 m s -1 . La amplitud es de 10 -8 m. 
^Cual es la frecuencia y el periodo del 
vibrador? Escribir la ecuacWn que ex- 
prese su desplazamiento en funcidn del 
tiempo. 



400 Movimiento oscilatorio 



12.5 Una particula cuya hiasa es de 
1 g vibra con movimiento arm6nico 
simple de 2 mm de amplitud. Su acelera- 
ci6n en el extremo de su recorrido es de 
8,0 x 10 s m s- 2 . Calcular la frecuencia 
del movimiento y la velocidad de la 
partfcula cuando pasa por la posici6n 
de equilibrio y cuando la elongacidn es 
de 1,2 mm. Escribir la ecuacidn que 
expresa la fuerza que actiia sobre la 
particula en funcion de la posici6n y 
del tiempo. 

12.6 Una partfcula oscila con una fre- 
cuencia de 100 HZ y una amplitud de 
3 mm. Calcular su velocidad y acelera- 
cion en el centro y los extremos de su 
recorrido. Escribir la ecuacion que ex- 
presa la elongacidn como una funci6n 
del tiempo. Suponer que la fase inicial 
es cero. 

12.7 Una particula se mueve con movi- 
miento arm6nico simple con amplitud 
de 1,5 m y frecuencia de 100 ciclos por 
segundo. ^Cual es su frecuencia angular? 
Calcular (a) su velocidad, (b) su acelera- 
cidn, y (c) su fase, cuando su desplaza- 
miento es de 0,75 m. 

12.8 El movimiento de una aguja de 
una mAquina de coser es practicamente 
arm6nico. Si su amplitud es de 0,3 cm 
y su frecuencia es de 600 vib rrtin- 1 , 
icudl serA la elongaci6n, la velocidad, y 
la aceleraci6n un treintavo de segundo 
despuSs que pase por el centro de la tra- 
yectoria (a) en un sentido positivo o 
hacia arriba, (b) en un sentido negativo 
o hacia abajo? 

12*9 Un movimiento armonico simple 
tiene una amplitud de 8 cm y un periodo 
de 4 s. Calcular la velocidad y la acelera- 
ci6n 0,5 s despues que la particula pase 
por el extremo de su trayectoria. 

12.10 En el Problema 12.2, calcular 
las energias cinetica, potencial y total 
en cada instante, suponiendo que la 
particula tiene una masa de 0,5 kg. 
Observar que la energia total permanece 
constante. Graflcar las curvas de las 
energias cinetica y potencial (a) en fun- 
ci6n del tiempo, (b) en funcitfn de la posi- 
ci6n. ^A que conclusi6n llega? 

12.11 Una particula cuya masa es de 
0,50 kg se mueve con movimiento arm6- 



nico simple. Su periodo es de 0,15 s y la 
amplitud de su movimiento es de 10 cm. 
Calcular la aceleracidn, la fuerza, la ener- 
gia potencial y la energia cinetica cuando 
la particula esta a 5 cm de la posicion 
de equilibrio. 

12.12 Una particula de masa m se 
mueve a lo largo del eje X bajo la accidn 
de la fuerza F = ~kx. Cuando / = 2 s, 
la particula pasa a traves del origen, 
y cuando f — '4 s su velocidad es de 
4 ms- 1 , Encontrar la ecuaci6n de la 
elongacidn y demostrar que_la amplitud 
del movimiento sera 32K2/tt m si el 
periodo de oscilaci6n es de 16 s. 

12.13 Una plancha horizontal oscila con 
movimiento armonico simple con una 
amplitud de 1,5 m y una frecuencia 
de 15 oscilaciones por minuto. Calcular 
el valor minimo del coeficiente de fric- 
ci6n a fin de que un cuerpo colocado 
sobre la plancha no resbale cuando la 
plancha se mueve. 

12.14 Cuando un hombre de 60 kg se 
introduce en un auto, el centro de gra- 
vedad del auto baja 0,3 cm. ^Cual es la 
constante elastica de los muelles del 
auto? Suponiendo que la masa del auto 
es de 500 kg, £cual es su periodo de vi- 
bracitfn cuando esta vacio y cuando 
el hombre esta dentro? 

12.15 Un bloque de madera cuya den- 
sidad con respecto al agua es p tiene 
dimensiones a, b y c. Mientras esta flo- 
tando en el agua con el Iado a en la posi- 
ci6n vertical, se empuja hacia abajo y se 
suelta. Encontrar el periodo de la oscila- 
ci6n resultante. 

12.16 Una particula se mueve de modo 
que sus coordenadas en funcitfn del 
tiempo estan dadas por x = v 9 t f y = y 
sen tot. (a) Representar xeyen funcion 
del tiempo t (b) Representar la trayec- 
toria de la particula. (c) ^Que fuerza 
es necesaria para producir este movi- 
miento? (d) Encontrar las magnitudes 
de la velocidad y la aceleraci6n en fun- 
ci6n del tiempo. 

12.17 Encontrar, para un movimiento 
arm6nico simple, los valores de (x) y 
(x a ), donde los promedios se refleren al 
tiempo. 



Problemas 401 



12.18 Encontrar los valores promedio 
de las energias cinStica y potencial en 
un movimiento arm6nico simple con 
relaci6n (a) al tiempo, (b) a la posici6n. 

12.19 El perlodo de un p&idulo es de 
3 s. ^Cual ser& su perlodo si su longitud 
(a) aumenta, (b) disminuye en un 60 %? 

12.20 Ei pSndulo de un reloj tiene un 
periodo de 2 s cuando g = 9,80 m s- 2 . 
Si la longitud se aumenta en 1 mm, 
iCuanto se habra atrasado el reloj des- 
pu6s de 24 horas? 

12.21 ^Cuanto se habra atrasado el reloj 
del problema anterior despu^s de 24 
horas si se le coloca en un lugar donde 
g = 9,75 m s~ B sin cambiar la longitud del 
p6ndulo? {.Cual debe ser la longitud 
correcta del pendulo a fln de mantener 
el tiempo correcto en la nueva posicidn? 

12.22 iCual debia ser el porcentaje de 
cambio en la longitud de un pSndulo 
a fin de que tenga el mismo perlodo 
cuando se le desplaza de un lugar en el 
cual g = 9,8 m s -2 a un lugar donde 
g = 9,81 m s~ 2 ? 

12.23 Encontrar el valor de la 
amplitud de un p6ndulo simple de modo 
que la ec. (12.15) del perlodo sea correcta 
en un 2 %. 

12.24 Un pendulo cuya longitud es 
de 2 m esta situado en un lugar en el 
cual g = 9,8 m s- 2 . El p6ndulo oscila 
con una amplitud de 2°, Expresar, en 
funci6n del tiempo, (a) su desplaza- 
miento angular, (b) su velocidad angular, 
(c) su aceleracidn angular, (d) su velo- 
cidad lineal, (e) su aceleracidn centripeta, 
y (f) la tensidn en la cuerda si la masa 
en su extremo es de 1 kg. 

12.25 Un pSndulo de 1,00 m de largo 
y cuya masa es de 0,6 kg se separa 
de modo que esta situado a 4 cm sobre 
la altura de equilibrio. Expresar, en 
funcidn de la altura del p£ndulo, la 
fuerza tangencial a su trayectoria, su 
aceleracidn tangencial, su velocidad, y su 
desplazamiento angular cuando se le 
permite oscilar. Encontrar los valores 
num£ricos correspondientes al punto de 
su amplitud maxima y al punto m&s 
bajo de la trayectoria del p6ndulo. En- 
contrar su amplitud angular. 



12.26 El pendulo del problema anterior 
se coloca de modo que forma un £ngulo 
de 30° con la vertical y luego se suelta. 
iPuede su movimiento considerarse ar- 
m6nico simple ? Calcular (a) la acelera- 
cidn, (b) la velocidad, y (c) la tensidn 
en la cuerda cuando su desplazamiento 
angular es de 15° y cuando pasa por el 
punto de equilibrio. 

12.27 Estimar el orden relativo de mag- 
nit ud de los dos primeros tdrtninos 
correctivos en la serie del periodo de un 
p6ndulo simple si la amplitud es (a) 

10° (b) 30°. 

12.28. ReflriSndonos al pendulo del 
ejemplo 12.7, encontrar el maximo valor 
de R/l de modo que el t£rmino correctivo 
en la expresidn del pendulo no repre- 
sente m£s que el 1 %. 

12.29 Una varilla de 1 m de largo esta 
suspendida de uno de sus extremos de tal 
manera que constituye un pendulo com- 
puesto. Encontrar el periodo y la lon- 
gitud del pendulo simple equivalente. 
Encontrar el periodo de oscilacidn si la 
varilla se cuelga de un eje situado a una 
distancia de uno de sus extremos igual 
a la longitud del pendulo equivalente 
previatnente encontrada. 

12.30 Un disco sdlido de radio R puede 
colgarse de un eje horizontal a una dis- 
tancia ft de su centro. (a) Encontrar 
la longitud del pendulo simple equiva- 
lente. (b) Encontrar la posicidn del eje 
para el cual el periodo es un minimo. 
(c) Representar el perlodo en funcidn 
de ft. 

12.31 Una varilla de longitud L oscila 
con respecto a un eje horizontal que 
pasa por un extremo. Un cuerpo de igual 
masa que la varilla esta situado sobre 
la varilla a una distancia ft del eje. (a) 
Obtener el periodo del sistema 
en funcidn de ft y de L. (b) &Hay 
algiin valor de ft para el cual el periodo 
es el mismo como si no hubiera masa? 

12.32 Un cubo sdlido, de lado a, puede 
oscilar alrededor de un eje horizontal 
coincidente con un borde. Encontrar su 
perlodo, 

12.33 Un pendulo de torsidn consiste 
de un bloque rectangular de madera de 



402 Movimiento oscilatorio 



8 cm x 12 cm x 3 cm con una masa 
de 0,3 kg, suspendido por medio de un 
alambre que pasa a travel de su centro 
y de tal tnodo que el lado mas corto es 
vertical. El periodo de oscilaci6n es de 
2,4 s. ^Cual es la constante de torsidn A- 
del alambre? 

12.34 Refirtendonos a la Fig. 12-11, 
demostrar que si K e es el radio de giro 
con respecto a un eje paralelo que pasa 
por el centro de masa de un pendulo 
compuesto, la longitud del pendulo 
simple equivalente es / = (Kl/b) + b. 
[Sugerencia: Utilizar el teorema de 
Steiner para relacionar el radio de giro 
con el centro de masa.] 

12*35. Usando el resultado del pro- 
blema precedente, demostrar que la lon- 
gitud del pendulo simple equivalente a 
un pendulo compuesto (secci6n 12.6) es 
la misma que la distancia entre el centro 
de percusidn (Problema 10.28) y el punto 
de suspencion si el golpe se aplica en 
el punto C 

12.36 Demostrar que si el pendulo com- 
puesto oscila alrededor de O' (Fig. 12-11) 
en lugar de O, su periodo es el mismo 
y la longitud del pendulo equivalente 
permanece inalterable. 

12.37 Encontrar la ecuacidn del movi- 
miento resultante de la superposicidn 
de dos movimientos arm6nicos simples 
paralelos cuyas ecuaciones son x 3 = 6 sen 
2t y x, = 8 sen (2t + a), si a = 0, ir/2 
y it. Hacer un grafico de cada movi- 
miento y del movimiento resultante en 
cada caso, 

12.38 Encontrar la ecuacitin resultante 
de la superposici6n de dos movimientos 
armonicos simples paralelos cuyas ecua- 
ciones son : 

Xj = 2 sen («f + tt/3) 

y 

x t = 3 sen (o>* + n/2) 

Hacer un grafico de cada movimiento 
y del movimiento resultante. Represen- 
tar sus respectivos vectores xotantes. 

12.39 Encontrar la ecuaci6n de la tra- 
yectoria del movimiento resultante de la 
combinaci6n de dos movimientos arm6- 
nicos simples perpendiculares cuyas ecua- 



ciones son x = 4 sen <*>/, e y = 3 sen 
(<at + a), cuando a = 0, tu/2, y tt. Hacer 
un grafico de la trayectoria de la par- 
tfcula para cada caso y senalar el sentido 
en el cual viaja la particula. 

12.40 Eliminando la dependencia del 
tiempo entre las ec. (12.30) y (12.31) 
demostrar que la ecuacidn de la ecuacion 
de la trayectoria es 

x*/A* + y*/B* — 2xy cos §/A B - sen 8 8. 

Demostrar que esta es la ecuacitfn de 
una elipse, con ejes haciendo un angulo 
con respecto a los ejes X — Y. [Suge- 
rencia: Cualquier ecuacion de la forma 
ax 2 + bxy + cy* = k es una elipse 
si b* — Aac < 0. Ver G. B., Cdlculo 
infinitesimal y geometria analitica, sec. 
9-10.] 

12.41 Demostrar que la elipse del pro- 
blema 12.40 es recorrida en el sentido de 
las agujas del reloj o en el sentido 
contrario dependiendo de si < 8 < n 
6 n < 8 < 2tt. 

12.42 Encontrar la ecuaci6n de la tra- 
yectoria resultante de una particula 
sometida a dos movimientos armdnicos 
simples perpendiculares, si o^/w, = V« 
y a = 0, tt/3 y tt/2. En cada caso repre- 
sentar la trayectoria y mostrar el sentido 
en el cual es recorrida. 

12.43 ' Demostrar por sustitucidn di- 
recta en la ecuacidn de movimiento 
(12.37) que las expresiones (12.38) son 
las oscilaciones normales, siempre que 
o> = ]lkjm x . Demostrar lo mismo para 
las oscilaciones normales (12.40) si 
<o = }(2 k x + k)/m v 

12.44 La energia potencial de interac- 
ci6n entre dos atomos en una molecula 
diatomica puede expresarse con buena 
aproximacion por el potencial de Morse 
E(r) = D[l — e-'C-*)]*, siendo D, a, 
y r constantes caracteristicas de la mo- 
lecula. (a) Hacer un grafico del potencial 
y encontrar la posici6n de equilibrio. 
(b) Hacer un desarrollo en serie de po- 
tencias de r — r„ y determinar la relaci6n 
del primer termino anarmdnico al primer 
termino arm6nico. (c) Encontrar, en fun- 
cidn de D y a, la frecuencia de la vibra- 
cidn relativa de dos atomos a baja 



Problemas 403 



energfa. [Sugerencia: Usar la ec. (M.23) 
para desarrollar el exponente.] 

12.45 Determinar el valor de A y a 
en funci6n de x y v Q para un oscilador 
amortiguado. Aplicar la solucidn para 
el caso cuando v Q = 0. 

12.46 Verificar, por sustituci6n directa, 
que cuando y > ^o* * a soluci6n de la 
ec. (12.52) para un oscilador amortiguado 
es x = Ae-fr +W + Be~<y-W, donde 
£J = W — «o- Encontrar los valores de 
A y B si t = 0, x = x y v - 0. Gra- 
flcar en funci6n de t 

12.47 iQue sucede a la solution de la 
ec.~(12,54) cuando y = to ? Verificar, por 
sustituci6n directa, que en este caso 
la soluci6n general de la ec. (12.52) es 
x = (A + Bt)e~ yt . Se dice entonces que 
el oscilador esta amortiguado criticamente. 
Encontrar A y B si, cuando t — 0, 
x = Xq, y v = 0. Representar x en fun- 
ci6n de /. iQue diferencia encuentra Ud. 
entre este problema y el precedente? 

12.48 Demostrar que en el movimiento 
oscilatorio amortiguado la velocidad esta 
dada por 

v = A'e-y* sen (to* + a + S), 



donde A' = Aw y tg S = 



/Y- 



12.49 Un pendulo simple tiene un pe- 
riodo de 2 s y una amplitud de 2°. Des- 
pues de 10 oscilaciones completas su 
amplitud ha sido reducida a 1,5°. En- 
contrar la constante de amortigua- 
miento y. 

12.50 Encontrar los valores limites de 
la amplitud y la fase de un oscilador 
forzado con amortiguamiento cuando 
(a) w/ es mucho menor que co y (b) to/ es 
mucho mayor que co , Determinar los 
factores dominantes en cada caso. 

12.51 Demostrar que en el oscilador 
armonico forzado con amortiguamiento, 
la potencia promedio de la fuerza apli- 
cada es igual a la potencia promedio 
disipada por la fuerza de amortigua- 
miento. 

12.52 Refiriendose al pendulo del Pro- 
blema 12,49, calcular la potencia nece- 
saria para mantener las oscilaciones con 
amplitud constante. La masa del pendulo 
es de 1 kg. 



12.53 En el caso de un oscilador amor- 
tiguado, la cantidad t = l/2y se deno- 
mina el tiempo de relajacidn. (a) Veri- 
ficar que tiene unidades de tiempo. (b) 
^En cuanto ha variado la amplitud del 
oscilador despues de un tiempo t? (c) 
Expresar, como una funci6n de t, el 
tiempo necesario para que la amplitud 
se reduzca a la mitad de su valor inicial. 
(d) ^Cuales son los valores de la amplitud 
despues de tiempos iguales a dos, tres 
veces, etc., el valor obtenido en (c)? 

12.54 Suponer que para un oscilador 
amortiguado t es muy pequeno com- 
parado con co > de modo que la amplitud 
permanece esenciahnente constante du- 
rante una oscilacion. (a) Verificar que 
la energia del oscilador amortiguado 
puede escribirse en la forma E = 
= im<iiQA z e- 2vt * (b) La potencia promedio 
disipada sera definida por P = — dE/dt. 
Demostrar que P = 2yE = E/x, (c) De- 
mostrar que esta disipacidn de potencia 
es igual al trabajo promedio hecho por 
la fuerza de amortiguamiento por unidad 
de tiempo. 

12.55 Demostrar que para un oscilador 
forzado P = £(■£*)*«* cuando la reac- 
tancia es igual a la resistencia X = ± R 
6 6>| — to J = ±2yc*f. La diferencia 
(Aw)^ 2 entre los dos valores de to/ para 
esta situaci6n se denomina ancho de la 
banda del oscilador y a la relacitin Q = 
— to/(Ato) 1/2 se denomina el valor Q del 
oscilador. Demostrar que para pequeno 
amortiguamiento (Ato)^ = 2y y por lo 
tanto Q = to /2y. [Sugerencia: usar las 
ec. (12.70) y (12,71) con los valores apro- 
piados de R y de Z.] 

12.56 (a) Encontrar los valores pro- 
medio de las energias cinetica y potencial 
de las oscilaciones forzadas de un oscila- 
dor amortiguado. (b) Obtener la rela- 
ci6n de la suma de estas energias y el 
trabajo hecho por la fuerza aplicada 
en un periodo. Este es un factor util 
para indicar el funcionamiento de un 
oscilador. Demostrar que para pequeno 
amortiguamiento es igual a Q/2t. (Re- 
cordar el Problema 12.55). 

42.57 Escribir la ecuaci6n del movi- 
miento de un oscilador armdnico simple 
sin amortiguamiento al cual se le aplica 



404 Mooimiento oscilatorio 



la fuerza F = F cos o//. "Verificar que 
su soluci6n es 

x = [ F /m(oiJ — co/)] cos aft 
Discutir la resonancia en este caso. 




Figura 12-48 



mm^f^^////y///, mmmi%m%00%0. 



*i 



M 



M 



(b) 



(a) 
Figura 12-47 



12.58 Los m6dulos de elasticidad de 
los resortes en la Fig. 12-47 son, respec- 
tivamente k x y k t . Calcular la constante k 
del sistema cuando los dos resortes estan 
conectados como en (a) y (b). 

12.59 Una partlcula se desliza hacia 
adelante y hacia atras entre dos pianos 
inclinados sin friction, (a) Encontrar el 
periodo del movimiento si h es la altura 
inicial. (b) ^Es el movimiento oscilatorio? 
iEs arm6nico simple? 

12.60 Una particula de masa m situada 
en una mesa horizontal lisa (Fig. 12-49) 
estd sostenida por dos alambres estirados 
de longitud / cuyos extremos est&n fijos 
en P x y P t . La tension de los alambres 
es Z\ Si la particula se desplaza lateral- 
mente una cantidad x pequena com- 
parada con la longitud de los alambres, 
y luego se suelta, determinar el movi- 
miento subsiguiente. Encontrar su fre- 
cuencia de oscilacidn y escribir la ecua- 
ci6n de su movimiento. Suponer que la 
longitud de los alambres y la tension 
permanecen inalterables. 

12.61 La particula de la Fig, 12-50 se 
encuentra bajo condiciones similares que 
en el problems anterior, pero est& soste- 
nida por dos resortes, cada uno de cons- 
tante elastica k y longitud normal / . 
Obtener la misma informacidn solicitada 




Figura 12-49 




Figura 12-50 



1 J) 



m 



*k>- 



Figura 12-51 




en el problema anterior. N6tese que 
debemos tener en cuenta el alargamiento 
de los resortes. 

12.62 Repetir el problema anterior, su- 
poniendo que el desplazamiento es a lo 



Problemas 405 



largo de la linea P X P %9 como en la fi- 
gura 12-51. 

12.63 Una partlcula de masa m est& 
sometida a la fuerza mostrada en la fi- 
gura 12-52 11am ada una onda cuadrada; 
i.e. la fuerza es constante en magnitud 
pero invierte su direcci6n a intervalos 
regulares de n/w. Esta fuerza puede re- 
presentarse por la Serie de Fourier : 

F — F (4/7r)(sen wJ + J sen 3&>* 
+ | sen 5co/ + ....), 

(a) Escribir la ecuacitfn de movimiento 
de la partfcula. (b) Verificar, por sustitu- 
cidn directa que su solucidn puede escri- 
birse como x = a + bt + A sen <o/ + 

+ B sen 3g>* 4- C sen 5 o>* 4- donde 

ay b son constantes arbitrarias, y deter- 
minar los valores de los coeflcientes A, 

B, C, , de modo que la ecuacidn 

del movimiento se satisfaga. 

12.64 Un oscilador arm6nico simple de 
frecuencia natural o> esta sometido a la 
misma fuerza del problema precedente. 

(a) Escribir su ecuaci6n de movimiento. 

(b) Verificar, por sustituci6n directa que 
su soluci6n puede escribirse como x = 
= a sen («,>* + oc) -f A sen tat + B sen 3 

cat + C sen 5«* + , donde a y a son 

constantes arbitrarias, y determinar los 
valores de los coeflcientes A, B, C, . . . ., 
de modo que las ecuaciones de movi- 
miento se satisfagan. 

12.65 Demostrar que la energia poten- 
cial de un pendulo puede escribirse como 
E p = 2mgl sen 2 £8. Aplicando la ec. 
(12.13) demostrar que 

A 

P = Yl/g d6/K sen 8 ±9 — sen* id. 
Jo 

Esta integral no puede evaluarse en 
Urminos de funciones elementales. En la 
integral hacer la sustituci6n sen ±8 = 
= sen i0 o sen W, donde W es una nueva 
variable que varla de a tc/2 cuando 
varia entre y o . En seguida hacer 
un desarrollo en series del radical resul- 
tante, usando la ec. (M.22), e integrar 
para obtener el desarrollo en serie de P 
dado en la secci6n 12,5. 

12.66 Para el movimiento armdnico 
simple E p = ± kx z . (a) Usar la ec. 
(12.13) para obtener el periodo del MAS 



y verificar que el resultado concuerda 
con la ec. (12.7). (b) Demostrar que la 
ec. (8.34), con x = da 

arc sen (x/A) = <*t + a, 

donde A 1 = 2E/k. Verificar que con- 
cuerda con la ec. (12.1). 

12.67 Considerar una partlcula osci- 
lante bajo la influencia del potencial 
anarmtfnico E P (x) = \ kx 1 — iax*, 
donde a es positiva y mucho menor 
que k. (a) Hacer un grafico esquem&tico 
de Ep(x). ^Es la curva sim£trica alre- 
dedor del valor x = 0? En vista de la 
respuesta anterior, £en qu£ direction se 
desplaza el centro de oscilaci6n a medida 
que aumenta la energia? Espera Ud. 
que x promedio sea cero. (b) Obtener 
la fuerza como una funcidn de x y hacer 
un gr&fico esquematico. £Cu&l es el 
efecto del tfrmino anarm6nico sobre la 
fuerza? 

12.68 Refirtendonos al problema pre- 
cedente, (a) escribir la ecuacidn del 
movimiento. (b) Probar como solucidn 

x — A cos of + B cos 2<of + x lt 

donde los dos ultimos tSrminos son los 
resultados del t6rmino anarm6nico. (c) 
iPuede esto ser una soluci6n exacta? 
Despreciando todos los t£rminos que in- 
volucran productos de Ay B o potencias 
de B mayores que la primera, demostrar 
que cu — w , x, = aA*/2o>J y B = 
= — aA 2 /6toJ, donde &>} = kfm y a = a/m* 
[Sugerencia: Usar la relation trigono- 
mStrica cos* o>f = 1/2(1 + cos 2o>0-I 

12.69 Repetir el Problema 12.67. Su- 
poniendo que la energia potencial es 

Ep(x) = ito* — iax*, 

Como antes, a es mucho menor que k. 

12.70 Reflrtendonos al problema prece- 
dente, (a) escribir la ecuacidn del movi- 
miento. (b) Probar como soluci6n x = 
= A sen of + B sen 3o>/ donde el ultimo 
tSrmino es el resultado del t6rmino anar- 
mdnico. (c) &Puede 6sta ser una soluci6n 
exacta? (d) Despreciando todos los t6r- 
minos que contengan productos de A 
y B o potencias de B mayores que la 
primera, demostrar que wj — 3aAV4y£ = 
= aA 5 /4(9o) 1 — wj) donde o> y a tienen 



406 Movimiento oscilatorio 



la misma deflnicitfn que en el probleraa 
12,68. [Sugerencia: Usar la relacitfn 
trigonometrica sen 8 <at = J sen of — i 
sen 3 <dt.] 

12.71 Refiriendonos a los Problemas 
12.68 y 12.70, podemos encontrar los 
valores x y (x 2 ), donde los promedios 
se refieren al tiempo y comparar los 
resultados para el oscilador armdnico 
simple. (Recordar el Problema 12.71). 



12.72 Aplicar los resultados del pro- 
blema 12.70 al movimiento de un pen- 
dulo simple reemplazando sen 9 en la 
expresitfn de Ft dada al comienzo de la 
secci6n 12.5, por sus dos primeros ter- 
minos en su desarrollo de serie (M.25) 
obteniendo <* « co„(l — 9 2 /16) y 6 = 
sen g>/ + (6 /192) sen 3o>/. Del valor 
de a), obtener directamente el resultado 
del periodo P dado al final de la sec- 
si6n 12.5. 



PARTE 2 

INTERACCIONES 

Y CAMPOS 



A. Gravitation 



408 

Una vez de haber comprendido las reglas generates que gobiernan el movimiento, 
la proxima etapa es investigar las interacciones responsables de tales movimien- 
tos. Una de ellas es la interaction gravitatoria, que se manifiesta en el movimiento 
planetario y en el movimiento de la materia en conjunto. La gravitacion, a pesar 
del hecho de que es la mas debil de todas las interacciones conocidas, es la pri- 
mera interaccion cuidadosamente estudiada, debido al natural interes del hombre 
en la astronomia y a que la gravitacion es responsable de muchos fenomenos que 
afectan directamente nuestras vidas. Otra interaccion es la interaction electro- 
magnetica, que es la mejor comprendida y quizas la de mayor importancia desde 
el punto de vista de la vida cotidiana. La mayoria de los fenomenos que obser- 
vamos alrededor nuestro, incluyendo los procesos quimioos y biologicos, son 
el resultado de interacciones electromagneticas entre atomos y molecular Una 
tercera clase la constituyen la interaction nuclear o faerie, la cual es responsable 
de la union de los protones y neutrones (conocidos como nucleones) dentro del 
niicleo atomico, y otros fenomenos conexos. A pesar de la intensa investigation 
nuestro conocimiento de esta interaccion es aun incompleto. Una cuarta clase 
es la interaction debit, responsable de ciertos procesos entre las particulas funda- 
mentals, tales como la desintegracion beta. Nuestra comprension de esta inter- 
accion es aiin muy pobre. Las intensidades relativas de estas interacciones son: 
fuerte considerada como unidad; electromagnetica ~ 10~ 2 ; debil ~ 10~ 5 ; gravi- 
tatoria ~ lO" 38 . Uno de los problemas no resueltos todavia en la fisica es el 
porque de tan solo cuatro interacciones, y la razon de tan gran diferencia en sus 
intensidades. 

Es interesante recordar lo que dijo Newton, hace 200 anos, con respecto a las 
interacciones: 

£No tienen las pequenas Particulas de los Cuerpos ciertos Poderes o Fuerzas, 
por medio de los cuales actuan, . , entre ellas para producir una gran Parte de 
los Fenomenos de la Naturaleza? Porque es bien conocido, que los Cuerpos actiian 
unos sobre otros por las Atracciones de la Gravedad, el Magnetismo y la Elec- 
tricidad;. . . y no es improbable que haya m&s Poderes atractivos que estos . . . 
No considero aqui como se realizan estas atracciones . . . Las Atracciones de la 
Gravedad, el Magnetismo, y la Electricidad alcanzan distancias muy considera- 
bles,... y puede haber otras que alcancen solo distancias tan pequenas que 
escapen a la observation; (Opticks, Libro III, Query 31). 

Para describir estas interacciones, introducimos el concepto de campo, Por 
campo entendemos una propiedad fisica que se extiende sobre una region del 
espacio y se describe por una funcion de la posicion y el tiempo. Para cada inter- 
acci6n suponemos que una particula produce alrededor de ella el campo corres^ 
pondiente. Este campo a su vez actua sobre una segunda particula para producir 
la interaccion requerida. La segunda particula produce su propio campo, el cual 
actua sobre la primera particula, dando lugar a una interaccion mutua. 

Aunque las interacciones pueden describirse por medio de campos, todos los 
campos no corresponden necesariamente a interacciones, un hecho implicito en 
la definici6n de campo. Por ejemplo, un meteorologo puede expresar la presion 
atmosferica y la temperatura como una funcion de la latitud y la longitud de la 
superficie y la altura sobre la tierra. Tenemos entonces dos campos escalares: 



409 

el campo de presion y el campo de temperaturas. En un fluido en movimiento, 
la velocidad del fluido en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto 
de campo tiene asi una utilidad grande y general en fisica. 

En el capitulo 13 discutiremos la interacci6n gravitatoria y su campo. En los 
capitulos 14 al 17 (que aparecen en el volumen II), consideraremos las interac- 
ciones electromagneticas* Trataremos las otras interacciones en el volumen III. 



13 

INTERACTION 

GRAVITACIONAL 



73.7 Introduction 

73.2 La ley de gravitacidn 

73.3 La masa inercial y gravitational 

73.4 La energia potential gravitational 

73.5 El movimiento general bajo la interaction gravitational 

13.6 El campo gravitational 
73,7 El campo gravitational debido a un cuerpo esferico 

73.8 El principio de equivalencia 
73.9 La gravitacidn *y las fuerzas intermoleculares 



13J) 



Introduction ill 



13.1 Introduction 

Uno de los problemas fundamentals que ha intrigado al hombre desde los albores 
de la civilization ha sido el movimiento de los cuerpos celestes o, como decimos 
hoy dia, el movimiento planetario, Quizd uno de los procesos mas interesantes 
en la historia de la ciencia ha sido la evolution de nuestra comprension del mo- 
vimiento planetario. 

Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del universo, supu- 
sieron que la tierra era el centro geometrico del universo y que los cuerpos celestes 
se movian alrededor de la tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron 
ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la tierra: la luna, Mercurio, 
Venus, el sol, Marte, Jupiter y Saturno. 

La primera hipotesis relacionada con el movimiento planetario consistio en 
suponer que los planetas describian circulos concentricos, teniendo a la tierra 
en su centro. Esta suposicion, sin embargo, no explicaba el movimiento obser- 
vado de estos cuerpos con respecto a la tierra, y la geometria del movimiento 
planetario se hizo mas y mas compleja. En el siglo segundo de la era cristiana, 
el astr6nomo Ptolomeo de Alejandria desarrollo la teoria de las epicicloides para 
explicar este movimiento. En forma sencilla se suponia que el planeta describia, 
con movimiento uniforme, un circulo denominado un epiciclo, cuyo centro a su 
vez, se desplazaba en un circulo mayor, concentrico con la tierra y llamado defe- 
rente. La trayectoria resultante del planeta es asi una epicicloide (Fig. 13-1). En 
algunos casos era necesario una disposition m&s complicada para describir los 
movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos 
fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referenda 
situado en la tierra. 

Esta description fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo dieciseis, 
el monje polaco Nicolas Copernico (1473-1543), que buscaba una soluci6n m&s 
simple, propuso describir el movimiento de todos los planetas, incluyendo la 
tierra, con respecto al sol, el cual estaria en el centro. La idea no era nueva; 
habia sido propuesta por primera vez por el estronomo griego Aristarco alrededor 
del siglo tercero antes de Cristo. De acuerdo a Copernico, el orden de las 6rbitas 
de los planetas con respecto al sol era el siguiente : Mercurio, Venus, La 



Planeta 



Epicicloide 




f~J Tierra 
Fig. 13-1. Modelo epicicloidal del movimiento planetario referido a la tierra. 



412 Interaction gravitational 



(13.1 



tierra, Marte, Jupiter y Saturno, la luna girando alrededor de la tierra. Lo que 
Copernico propuso esencialmente fue otro sistema de referenda situado en el sol, 
respecto al cual el movimiento de los planetas tenia una descripci6n mas sencilla. 



TABLA 13-1 Datos b&slcos del Sistema Solar * 













Radio 


Periodo 


cidad 
bita 


Cuerpo 


Distancia 

media, m 


Masa 

kg 


Periodo de 
rotacitfn, s 


medio de la 
6rbita, m 


del mov. 

orb. s 


Excentri 
de la 6% 


El sol 


6,96 x 10* 


1,98 x 10 s0 


2,3 x 


10* 


— 


— 


— 


Mercurio 


2,34 x 10* 


3,28 x 10 23 


5,03 x 


10« 


5,79 x 10 10 


7,60 x 10 6 


0,206 


Venus 


6,26 x 10* 


4,83 X 10 24 


(?) 




1,08 x 10 11 


1,94 x 10 7 


0,007 


La tierra 


6,37 x 10* 


5,98 x 10 24 


8,62 x 


10* 


1,49 x 10 11 


3,16 x 10 7 


0,017 


Marte 


3,32 x 10 fl 


6,40 x 10 23 


8,86 x 


10* 


2,28 x 10 11 


5,94 x 10 7 


0,093 


Jupiter 


6,98 x 10 7 


1,90 x 10 27 


3,54 x 


10* 


7,78 x 10 11 


3,74 x 10 8 


0,049 


Saturno 


5,82 x 10 7 


5,68 x 10« 


3,61 X 


10* 


1,43 x 10 12 


9,30 x 10 8 


0,051 


Urano 


2,37 x 10 7 


8,67 x 10 25 


3,85 x 


10* 


2,87 x 10 12 


2,66 x 10 9 


0,046 


Neptuno 


2,24 x 10 7 


1,05 x 10" 


5,69 x 


10* 


4,50 x 10 12 


5,20 x 10* 


0,004 


Pluto 


(3,00 x 10*) 


(5,37 x 10 24 ) 


(?) 




5,91 x 10 12 


7,82 x 10 9 


0,250 


La luna 


1,74 x 10* 


7,34 x 10 22 


2,36 x 


10* 


3,84 x 10 8 


2,36 x 10* 


0,055 



* Las cantidades entre parentesis son dudosas. Los datos orbitales de la luna se 
dan con respecto a la tierra. 

El sol, el cuerpo mas grande de nuestro sistema planetario, coincide practica- 
mente con el centro de masa del sistema, y se mueve mas lentamente que los 
otros planetas. Esto justifica el haberlo escogido como centro de referenda, ya 
que es, practicamente, un sistema inercial. Lo propuesto por Copernico ayud6 al 
astronomo Johannes Kepler (1571-1630) en el descubrimiento de las leyes del 
movimiento planetario, como resultado del andlisis cuidadoso de las mediciones 
astronomicas de Tycho Brahe (1546-1601)* Estas leyes, denominadas leyes de 
Kepler, son una description cinematica del movimiento planetario y se enuncian 
de la siguiente manera: 

I. Los planetas describen orbitas eltpticas y estando el sol en uno de sus focos. 

II. El vector position de cuatquier planeia con respecto al sol barre areas iguales 
de la elipse en tiempos iguales. (Esta proposition se denomina la ley de las areas). 

IIL Las cuadrados de los pertodos de revolution son proportionates a los cubos 
de las dislancias promedio de los planetas al sol. (Esta ley puede expresarse por 
la ecuacion P 2 = Jfcr 3 , siendo k una constante de proporcionalidad). 

La siguiente etapa en la historia de la astronomia fue una discusi6n de la 
din£mica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interaction 
responsable de tal movimiento. Es aqui donde Sir Isaac Newton (1642-1727) 
Uevo a cabosu grandiosa contribuci6n, la ley de gravitation universal. Esta ley 



13,2) 



La ley de gravitation 413 



(que se discutira mas adelante en este capitulo), formulada por Newton en 1666, 
solo fue publicada en 1687, cuando apareci6 como un capitulo en su monumental 
trabajo Philosophlae Naturalis Principia Mathematical 

Los datos mas importantes del sistema solar han sido recolectados en la tabla 13-1. 



13.2 La ley de gravitacidn 

Despues de su proposition de las leyes del movimiento (capitulo 7), la segunda 
contribution de Newton, v quizas la mas grande al desarrollo de la mec&nica 
fue el descubrimiento de la ley de interaction gravitational; esto es, la interaction 
entre dos cuerpos, ya sean planetas o particulas pequenas, que produce un mo- 
vimiento que puede ser descrito por las leyes de Kepler. 



Fig. 13-2. Interacci6n gravitational 
entre dos masas. 



0-r-- — H§) 

m m ' 



En primer lugar, de acuerdo a la section 7.14, la ley de las areas (o segunda 
ley de Kepler), indica que la fuerza asociada con la interaccion gravitational cs 
central. Esto es, la fuerza actua a lo largo de la linea que une los dos cuerpos 
interactuantes (Fig. 13-2), en este caso un planeta y el Sol. Segundo, si suponemos 
que la interaccion gravitatoria es una propiedad universal de toda materia, la 
fuerza F asociada con la interaccion debe ser proporcional a la "cantidad" de 
materia de cada cuerpo; esto es, a sus masas respectivas m y m\ Luego podemos 
escribir F = mm'f(r). 



|Fibra de torsion 



Espejo 



L&mpara 




Escala 



Fig, 13-3. Balanza de torsion de Cavnuiish. Cuando las masas m' se colocan 
cerca a las masas m, su atracci6n gravitatoria produce un torque en la barra hori- 
zontal que da lugar a la torsidn de la fibra OC. El equilibrio se establece cuando 
los torques gravitatorio y torsional se igualan. El torque torsional es proporcional 
al angulo 0, que se mide por la deflexi6n de un rayo reflejado en un espejo situado 
en la flbra. Repitiendo el experimento a varias distancias r, y usando diferentes 
masas m y m\ podemos verificar la ley (13.1). 



414 Interaction gravitational (13.2 

Determinar la dependencia entre la fuerza F y la distancia r, es un problems 
mas dificil. Podemos determinar esta dependencia experimentalmente midiendo 
la fuerza entre las masas my m' para varias separaciones y deduciendo de nuestras 
observaciones la relation entre Fyr. Este procedimiento que ha sido realizado, 
requiere un equipo experimental muy sensible debido a que la interaction es 
extremadamente debil y la fuerza gravitational es muy pequena a menos que las 
masas sean muy grandes (tales como la de dos planetas), o la distancia r sea 
muy pequena. Pero en este segundo caso, como veremos mas tarde, otras inter- 
acciones mas fuertes que la gravitational entran en juego e impiden observar 
los efectos gravitatorios. El resultado de estos experimentos nos permite llegar 
a la conclusion que la interaction gravitational es atractiva y varia inversamente 
con el cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos; esto es f(r) cc 1/r 2 , 

Por consiguiente la expresion de la fuerza de gravitation es 

F = Y^^, (13.1) 

r L 

donde la constante de proporcionalidad y depende de las unidades utilizadas 
para las otras cantidades. Por ello y debe determinate experimentalmente mi- 
diendo la fuerza F entre dos masas conocidas m y m' a una distancia conocida r. 
El valor de y en unidades MKSC es 

Y = 6,67 x 10- u N m 2 kg" 2 (6 m 3 kg" 1 s" 2 ). 

Podemos entonces establecer la ley universal de gravitation de Newton diciendo que 

la interaction gravitational entre dos cuerpos puede expresarse por una 
fuerza de atraccion central proportional a las masas de los cuerpos e 
inversamente proportional al cuadrado de la distancia que los separa. 

Al discutir la ec. (13.1) hemos sugerido que la interaction gravitational entre 
dos masas puede derivarse de los experimentos, pero ello no implica que la inter- 
action gravitatoria sea la fuerza responsable del movimiento planetario de acuerdo 
a las leyes de Kepler. En efecto, Newton no procedio en la manera en que nosotros 
lo hemos hecho, sino en sentido inverso. Usando las leyes de Kepler, deriv6 
la ec. (13.1) para la fuerza entre dos planetas y luego generalizo este resultado 
para aplicarlo a dos masas cualesquiera. Presentaremos ahora una discusi6n 
simplificada del metodo de Newton, posponiendo un analisis mas general hasta 
la section 13.5. 

La primera ley de Kepler establece que la 6rbita de un planeta es una elipse. 
Un caso particular de una elipse es un circulo, en el cual los dos focos coinciden 
con el centro. En este caso, de acuerdo a la segunda ley, la fuerza F se dirige 
hacia el centro del circulo. Por ello, usando la ec. (7*28) para la fuerza centripeta 
en el movimiento circular y refiriendo el movimiento de m a un sistema de refe- 
rencia situado en m' (Fig. 13-4), podemos expresar la fuerza como 



13.2) La leg de gravitation 415 

Estrictamente hablando, deberiamos usar en lugar de m, 
la masa reducida del sistema compuesto demy m' t de 
acuerdo a la ec. (9.15), pero nuestra simplification no 
afecta nuestras conclusiones. Recordando que v = 
= 2nrlP, tenemos 

„ 4iftnr 

Pero la tercera ley de Kepler, en el caso especial de una 

orbita circular cuando la distancia promedio entre m y pj„ 13-4 Movimiento 

m f es el radio del circulo, es P 2 = Ar 3 . Luego de la particula m hajo 




F = 



su interacci6n gravita- 
cional con m\ 



kr* 



que demuestra que para satisfacer las leyes de Kepler la interaction gravitational 
debe ser central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 

Newton mismo verified la veracidad de su hipotesis comparando la aceleracion 
centripeta de la luna con la aceleracion de la gravedad g = 9,80 m s~ 2 « La ace- 
leracion centripeta de la luna es a c = tPjr = Ai^rjP 2 , con r = 3,84 x 10 8 m y 
P = 2,36 x 10 6 s. Asi a c = 2,72 x 10" 3 m s" 2 . Por consiguiente 

gla c = 3602 * (60) 2 . 

Pero, como el radio de la tierra es de R = 6,37 x 10 6 m, tenemos que 



(t)* -(£)'•« 



Por consiguiente gja c = (r/fl) 2 y, dentro de la exactitud de nuestro cilculo apro- 
ximado, las dos aceleraciones estan en proportion inversa del cuadrado de las 
distancias de los puntos desde el centro de la tierra. 

EJEMPLO 13.1. Relacionar la aceleraci6n de la gravedad con la masa de la tierra. 

Usando la respuesta, estimar la masa de la tierra. 

Soiucidn: Consideremos una particula de masa m sobre la superflcie terrestre. Su 
distancia al centro de la tierra es igual al radio de la tierra R. Luego, si denotamos 
la masa de la tierra por M, la expresi6n (13.1) nos da la fuerza sobre el cuerpo, 

F = ymM/R 2 . 

Esta fuerza fue definida en la ec. (7.16) como el peso del cuerpo, y por consiguiente 
debemos igualarla a mg, donde g es la aceleracidn de la gravedad. Luego 

mg = ymM/R 2 
o, cancelando el factor comun m, tenemos 

g = yM/RK 
Este result ado da la aceleraci6n de la gravedad en funci<Jn de la masa y el radio 



416 Interaction gravitational (13.3 

de la tierra. Notar que la masa del cuerpo no aparece en esta expresitin, y por ello 
(si despreciamos la resistencia del aire) todos los cuerpos caen con la misma ace- 
leraci6n, de acuerdo con nuestras observaciones. 
Despejando la masa M de la tierra, obtenemos 

M - gRV-r. 

Introduciendo los valores numericos apropiados g = 9,8 m s~ 2 , R = 6,37 x 10* m, 
y y = 6,67 x 10-" m'kg^s-S obtenemos M = 5,98 x 10 a4 kg. 

El estudiante debe notar que en este ejemplo nemos usado la distancia de la masa m 
al centro de la tierra. En otras palabras, hemos supuesto implicitamente que la 
fuerza sobre m es 3a misma como si toda la masa de la tierra estuviera concentrada 
en su centro, una suposicitfn que se justificara en la seccirtn 13.7. 

EJEMPLO 13.2. Calcular la masa de un planeta que tiene un satelite. 

Solucidn: Supongamos que un satelite de masa m describe, con un periodo P, una 
6rbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M . La fuerza de atracci6n 
entre el planeta y el satelite es 

F = ymM/r 2 . 

Esta fuerza debe ser igual a m veces la aceleraci6n centrlpeta v z /r = 47t 2 r/P 2 . Por 
consiguiente 

47r 2 /nr ymM 



Cancelando el factor comiin m y despejando M 9 obtenemos 
M= 4TT 2 r 3 /yP 2 . 

Sugerimos que el estudiante utilice esta expresion para reevaluar la masa de 
la tierra, usando los datos de la luna (r = 3,84 x 10 s m y P = 2,36 x 10» s). La 
concordancia con el resultado del ejemplo 13.1 es una prueba de la consistencia de la 
teoria. Esta f6rmula puede tambien ser utilizada para obtener la masa del sol, 
usando los datos de los diferentes planetas. 



13.3 La masa inercial y gravitational 

En el capitulo 7 introdujimos el concepto de masa en relacion con las leyes del 
movimiento. Por dicha razon la denominamos masa inercial Tambien hemos 
supuesto que las leyes del movimiento son de validez universal y son por lo tanto 
las mismas para toda clase de materia, ya sean electrones, protones, neutrones, 
o gmpos de estas particulas. Por otro lado, en este capitulo hemos estado discu- 
tiendo una interaccion particular llamada gravitacion. Para caracterizar su inten- 
sidad, debemos dar a cada porcion de materia una carga gravitational o masa 
gravitational m ff .Debiamos haber escrito entonces la ec. (13.1) en la forma 

F = ym g m^/r 2 . 

Sin embargo, si suponemos que la gravitaci6n es una propiedad universal de 
toda clase de materia, podemos considerar que la masa gravitatoria es propor- 



13.3) La masa inercial y gravitational 417 

cional a la masa inercial, y por consiguiente la relation 



K = 



masa gravitational, m g 
masa inercial, m 



debe &er la misma para todos los cuerpos. Escogiendo apropiadamente las uni- 
dades de m g , podemos hacer que esta relation valga uno y entonces usar el mismo 
niimero tanto para la masa gravitatoria como para la masa inercial. Esto se ha 
hecho implicitamente en la selection del valor de la constante y. La constancia 
de K, que es equivalente a la constancia de y, ha sido verificada experimental- 
mente para toda clase de cuerpos con gran cuidado, y puede considerarse como 
una hipotesis correcta. El hecho bien demostrado de que todos los cuerpos cerca 
de la superficie terrestre caen con la misma aceleracion es una indicaci6n del 
hecho de que la masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo, ya que, bajo 
dicha suposicion, la aceleracion de la gravedad es g = yM/R*, como se discutio 
en el ejemplo 13.1, y g es independiente de la masa del cuerpo que cae. Por con- 
siguiente, en adelante usaremos el termino "masa" para referirnos ya sea a la 
masa inercial o a la gravitatoria, puesto que no se pueden distinguir. 

De la ec. (13.1) podemos definir la unidad de masa como la masa que, cuando 
se le coloca a la unidad de distancia de una masa igual, la atrae con una fuerza 
igual a y unidades. Escogiendo apropiadamente el valor de y podemos definir 
una unidad de masa. Sin embargo, el escoger arbitrariamente y puede alterar la 
estructura de las ecuaciones de la mecanica. Otros inconvenientes con este pro- 
cedimiento de definition de la masa unitaria es que requiere previamente la defi- 
nition de fuerza. Por ello este procedimiento no es utilizado. En su lugar, como 
indicamos previamente, seguiremos el metodo inverso, y, despues de haber esco- 
gido las unidades de masa y fuerza, determinamos experimentalmente el valor de y. 

Una manera de medir o comparar las masas de 
dos cuerpos es utilizar un tercer cuerpo como re- ^_^^ 

ferencia. Consideremos dos masas m y m r situa- [Mj r -*^ © 

das a la misma distancia r de una tercera masa ^-— ^ 

de referenda M (Fig. 13-5). Luego, de acuerdo 

con la ec. (13.1), las fuerzas sobre m y m' son /"~"\ p/ 

_ yMm = yMm' 

~~ r % ' ~ r 2 ' Fig, 13-5, Metodo de com- 

paracidn de dos masas my m' 

t , ., . . j r T?tr?* mediante su interacci6n era- 

La relacion entre estas dos fuerzas es F F = .. * n , ^ nn . rt * 

' , vjtacional con una tercera 

= mjm\ Por consiguiente, si tenemos un metodo masa M. 
para comparar fuerzas sin necesidad de medir 
cada una de ellas, la relacion precedente propor- 

ciona un metodo para comparar y medir masas. El principio de la balanza 
permite que usemos este metodo cuando el cuerpo de referencia es la tierra. La 
balanza se encuentra en equilibrio cuando las dos fuerzas son iguales, y por consi- 
guiente las masas son iguales. Hemos justificado asi el metodo indicado en la 
section 2.3 para medir la masa mediante una balanza. 



418 Interaction gravitational 



(13.4 



13.4 La energia potencial gravitational 

Debido a que la interaction gravitational dada por la ec.{!3.1)es central y depende 
solamente de la distancia, corresponde a una fuerza conservativa. Podemos por 
consiguiente asociar con ella una energia potential gravitational. Suponiendo que 
el origen de coordenadas se encuentre en m' y considerando solamente la fuerza 
que actua sobre /n, notamos que F, siendo una fuerza de atraccion, tiene direc- 
tion opuesta al vector r — OA = ru n donde u r es el vector unitario en la direc- 
tion OA y, por consiguiente, en lugar de la ec. (13.1), debemos escribir con mas 
propiedad la ecuacion vectorial 



F = 



ymm 



U r , 



(13.2) 



Esta fuerza es igual al gradiente de la energia potencial pero con signo negativo* 
En nuestro caso, como la fuerza es central y actiia a lo largo del radio, la energia 

potencial depende solamente de r y es sufi- 
ciente aplicar la ec* (8.25) esto es, F r — 
= — dEpjdr. Entonces F r = — ymm'jr 2 y 

dE Jt 




dr 



ymm 



Integrando, y asignando el valor cero a la 
energia potencial a distancias muy grandes 
(r — oo), obtenemos 



fEp 

dE } 

J n 



ymm. 






dr 



dando para la energia potential gravitational 
tacional de m' sobre m es opuesta del sistema compuesto de las masas m y m\ 
al vector unitario u r alejandose la expresion 

ymm' 



Fig. 13-6* La atraccion gravi 



de m' 



E p = 



(13.3) 



La energia total del sistema de dos particulas sometidas a su interaction gravi- 
tational es entonces 



E = imi* + ±mV* — 



ymm 



(13.4) 



Para un sistema de mas de dos particulas, sometidas a su interaction gravita- 
tional, la energia total es 

ym ( mj 



Tnrloc loti TnHnc Iff 



Todas las 
particulas 



Todos ' ij 
los pares 



En el caso de dos particulas, refiriendo su movimiento a un sistema de referenda 
situado en el centro de masa del sistema, podemos usar el resultado del ejemplo 9.9 



13-fy La energta potential gravitational 419 

para expresar la energia cinetica de las dos particulas como E k = ±yi% 2t donde \l 
es su masa reducida y v n es su velocidad relativa, de modo que la energia total 
en este sistema es 

, mm' 



r i2 



En el caso especial en que la masa de la particula m' es mucho mayOLg.ueia.masa 
de m (m' > m), tenemos [recordando la definici6n de masa reducida, ec. (9.15)] 
que \i & m> En este caso m' coincide practicamente con el centro de masa del 
sistema, y podemos reemplazar la velocidad relativa v n por la velocidad de m 
con respecto al centro de masa, resultando 

E =$mv 2 ~-± . (13.5) 

Sij&particula se mueve en una 6rbita circular, la fuerza que actua sobre la masa 
esta dada por la ec. (7.28), F N = mipjr, y, reemplazando F N por la fuerza gra- 
vitatoria de la ec. (13.1), tenemos 



mi? ymm' 



r 2 



Por consiguiente 



^ = -I ± mm ' 



2 r 

y la ec. (13.5) se reduce a 

_ rmm r 

E= ^. (13.6) 

indicando que la energia total es negativa. Este resultado es m£s general que lo 
que nuestra demostracion pueda sugerir; todas las orbitas eltpticas (o cerradas) 
tienen una energia total negativa (E < 0) cuando definimos la energia potencial 
como cero para una separation infinita. Una orbita cerrada significa que la energia 
cinetica no es suficiente en ningun punto de la orbita para Uevar la particula al 
infinito, para lo cual cambiaria su energia cinetica en energia potencial y ven- 
ceria la atraccion gravitacional. Esto puede verse porque, a una distancia infinita, 
el segundo termino de la ec. (13.5) vale cero, y debemos tener E =$mvP, una 
ecuacion imposible de satisfacer si E es negativa. 

Pero si la energia es positiva (E > 0), la particula puede Uegar al infinito y 
tener aiin energia cinetica. En la ec. (13.5) si suponemos r = oo, y designamos 
la velocidad en el infinito por v^, la energia cinetica en el infinito es 



\mvle = E 6 Voo = |/ 2Ejm. (13.7) 

Este resultado puede interpretarse de la siguiente manera. Supongamos que la 
particula m se encuentra a una distancia muy grande de m r y se le arroja hacia 
ella con velocidad TO , denominada velocidad de aproximacion, de modo que la 



420 Interaction gravitational 

E<() 



(13.4 

E = 




Elipse 



Hiperbola 



Parabola 



Fig. 13-7. Relacion cntre la energia total y la trayuctoria en el movimiento bajo 
una fuerza que varia inversamente con el cuadrado de la distancia. 

energia total se determina por la ec. (13.7). Mientras la particula m se aproxima 
a m', su energia potencial disminuye (volviendose mas negativa), y la energia 
cinetica aumenta hasta que alcanza su maximo valor en el punto de mayor pro- 
ximidad, el cual depende del momento angular de la particula (recordar la sec- 
tion 8,11 y la Fig. 8-18). Entonces la particula comienza a alejarse, pierde energia 
cinetica y eventualmente, a grandes distancias, recupera la velocidad v^. La 

trayectoria es una curva abierta, y 
puede demostrarse que es una hiperbola 

y^ (seccion 13.5). 

Hiperbola El caso particular de energia total cero 
.E>0 (E = 0) es interesante porque entonces 
la particula, de acuerdo a la ec. (13*7), 
se encuentra en reposo en el infinite 
(Pm = 0). La orbita esta aun abierta 
pero en lugar de ser una hiperbola, es aho- 
ra una parabola. Fisicamente correspon- 
de a la situacion en la cual se suelta 
una particula m a una distancia de m' 
con una velocidad inicial que hace igua- 
les su energia cinetica y su energia po- 
tencial. 

La Fig, 13-7 muestra los tres casos po- 
sibles, indicando en cada caso la energia 
total, la energia potencial, la energia; 
cinetica, y el tipo de orbita. 




E<0 
Elipses 



Fig* 13-8. Trayectorias de una par- 
ticula lanzada horizontalmente desde 
una altura h sobre la superficie terrestre 



con una velocidad v . 



13.4) La energia potential gravitational 421 

Estos resultados son muy importantes cuando se desea colocar en 6rbita un 
satelite artificial. Supongamos que un satelite se lanza desde la tierra, Despues 
de alcanzar su maxima altura h debida al lanzamiento, fecibe un impulso final 
en el punto A, produciendo una velocidad horizontal v (Fig. 13-8). La energia 
total del satelite en A es 



R + h 



La 6rbita ser& una elipse, una pardbola, o una hiperbola dependiendo de que E 
sea negativo, cero o positivo. En todos los casos el centro de la tierra se encuentra 
en un foco de la trayectoria. Si la energia es pequeiia, la 6rbita eliptica inter- 
sectar& la tierra y el satelite retornari. Si no lo fuera se movers en una 6rbita 
cerrada, o escaparA de la tierra, dependiendo del valor de o Q . 

La misma 16gica se aplica a un satelite natural como la luna. Obviamente 
para satelites interplanetarios puede requerirse una 6rbita con energia positiva. 
En cualquier caso, generalmente se requiere algun mecanismo de guia para ajustar 
la trayectoria despues del lanzamiento. 

EJEMPLO 13*3, La velocidad de escape es la velocidad minima con la cual debe 
lanzarse un cuerpo desde la tierra para que llegue al inflnito. Calcular la velocidad 
de escape de un cuerpo lanzado desde la tierra. 

Solucitin: A fin de que la particula llegue al inflnito, la energia total debe ser cero 
o positiva, y obviamente la minima velocidad corresponded a la energia total cero. 
Por consiguiente, de la ec. (13.5) con E = 0, y denominando M la masa de la tierra, 
R su radio, y v e la velocidad de escape del proyectil, tenemos imv? — ymM/R = 0, 
la cual da la relaci6n necesaria entre v t y R en la plataforma de lanzamiento. Por 
consiguiente la velocidad de escape desde la tierra es 



v t = ]/2yM/R = 1,13 x 10 1 m s- 1 . (13.8) 

que es igual a 40.700 km/hr o alrededor de 25,280 mi/hr. Ndtese que la velocidad 
de escape es independiente de la masa del cuerpo. Sin embargo, la fuerza requerida 
para acelerar un cuerpo hasta que alcance la velocidad de escape depende de la 
masa del cuerpo, y esta es la razdn por la cual los proyectiles y sat&iles requieren 
de motores muy poderosos. 

Un proyectil lanzado desde la tierra con una velocidad u t dada por la ec. (13.8) 
tendra velocidad cero cuando llegue al inflnito. Si la velocidad es mayor que v t 
la particula llcgara al inflnito con alguna velocidad. Si la velocidad de lanzamiento 
es menor que v e , la particula regresara a la tierra, a menos que sea colocada en una 
6rbita limitada mediante sucesivas etapas del cohete propulsor y se cambie la di- 
reccidn de la velocidad, como se explic6 en conexi6n con la Fig. 13-8. 

El concepto de velocidad de escape es tambien util al determinar el escape de 
los gases de la atm6sfera terrestre. Si suponemos que los gases que constituyen 
la atm6sfera se encuentran en equilibrio termico, la velocidad rem de sus moleculas 
esta dada por la ec. (9.59) como 



Prcm - V3ftr/m. (13.9) 

La velocidad raiz media cuadratica de los gases encontrados en la atm6sfera te- 
rrestre a su temperatura promedio son: hidr6geno, 1908 m s- 1 ; helio, 1350 m s _1 ; 
nitr6geno, 510 m s~ l ; oxigeno, 477 ms _1 ;y bkSxido de carbono, 407 m s _I . En todos 
los casos la i>rcm es menor que la v e , y podemos llegar a la conclusi6n que ninguna 



422 Interaction gravitational (13.4 

molecula de gas puede veneer la atraccidn gravitacionalyescapar de la tierra. Pero 
esto serfa una conclusidn falsa. 

La velocidad rafz media cuadrAtica v rC m es una velocidad promedio, y ello sig- 
nifica que hay muchas moteculas que se mueven con velocidades mayores o meno- 
res que Prcm. Aun si wrcm es menor que *v, un cierto mimero de moleculas se mueven 
con velocidades iguales o mayores que v* 9 y 6stas pueden escapar de la tierra, 
especialmente si se encuentran en las capas superiores de la atmdsfera. De las ci- 
fras arriba indicadas, vemos que este efecto es mas importante para los gases li- 
geros que para los pesados, y esta es una de las razones por la cual el hidrdgeno 
y el helio son escasos en nuestra atmdsfera. Se ha estimado que, debido a este efecto 
gravitatorio, el hidr6geno escapa de la tierra a un promedio de 1,3 x 10" &tomos 
por segundo, lo cual equivale aproximadamente a 600 kg por afio. Sin embar- 
go, esto no representa la p^rdida total de hidrdgeno de la superficie terrestre, y 
la perdida neta puede ser diferente debido a otros procesos. 

Para el planeta Mercurio, la velocidad de escape es mucho menor que para la 
tierra ; lo mas probable es que haya perdido casi toda su atm6sfera. Lo mismo es 
cierto para la luna. Venus tiene una velocidad de escape casi igual a la de la tierra. 
Marte tiene una velocidad de escape alrededor de 1/6 la de la tierra, y por ello re- 
tiene algo de su atmdsfera, pero ha perdido proporcionalmente una fraccidn mayor 
de su atmdsfera. De hecho, la presidn atmosfSrica de Marte es mucho menor que 
la de la tierra. Para los otros planetas, la velocidad de escape es mayor que la de la 
tierra, y por ello todavia retienen la mayor parte de sus atmdsferas originales. 
Sin embargo, por otras razones, la composicidn de las atmdsferas de estos planetas 
son diferentes de la de la tierra. 

EJEMPLO 13.4. Determinar la velocidad de un cuerpo, que se suelta a una dis- 
tancia r del centro de la tierra, al llegar a la superficie terrestre. 

Soluddn: La velocidad inicial del cuerpo es cero y su energia total, de acuerdo a la 
ec. (13.5) es por consiguiente 

E = ymM 
r 

donde m es la masa del cuerpo y Af la masa de la tierra. Cuando llega a la super- 
ficie terrestre, su velocidad es v y su distancia al centro de la tierra es el radio de la 
tierra R. Por ello 



R 



Igualando ambos valores de E, ya que la energia ha permanecido constante (des- 
preciamos la friccidn atmosterica), tenemos 

ymM ymM 

* R r 

[. 
Despejando v\ obtenemos 

<" = 2YM (i-T> 

r \ 

O, recordando del ejemplo 13.1 que|0 = yM/RH se obtiene 

u * = 2 R*g(±-±y (13.10) 



13.5) El movimiento general bajo la interaction gravitational 423 

Esta expresi6n puede tambien usarse para encontrar la distancia r alcanzada por 
un cuerpo lanzado verticalmente con velocidad v desde la superflcie terrestre. 

Si el cuerpo se suelta a gran distancia de modo que 1/r es despreciable compa- 
rado con \/R, obtendremos 



woo = V2Bg = ]/2yM/R = 1,13 x 10* m S" 1 , 

de acuerdo con el resultado dado en-la ec. (13.8) para la velocidad de escape. Esto 
no es sorprendente, puesto que este problema es justamente el reverso del problema 
del ejemplo 13.3. El resultado obtenido da, por ejemplo, la velocidad aproximada 
con la cual un meteorito choca con la superflcie de la tierra. 

13.5 El movimiento general bajo la interaccidn gravitational 

Hasta el moraento hemos establecido las leyes de Kepler solamente para drbitas 
elipticas. En la secci6n 13.2 hemos demostrado que, de acuerdo a estas leyes, 
el movimiento se produce, por lo menos en el caso de las 6rbitas circulares, cuando 
la fuerza es de atracci6n e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 
Sin embargo, en la secci6n 13.4, cuando discutimos la energia, indicamos que 
estas leyes se cumplen para 6rbitas hiperbdlicas y parab61icas, ademas de cum- 
plirse en las elipticas. Verifiquemos ahora esta afirmaci6n. 

En el capitulo 8 desarrollamos una relaci6n (ec. 8.42) entre las coordenadas 
polares de una particula en funcibn de las magnitudes dinamicas del movimiento. 
Si usamos la ec. (8.37) para la energia potencial efectiva, podemos escribir dicha 
relation en la forma siguiente 

/ dr y _ m*r* \ 2[E-E p (r)] V- \ 

\~dTJ ~~L^"t m ~nWy {U - U) 

donde L es el momentum angular de la particula. Ahora la ecuaci6n de una sec- 
cion conica en coordenadas polares con el origen en un foco (ver la nota al final 
de esta secci6n) es 

— = 1 + s cos 6, (13.12) 



donde e es la excentricidad y d la distancia del foco a la directriz. Derivando 
la expresi6n con respecto a 6, obtenemos 

ed dr 

y asi 

/ dr y _ r*sen 2 6 

\"d9"/ "" d* " 
Sustituyendo en la ec. (13.11) y cancelando r* en ambos lados, podemos escribir 

L 1 \ m m 2 fi] 



424 Interaction gravitational (13.5 

Ahora, de la ec, (13.12), cos 9 = djr — l/ e , Por consiguiente 

> *> 1 2 Q 1 I d 1 V 1 <P 2d 1 
sen 2 6 = 1 — cos 2 6 = 1 — ( — = 1 ■ \- — , 

\ T e / r 2 e/- e 2 

Sustituyendo en la ecuacion previa, se obtiene 

!_ **_ , 2d _ J_ __ 2 d 2 m£ 2 (PmE p (r) d 2 
"i*" "ei 7 ~? L 2 ™ Z 2 T 2 "* 

Cancelando el termino d 2 /r 2 en ambos lados e igualando aquellos terminos que 
son constantes y aquellos dependientes de r, obtenemos 

2d 2 m£ ,1 , L 2 / 1 \ 

y 

2 iPmEJr) 2d A „ , v L* 

7^=— 6 £ p( r )= 3~- 03-14) 

Ir er m der 

La ec. (13.14) indica que, para describir una secci6n conica con el centro de fuerzas 
en un foco, la energia potencial E p (r) debe variar con la distancia como 1/r, y 
por consiguiente la fuerza, la cual es F r = — dE p jdT, debe variar como 1/r 2 . 
Esto generaliza la primera ley de Kepler al incluir la hiperbola y la par&bola, 
ademas de la elipse, como orbitas posibles. 

La orbita sera una elipse, parabola, o hiperbola dependiendo de que la excen- 
tricidad e sea menor que, igual a, o mayor que, uno. De la ec. (13.13) vemos que 
esta relation corresponde a una energia total E negativa, cero, o positiva, veri- 
ficando asi nuestra discusion de la section 13.4. 

Debemos notar que una hiperbola tiene dos ramas, y bajo la accion de una 
fuerza de atraccion se describe solamente la rama con respecto al centro de atrac- 
cion (rama derecha de la Fig. 13-9). Si la fuerza es de repulsion, esto es F = + Cjr\ 
la orbita corresponde a la rama de la izquierda de la Fig. 13-9. En este caso, esto 
es, para una fuerza de repulsion, la energia potencial es E p = + C/r, y es posi- 
tiva. Por lo tanto, la energia total E = ^mv 1 + Cjr es siempre positiva y no hay 
orbitas limitadas. Ya hemos considerado el movimiento bajo la accion de una 
fuerza de repulsion que varia con el inverso del cuadrado de la distancia cuando 
discutimos la dispersion en el ejemplo 7.16. 

Las consideraciones precedentes serian suficientes para proporcionar un ana- 
lisis completo del movimiento planetario si supieramos que el movimiento de un 
planeta alrededor del sol no fuera afectado por los otros planetas y cuerpos ce- 
lestes. En otras palabras la orbita de la tierra (y de todos los otros planetas) 
seria una elipse perfecta si no hubiera otras fuerzas, ademas de la del sol ac- 
tuando sobre la tierra. Sin embargo, la presencia de otros planetas introduce 
pertuxbaciones en la orbita de un planeta. Estas perturbaciones pueden calcu- 
late con gran exactitud mediante tecnicas especiales que constituyen la ciencia 
llamada mecanica celeste. Las perturbaciones pueden ser analizadas, esencial- 
mente, por dos efectos. Un efecto es que la orbita eliptica de un planeta no es 



13.5) 



El movimiento general bajo la interaction gravitational 425 



s 

/ / Trayectoria de m 



bajo una fuerza 
de atraccion 




Fig- 13-0. Trayectorias hiperb61icas bajo fuerzas de atraccion y de repulsi6n que 
varlan con el inverso del cuadrado de la distancia. 

cerrada, sino que el eje mayor de la elipse rota muy lentamente alrededor del 
foco donde esta situado el sol, efecto que se denomina avance del perihelio 
(Fig. 13-10a). El otro efecto es una variation periodica de la excentricidad de la 
elipse con respecto a su valor promedio, como se indica en la Fig, 13-10(b), Estos 
cambios ocurren muy lentamente. En el caso de la tierra tienen un periodo del 
orden de 10 s anos (alrededor de 21' de arco por siglo para el movimiento del 
perihelio), Aun asi, han producido efectos notables, especialmente en los cambios 
lentos de las condiciones climaticas de la tierra. Estos cambios han sido indicados 
por los geofisicos que han estudiado las diferentes capas de la corteza terrestre. 





(a: 



oo 



Fig. 13-10. Perturbaciones en el movimiento planetario. 
(a) Rotaci6n del eje de la elipse. (b) Oscilacion en la excen- 
tricidad de la elipse. Los dos efectos han sido grandemente 
exagerados. 



Al discutir el movimiento en un campo gravitational hemos supuesto que puede 
usarse la mecanica newtoniana de los capitulos 7 y 8. Sin embargo, un analisis 
m&s preciso requiere el uso de la teoria general de la relatividad de Einstein (ver 
secci6n 13.8). Uno de los principales efectos relativisticos es una rotaci6n adi- 



426 Interaction gravitational 



(13.5 



clonal del eje mayor de la 6rbita de un planeta. Este efecto relativjstico es m£ximo 
para la 6rbita de Mercurio, el planeta m£s cercano al sol y el cual tiene una de 
las 6rbitas mis excentricas. El avance observado del perihelio de Mercurio ex- 
cede, cerca de 42" de arco por siglo, el efecto calculado por medio de la me- 
c£nica Newtoniana que toma en cuenta la perturbaci6n de los otros planetas. La 
teoria general de la relatividad de Einstein predice precisamente este avance 
adicional del perihelio. Este efecto relativistico es mucho menor para otros pla- 
netas, y no se ha observado aiin. 



Nota aobre teeeiones ctinicos: Una fa mili a importante de curvas planas son las 
secciones cdnicas. Una secci6n c6nica se define como una curva generada por un 
punto que se mueve de modo que la relaci6n entre su distancia a un punto denomi- 
nado foco, y a una llnea, llamada directriz, es constante. Hay tres clases de sec- 
ciones cdnicas, llamadas elipse, parabola, e hiperbola, dependiendo de si esta cons- 
tante (llamada la excentricidad) es menor que, igual a, o mayor que, uno. Desig- 
nando la excentricidad por e, el foco por F, y la directriz por HQD (Fig. 13-11), 
tenetnos 



e = PF/PQ. 

Ahora PF = r, y si establecemos que FD = d, entonces PQ = FD — FB 
cos 6. Luego e = r/(d — r cos 6). O, despejando r, encontramos que 



= rf — r 



td 



= 1 + e cos 8. 



Esta es la forma de la ecuacidn de una seccidn cdnica que se ha usado en el texto 
(ec. 13.12). (En algunos textos, la ecuacWn de la secci6n c6nica es derivada usando 
el ingulo n— 6, y por ello la ecuacibn aparece en la forma td/r = 1 — e cos e.) 
En el caso de una elipse, que es una curva cerrada, el punto A corresponde a 8 = 
y el punto A' a 6 - n. Asi, de acuerdo a la ecuacitfn polar, tenemos 



zd 



Directriz // 




Luego, como r t + r t = 2a, el semieje 
--- 4Q mayor esti dado por 



1 +c 



*• = 



td 



1 — e 



D 



fl = Hr, + r t ) = 



El semieje menor es b 
el area de la elipse es 



td 



1 — e« 



= afT 



Ftg. 13-11. 
la elipse. 



Elementos geometricos de 



S = nab = Tea* \ 1 — 



Un circulo es un caso especial de una elipse 
cuando e = 0. (Para mayores detalles sobre 
secciones cdnicas, y en particular la elipse, ver G. B. Thomas, Cdkulo infinitesimal 
y geometrfa analitica, tercera edicidn. Madrid: Aguilar, 1964, pAg. 473). 



EJEMPLO 13.5. En el caso del movimiento eliptico, relacionar la energia total 
y el momentum angular, con el semieje mayor a y la excentricidad t de la elipse. 



13,5) 



El movimiento general bajo la interaction gravitational 427 



Solucidn: De la nota precedente sobre secciones c6nicas, sabemos que el semieje 
mayor de una elipse se expresa en funci6n de la excentricidad e y la distancia d 
de acuerdo con 



zd 



a = 



1 — £ 2 
For consiguiente, de la ec. (13.13) teneraos 

E = L * 6 * ~ l = L% 

™ 2 d 2 m * e a ~~ 2e dma ' 

Pero de la ec. (13.14) con E p = — ymm'/r, tenemos 
mm' L* , L 2 



ymm _ 

r mzdr 



mtd 



= ynim 




Realizando la sustitucitfn correspondiente en la 
expresi6n de E, obtenemos 



E = — 



ymm 
2a 



Fig. 13-12. Orbitaselipticas pa- 
ra diferentes valores del momen- 
tum angular pero igual energia. 
Todas las 6rbitas tienen el mismo 
foco y eje mayor, pero difleren 
en excentricidad. 



Comparando este resultado con la ec. (13.6), que 
derivamos para 6rbitas circulares, vemos que 

son esencialmente identicas, ya que a = r para una drbita circular. Este resultado 
tambien conflrma el hecho de que la energia total es negativa y depende sola- 
mente del semieje mayor a. De modo q